2025高考數(shù)學專項復(fù)習：平面向量痛點問題之三角形“四心”問題（含答案）

2025高考數(shù)學專項復(fù)習平面向量痛點問題之

三角形“四心”問題

微專題平面向量痛點問題之三角形“四心”問題

【題型歸納目錄】

題型一:重心定理

題型二：內(nèi)心定理

題型三:外心定理

題型四:垂心定理

【知識點梳理】

一、四心的概念介紹：

（1）重心：中線的交點，重心將中線長度分成2:1.

（2）內(nèi)心：角平分線的交點（內(nèi)切圓的圓心），角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等.

（3）外心：中垂線的交點（外接圓的圓心），外心到三角形各頂點的距離相等.

（4）垂心：高線的交點，高線與對應(yīng)邊垂直.

二、三角形四心與推論：

（1）0是△ABC的重心：S^BOC；S&COA：S/XMB=1:1:1<=>OA+OB+OC=0.

（2）0是4ABe的內(nèi)心：SABOC:SACOA:S^AOB=a:b:COaOA+bOB+cOC=0.

（3）0是△ABC的外心：

--->---?---?—>

SABO。：S4cOA:S叢AOB—sin2A:sin2B:sin2cQsin2AOA+sin2BOB+sin2COC=0.

（4）0是△ABC的垂心：

S^BOC:S^coA:S^AOB—tanA:tanB:tanGQtanAOA+tanBOB+tanGOG=0.

【方法技巧與總結(jié)】

（1）內(nèi)心：三角形的內(nèi)心在向量所在的直線上.

朋|AC|

|近|?尼+|初卜配+|淳|?而=6oP為4ABC的內(nèi)心.

（2）外心:\PA\=\PB\=|FC|aP為△ABC的外心.

（3）垂心：兩?屈=屈?用=刀?兩oP為△ABC的垂心.

（4）重心：司+廂+Qd=（5oP為的重心.

題型一:重心定理

例1.（2023春?山東聊城?高一山東聊城一中校孝階&練習）已知點G是三角形A6C所在平面內(nèi)一點，滿

足/+,+/=6,則G點是三角形46。的（）

A.垂心B.內(nèi)心C.外心D.重心

例2.（2023春?山東-方一階段練習）已知G是△ABC的重心，點D滿足舒=比，若前=xAB+

則力+9為（）

119

A.—B.—C.wD.1

例3.（2023春?上海金山?高一上海市金山中學校考期末）記A4BC內(nèi)角4BC的對邊分別為a,b,c,點

G是△4BC的重心，若8G_!CG,5b=6c貝Ucos/的取值是（）

題型二:內(nèi)心定理

例4.（2023春?江蘇宿遷?高一沐國縣修遠中學校考期末）已知點P為AABC的內(nèi)心，/氏4。=^,AB

O

=1,AC=2,若AP=AAB+〃4。，則1+〃=.

