七年級數(shù)學(xué)上冊-專題強化：平行的判定和性質(zhì)題型歸納 解析版

專題強化：平行的判定和性質(zhì)題型歸納【題型歸納】題型一：平行公理及其推論1．（2024下·全國·七年級專題練習(xí)）平面內(nèi)有三條直線，下列說法：①若，，則；②若，，則，其中正確的是（）A．只有① B．只有②C．①②都正確 D．①②都不正確【答案】A【分析】此題主要考查了平行公理和垂線，解題關(guān)鍵是注意同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線平行．根據(jù)如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行可得①正確；根據(jù)應(yīng)為同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線平行可得②錯誤．【詳解】解：①若，，則，該說法正確；②若，，則，說法錯誤，應(yīng)為同一平面內(nèi)，若，，則．故選：A．2．（2023下·海南省直轄縣級單位·七年級?？计谥校┮阎谕黄矫鎯?nèi)三條直線a、b、c，若，，則a與b的位置關(guān)系是（

）A． B．或 C． D．無法確定【答案】C【分析】根據(jù)平行公理的推論即可得出．【詳解】解：∵，，∴．故選C．【點睛】本題考查平行公理的推論．掌握平行于同一直線的兩條直線平行是解題關(guān)鍵．3．（2023下·山東泰安·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知直線，，，且比大，那么的大小是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】過點作的平行線，過點作的平行線，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得，，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補求出，然后計算出，結(jié)合比大，即可得解．【詳解】解：如圖，過點作的平行線，過點作的平行線，即，，∴，，∵，，，∴，∴，∴，∴，∵比大，即，∴，∴，故選：D．

【點睛】本題考查平行公理的推論，平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．掌握平行線的性質(zhì)并作輔助線是解題的關(guān)鍵．題型二：平行線的判定4．（2024上·福建福州·七年級校聯(lián)考期末）如圖，點E在的延長線上，下列條件中，能判斷的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了平行線的判定．熟練掌握平行線的判定是解題的關(guān)鍵．分別對各選項進行判斷，然后作答即可．【詳解】解：由，可得，不能判斷，故A不符合要求；由，可得，故B符合要求；由，可得，不能判斷，故C不符合要求；由，可得，不能判斷，故D不符合要求；故選：B．5．（2023下·七年級課時練習(xí)）如圖，下列能判定的條件有（

）①；②；③；④；⑤；⑥．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題主要考查了平行線的判定，根據(jù)題目中的條件，可以寫出各個小題中的條件可以得到哪兩條線平行，從而可以解答本題．【詳解】解：①∵，∴，故①符合題意；②∵，∴，故②不符合題意；③∵，∴，故③符合題意；④∵，∴，故④符合題意；⑤，不能證明，故⑤符合題意；⑥∵．∴，故⑥不符合題意；故選：C．6．（2023下·廣東梅州·七年級?？计谥校┤鐖D，在中，點D，E，F(xiàn)分別在邊，，上，則下列條件中，能判定的是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查的是平行線的判定，由結(jié)合內(nèi)錯角相等，兩直線平行可得，由結(jié)合同旁內(nèi)角互補，兩直線平行可得，由而且兩個角不是內(nèi)錯角，不是同位角，不能判定兩直線平行，由同理可得，熟記平行線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，故A不符合題意；∵，∴，故B不符合題意；由，不能判定，故C不符合題意；∵，∴，故D符合題意；故選：D．題型三；平行線的性質(zhì)定理7．（2024上·海南海口·七年級統(tǒng)考期末）如圖，于點D，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟知直角三角形兩銳角互余，兩直線平行，內(nèi)錯角相等是解題的關(guān)鍵．根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出的度數(shù)，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等得出的度數(shù)，再次根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出的度數(shù)即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故選：D．8．（2023下·遼寧沈陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，點是邊上任意一點，過點作交于點，則的度數(shù)是(

)

