2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)章末綜合檢測(cè)三函數(shù)的概念與性質(zhì)新人教A版必修第一冊(cè)

PAGE1-章末綜合檢測(cè)（三）函數(shù)的概念與性質(zhì)A卷——學(xué)業(yè)水平考試達(dá)標(biāo)練(時(shí)間：60分鐘滿分：100分)一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x－1)＋eq\r(x)的定義域?yàn)?)A．[0，＋∞) B．(1，＋∞)C．[0,1)∪(1，＋∞) D．[0,1)解析：選C要使函數(shù)有意義，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,x－1≠0，))得x≥0且x≠1.所以所求函數(shù)的定義域是[0,1)∪(1，＋∞)．2．下列函數(shù)是偶函數(shù)的為()A．f(x)＝|x－3| B．f(x)＝x2＋xC．f(x)＝x2－x D．f(x)＝eq\f(x3,x)解析：選DA、B、C選項(xiàng)中的定義域均為R，但f(－x)≠f(x)，所以都不是偶函數(shù)，只有選項(xiàng)D中f(－x)＝f(x)且定義域{x|x≠0}關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．3．設(shè)A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤2}，下列圖形表示集合A到集合B的函數(shù)的圖象的是()解析：選DA和B中y的取值范圍不是[1,2]，不合題意，故A和B都不成立；C中x的取值范圍不是[0,2]，y的取值范圍不是[1,2]，不合題意，故C不成立；D中，0≤x≤2,1≤y≤2，且對(duì)于定義域中的每一個(gè)x值，都有唯一的y值與之對(duì)應(yīng)，符合題意．4．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x2，x≤1，,x2＋x－2，x>1，))則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,f2)))的值為()A．－1 B．eq\f(3,4)C．eq\f(15,16) D．4解析：選C因?yàn)閒(2)＝22＋2－2＝4，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,f2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2＝eq\f(15,16).5．若函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，且f(m)<f(n)，則m與n的關(guān)系為()A．m>n B．m<nC．m≥n D．m≤n解析：選B因?yàn)閒(x)在R上單調(diào)遞增，且f(m)<f(n)，所以m<n.6．設(shè)函數(shù)f(x)＝2x－1(x<0)，則f(x)()A．有最大值 B．有最小值C．是增函數(shù) D．是減函數(shù)解析：選C畫出函數(shù)f(x)＝2x－1(x<0)的圖象，如圖中實(shí)線部分所示．由圖象可知，函數(shù)f(x)＝2x－1(x<0)是增函數(shù)，無(wú)最大值及最小值．7．已知函數(shù)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝x2＋eq\f(1,x2)＋3，則f(3)＝()A．8 B．9C．10 D．11解析：選C∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝x2＋eq\f(1,x2)＋3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))2＋1，∴f(x)＝x2＋1(x≤－2或x≥2)，∴f(3)＝32＋1＝10.故選C.8．函數(shù)f(x)定義在區(qū)間[－2,3]上，則函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線x＝a的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有()A．1個(gè) B．2個(gè)C．無(wú)數(shù)個(gè) D．至多一個(gè)解析：選D當(dāng)a∈[－2,3]時(shí)，由函數(shù)定義知，y＝f(x)的圖象與直線x＝a只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)a?[－2,3]時(shí)，y＝f(x)的圖象與直線x＝a沒(méi)有交點(diǎn)．所以直線x＝a與函數(shù)y＝f(x)的圖象最多只有一個(gè)交點(diǎn)．二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上)9．若函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k>0)在[2,4]上的最小值為5，則k的值為_(kāi)_________．解析：因?yàn)閗>0，所以函數(shù)y＝eq\f(k,x)在[2,4]上是減函數(shù)．所以當(dāng)x＝4時(shí)，ymin＝eq\f(k,4).由題意知eq\f(k,4)＝5，解得k＝20.答案：2010．函數(shù)y＝(m－1)x為冪函數(shù)，則該函數(shù)為_(kāi)_____．(填序號(hào))①奇函數(shù)；②偶函數(shù)；③增函數(shù)；④減函數(shù)．解析：由y＝(m－1)x為冪函數(shù)，得m－1＝1，即m＝2，則該函數(shù)為y＝x2，故該函數(shù)為偶函數(shù)，在(－∞，0)上是減函數(shù)，在(0，＋∞)上是增函數(shù)．