2025年高考數(shù)學復習大題題型歸納：圓錐曲線中的求值與證明問題（原卷）

專題15圓錐曲線中的求值與證明問題

一、求值問題

1.已知橢圓E1+/=l(a>b>0),連接E的四個頂點所得四邊形的面積為4,M(l《)是￡上一點.

(1)求橢圓E的方程；

(2)設斜率為k的直線I與橢圓￡交于/,8兩點，。為線段的中點，O為坐標原點，若￡上存在點C,使

得方+2加=6,求三角形4BC的面積.

2.已知4B是橢圓C上的兩點，力(2,1),4B關于原點。對稱，M是橢圓C上異于4B的一點，直線AL4和MB

的斜率滿足AMA,=-*

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)若斜率存在且不經過原點的直線/交橢圓C于P,Q兩點(P,Q異于橢圓C的上、下頂點)，當AOPQ的面積最大

時，求hop,。。的值.

3.設拋物線C：y2=2px(p>0),直線比一2y+1=0與C交于力，B兩點，且|4B|=4底.

⑴求P;

(2)若在第軸上存在定點M,使得拓？?麗=0,求定點M的坐標.

22

4.已知橢圓的京+左=1(。>6>0)的右焦點為產(加,0),短軸長等于焦距.

(1)求C的方程;

(2)過F的直線交C于P,Q,交直線%=2a于點N,記。2。(2,。7的斜率分別為前#2，七，若(自+幻)俏=1，

求|0PE+|0Q|2的值.

5.設拋物線。產=2px(p>0),直線x—2y+1=0與。交于/,3兩點，且=4/宙.

⑴求p；

(2)設C的焦點為尸，M,N為C上兩點，MF-W=0,求AMNF面積的最小值.

_l—cos2(p

”二哀西(9為參數(shù))，以坐標原點為極點，X軸的正半軸

{y=tang

為極軸建立極坐標系，已知直線/的極坐標方程為pcos(e-=魚根(爪>0),且直線2與兩坐標軸圍成的三

角形的面積為2.

(1)求直線I的直角坐標方程；

(2)若直線，與曲線C交于4B兩點,求|。川

7.已知橢圓。攝+《=1(￡1>6>0)的左右焦點分別為％,F2,且尸2的坐標為(1,0)，點P(l,|)在橢圓上.

⑴求APF1F2的周長；

(2)斜率為-四的直線與圓％2+y2=3相切于第一象限，交橢圓于4,5兩點，求△Z/72B的周長.

8.已知橢圓立捻+/=19>6>0)的左、右焦點分別為尸1，尸2，左、右頂點分別為公,&，/2是。力2(。

為坐標原點)的中點，且F/2IIA2/21=2.

(1)求E的方程；

(2)不過坐標原點的直線I與橢圓E相交于力,B兩點(A,B異于橢圓E的頂點)，直線A4,與y軸的交點分別為

M,N,若而7-砌=3砌-3陋，證明：直線2過定點，并求該定點的坐標.

9.已知圓。1：(久+l)2+y2=",圓。2：(%-I)2+y2=y,圓M與圓。1外切，且與圓。2內切.

⑴求圓心M的軌跡C的方程；

(2)若4,B,。是。上的三點，且直線不與x軸垂直，。為坐標原點，0Q=AOA+fiOB,則當AHOB

的面積最大時，求"+/的值.

10.已知點(一2,0)在橢圓C：捺+，=1(。>6>0)上，點用(*)(巾力0)在橢圓。內.設點/,2為。的

短軸的上、下端點，直線/M,8M分別與橢圓C相交于點￡,F,且即的斜率之積為―"

(1)求橢圓C的方程；

⑵記SABME，SMMF分別為ABME,的面積，若受”=；,求力的值.

3△BME4

11.已知拋物線￡：/=2py(p>0)的焦點為下,拋物線E上一點X的縱坐標為5,。為坐標原點,COSNOF"=-

2

3

(1)求拋物線E的方程；

(2)拋物線上有一條長為6的動弦長為6的動弦/￡當N2的中點到拋物線的準線距離最短時，求弦所

在直線方程.

12.橢圓0胃+/=1(a>8〉0)的離心率6=9,過點(0,b).

(1)求橢圓的標準方程；

(2)過點(go)且斜率不為0的直線［與橢圓交于M,N兩點，橢圓的左頂點為4求直線4M與直線力N的斜率之

積.

13.已知。為坐標原點，橢圓5+，=19>6>0)的離心率為苧，橢圓的上頂點到右頂點的距離為遙.