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由等腰三角形的性質(zhì)得出，由平行線的性質(zhì)得出，再由三角形的外角性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：，，，，，．故選：B．9．（2023下·重慶江津·七年級?？计谥校┤鐖D，已知，點C在點D的右側(cè)，，平分，平分，，所在的直線交于點E，點E在與兩條平行線之間．點B在點A的左側(cè)，若，求的度數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過點作，可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，根據(jù)角平分線定義求出，進而可求的度數(shù)．【詳解】解：如圖，過點作，∵，∴，，平分平分，，，故選：C．題型四：平行線性質(zhì)的應(yīng)用10．（2024下·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，直線，含有角的三角板的直角頂點O在直線m上，點A在直線n上，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，過B作，推出，由平行線的性質(zhì)得到，，求出，即可得到．【詳解】解：過B作，∵，∴，∴，，∵，∴，∴．故選：B．11．（2023下·山東青島·七年級統(tǒng)考期中）按如圖方式折疊一張對邊互相平行的紙條，是折痕，若，則以下結(jié)論正確的是（

）①；②；③；④

A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)及翻折變換的性質(zhì)對各結(jié)論進行逐一分析，即可解答．【詳解】解：，，，①結(jié)論正確；由折疊可知，，，②結(jié)論錯誤；，，③結(jié)論正確；，且，，④結(jié)論正確；所以，以上結(jié)論正確的是①③④，故選：C．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是平行線的性質(zhì)．12．（2024上·四川巴中·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，為上一點，且垂足為，，平分，且，則下列結(jié)論：①；②平分；③；④；其中正確的有（

）A．①② B．②③④ C．①②③④ D．①③④【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，垂線的定義，熟記“一般地，從一個角的頂點出發(fā)，在角的內(nèi)部把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的平分線”，“當兩直線所組成的角為直角時，稱它們互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線”的相關(guān)概念，利用表示各個角度．根據(jù)角平分線的性質(zhì)，角平分線和垂線的定義逐個分析計算即可．【詳解】解：，，，，平分，，故①正確；，，，即平分，故②正確；，，，，，，，故③正確；，，故④正確；綜上所述，正確的有①②③④，故選：C．題型五：平行線之間的距離問題13．（2024下·新疆烏魯木齊·七年級烏市八中?？计谀┤鐖D，，的角平分線與的角平分線AP相交于點P，作于點E，若兩平行線與間的距離為4，則（

）

A．4 B．2 C．8 D．6【答案】B【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，過點P作于M，交于N，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)即可得出，，即可得出答案．【詳解】解:過點P作于M，交于N，如圖，

∴，∵的角平分線與的角平分線相交于點P，于點E，∴，，∴，∵，，∴，∴．故選：B．14．（2023下·廣西桂林·七年級校聯(lián)考期末）如圖，，，點在上，，的面積為6，則的面積為（

）

A．6 B．12 C．16 D．20【答案】C【分析】的邊上的高和的邊上的高長度相同，設(shè)高為，可求得和之間的數(shù)量關(guān)系．【詳解】∵，，∴．∵，∴的邊上的高和的邊上的高長度相同．設(shè)的邊上的高和的邊上的高為．根據(jù)題意，得，．∴．故選：C．【點睛】本題主要考查兩條平行線之間的距離（如果兩條直線平行，那么其中一條直線上每個點到另一條直線的距離都相等，這個距離，叫做這兩條平行線之間的距離），牢記兩條平行線之間的距離的定義是解題的關(guān)鍵．15．（2022下·河北石家莊·七年級?？计谀┤鐖D，點、為平面內(nèi)兩個定點，定直線，是直線上一動點，對下列各值：①的周長；②的面積；③點到的距離；④的大小.其中會隨點的移動而變化的是（

