2025年高考數(shù)學復習大題題型歸納：圓錐曲線中的軌跡問題（原卷）

專題13圓錐曲線中的軌跡問題

1.求解下列問題:

(1)如圖，動圓的：x2+y2^t2,l<t<3與橢圓C2：?+y2=l相交于/，B,C,。四點，點40色分

別為。2的左、右頂點.求直線力&與直線必3的交點M的軌跡方程.

(2)已知%,尸2分別為橢圓C：。+q=1的左、右焦點，點尸為橢圓C上的動點，求△P%F2的重心G的

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軌跡方程.

2.已知過右焦點尸(3,0)的直線交雙曲線C:捺一3=l(a,6>0)于M,N兩點，曲線C的左右頂點分別為公，42,

虛軸長與實軸長的比值為今

⑴求曲線C的方程；

(2)如圖，點M關于原點。的對稱點為點P,直線A*與直線4交于點S,直線。S與直線MN交于點T,求T的

軌跡方程.

3.已知橢圓C：?+/=l(a>6>0)的離心率為奈且經過M(l,日)，經過定點7(1,0)斜率不為0的

直線/交C于￡,9兩點，A,5分別為橢圓C的左，右兩頂點.

(1)求橢圓C的方程;

(2)設直線/￡與39的交點為P,求P點的軌跡方程.

4.已知點力(2,0)是圓/+產=4上的定點，點是圓內一點，P、Q為圓上的動點.

(1)求線段NP的中點M的軌跡方程.

(2)若NPBQ=90。，求線段PQ中點N的軌跡方程.

5.類似于圓的垂徑定理，橢圓C：5+卷=1(a>b>0)中有如下性質：不過橢圓中心。的一條弦PQ的中

點為M,當PQ,OM斜率均存在時，kPQ-k0M=-J,利用這一結論解決如下問題：己知橢圓E：，+9=1,

直線。P與橢圓E交于4B兩點，且瓦？=3而，其中。為坐標原點.

(1)求點P的軌跡方程r；

⑵過點P作直線CD交橢圓E于C,D兩點,使而+方=6,求四邊形2CBD的面積.

6.已知圓E經過點4(0,0),且圓E與y軸相切.

(1)求圓E的一般方程；

(2)設P是圓E上的動點，點C的坐標為(4,0),求線段CP的中點M的軌跡方程.

7.在平面直角坐標系xOy中，直線/：久=-2交x軸于點設P是/上一點，〃■是線段OP的垂直平分

線上一點，且滿足NMP。=NAOP.當點尸在/上運動時，求點M的軌跡方程.

8.已知圓C的圓心在x軸上，并且過4(1,3),8(3,3)兩點.

⑴求圓C的方程；

(2)若P為圓C上任意一點，定點”(8,0),點Q滿足兩=3的，求點Q的軌跡方程.

9.已知反比例函數(shù)y=§的圖象C是以x軸與y軸為漸近線的等軸雙曲線.

(1)求雙曲線C的頂點坐標與焦點坐標；

(2)設為雙曲線C的兩個頂點，點M(&，yo)，N(yo，&)是雙曲線C上不同的兩個動點.求直線與42M

交點的軌跡￡的方程；

⑶設直線/過點P(0,4),且與雙曲線C交于43兩點，與x軸交于點0.當而==%礪，且%+%=-8

時，求點。的坐標.

10.已知定點F(2,0),關于原點。對稱的動點P,Q到定直線1:%=4的距離分別為dp,dQ,且子=要，記P

產yhGQ

的軌跡為曲線c.

(1)求曲線C的方程，并說明曲線C是什么曲線？

(2)已知點M,N是直線根:久=：)/+2與曲線。的兩個交點，M,N在x軸上的射影分別為Mi，(MvNI

不同于原點。)，且直線MiN與直線/:x=4相交于點R,求ARMN與ARMiNi面積的比值.

11.如圖，E,￡G,H分別是矩形48CD四邊的中點，尸(2,0),C(2,l),CSACF,ORAOF.

(1)求直線ER與直線GS交點M的軌跡方程；

(2)過點/(1,0)任作直線與點M的軌跡交于P,Q兩點，直線HP與直線QF的交點為/,直線HQ與直線PF的交點為

K,求面積的最小值.

12.已知橢圓C：《+5=l(a>b>0)的長軸長為2vL離心率為今

⑴求橢圓。的標準方程；

(2)若動點尸為橢圓C外一點，且過點尸的橢圓。的兩條切線相互垂直，求點尸的軌跡方程.

13.過點力(0,-2)的直線與拋物線y2=4x相交于兩點尸，Q,求以OP,O。為鄰邊的平行四邊形的第四個

頂點M的軌跡方程.

14.已知雙曲線。的方程為2/一產=2.

(1)直線y=x+m截雙曲線C所得的弦長為4金，求實數(shù)加的值；

(2)過點(2,-1)作直線交雙曲線C于尸、。兩點，求線段PQ的中點M的軌跡方程.