(1)求橢圓的方程；

(2)若橢圓的左、右頂點分別為E、F,過點。(-2,2)作直線與橢圓交于4B兩點，且4、B位于第一象限，A

在線段BD上，直線。D與直線凡4相交于點C,連接EB、EC,直線EB、EC的斜率分別記為七、k2,求心?&

的值.

14.已知直線匕軸，垂足為x軸負半軸上的點￡,點E關于原點0的對稱點為尸，且曰川=4,直線匕112,

垂足為/,線段//的垂直平分線與直線7交于點3,記點3的軌跡為曲線C

⑴求曲線C的方程；

(2)已知點P(2,4),不過點P的直線/與曲線。交于M,N兩點，以線段為直徑的圓恒過點尸，點P關

于X軸的對稱點為0,若AQMN的面積是64VL求直線1的斜率.

15.已知橢圓C：捻+3=l(a>b>0)經過點(―2倔⑹，且與橢圓5+9=1有共同的焦點.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)設直線I與橢圓C交于4,3兩點，與y軸交于點尸，。為坐標原點.若?而+而?刀=-24,求點尸

的坐標.

16.已知雙曲線/=1(。>0,6>0)的左、右焦點分別為Fi，F(xiàn)2,/為雙曲線C左支上一點，1gl-

\AF^\=yj2b.

⑴求雙曲線C的離心率；

(2)設點/關于x軸的對稱點為8,。為雙曲線C右支上一點，直線4。,8。與x軸交點的橫坐標分別為句,冷，

且比1亞1=1，求雙曲線C的方程.

17.圓(％+遮)2+產=16,圓心為4點B(百,0),作圓上任意一點M與B點連線的中垂線，交AM于N.

(1)求N的軌跡C的方程；

(2)設P為曲線C上任意一點，直線P4PB分別交曲線C于Q,R兩點，PA=XAQ,PBfiBR,求4+4的值.

18.已知力(一V2,0),B(魚,0),對于平面內一動點P(x,y)(x4士V2),PM1x軸于點M,且|PM|2=\AM\\BM\.

⑴求點尸的軌跡C的方程；

(2)當㈤〉加時，直線/與曲線C交于不同兩點0,五,與直線丫=久交于點$,與直線)7=—久交于點7,若|7Q|=

\QR\=\RS\,。為坐標原點，求ASOT的面積.

19.已知拋物線”:y=4x的焦點為F,過點(2,0)的直線與拋物線M交于4B兩點，點力在第一象限，。為坐

標原點.

(1)設P為拋物線M上的動點，求盟的取值范圍；

(2)記△力。B的面積為Si，AB。尸的面積為S2，求Si+S2的最小值.

20.已知雙曲線一7=1,在雙曲線M的右支上存在不同于點4(2,3)的兩點P,Q,記直線4P,4Q,PQ

的斜率分別為的,心,鼠且比，k,電成等差數(shù)列.

(1)求k的取值范圍；

(2)若AOPQ的面積為傷(。為坐標原點)，求直線PQ的方程.

二、證明問題

21.設拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F,點力的坐標為(3,-2).已知點P是拋物線C上的動點，|P川+|PF|

的最小值為4.

(1)求拋物線C的方程：

(2)若直線P4與C交于另一點Q,經過點B(3,-6)和點Q的直線與C交于另一點7,證明：直線PT過定點.

22

22.如圖，已知橢圓+與=l(a>6>0)的左右焦點分別為Fi，52，點A為的上的一個動點(非左右頂

點)，連接4%并延長交的于點B,且△ABF?的周長為8,△4F1F2面積的最大值為2.

⑴求橢圓Ci的標準方程；

(2)若橢圓。2的長軸端點為尸1，尸2，且與Q的離心率相等，P為與。2異于%的交點，直線PFZ交加于M,N

兩點，證明：|4B|+|MN|為定值.

?2..2、與

23.已知橢圓C京+力=1缶>。>0)過點力(一(1,0),8(0,—6)兩點，橢圓的離心率為梟。為坐標原點，且

SAO4B-1-

(1)求橢圓C的方程；

⑵設尸為橢圓C上第一象限內任意一點，直線P4與y軸交于點"，直線PB與x軸交于點N,求證：四邊形力BNM

的面積為定值.

24.已知橢圓E「+/=l(a>b>0)的離心率是亭上、下頂點分別為A,B.圓0:d+/=2與%軸正半

軸的交點為P,且方?麗=-1.

(1)求E的方程；

(2)直線/與圓。相切且與E相交于M,N兩點，證明：以MN為直徑的圓恒過定點.

25.已知動圓M恒過定點/(0,/,圓心M到直線的距離為d,d=|MF|+/

(1)求M點的軌跡C的方程；

(2)過直線y=x-1上的動點Q作C的兩條切線人」2,切點分別為4B,證明：直線4B恒過定點.