例5.（2023春?陜西西安?高一陜西海大附中?？计谥校┮阎Ｊ瞧矫嫔系囊粋€定點，4、B、。是平面上

不共線的三點，動點P滿足加=。N+4+則點P的軌跡一定經(jīng)過△ABC的

（）

A.重心B.外心C.內(nèi)心D,垂心

^16.（2023-全國?高一假期作業(yè)）已知/為△4BC所在平面上的一點，且AB=c,AC=b,BC=a.若alA

+6語+0記=6,則/是448。的（）

A.重心B.內(nèi)心C.外心D.垂心

例7.（2023春?四川成都?南一樹穩(wěn)中學?？几偞海┰?ABC中，cos/=,，。為△人及7的內(nèi)心，若年

=/AB+%4C（x,yCA）,則/+4的最大值為（）

題型三:外心定理

例8.（2023春?湖北武漢?南一校聯(lián)考期末）在△4BC中，AB=2,AC=3,N是邊上的點，且加=

而,O為△4BC的外心，則俞）

A.3B.與C.D.4

424

例9.（2023春?河南許曷?方一統(tǒng)考期末）已知P在/VLSC所在平面內(nèi)，滿足\PA\=|屈|=|團|,則戶是

△4口。的（）

A.外心B.內(nèi)心C.垂心D.重心

例10.（2023春?四川自貢?高一統(tǒng)考期末）直角4ABC中，/C=90。,=4,0為△ABC的外心，OA-

OB+OB-OC+OC-OA=（）

A.4B.-4C.2D.-2

例11.（2023春?遼寧丹東?高一風城市第一中學?？茧A盤練習）已知。為4ABC的外心，若4B=1,則

AB-AO=｛）

A.—B.C.-1D.

題型四:垂心定理

例12.（2023春?河南南用?南一統(tǒng)考期中）若以為△ABC所在平面內(nèi)一點，且\HA[+\BC\2=\HB\2+

定前『則點〃是△人反7的（）

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

例13.（多選題）（2023春?湖南長沙?高一長沙市明檐中學?？计谏辏┮阎狾,N,F,/在△4B。所在的平

面內(nèi)，則下列說法正確的是（）

A.若|。刃=\OB\=，則O是△ABC的外心

B.若兩?兩=屈?配=運?巨4則P是△ABC的垂心

C.若怠+屜+而=0,則N是△ABC的重心

D.若屈=?房=巨？?記=0,則/是△ABC的垂心

例14.（2023春?河南商丘?高一聲丘市第一商級中學?？茧A段練習）設(shè)玄是△4BC的垂心，且4面+

5HB+6HC=6,則cosZAHB=.

