2025年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練：函數(shù)模型及其應(yīng)用

專練14函數(shù)模型及其應(yīng)用

［基礎(chǔ)強(qiáng)化］

一、選擇題

1.［2024?河北唐山一中期中］某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放，在過濾過程中，污染物的數(shù)量p（單位：

毫克/升）不斷減少，已知p與時間f（單位：時）滿足p⑺=而乂24，其中外為f=0時的污染物數(shù)量.又測得

當(dāng)re［0,30］時，污染物數(shù)量的變化率是一101n2,則p（60）=（）

A.150毫克/升B.300毫克/升

C.1501n2毫克/升D.3001n2毫克/升

答案：C

1

^po-po

解析：因?yàn)楫?dāng)re［0,30］時，污染物數(shù)量的變化率是一101n2,所以一101112=—n，所以Po=6OOln

2.因?yàn)閜（r）=poX2寸，所以p（60）=6001n2X2==1501n2（毫克/升）.

2.［2024?廣東惠州調(diào)研］為了給地球減負(fù)，提高資源利用率，2020年全國掀起了垃圾分類的熱潮，垃圾

分類已經(jīng)成為新時尚.假設(shè)某市2020年全年用于垃圾分類的資金為2000萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的

資金比上一年增長20%,則該市全年用于垃圾分類的資金開始超過1億元的年份是（參考數(shù)據(jù):1g1.2^0.08,

lg5Po.70）（）

A.2030年B.2029年

C.2028年D.2027年

答案：B

解析：設(shè)經(jīng)過〃年后，投入資金為y萬元，則y=200。（1+20%）".

由題意得2000（1+20%）”>10000,即1.2">5,則”lgl.2>lg5,所以哈二螺=8.75,所以

n=9,即2029年該市全年用于垃圾分類的資金開始超過1億元.

3.2024年4月30日17時46分許，神舟十七號載人飛船返回艙在預(yù)定區(qū)域安全著陸，神舟十七號載

人飛船是使用長征二號F遙十七運(yùn)載火箭發(fā)射成功的.在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度。（單

位:m/s）和燃料的質(zhì)量M（單位:kg）、火箭（除燃料外）的質(zhì)量m（單位:kg）的函數(shù)關(guān)系式為o=2OOOln（1+日.

如果火箭的最大速度達(dá)到12km/s,則燃料的質(zhì)量與火箭的質(zhì)量的關(guān)系是（）

A.M=e6mB.Mm=e6—1

C.InM+lnm=6D.~=e6—1

m

答案:D

角星析：12km/s=12000m/s,所以12000=2OOOln(1+9，所以In(1+都=6,貝!]1+^=e6,所

以卷=e6-1,故選D.

4.[2024?江蘇南京調(diào)研]新風(fēng)機(jī)的工作原理是，從室外吸入空氣，凈化后輸入室內(nèi)，同時將等體積的室

內(nèi)空氣排向室外.假設(shè)某房間的體積為。o,初始時刻室內(nèi)空氣中含有顆粒物的質(zhì)量為九已知某款新風(fēng)機(jī)工

作時，單位時間內(nèi)從室外吸入的空氣體積為。室內(nèi)空氣中顆粒物的濃度與時刻f的函數(shù)關(guān)系為0(。=

(IT琮+琮e”,其中常數(shù)%為過濾效率.若該款新風(fēng)機(jī)的過濾效率為白，且—1時室內(nèi)空氣中顆粒物

3

的濃度是t=2時的5倍，則。的值約為(參考數(shù)據(jù)：In2心0.6931,In30986)()

A.1.3862B.1.7917

C.2.1972D.3.5834

答案：B

解析：,'=1時室內(nèi)空氣中顆粒物的濃度是t=2時的,倍，且，尺芋+s笠e^=|(I笠+

ZJ3003002JVo

A.vyi__3_____

-2p-2p-2p-p-p-y

T?—e),即l+4e-(l+4e),12e—8e+1=0,(2e—l)(6e—1)=0,解得e"=2或e"=6,

\"v>l,；.e0=2舍去,故e"=6,即o=ln6=ln2+ln321.7917.故選B.

