2.2函數(shù)的表示法（第1課時(shí)函數(shù)的表示法）課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版

2.2

函數(shù)的表示法第1課時(shí)函數(shù)的表示法第二章函數(shù)北師大版

數(shù)學(xué)

必修第一冊基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)課程標(biāo)準(zhǔn)1.掌握函數(shù)的三種表示法:解析法、列表法、圖象法,以及各自的優(yōu)缺點(diǎn).在解析法中尤其要掌握用換元法和代入法求函數(shù)的解析式.2.在實(shí)際問題中,能夠選擇恰當(dāng)?shù)谋硎痉▉肀硎竞瘮?shù).3.能利用函數(shù)圖象求函數(shù)的值域,并確定函數(shù)值的變化趨勢.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過知識(shí)點(diǎn)1

函數(shù)的表示法常用的函數(shù)的表示方法有三種,具體如下.表示方法解析法列表法圖象法定義在函數(shù)y=f(x)(x∈A)中,f(x)用代數(shù)式(或解析式)來表達(dá)的方法通過列出自變量與對(duì)應(yīng)函數(shù)值的表來表示函數(shù)關(guān)系的方法用“圖形”表示函數(shù)的方法優(yōu)點(diǎn)通過解析式可以求出任意一個(gè)自變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值,較便利地利用代數(shù)工具研究其性質(zhì)可直接通過表格讀數(shù),不必通過計(jì)算就表示出兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)值,非常直觀可以通過圖象直觀地顯示函數(shù)的局部變化規(guī)律表示方法解析法列表法圖象法缺點(diǎn)用解析式表示函數(shù)時(shí)容易漏掉其定義域,而且對(duì)于一些實(shí)際問題很難得到解析式任何一個(gè)表格內(nèi)標(biāo)出的數(shù)都是有限個(gè),只能表示有限個(gè)數(shù)值之間的函數(shù)關(guān)系,若自變量取值有無限多個(gè),則只能給出局部的對(duì)應(yīng)關(guān)系通過圖象很難得到每個(gè)自變量取值對(duì)應(yīng)的精確函數(shù)值,誤差較大名師點(diǎn)睛由列表法和圖象法的概念可知,函數(shù)也可以說就是一張表或一張圖,根據(jù)這張表或這張圖,由自變量x的值可查找到和它對(duì)應(yīng)的唯一的函數(shù)值y.思考辨析某學(xué)生離家去學(xué)校,一開始跑步前進(jìn),跑累了再走余下的路程.你能用縱軸表示離校的距離,用橫軸表示出發(fā)后的時(shí)間,畫出較符合該學(xué)生走法的圖象嗎?提示

由題意可知,一開始速度較快,后來速度變慢,所以開始曲線比較陡峭,后來曲線比較平緩,又縱軸表示離校的距離,所以開始時(shí)距離最大,最后距離為0.圖象如右.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)任何一個(gè)函數(shù)都可以用列表法表示.(

)(2)任何一個(gè)函數(shù)都可以用解析法表示.(

)(3)任何一個(gè)函數(shù)都可以用圖象法表示.(

)×××D3.[人教A版教材例題]某種筆記本的單價(jià)是5元,買x(x∈{1,2,3,4,5})個(gè)筆記本需要y元.試用函數(shù)的三種表示法表示函數(shù)y=f(x).解

這個(gè)函數(shù)的定義域是數(shù)集{1,2,3,4,5}.用解析法可將函數(shù)y=f(x)表示為y=5x,x∈{1,2,3,4,5}.用列表法可將函數(shù)y=f(x)表示為筆記本數(shù)x12345錢數(shù)y510152025用圖象法可將函數(shù)y=f(x)表示為下圖.知識(shí)點(diǎn)2