MM331

一、單選題

1.（2023?四川瀘州?瀘縣五中?？级＃┮阎闹匦臑椤?，則向量回=（）

A.-^-AB-\B.^rAB+~ACC.—^-AB+-^rACD.—^AB+^-AC

oooooooo

2.（2023-全■國?高三專題練習）對于給定的△A8C,其外心為O,重心為G,垂心為打，則下列結(jié)論不正

確的是（）

A.AO-AB=^-AB1

B.OA-OB=OA-OC=OB-OC

C.過點G的直線/交48、ZC于E、尸，若赤=4屈，*正，則：+：=3

D.毋與—+尸架一共線

\AB\cosB|AC|COSC

3.（2023-四川?校聯(lián)考模擬覆測）在平行四邊形ABCD中，G為4BCD的重心，AG=xAB+9初,則

3x+y=（）

A.yB.2C.yD.3

4.（2023秋?河南信陽?方三校考除段練習）過△ABC的重心任作一直線分別交AB、47于點。、E,若

AD=xAB,AE=yAC,且砂￥0,則工+工=（）

2y

A.4B.3C.2D.1

5.（2023秋?上海?高二專題練習）0是平面上一定點，A、B、。是該平面上不共線的3個點,一動點P滿

足：）=++丞》,4>0,則直線AP一定通過△48。的（）

A.外心B.內(nèi)心

C.重心D.垂心

6.（2023秋■?湖北?高二校聯(lián)考期中）0是AABC的外心，AB=6,AC=10,AO=xAB+yAC,2x+lOy

=5,則cosZ.BAC=（）

1口1「3「I前3

AA.-B.-5-C.-p-D.-5-或后-

23535

7.（2023?湖南?高考真題）P是△ABC所在平面上一點，若PI?麗=麗?刃=正?前，則P是

△46。的（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

8.（2023?全?圖?南一專題練習）已知點O,P在△ABC所在平面內(nèi)，滿方+反5=6,|巨1|=|兩|

=|同|,則點0聲依次是4人口0的（）

A.重心，外心B.內(nèi)心，外心C.重心，內(nèi)心D.垂心，外心

9.（2023?全國?高一專題練習）已知0,48,。是平面上的4個定點，ABC不共線，若點P滿足前=

。1+4（通+丞力，其中/16/?,則點。的軌跡一定經(jīng)過44日7的（）

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

10.（2023春?安徽安慶?高一安慶一中?？茧A段練習）在AABC中，設(shè)。是/XABC的外心，且彩=

4卷+4/，則za4c等于（）

OO

A.30°B.45°C.60°D.90°

11.（2023-全?國?南三專題練習）在AABC中，NACB=45°,。是ZVLBC的外心，則月方?或+

元?廂的最大值為（）

37

A.1B.高C.3D.&

12.（2023?全國?高三專題練習）在△48。中，48=3,AC=4,BC=5,O為△4BC的內(nèi)心，若用=

AAB+nBC,^\A+fi=（）

A.B.D.

4344c.645

13.（2023秋?四川綿相?高二四川看綿相南山中學?？奸_學考?試）若O,M,N在4ABe所在平面內(nèi),滿

足=|加I=|Od|,蘇?礪=礪?覺=前?必，且殖+福+而=6,則點O,M,N依次

為△4及7的（）

A.重心，外心，垂心B.重心，外心，內(nèi)心C.外心，重心，垂心D.外心，垂心，重心

14.（2023春?淅江紹興?高二?？紝W業(yè)考武）已知點。，P在△ABC所在平面內(nèi)，且|。困=\OB\=

|五且丁屈=麗?用=刃?戶N,則點O,P依次是△4口。的（）

A.重心，垂心B.重心，內(nèi)心C.外心，垂心D.外心，內(nèi)心

二、多選題

15.（2023春?河南?高一校聯(lián)考期中）已知4ABC的重心為O,邊C4的中點分別為DE,F,則

下列說法不正確的是（）

A.OA+OB=2Ol5

B.若△ABC為正三角形，則52?方+加?灰？+。^?51=0

C.若乃?（樂—記）=0,則O/LBC

D.OI5+OE+OF=O

16.（2023-全國?方三專題練習）如圖，”是△43。所在平面內(nèi)任意一點,O是A4BC的重心，則（）

A

A.AD+BE=CFB.MA+MB+MC=3MO

c.MA+MB+MC=MI5+ME+MFD.BC-AD+CA-BE+AB-CF=O

17.（2023秋?直慶渝北?高二重慶市兩江育才中學校校考階段練習）設(shè)。為△4BC的外心,且滿足2dl

+3加+4（5]=6,|5?=1,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.OB-OC=-^-B.\AB\=^-C.ZA=2ZCD.sin//=4

81124

18.（2023春?安微淮北?高一淮北師范大學酹屬實酷中學校考階段練習）生于瑞士的數(shù)學巨星歐拉在

1765年發(fā)表的《三角形的幾何學》一書中有這樣一個定理:“三角形的外心、垂心和重心都在同一直線

上.”這就是著名的歐拉線定理.在△4BC中，G分別是外心、垂心和重心，。為BC邊的中

點，下列四個選項中正確的是（）

A.GH=2OGB.GA+GB+GC^O

C.AH=2ODD.SAABG=SABCG=SA^CG

19.（2023-全國?模擬覆測）在4ABC中，點。，E分別是BC,/C的中點，點。為ZVIBC內(nèi)的一點，則下

列結(jié)論正確的是（）

A,若初=彷,則赤+兩

B.若國5=2團，則兩=2加

C.若/5=3函5,則方=■!■通+春而

OO

D.若點O為AABC的外心，BC=4,則加?宓=—4

20.（2023春?河北石室莊?高一統(tǒng)考期末）著名數(shù)學家歐拉提出了如下定理:三角形的外心、重心、垂心依

次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，

該定理被稱為歐拉線定理.已知△48。的外心為O,垂心為重心為G,且48=3,AC=4,下列

說法正確的是（）

A.AH-BC=0B.AG?BC=C.AO-BC=-^D.OH=OA+OB+OC

o/

三、填空題

21.（2023狄.上海長寧?高二上海市建安中學?？计谥校┮阎鰽BC的頂點坐標4（—6,2）、8（6,4）,設(shè)

G（2,0）是△ABC的重心，則頂點C的坐標為.