答案：②11．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－1，x≤0，,\r(x)，x>0，))若f(x0)>1，則x0的取值范圍是________．解析：當(dāng)x0≤0時(shí)，由－x0－1>1，得x0<－2，所以x0<－2；當(dāng)x0>0時(shí)，由eq\r(x0)>1，得x0>1.所以x0的取值范圍為(－∞，－2)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－2)∪(1，＋∞)12．已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f(x)＝x2＋mx，若f(2)＝－3，則m的值為_(kāi)_______．解析：因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(－2)＝－f(2)＝3，所以(－2)2－2m＝3，解得m＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)三、解答題(本大題共4小題，共40分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)13．(8分)求函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，0<x<1，,x，1≤x≤2))的最值．解：函數(shù)f(x)的圖象如圖，由圖象可知f(x)的最小值為f(1)＝1，無(wú)最大值．14．(10分)判斷函數(shù)f(x)＝eq\f(ax,x2－1)(a≠0)在區(qū)間(－1,1)上的單調(diào)性．解：設(shè)?x1，x2∈(－1,1)，且x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝eq\f(ax1,x\o\al(2,1)－1)－eq\f(ax2,x\o\al(2,2)－1)＝eq\f(ax1x2＋1x2－x1,x\o\al(2,1)－1x\o\al(2,2)－1).∵xeq\o\al(2,1)－1<0，xeq\o\al(2,2)－1<0，x1x2＋1>0，x2－x1>0，∴eq\f(x1x2＋1x2－x1,x\o\al(2,1)－1x\o\al(2,2)－1)>0.∴當(dāng)a>0時(shí)，f(x1)－f(x2)>0，函數(shù)y＝f(x)在(－1,1)上是減函數(shù)；當(dāng)a<0時(shí)，f(x1)－f(x2)<0，函數(shù)y＝f(x)在(－1,1)上是增函數(shù)．15．(10分)已知函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2－2x＋3.(1)試求f(x)在R上的解析式；(2)畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象寫出它的單調(diào)區(qū)間．解：(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以f(x)為奇函數(shù)，則f(0)＝0.設(shè)x<0，則－x>0，因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2－2x＋3.所以當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3.于是有f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x＋3，x>0，,0，x＝0，,－x2－2x－3，x<0.))(2)先畫出函數(shù)在y軸右側(cè)的圖象，再根據(jù)對(duì)稱性畫出y軸左側(cè)的圖象，如圖．由圖象可知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，－1]，[1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(－1,0)，(0,1)．16．(12分)如圖所示，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD上有一點(diǎn)P，沿著折線BCDA由B點(diǎn)(起點(diǎn))向A點(diǎn)(終點(diǎn))移動(dòng)．設(shè)P點(diǎn)移動(dòng)的路程為x，△ABP的面積為y＝f(x)．(1)求△ABP的面積與P移動(dòng)的路程的函數(shù)關(guān)系式；(2)作出函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象求f(x)的值域．解：(1)函數(shù)的定義域?yàn)?0,12)，當(dāng)0<x≤4時(shí)，f(x)＝eq\f(1,2)×4×x＝2x；當(dāng)4<x≤8時(shí)，f(x)＝eq\f(1,2)×4×4＝8；當(dāng)8<x<12時(shí)，f(x)＝eq\f(1,2)×4×(12－x)＝24－2x.所以函數(shù)解析式為f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x∈0，4]，,8，x∈4，8]，,24－2x，x∈8，12.))(2)作出函數(shù)圖象如圖所示．從圖象可以看出f(x)的值域?yàn)?0,8]．B卷——高考應(yīng)試能力標(biāo)準(zhǔn)練(時(shí)間：90分鐘滿分：120分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．若f(x)＝eq\f(2x,x2＋2)，則f(1)的值為()A.eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D．－eq\f(2,3)解析：選C由f(x)＝eq\f(2x,x2＋2)，得f(1)＝eq\f(2×1,12＋2)＝eq\f(2,3).2．