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文檔簡介
2025年陜西省咸陽市三原南郊中學高三下學期學情調(diào)研考試(5月)數(shù)學試題注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.根據(jù)散點圖,對兩個具有非線性關(guān)系的相關(guān)變量x,y進行回歸分析,設u=lny,v=(x-4)2,利用最小二乘法,得到線性回歸方程為=0.5v+2,則變量y的最大值的估計值是()A.e B.e2 C.ln2 D.2ln22.已知三點A(1,0),B(0,),C(2,),則△ABC外接圓的圓心到原點的距離為()A. B.C. D.3.若雙曲線的一條漸近線與直線垂直,則該雙曲線的離心率為()A.2 B. C. D.4.設為坐標原點,是以為焦點的拋物線上任意一點,是線段上的點,且,則直線的斜率的最大值為()A. B. C. D.15.要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象()A.向右平移個單位 B.向右平移個單位C.向左平移個單位 D.向左平移個單位6.已知,則的取值范圍是()A.[0,1] B. C.[1,2] D.[0,2]7.已知數(shù)列,,,…,是首項為8,公比為得等比數(shù)列,則等于()A.64 B.32 C.2 D.48.已知等比數(shù)列的前項和為,若,且公比為2,則與的關(guān)系正確的是()A. B.C. D.9.已知雙曲線的一條漸近線與直線垂直,則雙曲線的離心率等于()A. B. C. D.10.設雙曲線(a>0,b>0)的右焦點為F,右頂點為A,過F作AF的垂線與雙曲線交于B,C兩點,過B,C分別作AC,AB的垂線交于點D.若D到直線BC的距離小于,則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是()A.B.C.D.11.已知函數(shù)的圖像的一條對稱軸為直線,且,則的最小值為()A. B.0 C. D.12.已知函數(shù),若方程恰有兩個不同實根,則正數(shù)m的取值范圍為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.甲、乙、丙、丁4名大學生參加兩個企業(yè)的實習,每個企業(yè)兩人,則“甲、乙兩人恰好在同一企業(yè)”的概率為_________.14.在等差數(shù)列()中,若,,則的值是______.15.(x+y)(2x-y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為________.16.已知橢圓:的左、右焦點分別為,,如圖是過且垂直于長軸的弦,則的內(nèi)切圓方程是________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在四棱錐中,底面為直角梯形,,,,,,,分別為,的中點.(1)求證:.(2)若,求二面角的余弦值.18.(12分)已知函數(shù),直線為曲線的切線(為自然對數(shù)的底數(shù)).(1)求實數(shù)的值;(2)用表示中的最小值,設函數(shù),若函數(shù)為增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.19.(12分)已知函數(shù).(1)當a=2時,求不等式的解集;(2)設函數(shù).當時,,求的取值范圍.20.(12分)某職稱晉級評定機構(gòu)對參加某次專業(yè)技術(shù)考試的100人的成績進行了統(tǒng)計,繪制了頻率分布直方圖(如圖所示),規(guī)定80分及以上者晉級成功,否則晉級失敗.晉級成功晉級失敗合計男16女50合計(1)求圖中的值;(2)根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表,并判斷能否有的把握認為“晉級成功”與性別有關(guān)?(3)將頻率視為概率,從本次考試的所有人員中,隨機抽取4人進行約談,記這4人中晉級失敗的人數(shù)為,求的分布列與數(shù)學期望.(參考公式:,其中)0.400.250.150.100.050.0250.7801.3232.0722.7063.8415.02421.(12分)正項數(shù)列的前n項和Sn滿足:(1)求數(shù)列的通項公式;(2)令,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,證明:對于任意的n∈N*,都有Tn<.22.(10分)如圖,在直角中,,通過以直線為軸順時針旋轉(zhuǎn)得到().點為斜邊上一點.點為線段上一點,且.(1)證明:平面;(2)當直線與平面所成的角取最大值時,求二面角的正弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.B【解析】
