七年級數(shù)學(xué)上冊數(shù)學(xué) 2.6.2 有理數(shù)的乘法與除法-有理數(shù)的除法（五大題型）（解析版）

2.6.2有理數(shù)的乘法與除法——有理數(shù)的除法分層練習(xí)考察題型一求一個數(shù)的倒數(shù)、與倒數(shù)有關(guān)的概念辨析1．的倒數(shù)是．【詳解】解：化為假分?jǐn)?shù)為，故其倒數(shù)為：．故本題答案為：．2．若的相反數(shù)等于2，則的倒數(shù)是A． B． C． D．2【詳解】解：的相反數(shù)等于2，，的倒數(shù)是．故本題選：．3．的倒數(shù)的相反數(shù)為．【詳解】解：的倒數(shù)為：，故其相反數(shù)為：．故本題答案為：．4．下列說法中：①一定是負(fù)數(shù)；②倒數(shù)等于它本身的數(shù)是；③幾個有理數(shù)相乘，當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負(fù)；④幾個有理數(shù)相乘，當(dāng)積為負(fù)時，負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個．其中正確的個數(shù)有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【詳解】解：①不一定是負(fù)數(shù)，錯誤；②倒數(shù)等于它本身的數(shù)是，正確；③幾個有理數(shù)相乘，當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個時，不一定積為負(fù)，可能為0，錯誤；④幾個有理數(shù)相乘，當(dāng)積為負(fù)時，負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個，正確．故本題選：．5．下列說法正確的是A．有理數(shù)的倒數(shù)是 B．任何正數(shù)大于它的倒數(shù) C．小于1的數(shù)的倒數(shù)一定大于1 D．若非0兩數(shù)互為相反數(shù)，則這兩數(shù)的商為【詳解】解：、若有理數(shù)，則沒有倒數(shù)，故本選項不合題意；、正數(shù)0.1的倒數(shù)是10，，故本選項不合題意；、小于1的數(shù)的倒數(shù)一定大于1錯誤，因為0沒有倒數(shù)，故本選項不合題意；、若非0兩數(shù)互為相反數(shù)，則這兩數(shù)的商為，說法正確，故本選項符合題意．故本題選：．考察題型二除法相關(guān)的符號判斷1．如果兩個有理數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點分別在原點的兩側(cè)，則這兩個數(shù)相除所得的商是A．一定是負(fù)數(shù) B．一定是正數(shù) C．等于0 D．以上都不是【詳解】解：由于兩個有理數(shù)分布在原點兩側(cè)，故必為一正一負(fù)，所以兩個數(shù)相除所得的商是負(fù)數(shù)．故本題選：．2．兩個有理數(shù)的商是正數(shù)，那么這兩個數(shù)一定A．都是負(fù)數(shù) B．都是正數(shù) C．至少一個是正數(shù) D．兩數(shù)同號【詳解】解：兩個有理數(shù)的商是正數(shù)，那么這兩個數(shù)一定同號．故本題選：．3．在數(shù)軸上表示、兩數(shù)的點如圖所示，則下列判斷正確的是A． B． C． D．【詳解】解：，，，，，，，，不正確，正確．故本題選：．4．如圖，、兩點在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為、，下列式子成立的是A． B． C． D．【詳解】解：由數(shù)軸可知：，、，故不合題意；、，故不合題意；、，，，故符合題意；、，，，故不合題意．故本題選：．5．若，，且，則．【詳解】解：，，，，又，當(dāng)，時，；當(dāng)，時，；綜上，．故本題答案為：．考察題型三有理數(shù)的除法運算1．下列說法中，正確的是A．絕對值等于本身的數(shù)是正數(shù) B．倒數(shù)等于本身的數(shù)是1 C．0除以任何一個數(shù)，其商為0 D．