26.已知雙曲線。:捺-3=l(a>0,b>0),漸近線方程為y±]=0,點4(2,0)在C上;

(1)求雙曲線C的方程；

(2)過點4的兩條直線4P,4Q分別與雙曲線C交于P,Q兩點(不與4點重合)，且兩條直線的斜率七，七滿足的+

電=1，直線PQ與直線x=2,y軸分別交于M,N兩點，求證：△4MN的面積為定值.

222

27.已知橢圓的芯+丫2=i(a>1)與橢圓C2：全+方=1(0<b<2舊)的離心率相同，且橢圓C2的焦距是橢

圓Q的焦距的百倍.

(1)求實數(shù)a和6的值；

⑵若梯形力BCD的頂點都在橢圓的上，ABUCD,CD=2AB,直線BC與直線AD相交于點P.且點P在橢圓C2

上，證明直線CD恒過定點.

28.已知橢圓。5+，=l(a>b>0)的左頂點為4上頂點為B,右焦點為F(l,0),。為坐標原點，線段。A

的中點為O,且|BO|=\DF\.

(1)求C方程；

(2)已知點M、N均在直線x=2上，以MN為直徑的圓經過。點，圓心為點7,直線AM、4N分別交橢圓C于另

一點P、Q,證明直線PQ與直線。7垂直.

22

29.已知橢圓。a+左=l(a>b>0)的左、右焦點分別為尸1，尸2，/，3分別是C的右、上頂點，且優(yōu)用=近,

。是C上一點，△B七。周長的最大值為8.

⑴求C的方程；

(2)C的弦DE過％,直線AE,AD分別交直線％=-4于M,N兩點，P是線段MN的中點，證明：以PD為直

徑的圓過定點.

30.已知拋物線C：產=2px(p〉0)的焦點尸與橢圓。+￡=1的右焦點重合，點用■是拋物線C的準線上

40

任意一點，直線M4,八四分別與拋物線C相切于點N,B.

(1)求拋物線C的標準方程及其準線方程；

(2)設直線M4,MB的斜率分別為七，k2,證明：七?七為定值.

31.在平面直角坐標系xOy中，圓％：(x+2)2+y2=4,F2(2,0),尸是圓鼻上的一個動點，線段PF2的垂

直平分線/與直線PF1交于點記點"的軌跡為曲線C.

⑴求曲線C的方程；

⑵過點尸2作與x軸不垂直的任意直線交曲線。于/，8兩點，線段N5的垂直平分線交x軸于點〃，求證：

黑為定值.

尸2Hl

32.已知橢圓C：5+/=l(a>b>0)的短軸長為2VL離心率為了.

(1)求橢圓C的方程；

⑵過點P(4,l)的動直線2與橢圓C相交于不同的4B兩點，在線段上取點Q,滿足14Pl-\QB\=\AQ\■\PB\,

證明：點Q總在某定直線上.

2c

33.如圖，橢圓生v會+必=i(a>1)的左、右頂點分別為4,B,Q(—a,a),N為橢圓上的動點且在第一象限

內，線段QN與橢圓E交于點M(異于點N),直線。Q與直線交于點P,。為坐標原點，連接M4M4,AP,

且直線力M與BP的斜率之積為-

a"+9

A\^O)B7

⑴求橢圓E的方程.

(2)設直線力N,4P的斜率分別為右,卜2,證明：a/2為定值?

34.已知尸是拋物線=2px(p>0)的焦點，過點F的直線交拋物線C于4B兩點，當力B平行于y軸時，

\AB\=2.

(1)求拋物線C的方程；

(2)若。為坐標原點，過點8作y軸的垂線交直線力。于點D,過點4作直線DF的垂線與拋物線C的另一交點為

的中點為G,證明：G,2,D三點共線.

35.在平面直角坐標系xOy中，已知定點F(l,0),定直線Lx=4,動點P在I上的射影為Q,且滿足|PQ|=2|PF|.

(1)記點P的運動軌跡為E,求E的方程；

(2)過點F作斜率不為0的直線與E交于M,N兩點，1與x軸的交點為H,記直線MH和直線NH的斜率分別為

k1,k2,求證：kx+k2—0.

36.已知雙曲線C：9一9=1(a>0,b>0)的離心率是舊，實軸長是2,。為坐標原點.設點P(%o，yo)

為雙曲線C上任意一點，過點P的直線Z與雙曲線C的兩條漸近線分別交于M,N兩點，AOMN的面積為S.

(1)當/的方程為詈—翳=1時，求S的值；

(2)設麗=4而，求證：今搭為定值