22.（2023我?山西昌果?高三統(tǒng)考階段練習）設(shè)。為AABC的外心，且滿足+3OB+4OC=0,

刃=1,下列結(jié)論中正確的序號為.

①瓦?/=-］；②網(wǎng)=2；③/A=2NC.

23.（2023-河北?模擬預(yù)測）已知。為△ARC的外心，AC=3,=4,則/?無百=

24.（2023款?上海，定二上海市嘉定區(qū)第一中學?？?期中）已知4、B、C為△ABC的三個內(nèi)角，有

如下命題：

①若叢ABC是鈍角三角形,則tanA+tanB+tan。＜0；

②若ZVIB。是銳角三角形，則cos＞!+cosB＜sinA+sinB；

③若G、〃分別為AABC的外心和垂心，且AB=1,AC=3,則而?初=4；

④在△4BC中,若sinB=/tanC=4，則A＞。＞B,

54

其中正確命題的序號是.

25.（2023秋?天泳南開?高三南開大學附舄中學校考開學考武）在AABC中，=3,AC=5,點N滿足

BN=2NC,點。為ZVIBC的外心，則俞?N3的值為.

26.（2023-全■國?高三專題練習）已知G為△ABC的內(nèi)心，且cosA-GA+cosB-GB+cosC-熬=6,則

ZA=.

27.（2023*全■國?高三十?題練習）在△ABC中，cosABAC=4,若。為內(nèi)心，且滿足AO=xAB+yAC,

O

則①+y的最大值為.

28.（2023?全?國?高三壽題練習）設(shè)/為△ABC的內(nèi)心，若48=2,口。=23，47=4,則N7?反？=

微專題平面向量痛點問題之三角形“四心”問題

【nun..]

題型一:重心定理

題型二:內(nèi)心定理

題型三:外心定理

題型四:垂心定理

【知識點植理】

一、四心的概念介紹：

（1）重心：中線的交點，重心將中線長度分成2:1.

（2）內(nèi)心：角平分線的交點（內(nèi)切圓的圓心），角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等.

（3）外心：中垂線的交點（外接圓的圓心），外心到三角形各頂點的距離相等.

（4）垂心：高線的交點，高線與對應(yīng)邊垂直.

二、三角形四心與推論：

（1）0是的重心：S^BOC；S&COA：S/XMB=1:1:1<=>OA+OB+OC=0.

（2）0是4ABe的內(nèi)心：SABOC:SACOA:S^AOB=a:b:COaOA+bOB+cOC=0.

（3）0是△ABC的外心：

--->---?---?—>

SABO。：S4cOA:S叢AOB—sin2A:sin2B:sin2cQsin2AOA+sin2BOB+sin2COC=0.

（4）0是△ABC的垂心：

S^BOC:S^coA:S^AOB—tanA:tanB:tanGQtanAOA+tanBOB+tanGOG=0.

【方法技巧與總結(jié)】

（1）內(nèi)心：三角形的內(nèi)心在向量所在的直線上.

朋|AC|

|近|?尼+|初卜配+|淳|?而=6oP為4ABC的內(nèi)心.

⑵外心：|巨田=\PB\=|戶討oP為△ABC的外心.

（3）垂心：兩?屈=屈?用=刀?兩oP為△ABC的垂心.

（4）重心：戶N+兩+Qd=6oP為△46。的重心.

題型一:重心定理

例1.（2023春?山東聊城?高一山東聊城一中校孝階&練習）已知點G是三角形A6C所在平面內(nèi)一點，滿

足/+屈+/=6,則G點是三角形46。的（）

A.垂心B.內(nèi)心C.外心D.重心

【答案】D

【解析】因為直+詬+文=6,所以/+加=一元=團.