0乘以任何一個數(shù)，其積為0【詳解】解：、絕對值等于本身的數(shù)是非負(fù)數(shù)，故原題說法錯誤；、倒數(shù)等于本身的數(shù)是，故原題說法錯誤；、0除以任何一個不為零數(shù)，其商為0，故原題說法錯誤；、0乘以任何一個數(shù)，其積為0，故原題說法正確．故本題選：．2．現(xiàn)有以下五個結(jié)論：①有理數(shù)包括所有正數(shù)、負(fù)數(shù)和0；②若兩個數(shù)互為相反數(shù)，則它們相除的商等于1；③被減數(shù)一定大于減數(shù)；④絕對值等于其本身的有理數(shù)是零；⑤幾個有理數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)個數(shù)為奇數(shù)則乘積為負(fù)數(shù)．其中正確的有A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【詳解】解：①有理數(shù)包括所有正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)和0，不是正數(shù)、負(fù)數(shù)和0，故①錯誤；②若兩個非0數(shù)互為相反數(shù)，則它們相除的商等于1，故②錯誤；③被減數(shù)不一定大于減數(shù)，如，故③錯誤；④絕對值等于其本身的有理數(shù)有正數(shù)和零，故④錯誤；⑤幾個非0有理數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)個數(shù)為奇數(shù)則乘積為負(fù)數(shù)，故⑤錯誤．故本題選：．3．如果兩個有理數(shù)的和除以它們的積，所得的商為零，那么，這兩個有理數(shù)A．互為相反數(shù)但不等于零 B．互為倒數(shù) C．有一個等于零 D．都等于零【詳解】解：兩個有理數(shù)的和除以它們的積，所得的商為零，這兩個有理數(shù)的和為0，且它們的積不等于0，這兩個有理數(shù)：互為相反數(shù)但不等于零．故本題選：．4．兩個不為零的有理數(shù)相除，如果交換被除數(shù)與除數(shù)的位置，它們的商不變，那么這兩個數(shù)A．一定相等 B．一定互為倒數(shù) C．一定互為相反數(shù) D．相等或互為相反數(shù)【詳解】解：如果交換被除數(shù)與除數(shù)的位置，它們的商不變，這兩個數(shù)一定相等或互為相反數(shù)．故本題選：．5．下列計算①；②；③；④．其中正確的個數(shù)A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【詳解】解：①，故原題計算錯誤；②，故原題計算錯誤；③，故原題計算正確；④，故原題計算正確；綜上，正確的計算有2個．故本題選：．6．下列各式中計算正確的有①；②；③；④．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【詳解】解：①原式，故①計算不正確；②原式，故②計算不正確；③原式，故③計算正確；④原式，故④計算不正確．故本題選：．7．計算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．【詳解】解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．8．計算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【詳解】解：（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式；（5）原式；（6）原式．9．計算，方方同學(xué)的計算過程如下，原式．請你判斷方方的計算過程是否正確，若不正確，請你寫出正確的計算過程．【詳解】解：方方的計算過程不正確，正確的計算過程是：原式．10．列式計算：（1）與的和除以，商是多少？（2）減去一個數(shù)的差等于除以的商，求這個數(shù)？【詳解】解：（1）；（2）設(shè)這個數(shù)是，由題意得：，，這個數(shù)是．11．《九章算術(shù)》之“粟米篇”中記載了中國古代的“粟米之法”：“粟率五十，糲米三十”（粟指帶殼的谷子，糲米指糙米），其意為：“50單位的粟，可換得30單位的糲米”問題：有3斗的粟斗升），若按照此“粟米之法”，則可以換得糲米為升．