函數(shù)的圖象函數(shù)圖象的作法(1)函數(shù)圖象的特征函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線,也可以是直線、折線、離散的點(diǎn)等.(2)描點(diǎn)法作函數(shù)圖象的三個(gè)步驟(注意函數(shù)的定義域)(3)利用常見函數(shù)圖象作出所求函數(shù)的圖象已學(xué)過的常見函數(shù)圖象有:①常函數(shù)的圖象,如f(x)=1的圖象為一條平行于x軸的直線;②一次函數(shù)的圖象,如f(x)=-3x+1的圖象是一條經(jīng)過第一、二、四象限的直線;③一元二次函數(shù)的圖象,如f(x)=2x2-x+1的圖象是一條開口向上的拋物線;④對(duì)于反比例函數(shù)f(x)=(k≠0,且k為常數(shù)),當(dāng)k>0時(shí),其圖象是在第一、三象限內(nèi),以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的雙曲線,當(dāng)k<0時(shí),其圖象是在第二、四象限內(nèi),以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的雙曲線.名師點(diǎn)睛從理論上來說,要作出一個(gè)函數(shù)的圖象,只需描出所有點(diǎn)即可.但是,很多函數(shù)的圖象都由無窮多個(gè)點(diǎn)組成,描出所有點(diǎn)并不現(xiàn)實(shí).因此,實(shí)際作圖時(shí),經(jīng)常先描出函數(shù)圖象上一些有代表性的點(diǎn),然后根據(jù)有關(guān)性質(zhì)作出函數(shù)圖象,這稱為描點(diǎn)作圖法.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)函數(shù)y=x2的圖象向右平移3個(gè)單位長度可得函數(shù)y=(x+3)2的圖象.(

)(2)函數(shù)的圖象一定是一條連續(xù)不斷的曲線.(

)××2.[人教A版教材習(xí)題]畫出下列函數(shù)的圖象,并說出函數(shù)的定義域、值域:(1)y=3x;(2)y=;(3)y=-4x+5;(4)y=x2-6x+7.解

(1)定義域?yàn)镽,值域?yàn)镽,函數(shù)圖象如圖(1)所示.(2)定義域?yàn)閧x|x≠0},值域?yàn)閧y|y≠0},函數(shù)圖象如圖(2)所示.(3)定義域?yàn)镽,值域?yàn)镽,函數(shù)圖象如圖(3)所示.(4)定義域?yàn)镽,值域?yàn)閧y|y≥-2},函數(shù)圖象如圖(4)所示.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一三種表示法的應(yīng)用【例1】

某商場新進(jìn)了10臺(tái)彩電,每臺(tái)售價(jià)3000元,試求售出臺(tái)數(shù)x與收款數(shù)y之間的函數(shù)關(guān)系,分別用列表法、圖象法、解析法表示出來.解

①列表法:②圖象法:③解析法:y=3

000x,x∈{0,1,2,3,…,10}.x/臺(tái)012345y/元03000600090001200015000x/臺(tái)678910

y/元1800021000240002700030000

規(guī)律方法

函數(shù)表示法的注意事項(xiàng)(1)列表法、圖象法、解析法均是函數(shù)的表示法,無論是哪種方式表示函數(shù),都必須滿足函數(shù)的概念.(2)列表法更直觀形象,圖象法從形的角度描述函數(shù),解析法從數(shù)的角度描述函數(shù).(3)函數(shù)的三種表示法互相兼容或補(bǔ)充,許多函數(shù)是可以用三種方法表示的,但在實(shí)際操作中,仍以解析法為主.變式訓(xùn)練1將一條長為10cm的鐵絲剪成兩段,并用每一段鐵絲各做一個(gè)正方形.試用解析法、列表法、圖象法表示兩個(gè)正方形的面積之和S與其中一段鐵絲長x(x∈N+)的函數(shù)關(guān)系.③圖象法:探究點(diǎn)二求函數(shù)的解析式【例2】

(1)已知f(x+1)=x2-3x+2,求f(x).(2)已知f(x)是一元二次函數(shù),且滿足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式.(3)已知函數(shù)f(x)對(duì)于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,求f(x).解