以GA.GB為鄰邊作平行四邊形GADB,連接GD交AB于點O.如圖所示

則方=益,所以反5=4■刃，8是AB邊上的中線，所以G點是△ABC

O

的重心.

故選:D

例2.（2023春?山東-高一階段練習）已知G是△4BC的重心，點D滿足配=玩,若元=xAB+

，則2+g為（）

A.Bc1D.1

o-1。3

【答案】A

【解析】因為晶=氏,

所以。為BC中點，

又因為G是△ABC的重心，

所以GD—卷40,

又因為。為BC中點，

所以#=+?|-而，

所以GD=9AB+-^-ACj+-^-AC,

所以c=y=卷，

所以/+g=-1-.

o

故選:A

例3.（2023春?上海金山?高一上海市金山中學校考期末）記4ABC內(nèi)角4BC的對邊分別為a,b,c,點

G是△4BC的重心，若3G_LCG,5b=6c則cosA的取值是（）

R57

A59BD婚

75-75。15

【答案】D

【解析】依題意，作出圖形，

因為點G是△ABC的重心，所以河是BC的中點，故宿=*（須+芯），

由已知得\BC\^a,\AC\^b,\AB\^c,

因為BG，CG,所以GM=如0=^a,

11Q

又因為點G是△48。的重心，所以GN=*G_A,則AAG與Q+Q=￡Q,

又因為|AM|2=+_AC）[所以-1-a2=^（c2+fe2+2bccosA）,則9a2=

62+2bccosA,

又由余弦定理得浸二/—2bccosZ,所以9(c2+b2-2feccosA)=c2+b2+2bccosA,整理得2c?+2b2—

5bccosA=0,

因為5b=6c,令b=6k(k>0),則c=5k,

所以2x(5fc)2+2x(6fc)2—5x(6k)x(5fc)cosA=0,

_122_61

則nlcosA4=訪萬=而.

故選：D

題型二:內(nèi)心定理

例4.（2023春?江蘇宿遷?高一泳用縣修途中學?？计谀┮阎cP為AABC的內(nèi)心，ZBAC=^-K,AB

O

=1,4。=2,若不=義荏+〃正,則4+〃=.

【答案】Q-那

【解析】在△ABC,由余弦定理得BC=VAC2+AB2-2AC-ABcosABAC=V7,

設(shè)。,Q,N分別是邊AB,_BC,AC上的切點，設(shè)力N=8。=力，則NC—QC—2—x,BO—BQ=1—力，所以

BC=BQ+QC=l—x+2—x=V7^>x=3a,

由亦=；!通+〃正得，*?荏=(/l通+〃彩)?初，即\AO\-\

[1AC?AB=>AO=久一〃，①

同理由屈?*=(/]通+〃正)?/o24N=—/^+4z/,②

3—V7

聯(lián)立①②以及AN=AO=/即可解得：/1+〃=3/=3x

2

故答案為：9一："

例5.（2023春?陜西西安?高一陜西舜大附中校考期中）已知。是平面上的一個定點，若、B、。是平面上

不共線的三點，動點P滿足加=。N+l晉^+晉^]ueJR）,則點p的軌跡一定經(jīng)過△/BC的

A.重心B.夕卜心C.內(nèi)心D.垂心

【答案】C

為樂方向上的單位向量，為前方向上的單位向量,

【解析】因為141r

期中

AB!AC

則的方向與/BAC的角平分線一致,

\AB\\AC\

(AB

AB，可得力一五才二

由OP^OA+AH+l4H+l

fAB

即Z?=/l網(wǎng)十肅〉

所以點P的軌跡為/BAO的角平分線所在直線,

故點P的軌跡一定經(jīng)過△ABC的內(nèi)心.

故選：C.