【詳解】解：根據(jù)題意得：（升）．故本題答案為：18．12．已知，，則的值等于．【詳解】解：，，，，當(dāng)，時，；當(dāng)，時，；當(dāng)，時，；當(dāng)，時，；綜上，的值等于8或．故本題答案為：8或．13．若，，且，異號，求的值．【詳解】解：，，，，解得：或，或，又，異號，，或，，當(dāng)，時，；當(dāng)，時，；綜上，的值為或．14．小明有5張寫著不同數(shù)字的卡片，請按要求抽出卡片，完成下列各問題：（1）從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字的和最小，如何抽??？最小值是多少？答：我抽取的2張卡片是、，和的最小值為．（2）從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字的差最大，如何抽??？最大值是多少？答：我抽取的2張卡片是、，差的最大值為．（3）從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字的乘積最大，如何抽?。孔畲笾凳嵌嗌?？答：我抽取的2張卡片是、，乘積的最大值為．（4）從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字相除的商最小，如何抽??？最小值是多少？答：我抽取的2張卡片是、，商的最小值為．【詳解】解：（1）從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字的和最小，應(yīng)該取和，，即和的最小值為，故本題答案為：；；；（2）從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字的差最大，應(yīng)該取和4，，即差的最大值是9，故本題答案為：；4；9；（3）從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字的乘積最大，應(yīng)該取和，，即乘積的最大值為15，故本題答案為：；；15；（4）從中取出2張卡片，使這2張卡片上數(shù)字相除的商最小，應(yīng)該取和3，．即商的最小值為，故本題答案為：；3；．15．?dāng)?shù)學(xué)活動課上，小明遇到這樣一個問題：一個數(shù)乘2后減去8，然后除以4，再減去這個數(shù)的，則結(jié)果為多少？他讓小組內(nèi)5成員分別取這個數(shù)為、3、、6、2，發(fā)現(xiàn)計算后的結(jié)果一樣．（1）請從上述5個數(shù)中任取一個數(shù)，計算出這個結(jié)果；（2）小明產(chǎn)生了這樣的猜想：無論這個數(shù)是幾，其計算結(jié)果都一樣，這個猜想對嗎？請說明理由．【詳解】解：（1）取時，；（2）對，理由如下：設(shè)這個數(shù)為，根據(jù)題意得：．16．有兩個整數(shù)，，且，把大于等于且小于等于的所有數(shù)記作，．例如，大于等于1且小于等于4的所有數(shù)記作，．若整數(shù)在，內(nèi)，整數(shù)在，內(nèi)，那么的一切值中屬于整數(shù)的個數(shù)為A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【詳解】解：在，內(nèi)，在，內(nèi)，，，，即，的一切值中屬于整數(shù)的有，，，，，共5個．故本題選：．考察題型四乘除法混合運算1．計算：（1）；（2）的結(jié)果是．【詳解】解：（1）原式；（2）原式．故本題答案為：；．2．閱讀下面解題過程并解答問題：計算：解：原式（第一步）（第二步）（第三步）（1）上面解題過程有兩處錯誤：第一處是第步，錯誤原因是；第二處是第步，錯誤原因是；（2）請寫出正確的結(jié)果．【詳解】解：（1）第一處是第二步，錯誤原因是沒有按同級運算從左至右運算；第二處是第三步，錯誤原因是符號弄錯；（2）原式．故本題答案為：（1）二，沒有按同級運算從左至右運算；二，符號弄錯；（2）．3．計算：（1）；（2）；（3）；（4）．【詳解】解：（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式．4．