(1)(方法一)令x+1=t,則x=t-1.將x=t-1代入f(x+1)=x2-3x+2,得f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6,∴f(x)=x2-5x+6.(方法二)∵f(x+1)=x2-3x+2=x2+2x+1-5x-5+6=(x+1)2-5(x+1)+6,∴f(x)=x2-5x+6.(2)設(shè)所求的一元二次函數(shù)為f(x)=ax2+bx+c(a≠0).∵f(0)=1,∴c=1,則f(x)=ax2+bx+1.∵f(x+1)-f(x)=2x對(duì)任意的x∈R都成立,∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x,即2ax+a+b=2x,∴所求一元二次函數(shù)為f(x)=x2-x+1.(3)∵對(duì)于任意的x,都有f(x)+2f(-x)=3x-2,∴將x替換為-x,得f(-x)+2f(x)=-3x-2,聯(lián)立方程組消去f(-x),可得f(x)=-3x-.規(guī)律方法

求函數(shù)解析式的四種常用方法

方法一直接法(代入法):已知f(x)的解析式,求f(g(x))的解析式,直接將g(x)代入方法二待定系數(shù)法:若已知函數(shù)的類型,可用待定系數(shù)法求解,即由函數(shù)類型設(shè)出函數(shù)解析式,再根據(jù)條件列方程(或方程組),通過解方程(或方程組)求出待定系數(shù),進(jìn)而求出函數(shù)解析式方法三換元法(有時(shí)可用“配湊法”):已知函數(shù)f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用換元法(或“配湊法”),即令g(x)=t,反解出x,然后代入f(g(x))中求出f(t),從而求出f(x)方法四消元法:在已知式子中,含有關(guān)于兩個(gè)不同變量的函數(shù),而這兩個(gè)變量有著某種關(guān)系,這時(shí)就要依據(jù)兩個(gè)變量的關(guān)系,建立一個(gè)新的關(guān)于兩個(gè)變量的式子,由兩個(gè)式子建立方程組,通過解方程組消去一個(gè)變量,得到目標(biāo)變量的解析式變式訓(xùn)練2(1)已知f(x)是一次函數(shù),且f(f(x))=2x-1,求f(x)的解析式.探究點(diǎn)三函數(shù)的圖象及應(yīng)用【例3】

作出下列函數(shù)的圖象,并求其值域.(1)y=1-x(x∈Z);(2)y=2x2-4x-3(0≤x<3).解

(1)因?yàn)閤∈Z,所以函數(shù)圖象為一條直線上的孤立點(diǎn)(如圖①),由圖象知,y∈Z.(2)因?yàn)閤∈[0,3),所以函數(shù)圖象是拋物線的一段(如圖②),由圖象知,y∈[-5,3).規(guī)律方法

1.作函數(shù)圖象最基本的方法是描點(diǎn)法.主要有三個(gè)步驟——列表、描點(diǎn)、連線.作圖象時(shí)一般先確定函數(shù)的定義域,再在定義域內(nèi)化簡函數(shù)解析式,最后列表畫出圖象.2.函數(shù)的圖象可能是平滑的曲線,也可能是一群孤立的點(diǎn),畫圖時(shí)要注意特殊點(diǎn).如圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、區(qū)間端點(diǎn)、二次函數(shù)的頂點(diǎn)等,還要分清這些特殊點(diǎn)是實(shí)心點(diǎn)還是空心點(diǎn).如例3(1)中圖象是由一些散點(diǎn)構(gòu)成的,這里不能將其用平滑曲線連起來;例3(2)中描出兩個(gè)端點(diǎn)及頂點(diǎn),依據(jù)一元二次函數(shù)的圖象特征作出函數(shù)圖象,注意x=3不在定義域內(nèi),從而點(diǎn)(3,3)處用空心點(diǎn).變式訓(xùn)練3作出下列函數(shù)的圖象,并寫出其值域.(1)y=2x+1,x∈[0,2];(2)y=,x∈[2,+∞).解