例6.（2023?全國?高一假期作業(yè)）已知/為△4BC所在平面上的一點，且AB=c,AC=b,BC=a.若alA

+5語+0后=/,則/是^?18。的（）

A.重心B.內(nèi)心C.外心D.垂心

【答案】B

【解析】因為用=玄+屈,/=玄+彩，所以

alA+bIB+cIC=aIA+b(IA+AB)+c(IA+AC]=(a+b+c)IA+bAB+cAC=Q,

所以(a+b+c)IA=—(b?AB+c,AC),所以

u=-(b-AB+c-AC)=-AB+—f—AC)

a+b+c'a+b+cQ+O+C)

------—(b?AB+c-AC)

Q十b十c\)

=_be[AB.AC]

a+b+c\cb/

be（ABAC］

a+b+c［網(wǎng)］福「

所以雙在角A的平分線上，故點/在/BAC的平分線上，

同理可得，點/在/.BCA的平分線上，故點/在△ABC的內(nèi)心,

故選：B.

例7.（2023春?四川成都?南一村德中學?？伎舜海┰贏ABC中，cosA=：,O為4ABC的內(nèi)心，若才5

=xAB+yAC（x,gGR）,貝1J/+g的最大值為（）

7-V78—2y/2

A.B.

35

【答案】D

【解析】如圖：圓。在邊AB,BC上的切點分別為E,F,連接OE,OF,

延長49交BC于點。

設(shè)AOAB=仇則cosA=cos2。=1-2sin2(9=菖，則sin6?=?

設(shè)AD=AAO=AxAB+AyAC

?JBQ,。三點共線，則/kc+/lg=1,即/+g

A

1=AO=40vA。=1=1=

T一~AD~力0+0。、FOF~,OE~

~AOV6~1+,AO*近

1=1=8—2四

1+sin。,V27

1+工

日口_i_v8—2V2

即力+。&---q---

故選:D.

題型三:外心定理

例8.(2023春?湖北武漢?高一校聯(lián)考期末)在△ABC中，4B=2,AC=3,N是邊上的點，且麗=

而Q為△4BC的外心，則福?而5=()

A.3B.竽C.3D.9

【答案】B

【解析】因為麗=而,則N是BC的中點，所以前=雜石+]■前，

設(shè)外接圓的半徑為r,

所以而5?由7=市5?(十/+

=-1-AO-AC+-1-AO-AB=-1-rx3xcosAOAC+-1-rx2xcosAOAB

=y1X3X^-Q+y1X2Xl=^1-3.

故選：B.

例9.（2023春?河南許曷?高一統(tǒng)考期末）已知P在△力BC所在平面內(nèi)，滿足|戶司=|屈|=|京|,則P是

△4反7的（）

A.外心B.內(nèi)心C.垂心D.重心

【答案】A

【解析】I戶司=聲劇=\PC\表示P到AB,C三點距離相等，P為外心.

故選：A.

例10.（2023春?四川育貢?高一統(tǒng)考期末）直角4ABC中，/C=90。,=4,。為△ABC的外心，OA-

OB+OB-OC+OC-OA=（）

A.4B.-4C.2D.-2

【答案】B

【解析】；直角AAB解中，90°,AB=4,。為△ABC的外心,

/.O為AB的中點，即04=OB=2,

...51+麗=6且?礪=\OA\■\OB\-cosl80o=-4,

：.OA-OB+OB-OC+OC-OA^-4+OC-（OA+OB）^-4+0^-4：,

故選：B.

例11.（2023春?遼寧丹東?南一鳳城市第一中學?？茧A段練習）已知。為4ABC的外心，若AB=1,則

AB-AO=（）

112

A.—B.C.—1D,§

【答案】B

C

【解析】因為點。為△ABC的外心，設(shè)AB的中點為。，連接O。,則OOJL4B,如圖

所以樂.1^=宿?（布+㈤）=也?初+油?皮=■說2+0=4"X12=]\

故選：B\

ADH

題型四:垂心定理

例12.（2023春?河南南用.高一統(tǒng)考期中）若H為A4BC所在平面內(nèi)一點，且\HA[+|BC|2=\HB\2+

|由而旗『則點笈是△4瓦7的（）

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

【答案】D

【解析】\HA[+|BC|2=\HB\2+\CA\2^\HA\2+（BH+HCy^\HB\2+（CH+HA）'2,

得麗?配=而?前=就?演=0,即團工也；

2222

\HAF+\BC[=\HC\+|AB|2^\HA\+（BH+HC）=\HC[+（AH+HB）,

得麗.舵=存.而n麗.*=0,即血工前;