5.[2024?重慶巴蜀中學(xué)月考]2019年7月，中國良渚古城遺址獲準(zhǔn)列入世界遺產(chǎn)名錄.良渚古城遺址是

人類早期城市文明的范例，實(shí)證了中華五千年文明史.考古學(xué)家在測定遺址年齡的過程中利用了“放射性

-t

物質(zhì)因衰變而減小”這一規(guī)律.已知樣本中碳14的質(zhì)量N隨時間*年)的衰變規(guī)律滿足：N=No-25730(No

表示碳14原來的質(zhì)量)，經(jīng)過測定，良渚古城某文物樣本中碳14的質(zhì)量是原來的0.6倍，據(jù)此推測良渚古

城遺址存在的時期距今大約是(參考數(shù)據(jù)：log23pL6,log25P2.3)()

A.3440年B.4010年

C.4580年D.5160年

答案：B

3

解析：由題得O6M)=NO-2573O,即25730=-,

—t3

兩邊同時取以2為底的對數(shù)，則有5730=1。825=log23—k>g252—0.7,

故/心0.7><5730=4011年，最符合題意的選項(xiàng)為B.

二、填空題

6.某品牌手機(jī)銷售商今年1,2,3月份的銷售量分別是1萬部，1.2萬部，1.3萬部，為估計(jì)以后每個

月的銷售量，以這三個月的銷售量為依據(jù)，用一個函數(shù)模擬該品牌手機(jī)的銷售量y(單位：萬部)與月份x之

間的關(guān)系，現(xiàn)從二次函數(shù)丫=加+法+以々/。)或函數(shù)y=aZ/+c(b>0,bWl)中選用一個效果好的函數(shù)進(jìn)行

模擬，如果4月份的銷售量為1.37萬部，則5月份的銷售量為萬部.

答案：1.375

a+b+c=l9〃=—0.05,

解析：由題意可知，當(dāng)選用函數(shù)負(fù)工)=加+法+。時，由<4Q+2Z?+C=1.2,解得<8=0.35,

、9〃+3Z?+c=1.3,、c=0.7,

=-0.05<+0.35x+0.7,.\/(4)=1.3；

c~~1)〃=—0.8,

當(dāng)選用函數(shù)g(x)=abx+c時，由，ab2+c=1.2,解得，b=0.5,

ab3+c=13,c=1.4,

；.g(x)=-0.8X0.5x+1.4,；.g(4)=1.35.

：g(4)比式4)更接近于1.37,...選用函數(shù)g(x)=a〃+c模擬效果較好，；.g⑸=-0.8X0.55+1.4=1.375,

即5月份的銷售量為1.375萬部.

7.已知某公司生產(chǎn)某產(chǎn)品的年固定成本為100萬元，每生產(chǎn)1千件需另投入27萬元，設(shè)該公司一年

內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品x千件(0<尤<25)并全部銷售完，每千件的銷售收入為R(x)(單位：萬元)，且R(x)=

|108-1.?(0<XW10),

]175

-x+—+57(10<xW25).

I尤

當(dāng)年產(chǎn)量為千件時，該公司在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤最大.(注：年利潤=年銷售收入

一年總成本)

答案：9

解析：設(shè)該公司在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤為兀0，當(dāng)0<xW10時，fi,x)=xR{x)-(100+27A)=8lx

x3

-j-100；

當(dāng)10<xW25時，yU)=xR(x)-(100+27x)=-r2+30x+75.

rr3

81x—r-100(0<尤W10),

故段)3

f+30x+75(10<xW25).

當(dāng)ocxWio時，由/(jOMgi—Vn-a+gxx—g),

得當(dāng)xd(o,9)時，/(x)>0,兀0單調(diào)遞增；

當(dāng)尤G(9,10)時,f(x)<0,危)單調(diào)遞減.

故人x)max=/(9)=81X9—gX93-100=386.

當(dāng)10<xW25時，加0=一爐+30犬+75=—(X-15)2+300W300.

綜上，當(dāng)x=9時，年利潤取最大值，為386.

所以當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時，該公司在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤最大.

8.網(wǎng)店和實(shí)體店各有利弊，兩者的結(jié)合將在未來一段時期內(nèi)，成為商業(yè)的一個主要發(fā)展方向.某品牌

行車記錄儀支架銷售公司開展網(wǎng)絡(luò)銷售與實(shí)體店體驗(yàn)安裝結(jié)合的銷售模式.根據(jù)幾個月運(yùn)營發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)品的

2

月銷量x(萬件)與投入實(shí)體店體驗(yàn)安裝的費(fèi)用f(萬元)之間滿足尤=