(1)當(dāng)x=0時(shí),y=1;當(dāng)x=1時(shí),y=3;當(dāng)x=2時(shí),y=5.函數(shù)圖象過點(diǎn)(0,1),(1,3),(2,5).圖象如圖所示.由圖可知,函數(shù)的值域?yàn)閇1,5].(2)當(dāng)x=2時(shí),y=1;當(dāng)x=4時(shí),y=;當(dāng)x=6時(shí),y=.圖象如圖所示.由圖可知,函數(shù)的值域?yàn)?0,1].本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)函數(shù)的表示法;(2)求函數(shù)解析式;(3)函數(shù)的圖象.2.方法歸納:待定系數(shù)法、換元法、配湊法、數(shù)形結(jié)合法.3.常見誤區(qū):求函數(shù)解析式時(shí)易忽視定義域.學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)12345678910111213A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.

[探究點(diǎn)一](多選題)

下列四個(gè)圖形中可能是函數(shù)y=f(x)圖象的是(

)AD解析

在A,D中,對(duì)于定義域內(nèi)每一個(gè)x都有唯一確定的y與之相對(duì)應(yīng),滿足函數(shù)關(guān)系;在B,C中,存在一個(gè)x有兩個(gè)y與x對(duì)應(yīng),不滿足函數(shù)對(duì)應(yīng)的唯一性.123456789101112132.[探究點(diǎn)二]若f(x)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒有3f(x)-2f(-x)=5x+1,則f(x)=(

)A.x+1 B.x-1C.2x+1 D.3x+3A解析

因?yàn)?f(x)-2f(-x)=5x+1,所以3f(-x)-2f(x)=-5x+1,解得f(x)=x+1.123456789101112133.[探究點(diǎn)三]已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則f(-5)=

,f(f(2))=

.

4解析

由題圖可知f(-5)=,f(2)=0,f(0)=4,故f(f(2))=f(0)=4.123456789101112134.[探究點(diǎn)二]已知f(x)是一次函數(shù),若f(f(x))=4x+8,則f(x)的解析式為

.

123456789101112135.[探究點(diǎn)三]作出下列函數(shù)的圖象,并指出其值域:(1)y=x2+x(-1≤x≤1);(2)y=(-2≤x≤1,且x≠0).12345678910111213解

(1)用描點(diǎn)法可以作出所求函數(shù)的圖象如圖①所示.由圖可知y=x2+x(-1≤x≤1)的值域?yàn)?2)用描點(diǎn)法可以作出函數(shù)的圖象如圖②所示.圖①

圖②

由圖可知y=(-2≤x≤1,且x≠0)的值域?yàn)?-∞,-1]∪[2,+∞).12345678910111213B級(jí)關(guān)鍵能力提升練6.已知函數(shù)f(x)的定義域是(0,+∞),滿足f(2)=1,且對(duì)于定義域內(nèi)任意x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)成立,那么f(2)+f(4)的值為(

)A.1 B.2 C.3 D.4C解析

∵對(duì)于定義域內(nèi)任意x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y)成立,令x=y=2,得f(4)=f(2)+f(2)=1+1=2,∴f(2)+f(4)=1+2=3.故選C.12345678910111213B12345678910111213D12345678910111213123456789101112139.小明在如圖①所示的跑道上勻速跑步,他從點(diǎn)A出發(fā),沿箭頭方向經(jīng)過點(diǎn)B跑到點(diǎn)C,共用時(shí)30s,他的教練選擇了一個(gè)固定的位置觀察小明跑步的過程,設(shè)小明跑步的時(shí)間為t(單位:s),他與教練間的距離為y(單位:m),表示y與t的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖②所示,則這個(gè)固定位置可能是圖①中的(

)A.點(diǎn)M

B.點(diǎn)N

C.點(diǎn)P

D.點(diǎn)Q

圖①

圖②

D解析

由題圖知固定位置到點(diǎn)A距離大于到點(diǎn)C距離,所以舍去N,M點(diǎn),不選A,B;若是P點(diǎn),則從最高點(diǎn)開始持續(xù)下降,與題圖②矛盾,因此取Q,即選D.123456789101112131234567891011121310.已知函數(shù)f(x),g(x)由