|HB|2+|cl|2=師2+網(wǎng)2n網(wǎng)2+（曲+豆葉=府2+國+屈）2,

而?月N=N百?屈n庇?避=0,即/_L3,所以H為△48。的垂心.

故選：D.

例13.（多選題）（2023春?湖南長沙?商一長沙市明檐中學?？计谥校┮阎狾,N,P/在△ABC所在的平

面內(nèi)，則下列說法正確的是（）

A.若\OA\=\OB\=|（54，則O是AABC的外心

B.若巨才?苑=屈?戶方=無?聲討，則P是△ABC的垂心

C.若怠+福+標=0,則N是△ABC的重心

D.若聞?a=元?用=直?記=0,則/是△ABC的垂心

【答案】ABCD

【解析】對4根據(jù)外心的定義，易知A正確；

對B,PB-（PA-PC）=屈?可=0nPB_LGA,同理可得：P4_LCB,PC_LAB,所以P是垂心，故B

正確；

對C,記CA的中點為D、E、F,由題意瓦？+循=2詬=一雨?，則|M7|=2|ND|,同理可得：

|M4|=2\NE\,\NB\^2\NF\,則N是重心，故。正確；

對，由題意，CB_LAC_L7B,BA_L/。，則I是垂心，故。正確

故選：ABCD.

例14.（2023春?河南育R?方一商丘市第一高級中學校考階段練習）設(shè)H是ZVIBC的垂心，且4月N+

5HB+6HC=。,則cosZ-AHB=.

【答案】一等

[解析卜??H是4ABe的垂心，

：.HA±BC,HA-BC=HA-（HC-HB）=Q,

：.HA-HB=HC-HA,同理可得，屈?正=能?屈，

故威?屈=屈/?朗

-.■4HA+5HB+6HC^Q,

：.4H^+5HA-HB+6HA-HC^0,

cos/AHB=

\HB\\HA\，8S-藺西-|說11麗'

：.cos2ZAHB=TQ-,即cosZAHB=—

11

故答案為：一方言.

[HM391

一、單選題

1.（2023?四川瀘州?瀘縣五中校考二模）已知△4BC的重心為。，則向量反5=（）

A.—AB+—ACB.-^AB+-^ACC.——AB+—ACD.——AB+—AC

oooooooo

【答案】c

【解析】設(shè)E,F,。分別是AC,AB,BC的中點，

由于。是三角形AB。的重心，

所以BO—卷BE—1x（AE—48）=1x

故選：c.

2.（2023-全國?高三專題練習）對于給定的△ABC,其外心為O,重心為G,垂心為打，則下列結(jié)論不正

確的是（）

A.AO-AB=^-AB2

B.OA-OB=OA-OC=OB-OC

C-過點G的直線,交△反AC于夙斤，若宓=2用則:+5=3

D.京與產(chǎn)器一+產(chǎn)華一共線

\AB\cosB|AC|COSC

【答案】B

【解析】如圖，設(shè)AB中點為M,則OM,AB,：.\AO\cosAOAM=\AM\,

/.AO-AB^\AO\\AB\cosAOAB^\AB\(\AO\COSAOAB^=\AB\-^—

)叫；故A正確；

。2?晶=。4/等價于。:不（礪一33）=0等價于54瓦=0,即。4_16。，

對于一般三角形而言，。是外心，04不一定與BC垂直，比如直角三角形ABC中,

若口為直角頂點，則。為斜邊AC的中點，。力與B。不垂直，故B錯誤;