）

A．②③ B．②④ C．①④ D．①③【答案】C【分析】根據(jù)平行線間的距離不變即可判斷③；根據(jù)三角形的周長和點M的運動變化可判斷①④；根據(jù)同底等高的三角形的面積相等可判斷②；進而可得答案．【詳解】解：∵直線，∴點M到直線的距離不會隨點M的移動而變化，故③正確；∵，的長隨點M的移動而變化，∴的周長會隨點M的移動而變化，的大小會隨點M的移動而變化，故①④錯誤；∵點M到直線的距離不變，的長度不變，∴的面積不會隨點M的移動而變化，故②正確；綜上，不會隨點M的移動而變化的是①④．故選：C．【點睛】本題主要考查了平行線間的距離和同底等高的三角形的面積相等等知識，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握平行線間的距離的概念是關(guān)鍵．題型六：平行線的判定和性質(zhì)的綜合問題16．（2024下·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，已知點E、F在直線上，點G在線段上，與交于點H，．(1)請說明：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，平角的定義∶（1）根據(jù)同位角相等兩直線平行，可證，進而利用平行線的性質(zhì)和判定證明；（2）根據(jù)對頂角相等可求，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可求，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)平角的定義可求的度數(shù)．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，又∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴．17．（2024上·重慶沙坪壩·七年級重慶南開中學(xué)校考期末）如圖，平分，，連接，使，且．