15.已知過曲線C：S+/=l(a,b>0)上一點(&,yo)作橢圓。的切線I，則切線?的方程為等+黃=1.若P為

2

橢圓的:5+丫？=1上的動點，過P作好的切線辦交圓C2：/+y2=4于M,N,過M,N分別作0的切線4力，

直線匕,%交于點Q.

(1)求動點Q的軌跡E的方程；

(2)已知R為定直線％=4上一動點，過R的動直線a與軌跡E交于兩個不同點A,B,在線段4B上取一點T,滿

足|4R||TB|=\AT\\RB\,試證明動點T的軌跡過定點.

16.已知橢圓C：f+y2=i,直線/與橢圓C交于4,2兩點.

(1)點P(0,yo)為橢圓C上的動點(與點/，B不重合)，若直線出，直線尸3的斜率存在且斜率之積為-1

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試探究直線/是否過定點，并說明理由；

(2)若。41OB.過點。作。Q,48,垂足為點。，求點0的軌跡方程.

17.已知圓C:/+y2+2%—4y+3=0.

(1)若直線1過點(-2,0)且被圓C截得的弦長為2,求直線1的方程；

(2)從圓C外一點尸向圓C引一條切線，切點為M,。為坐標原點，滿足1PMi=|0。］,求點P的軌跡方程.

18.已知橢圓。捺+，=l(a>。>0)，%，&為C的左右焦點.點P(L-|)為橢圓上一點，且|P%|+\PF2\=

4.過P作兩直線與橢圓C相交于相異的兩點4,B,直線口、依的傾斜角互補，直線Z8與x,y軸正半軸

相交.

(1)求橢圓C的方程；

(2)點又滿足前=而，求M的軌跡方程.

19.已知橢圓C：《+/=l(a>b>0)的長軸長是短軸長的2倍，直線y=^x被橢圓截得的弦長為4.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設M,N,P,。為橢圓C上的動點，且四邊形“NP0為菱形，原點。在直線九W上的垂足為點X,求〃

的軌跡方程.

20.已知過點P(2,0)的直線匕與雙曲線C：￡-y2=1的左右兩支分別交于4B兩點.

(1)求直線匕的斜率k的取值范圍；

(2)設點Q(與,yo)(好大2光)，過點Q且與直線匕垂直的直線％，與雙曲線C交于M、N兩點.當直線“變化時,

瑞麗一就麗恒為一定值，求點Q的軌跡方程?

21.已知拋物線C:/=2py(p>0)的焦點為R點E在C上，以點E為圓心，|EF|為半徑的圓的最小面積

為兀.

(1)求拋物線C的標準方程；

(2)過點尸的直線與。交于N兩點，過點N分別作C的切線人，12,兩切線交于點P,求點P的軌

跡方程.

22.已知橢圓C:f+q=1的上、下頂點分別為點P是橢圓C上異于公、4的動點，記的也分別為直

4L

線P4,P42的斜率?點Q滿足Q&-LPA1：QA21PA2.

(1)證明：上62是定值，并求出該定值；

(2)求動點Q的軌跡方程.

23.已知過點”(8,0)的直線交拋物線￡':曠2=8%于48兩點，。為坐標原點.

(1)證明：。4，。8；

(2)設F為拋物線的焦點，直線48與直線久=-4交于點M,直線MF交拋物線與C,D兩點(A,C在x軸的同側),

求直線4C與直線2。交點的軌跡方程.

24.已知拋物線C：丫2=4日久的焦點為產，準線與工軸交于點/.

⑴過點F的直線咬C于P,Q兩點，S.\PQ\=8V3,求直線I的方程；

(2)作直線力相交于點M,且直線AM的斜率與直線FM的斜率的差是-%求點M的軌跡方程，并說明方

程表示什么形狀的曲線.

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25.已知橢圓。a+與=1(。>6>0)的右焦點為尸，點2(—2,0)在橢圓上且［4尸|=3.

(1)求橢圓C的方程；

(2)點P、Q分別在橢圓C和直線尤=4上，0Q||AP,M為AP的中點，若T為直線0M與直線QF的交點.是否存

在一個確定的曲線，使得T始終在該曲線上？若存在，求出該曲線的軌跡方程；若不存在，請說明理由.

26.已知雙曲線—y-=1.

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(1)過點N(l,4)的直線與雙曲線交于S,T兩點，若點N是線段ST的中點，求直線ST的方程；

(2)直線/：丁=/^+機(卜力士2)與雙曲線有唯一的公共點”，過點M且與/垂直的直線分別交x軸、y軸于

力(&,0),B(O,y0)兩點.當點”運動時，求點「(&,%)的軌跡方程.

27.已知直角三角形A8C的頂點4-2,0),直角頂點8的坐標為(0,-2a)，頂點。在x軸上.

(1)求直角三角形N3C的外接圓的一般方程；

⑵設0/的中點為動點尸滿足|PM|-|PE|=1,G為OP的中點，其中。為坐標原點，E為三角形48。