設(shè)BC的中點為。,

則怒=等超=9（后+同J什屈+十而＞專通+上在

,；E,F,G三點共線，.，?+-^―=1,即義+工=3,故C正確；

J/to/ZAfJL

■BC^

|AB|cosBlACjcosCJ|AB|cosB因cosC

扉||阿COS(LB)"福l即cosC—

\AB\cosB|AC|cosCIlli

與反？垂直，又反？,

|AB|cosBIACJCOSC

與N月共線，故。正確.

|AB|cosSlACjcosC1

故選：B.

3.（2023*四川?校聯(lián)考模擬頸測）在平行四邊形ABCD中，G為△BCD的重心，AG=xAB+夕#,則

3rc+y=（）

A.yB.2C.yD.3

【答案】C

【解析】如圖，設(shè)AC與BD相交于點。，由G為△BCD的重心，可得。為BD的中

點，

CG=2GO,則/=初+/=而+4■初=春xJ（而+#）=4+~|■樂,

ooD/'o

可得力=g=■，故3c+g=~|~.

OO

故選：C.

4.（2023秋?河南信旭?高三?？茧A段練習）過△ABC的重心任作一直線分別交4B、A2于點。、E,若

AD=xAB,AE=,且即#0,則上+工=（）

6y

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【解析】設(shè)4ABC的重心為點G,延長AG—點則M為線段BC的中點,

因為。、G、E三點共線，設(shè)的=4宏，即回苕一#=4（4商一前），

所以，AG=（l-/l）AD+/iAE=（l-A）xAB+AyAC,

因為M為的中點，則N羽=4豆+詢=4豆+方就=4衛(wèi)+

■|~（人?！狝B）=+-^-AC,

因為G為△ABC的重心，則AG^^AM^^-AB+^-AC,

OOO

所以，（1—A^x=Ay=],所以，—+—=3（1—/!）+34=3.

Jxy

故選:B.

5.（2023款?上海?高二專題練習）0是平面上一定點,48、C是該平面上不共線的3個點，一動點P滿

足：赤=6才+/1（通+衣）”>0,則直線4P一定通過△48。的（）

A.外心B.內(nèi)心

C.重心D.垂心

【答案】C

【解析】取線段8C的中點E,則說+左=2通.B

P

動點P滿足：OP^OA+A（AB+AC）,A>Q,E

貝”O(jiān)P-OA^2AAE

則費二24次

則直線AP一定通過△ABC的重心.

故選：C.

6.(2023秋?湖北?il5二校或考1期中)0是△4BC的外心，AB=6,AC=1Q,AO=xAB+yAC,2x+Wy

=5,貝Ucos/A4O=()

【答案】D

【解析】當。在4。上，則O為4。的中點，力=0,。=/滿足26+10g=5,符合題意,

AB_LBC,則cosABAC紫=春；

當。不在AC上，取AB,AC的中點D,E,連接OD,OE,則OD±AB,OE±AC,

故選：D

7.（2023?湖南?方考真題）P是△ABC所在平面上一點，若可?屈=國?/=無?兩,則P是

△48。的（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

【答案】D

【解析】因為巨才?屈=麗?同，則屈-（PC-PA）=屈?/=0,所以，「6_14。，

同理可得P4_L,PC_LAB,故P是4ABC的垂心.

故選：D.

8.（2023-全國?高一專題練習）已知點O,尸在A4BC所在平面內(nèi)，滿。N+加+=6,|巨田=|三詞

=|m|,則點O,P依次是△入口。的（）

A.重心，外心B.內(nèi)心，外心C.重心，內(nèi)心D.垂心，外心

【答案】A

【解析】設(shè)AB中點為。，因為。4+OB+OC=0,

所以。2+屈+/=2赤+定=6,即一2團=文，C

因為赤，而有公共點O,

所以，。,。，。三點共線，即。在△ABC的中線CD,