(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】此題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行得出，進而利用同旁內(nèi)角互補，兩直線平行得出，進而解答即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，進而利用三角形的內(nèi)角和定理解答即可．【詳解】（1）證明：平分，，，，，，，，，，；（2）解：，，，，，，平分，．18．（2024上·湖南長沙·七年級?？计谀┤鐖D1，已知，，點F在上，射線交于點G，點E為射線上一點．(1)當點E在線段上時，若，，則_________；(2)如圖2，當點E在延長線上時，此時與交于點H，則、、之間滿足怎樣的關(guān)系，請說明你的結(jié)論：(3)如圖3，平分，交于點K，交于點I，且，，，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)，理由見解析(3)【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯角計算求解．（1）過點E作，則，即可得到，，然后解題即可；（2）過點E作，則，即可得到，，然后解題即可；（3）設(shè)，則，，則，，根據(jù)列方程求出的值，即可得出的度數(shù)．【詳解】（1）如圖，過點E作，∵，∴，∴，，∴，故答案為：．（2）解：，理由為：如圖，過點E作，∵，∴，∴，，∴，（3）∵，∴設(shè)，則，，∵，，∴由（2）結(jié)論知，，，∵平分，∴，即，解得：，∴，在中，．【專題強化】一、單選題19．（2024下·全國·七年級專題練習(xí)）下列說法錯誤的個數(shù)是（）①經(jīng)過一點有且只有一條直線與已知直線平行；②垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；③直線外一點到這條直線的垂線段，叫做這個點到直線的距離；④同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題考查了平行線、點到直線的距離等知識，注意平行公理是在同一個平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行公理、點到直線的距離，對選項逐一進行分析，即可得出答案．【詳解】解：①經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故該說法錯誤；②在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行，故該說法錯誤；③直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做這個點到直線的距離，故該說法錯誤；④同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線，該說法正確．綜上所述，說法錯誤的是①②③，合計3個．故選：C．20．（2024下·江蘇·七年級周測）如圖，在下列條件中，能判定的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了平行線的判定．解答此類要判定兩直線平行的題，可圍繞截線找同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角．根據(jù)各選項中各角的關(guān)系及利用平行線的判定定理，分別分析判斷、是否平行即可．【詳解】解：A、，（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），故A正確，符合題意；B、根據(jù)只能判定，故B錯誤，不符合題意；C、根據(jù)只能判定，故C錯誤，不符合題意；D、根據(jù)只能判定，故D錯誤，不符合題意；故選：A．21．（2024下·七年級課時練習(xí)）下列命題；①內(nèi)錯角相等；②兩個銳角的和是鈍角；③，，是同一平面內(nèi)的三條直線，若，，則；④，，是同一平面內(nèi)的三條直線，若，，則；其中真命題的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題考查了命題與定理的知識．利用平行線的性質(zhì)及判定，即可判斷①③④，根據(jù)銳角和鈍角的特點即可判斷②，分別判斷后確定正確的選項，即可解題．【詳解】解：①兩直線平行，內(nèi)錯角相等，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；②兩個銳角的和不一定是鈍角，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；③，，是同一平面內(nèi)的三條直線，若，，則；正確，是真命題，符合題意；④，，是同一平面內(nèi)的三條直線，若，，則，正確，是真命題，符合題意；綜上所述，真命題有2個，故選：B．22．（2024下·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，將長方形紙片沿折疊，得到，與交于點E．若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查折疊性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，掌握折疊性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．根據(jù)折疊性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到，再利用三角形的內(nèi)角和是求解即可．【詳解】解：由題意可知：，，∴，由折疊的性質(zhì)可知：，∴．故選：B．23．（2024下·全國·七年級專題練習(xí)）抖空竹是我國的傳統(tǒng)體育，也是國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一、明代《帝京景物略》一書中就有空竹玩法和制作方法的記述，明定陵亦有出土的文物為證，可見抖空竹在民間流行的歷史至少在600年以上．如圖，通過觀察抖空竹發(fā)現(xiàn)，可以將某一時刻的情形抽象成數(shù)學(xué)問題：，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，延長交于點，先利用平行線的性質(zhì)可得，然后利用三角形的外角性質(zhì)進行計算，即可解答．根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：延長交于點，∵，∴，∵是的一個外角，∴，故選：A．24．（2024上·河南鶴壁·七年級統(tǒng)考期末）小方、小輝、小明、小杰一起研究一道數(shù)學(xué)題．如圖所示，已知，，是邊上一點（不與，重合）．小方說：“如果還知道，則能得到”；小輝說：“把小方的已知和結(jié)論倒過來，即由，可得到”；小明說：“一定大于”；小杰說：“如果連接，則一定平行于”．他們四人中，有幾個人的說法是正確的？（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，準確分析判斷是解題的關(guān)鍵．由，，知，得到，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定即可得出答案．【詳解】已知，，∴，∴，小方：若，∴，∴，∴，故小方的說法是正確的；小輝：若，∴，∴，∵，∴，故小輝的說法是正確的；小明：不一定大于，故小明的說法是不正確的；小杰：如果連接，則不一定平行于，故小杰的說法是不正確的；綜上所述，正確的說法有2個．故選B．25．（2024下·全國·七年級專題練習(xí)）如圖所示，，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)．假設(shè)與的交點為，由平行的性質(zhì)可求出，再根據(jù)三角形的一個外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角之和，即可求解．【詳解】解：假設(shè)與的交點為，，；，．故選:C．26．（2024上·四川眉山·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，則下列結(jié)論：①；②平分；③；④．其中正確的結(jié)論個數(shù)是（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、垂線的定義、角平分線的定義，由平行線的性質(zhì)結(jié)合可得，即可判斷①；由垂線的定義可得，從而得出，，結(jié)合，即可判斷③；由平行線的性質(zhì)可得，從而得出，即可判斷②；由已知條件無法證出，即可得出答案，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，，故①正確，符合題意；，，，，，，故③正確，符合題意；，，，平分，故②正確，符合題意；由已知條件無法證出，故④錯誤，不符合題意；綜上所述，正確的有①②③，共個，故選：C．27．（2024上·四川宜賓·七年級統(tǒng)考期末）如圖，是的角平分線，，是的角平分線，有下列四個結(jié)論：①；②；③；④．其中，正確的個數(shù)為（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】此題考查了角平分線的定義，平行線的判定及性質(zhì)，平行線間的距離處處相等等相關(guān)內(nèi)容，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．利用，平分，平分，可以判斷出①②正確；再證明，再利用，可判斷出③正確；根據(jù)，推出與是等底等高的三角形，最后利用等式性質(zhì)可得到④正確．【詳解】解：∵，∴，，∵平分，平分，∴，，∴，，∴，故①②正確；∵，∴，∵，，∴，故③正確；∵，∴與是等底等高的三角形，∴，∴，故④正確，∴①②③④正確．故選：D．28．（2024·全國·七年級競賽）如圖，直線，交于點，連接，則、與之間的數(shù)量關(guān)系是（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)；熟練掌握平行于同一直線的兩直線互相平行、兩直線平行，內(nèi)錯角相等、三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)可得，；結(jié)合題意可得；根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得，即可求解．【詳解】解：過點作，延長交于點，則，如圖：∵，，∴，，∵，∴，在中，，即，∴．故選：C．二、填空題29．（2024上·湖南長沙·七年級?？计谀┤鐖D，在下列給出的條件中，不可以判定的是（填序號）①；②；③；④．【答案】③【分析】本題主要考查了平行線的判定，熟記平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】①∵，∴（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），不符合題意；②∵，∴（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），不符合題意；③∵，∴（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行），符合題意；④∵，∴（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行），不符合題意；故答案為：③．30．（2024上·山西臨汾·七年級統(tǒng)考期末）如右圖，已知條件：①；②；③；④；其中能夠判定直線的是．（只填序號）【答案】①②③④【分析】本題考查了平行線的判定和平行線有關(guān)的輔助線，根據(jù)各選項逐項判定即可．【詳解】解：若，根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行可得，故①符合題意；若，根據(jù)同旁內(nèi)角互補兩直線平行可得，故②符合題意；若，∵∴，根據(jù)同位角相等兩直線平行可得，故③符合題意；若，過點C作直線b，則，由已知，，∴，∴直線a，∴，故④符合題意；故答案為：①②③④31．（2024下·全國·七年級假期作業(yè)）如圖，有下列說法：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則．其中說法正確的有個．【答案】1【解析】略32．（2024下·全國·七年級假期作業(yè)）如圖，E是BA延長線上一點，有下列條件：①；②；③且；④．其中能判定的是（填序號）．【答案】③④【詳解】解:①中，因為，所以（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），不符合題意；②中，因為，所以（同位角相等，兩直線平行），不符合題意；③中，因為且，所以，所以（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），符合題意；④中，因為，所以（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行），符合題意，33．（2024上·河南新鄉(xiāng)·七年級統(tǒng)考期末）已知直線，為兩直線間一定點，，若點為平面內(nèi)一動點，且滿足，連接，，則的平分線與的平分線所在直線所夾的銳角為．【答案】或【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)、角平線的定義，根據(jù)題意可分兩種情況進行討論，一種是點F在下方，一種是點F在上方，先作平行線，設(shè)出來角度，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等以及角平分線的定義可得到結(jié)果，正確作出輔助線，熟練掌握平行線的性質(zhì)，理解角平分線的定義是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：當點F在下方時，過點F作，過點E作，如圖1所示：設(shè)，∵，∴，∵，，∴，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴；②當點F在上方時，過點E作，如圖2所示：設(shè)，∵，，∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，綜上所示：的平分線與的平分線所在直線所夾的銳角為或，故答案為：14°或37°．34．（2024上·福建福州·七年級校考期末）如圖，，點是邊上一點，連接交的延長線于點．點是邊上一點．使得，作的角平分線交于點，若，則的度數(shù)為．