將u=lny,v=(x-4)2代入線性回歸方程=-0.5v+2,利用指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)可得最大估計值.【詳解】解:將u=lny,v=(x4)2代入線性回歸方程=0.5v+2得:,即,當時,取到最大值2,因為在上單調(diào)遞增,則取到最大值.故選:B.本題考查了非線性相關(guān)的二次擬合問題,考查復合型指數(shù)函數(shù)的最值,是基礎(chǔ)題,.2.B【解析】
選B.考點:圓心坐標3.B【解析】
由題中垂直關(guān)系,可得漸近線的方程,結(jié)合,構(gòu)造齊次關(guān)系即得解【詳解】雙曲線的一條漸近線與直線垂直.∴雙曲線的漸近線方程為.,得.則離心率.故選:B本題考查了雙曲線的漸近線和離心率,考查了學生綜合分析,概念理解,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.4.C【解析】試題分析:設,由題意,顯然時不符合題意,故,則,可得:,當且僅當時取等號,故選C.考點:1.拋物線的簡單幾何性質(zhì);2.均值不等式.【方法點晴】本題主要考查的是向量在解析幾何中的應用及拋物線標準方程方程,均值不等式的靈活運用,屬于中檔題.解題時一定要注意分析條件,根據(jù)條件,利用向量的運算可知,寫出直線的斜率,注意均值不等式的使用,特別是要分析等號是否成立,否則易出問題.5.D【解析】
直接根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移規(guī)則得出正確的結(jié)論即可;【詳解】解:函數(shù),要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象向左平移個單位.故選:D.本題考查三角函數(shù)圖象平移的應用問題,屬于基礎(chǔ)題.6.D【解析】
設,可得,構(gòu)造()22,結(jié)合,可得,根據(jù)向量減法的模長不等式可得解.【詳解】設,則,,∴()2?2||22=4,所以可得:,配方可得,所以,又則[0,2].故選:D.本題考查了向量的運算綜合,考查了學生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.7.A【解析】
根據(jù)題意依次計算得到答案.【詳解】根據(jù)題意知:,,故,,.故選:.本題考查了數(shù)列值的計算,意在考查學生的計算能力.8.C【解析】
在等比數(shù)列中,由即可表示之間的關(guān)系.【詳解】由題可知,等比數(shù)列中,且公比為2,故故選:C本題考查等比數(shù)列求和公式的應用,屬于基礎(chǔ)題.9.B【解析】由于直線的斜率k,所以一條漸近線的斜率為,即,所以,選B.10.A【解析】
由題意,根據(jù)雙曲線的對稱性知在軸上,設,則由得:,因為到直線的距離小于,所以,即,所以雙曲線漸近線斜率,故選A.11.D【解析】
運用輔助角公式,化簡函數(shù)的解析式,由對稱軸的方程,求得的值,得出函數(shù)的解析式,集合正弦函數(shù)的最值,即可求解,得到答案.【詳解】由題意,函數(shù)為輔助角,由于函數(shù)的對稱軸的方程為,且,即,解得,所以,又由,所以函數(shù)必須取得最大值和最小值,所以可設,,所以,當時,的最小值,故選D.本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),其中解答中利用三角恒等變換的公式,化簡函數(shù)的解析式,合理利用正弦函數(shù)的對稱性與最值是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于中檔試題.12.D【解析】
當時,函數(shù)周期為,畫出函數(shù)圖像,如圖所示,方程兩個不同實根,即函數(shù)和有圖像兩個交點,計算,,根據(jù)圖像得到答案.【詳解】當時,,故函數(shù)周期為,畫出函數(shù)圖像,如圖所示:方程,即,即函數(shù)和有兩個交點.,,故,,,,.根據(jù)圖像知:.故選:.本題考查了函數(shù)的零點問題,確定函數(shù)周期畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
求出所有可能,找出符合可能的情況,代入概率計算公式.【詳解】解:甲、乙、丙、丁4名大學生參加兩個企業(yè)的實習,每個企業(yè)兩人,共有種,甲乙在同一個公司有兩種可能,故概率為,故答案為.本題考查古典概型及其概率計算公式,屬于基礎(chǔ)題14.-15【解析】
是等差數(shù)列,則有,可得的值,再由可得,計算即得.【詳解】數(shù)列是等差數(shù)列,,又,,,故.故答案為:本題考查等差數(shù)列的性質(zhì),也可以由已知條件求出和公差,再計算.15.40【解析】