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋7，x∈[－1，1，,2x＋6，x∈[1，2]，))則f(x)的最大、最小值分別為()A．10,6 B．10,8C．8,6 D．以上都不對(duì)解析：選A當(dāng)－1≤x<1時(shí)，6≤x＋7<8，當(dāng)1≤x≤2時(shí)，8≤2x＋6≤10.∴f(x)min＝f(－1)＝6，f(x)max＝f(2)＝10.故選A.3．已知f(x－1)＝x2＋4x－5，則f(x)的表達(dá)式是()A．f(x)＝x2＋6x B．f(x)＝x2＋8x＋7C．f(x)＝x2＋2x－3 D．f(x)＝x2＋6x－10解析：選Af(x－1)＝x2＋4x－5?f(x)＝(x＋1)2＋4(x＋1)－5＝x2＋6x.4．已知冪函數(shù)f(x)＝xn，n∈{－2，－1,1,3}的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則下列選項(xiàng)正確的是()A．f(－2)>f(1) B．f(－2)<f(1)C．f(2)＝f(1) D．f(－2)>f(－1)解析：選B由冪函數(shù)f(x)＝xn的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，可知f(x)＝xn為偶函數(shù)，所以n＝－2，即f(x)＝x－2，則有f(－2)＝f(2)＝eq\f(1,4)，f(－1)＝f(1)＝1，所以f(－2)<f(1)，故選B.5．若函數(shù)f(x)＝ax2＋(a－2b)x＋a－1是定義在(－a,0)∪(0,2a－2)上的偶函數(shù)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋b2,5)))＝()A．1 B．3C．eq\f(5,2) D．eq\f(7,2)解析：選B因?yàn)榕己瘮?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則－a＋2a－2＝0，解得a＝2.又偶函數(shù)不含奇次項(xiàng)，所以a－2b＝0，即b＝1，所以f(x)＝2x2＋1，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋b2,5)))＝f(1)＝3.6．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x，x<0，,x2－2x，x≥0，))若f(－a)＋f(a)≤0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[－1,1] B．[－2,0]C．[0,2] D．[－2,2]解析：選D依題意，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,－a2＋2－a＋a2－2a≤0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,－a2－2－a＋a2＋2a≤0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,202－2×0≤0，))解得－2≤a≤2.7．若f(x)和g(x)都是奇函數(shù)，且F(x)＝f(x)＋g(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，則在(－∞，0)上，F(xiàn)(x)有()A．最小值－8 B．最大值－8C．最小值－6 D．最小值－4解析：選D∵f(x)和g(x)都是奇函數(shù)，∴f(x)＋g(x)也是奇函數(shù)．又F(x)＝f(x)＋g(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，∴f(x)＋g(x)在(0，＋∞)上有最大值6，∴f(x)＋g(x)在(－∞，0)上有最小值－6，∴F(x)在(－∞，0)上有最小值－4.8．已知函數(shù)f(x)是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式xf(x)<0的解集是()A．(－2，－1)∪(1,2)B．(－2，－1)∪(0,1)∪(2，＋∞)C．(－∞，－2)∪(－1,0)∪(1,2)D．(－∞，－2)∪(－1,0)∪(0,1)∪(2，＋∞)解析：選D當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<0由圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴x∈(0,1)∪(2，＋∞)；當(dāng)x<0時(shí)，f(x)>0，∴x∈(－∞，－2)∪(－1,0)．∴選D.9．已知函數(shù)f(x)＝－x5－3x3－5x＋3，若f(a)＋f(a－2)>6，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，1) B．(－∞，3)C．(1，＋∞) D．(3，＋∞)解析：選A設(shè)g(x)＝f(x)－3，則g(x)為奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞減，又f(a)＋f(a－2)>6可化為f(a)－3>－f(a－2)＋3＝－[f(a－2)－3]＝f(2－a)－3，即g(a)>g(2－a)，∴a<2－a，∴a<1.10.