【答案】/35度【分析】本題考查的是平行線的性質(zhì)，涉及到角平分線、外角定理，本題關(guān)鍵是掌握有關(guān)定理、定義，題目難度較大．，，則，則，在中，，故，即可等量代換求解．【詳解】解：，，，的角平分線為，，，，而，，，，，，，，．故答案為：35．（2024上·重慶沙坪壩·七年級重慶南開中學(xué)?？计谀┤鐖D①，，分別在上，且．如圖②，將繞點以的速度逆時針轉(zhuǎn)動，將繞點以的速度逆時針轉(zhuǎn)動，若它們同時開始轉(zhuǎn)動，設(shè)轉(zhuǎn)動時間為秒，當旋轉(zhuǎn)至所在射線后，二者同時停止轉(zhuǎn)動，則在旋轉(zhuǎn)過程中，當與互相平行或互相垂直時，的值為．【答案】2或6.5【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用、平行線的性質(zhì)等知識，分與互相平行及與互相垂直兩種情況，找出關(guān)于的一元一次方程是解題的關(guān)鍵．利用“旋轉(zhuǎn)時間的度數(shù)射線的旋轉(zhuǎn)速度”，可求出轉(zhuǎn)至所在射線所需時間，當運動時間為秒時，，，當與互相平行時，利用“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”，可列出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出的值；當與互相垂直時，由，可列出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出的值．綜上即可得出答案．【詳解】解：（秒），當運動時間為秒時，，，當與互相平行時，，即，解得；當與互相垂直時，，即，解得．∴當與互相平行或垂直時，的值為2或6.5．故答案為：2或6.5．三、解答題36．（2024下·黑龍江綏化·七年級校考開學(xué)考試）如圖，已知．