先求出的展開式的通項,再求出即得解.【詳解】設的展開式的通項為,令r=3,則,令r=2,則,所以展開式中含x3y3的項為.所以x3y3的系數(shù)為40.故答案為:40本題主要考查二項式定理求指定項的系數(shù),意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.16.【解析】
利用公式計算出,其中為的周長,為內(nèi)切圓半徑,再利用圓心到直線AB的距離等于半徑可得到圓心坐標.【詳解】由已知,,,,設內(nèi)切圓的圓心為,半徑為,則,故有,解得,由,或(舍),所以的內(nèi)切圓方程為.故答案為:.本題考查橢圓中三角形內(nèi)切圓的方程問題,涉及到橢圓焦點三角形、橢圓的定義等知識,考查學生的運算能力,是一道中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)見解析(2)【解析】
(1)由已知可證明平面,從而得證面面垂直,再由,得線面垂直,從而得,由直角三角形得結(jié)論;(2)以為軸建立空間直角坐標系,用空間向量法示二面角.【詳解】(1)證明:連接,,.,,平面.平面,平面平面.,為的中點,.平面平面,平面.平面,.為斜邊的中點,,(2),由(1)可知,為等腰直角三角形,則.以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系,則,,,,則,記平面的法向量為由得到,取,可得,則.易知平面的法向量為.記二面角的平面角為,且由圖可知為銳角,則,所以二面角的余弦值為.本題考查用面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直,從而得線線垂直,考查用空間向量法求二面角.在立體幾何中求異面直線成的角、直線與平面所成的角、二面角等空間角時,可以建立空間直角坐標系,用空間向量法求解空間角,可避免空間角的作證過程,通過計算求解.18.(1);(2).【解析】
試題分析:(1)先求導,然后利用導數(shù)等于求出切點的橫坐標,代入兩個曲線的方程,解方程組,可求得;(2)設與交點的橫坐標為,利用導數(shù)求得,從而,然后利用求得的取值范圍為.試題解析:(1)對求導得.設直線與曲線切于點,則,解得,所以的值為1.(2)記函數(shù),下面考察函數(shù)的符號,對函數(shù)求導得.當時,恒成立.當時,,從而.∴在上恒成立,故在上單調(diào)遞減.,∴,又曲線在上連續(xù)不間斷,所以由函數(shù)的零點存在性定理及其單調(diào)性知唯一的,使.∴;,,∴,從而,∴,由函數(shù)為增函數(shù),且曲線在上連續(xù)不斷知在,上恒成立.①當時,在上恒成立,即在上恒成立,記,則,當變化時,變化情況列表如下:
3
0
極小值
∴,故“在上恒成立”只需,即.②當時,,當時,在上恒成立,綜合①②知,當時,函數(shù)為增函數(shù).故實數(shù)的取值范圍是考點:函數(shù)導數(shù)與不等式.【方法點晴】函數(shù)導數(shù)問題中,和切線有關(guān)的題目非常多,我們只要把握住關(guān)鍵點:一個是切點,一個是斜率,切點即在原來函數(shù)圖象上,也在切線上;斜率就是導數(shù)的值.根據(jù)這兩點,列方程組,就能解決.本題第二問我們采用分層推進的策略,先求得的表達式,然后再求得的表達式,我們就可以利用導數(shù)這個工具來求的取值范圍了.19.(1);(2).【解析】試題分析:(1)當時;(2)由等價于,解之得.試題解析:(1)當時,.解不等式,得.因此,的解集為.(2)當時,,當時等號成立,所以當時,等價于.①當時,①等價于,無解.當時,①等價于,解得.所以的取值范圍是.考點:不等式選講.20.(1);(2)列聯(lián)表見解析,有超過的把握認為“晉級成功”與性別有關(guān);(3)分布列見解析,=3【解析】
(1)由頻率和為1,列出方程求的值;(2)由頻率分布直方圖求出晉級成功的頻率,計算晉級成功的人數(shù),填寫列聯(lián)表,計算觀測值,對照臨界值得出結(jié)論;(3)由頻率分布直方圖知晉級失敗的頻率,將頻率視為概率,知隨機變量服從二項分布,計算對應的概率值,寫出分布列,計算數(shù)學期望.【詳解】解:(1)由頻率分布直方圖各小長方形面積總和為1,可知,解得;(2)由頻率分布直方圖知,晉級成功的頻率為,所以晉級成功的人數(shù)為(人),填表如下:晉級成功晉級失敗合計男163450女94150合計2575100假設“晉級成功”與性別無關(guān),根據(jù)上表數(shù)據(jù)代入公式可得,所以有超過的把握認為“晉級成功”與性別有關(guān);(3)由頻率分布直方圖知晉級失敗的頻率為,將頻率視為概率,則從本次考試的所有人員中,隨機抽取1人進行約談,這人晉級失敗的概率為0.75,所以可視為服從二項分布,即
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