計算：（1）；（2）；（3）；（4）；【詳解】解：（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式．考察題型五簡便運算1．用簡便方法計算：．【詳解】解：．2．計算：．【詳解】解：原式．3．請你先認(rèn)真閱讀材料：計算解：原式的倒數(shù)是：，故原式，再根據(jù)你對所提供材料的理解，選擇合適的方法計算：．【詳解】解：原式的倒數(shù)是：，故原式．1．已知有理數(shù)，滿足，，，則的值為．【詳解】解：有理數(shù)，滿足，，或，，①當(dāng)，時，，，，整理得：，；②當(dāng)，時，，，，整理得：，此時不符合，舍去．故本題答案為：．2．1930年，德國漢堡大學(xué)的學(xué)生考拉茲，曾經(jīng)提出過這樣一個數(shù)學(xué)猜想：對于每一個正整數(shù)，如果它是奇數(shù)，則對它乘3再加1；如果它是偶數(shù)，則對它除以2．如此循環(huán)，最終都能夠得到1．這一猜想后來成為著名的“考拉茲猜想”，又稱“奇偶?xì)w一猜想”．雖然這個結(jié)論在數(shù)學(xué)上還沒有得到證明，但舉例驗證都是正確的，例如：取正整數(shù)5，最少經(jīng)過下面5步運算可得1，即：如果正整數(shù)最少經(jīng)過6步運算可得到1，則的值為．【詳解】解：如圖，利用倒推法可得：由第6次計算后得1，可得第5次計算后的得數(shù)一定是2；由第5次計算后得2，可得第4次計算后的得數(shù)一定是4；由第4次計算后得4，可得第3次計算后的得數(shù)是1或8，其中1不合題意，因此第3次計算后一定得8；由第3次計算后得8，可得第2次計算后的得數(shù)一定是16；由第2次計算后得16，可得第1次計算后的得數(shù)是5或32；①由第1次計算后得5，可得原數(shù)為10；②由第1次計算后32，可得原數(shù)為64．故本題答案為：10或64．3．小穎認(rèn)為“對于任意的一個三位數(shù)，把三個數(shù)位上的數(shù)字相加，如果和能被3整除，那么這個三位數(shù)就能被3整除”．她想探尋其中的道理，選擇了一個特殊的三位數(shù)123進(jìn)行了如下嘗試：因為能被3整除，所以是整數(shù)，所以123能被3整除．（1）在373，456，511，728中，能被3整除的數(shù)是．（2）小穎的觀點正確嗎？請說明理由．（3）滿足什么條件的三位數(shù)一定能被9整除？請說明理由．【詳解】解：（1）不是3的倍數(shù)，不能被3整除，是3的倍數(shù)，能被3整除，不是3的倍數(shù)，不能被3整除，故本題答案為：456；（2）正確，理由如下：設(shè)這個三位數(shù)的百位數(shù)字為，十位數(shù)字為，個位數(shù)字為，則，當(dāng)能被3整除時，該三位數(shù)就能被3整除；（3）當(dāng)三位數(shù)的各個位數(shù)上的數(shù)字的和能被9整除時，這個三位數(shù)就能被9整除，理由如下：設(shè)這個三位數(shù)的百位數(shù)字為，十位數(shù)字為，個位數(shù)字為，則，當(dāng)能被9整除時，該三位數(shù)就能被9整除．4．我們知道，正整數(shù)按照能否被2整除可以分成兩類：正奇數(shù)和正偶數(shù)，小浩受此啟發(fā)，按照一個正整數(shù)被3除的余數(shù)把正整數(shù)分成了三類：如果一個正整數(shù)被3除余數(shù)為1，則這個正整數(shù)屬于類，例如1，4，7等；如果一個正整數(shù)被3除余數(shù)為2，則這個正整數(shù)屬于類，例如2，5，8等；如果一個正整數(shù)被3整除，則這個正整數(shù)屬于類，例如3，6，9等．（1）2023屬于類（填，或）；（2）①從類數(shù)中任取兩個數(shù)，則它們的和屬于類（填，或）；②從類數(shù)中任意取出15個數(shù)，從類數(shù)中任意取出16個數(shù)，從類數(shù)中任意取出17個數(shù)，把它們都加起來，則最后的結(jié)果屬于類（填，或）；（3）從類數(shù)中任意取出個數(shù)，從類數(shù)中任意取出個數(shù)，把它們都加起來，若最后的結(jié)果屬于類，則下列關(guān)于，的敘述中正確的是（填序號）．①屬于類；②屬于類；③屬于類，屬于類；④，屬于同一