(1)求證：；(2)若平分，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，正確識別“三線八角”中的同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角是解題的關(guān)鍵．（1）由證得，得到，結(jié)合可得，由此可證得；（2）根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補求出，由平分求出，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，得出．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴．37．（2024下·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，已知：中，D、E、F、G分別在、和上，連接、和，，．(1)判斷與的位置關(guān)系，并證明；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)，理由見詳解(2)【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．（1）先證明，可得，等量代換后可得，繼而得到；（2）由平行線同旁內(nèi)角互補，可得，根據(jù)平行線內(nèi)錯角相等可得，依據(jù)，可計算出．【詳解】（1）解：，理由如下：∵，∴，∴，又∵．∴，∴．（2）由（1）可知，，．∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴．38．（2024下·江蘇·七年級周測）如圖，已知直線，、和、分別交于點、、、，點在直線或上且不與點、、、重合．記，，．

(1)若點在圖（）位置時，求證：；(2)若點在圖（）位置時，請直接寫出、、之間的關(guān)系；(3)若點在圖（）位置時，寫出、、之間的關(guān)系并給予證明；(4)若點在、兩點外側(cè)運動時，請直接寫出、、之間的關(guān)系．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)當在點上方時，，當在點下方時，．【分析】（）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，結(jié)合圖形的位置，可以得到、、之間的關(guān)系；（）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，結(jié)合圖形的位置，可以得到、、之間的關(guān)系；（）根據(jù)的位置，結(jié)合兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，可以得到、、之間的關(guān)系；（）根據(jù)圖形，可以確定分為當P在點上方，當在點下方兩種情況，結(jié)合前面的證明，可以確定（）的答案；本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)和正確添加輔助線．【詳解】（1）證明：如圖，

過作，

∵，∴，∴，，∵，∴；（2），理由：如圖，

過作，

∵，∴，∴，，∵，∴；（3），如圖，

過作，∵，∴，同（）可證得：，∵，，∴，即；（4）當在上方時，不妨將點設(shè)為，如圖，

過作，

∵，∴，同（）可證：，∵，，∴，即；當在下方時，不妨將點設(shè)為，如圖，過作，∵，∴，解法同上，，綜上可知：當在點上方時，，當在點下方時，．39．（2024上·河南南陽·七年級統(tǒng)考期末）【課題學(xué)習(xí)】平行線的“等角轉(zhuǎn)化”．如圖，已知點是外一點，連接，求的度數(shù)．解：過點作，，，又．．【問題解決】（1）閱讀并補全上述推理過程．【解題反思】從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，將，，“湊”在一起，得出角之間的關(guān)系，使問題得以解決．【方法運用】（2）如圖所示，已知，、交于點，，在圖的情況下求的度數(shù)．（3）如圖，若，點在，外部，請直接寫出，，之間的關(guān)系．【答案】（1）；；；（2）；（3），理由見解析【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定：（1）過點作，從而利用平行線的性質(zhì)可得，，再根據(jù)平角定義可得，然后利用等量代換可得，即可解答；（2）過點作，從而利用平行線的性質(zhì)可得，再利用平行于同一條直線的兩條直