如圖所示，點(diǎn)P從點(diǎn)A處出發(fā)，按逆時(shí)針?lè)较蜓剡呴L(zhǎng)為a的正三角形ABC運(yùn)動(dòng)一周，O為△ABC的中心，設(shè)點(diǎn)P走過(guò)的路程為x，△OAP的面積為f(x)(當(dāng)A，O，P三點(diǎn)共線時(shí)，記面積為0)，則函數(shù)f(x)的大致圖象為()解析：選A由三角形的面積公式知，當(dāng)0≤x≤a時(shí)，f(x)＝eq\f(1,2)·x·eq\f(1,3)·eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),12)ax，故在[0，a]上的圖象為線段，故排除B；當(dāng)a<x≤eq\f(3,2)a時(shí)，f(x)＝eq\f(1,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)a－x))·eq\f(2,3)·eq\f(\r(3),2)a＝eq\f(\r(3),6)aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)a－x))，故在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(a，\f(3,2)a))上的圖象為線段，故排除C、D.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上)11．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f(x)＝2x3＋x2，則f(2)＝________.解析：由已知得，f(－2)＝2×(－2)3＋(－2)2＝－12，又函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以f(2)＝－f(－2)＝12.答案：1212．若在[1，＋∞)上函數(shù)y＝(a－1)x2＋1與y＝eq\f(a,x)都單調(diào)遞減，則a的取值范圍是________．解析：由于兩函數(shù)在[1，＋∞)上遞減應(yīng)滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1<0，,a>0，))所以0<a<1.答案：(0,1)13．若函數(shù)y＝f(x)的定義域是[－2,2]，則函數(shù)y＝f(x＋1)＋f(x－1)的定義域?yàn)開(kāi)_______．解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)閇－2,2]，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2≤x＋1≤2，,－2≤x－1≤2，))解得－1≤x≤1，函數(shù)y＝f(x＋1)＋f(x－1)的定義域?yàn)閇－1,1]．答案：[－1,1]14．已知函數(shù)f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.設(shè)H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的較大值，min{p，q}表示p，q中的較小值)．記H1(x)的最小值為A，H2(x)的最大值為B，則A－B＝________.解析：f(x)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(a＋2，－4a－4)，g(x)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(a－2，－4a＋12)，并且f(x)與g(x)的圖象的頂點(diǎn)都在對(duì)方的圖象上，如圖所示，所以A－B＝－4a答案：－16三、解答題(本大題共5小題，共50分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)15．(8分)記函數(shù)f(x)＝eq\r(3－x)＋eq\r(x－1)的定義域?yàn)榧螹，函數(shù)g(x)＝x2－2x＋3值域?yàn)榧螻，求：(1)M，N；(2)M∩N，M∪N.解：(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝eq\r(3－x)＋eq\r(x－1)的定義域?yàn)榧螹，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－x≥0，,x－1≥0，))故1≤x≤3，集合M＝[1,3]．因?yàn)楹瘮?shù)g(x)＝x2－2x＋3值域?yàn)榧螻，則g(x)＝x2－2x＋3≥2，集合N＝[2，＋∞)，所以M＝[1,3]，N＝[2，＋∞)．(2)M∩N＝[1,3]∩[2，＋∞)＝[2,3]，M∪N＝[1,3]∪[2，＋∞)＝[1，＋∞)．16．(10分)已知f(x)，g(x)在(a，b)上是增函數(shù)，且a<g(x)<b.求證：f(g(x))在(a，b)上也是增函數(shù)．證明：設(shè)a<x1<x2<b.∵g(x)在(a，b)上是增函數(shù)，∴g(x1)<g(x2)，且a<g(x1)<g(x2)<b.又∵f(x)在(a，b)上是增函數(shù)，∴f(g(x1))<f(g(x2))．∴f(g(x))在(a，b)上是增函數(shù)．17．(10分)某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺(tái)儀器需增加投入100元，已知總收益滿足如下函數(shù)：R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x20≤x≤400，,80000x>400，))其中x是儀器的產(chǎn)量．(1)將利潤(rùn)f(x)表示為產(chǎn)量x的函數(shù)．(利潤(rùn)＝總收益－總成本)(2)當(dāng)產(chǎn)量x為何值時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？解：(1)由題意知f(x)＝R(x)－100x－20000＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x2＋300x－200000≤x≤400，,－100x＋60000x>400.))(2)當(dāng)0≤x≤400時(shí)，f(x)＝－eq\f(1,2)(x－300)2＋25000，即當(dāng)x＝300時(shí)，