2024-2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)中考二輪復(fù)習(xí)《圓》綜合提升訓(xùn)練 （含答案）

2024~2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)中考二輪復(fù)習(xí)《圓》綜合專題提升訓(xùn)練

一、單選題

1.如圖，。。是等邊△ABC的外接圓，若48=6,則。。的半徑是（）

A.3B.V3C.2遮D.4V3

2.已知。。過正方形ABCD頂點4B,且與CD相切，若正方形邊長為2,則圓的半

徑為（）

A4c5V2rY

A.-B.—C.—D.1

342

3.如圖所示，48為半圓。的直徑，C、D、E、F是48上的五等分點，尸為直徑上

的任意一點，若AB=4,則圖中陰影部分的面積為（）

A

A3c2〃2r3

A.-7TB.-7TC.-71D.-7T

4352

4.如圖，已知直線為交。。于/、3兩點，NE是0。的直徑，點C為。。上一點，

且NC平分過C作CD_LB4,垂足為D且。。+。/=12,。。的直徑為20,

則AB的長等于（）

A.8B.12C.16D.18

5.如圖，力B是。。的直徑，力8=2,點C在。。上，/.CAB=30°,。為弧BC的中

點，P是直徑AB上一動點，則PC+PD的最小值為（）

6.如圖，4B是。。的一條弦，點C是。。上一動點，且N4CB=30。，點E、F分別

是AC、BC的中點，直線與。。交于G、H兩點，若。。的半徑為7,貝I]GE+

7.如圖，拋物線y=g/-久—|與坐標軸相交于點4B,D,頂點為E.以4B為直

徑畫半圓交y軸的正半軸于點C,圓心為M,P是半圓月8上的一動點，連接EP,N是

PE的中點，當點P沿半圓從點A運動至B時，點N運動的路徑長為（）

二、填空題

8.如圖，AB是。。的直徑，CD是。。的弦，AB、CD的延長線交于點E.若AB=2DE,

NE=18。，貝!UC的度數(shù)為

9.如圖，。。與x軸交于點N,B,與y軸交于點C,D,P為。。上一動點，。為弦

AP上一點，AQ=3PQ,若點D的坐標為（0,-4）,則CQ的最小值為

10.如圖，已知半圓。。的直徑AB=4,沿弦EF翻折弧EF,翻折后的弧EF與直徑AB

相切于點。，且力D=3DB,則折痕EF的長度是；

11.如圖，已知。。為等腰三角形力8c的外接圓，48=力。,￡）為劣弧力8上一點，連

接CD交于點E,若BC=4V5,CE=9,tanzBCD=則tanN48。的值為.

12.如圖，線段AB是。。的直徑，弦CDJL4B于點“，點M是弧BC上任意一點（不

與B,C重合），AH=1,CH=2.延長線段BM交DC的延長線于點E,直線MH交。0

于點N,連結(jié)BN交CE于點F,則OC=,HE-HF=

E

13.如圖,CD是。0的直徑,AB是。。的弦,AB1CO,垂足為G,OG:OC=3:5,4B=8,

點E為圓上一點，Z.ECD=15°,將弧CE沿弦CE翻折，交CD于點F,圖中陰影部分

的面積=.

14.如圖，四邊形48。為邊長為4的正方形，的半徑為2,尸是。3上一動點,

則PD+^PC的最小值為；V2PD+4PC的最小值為

三、解答題

15.如圖，有兩個同心半圓AC和半圓BD,其中半圓BD固定不動，半圓AC繞圓心。

沿順時針方向轉(zhuǎn)動一周，連接AB、CD,轉(zhuǎn)動過程中，半圓BD與線段AC的交點記為

點、H,若AC=2BD=4.

⑴求證：AB=CD；

(2)在轉(zhuǎn)動過程中，求△力8。面積的最大值；

⑶當4B與半圓BD相切時，求弧DH的長.

16.如圖，48是圓O直徑，C,。兩動點在直徑同側(cè)，連接。C,作射線40IOC,交BC

的延長線于點H.

(1)求證：AB=AH.

(2)已知4B=10,

①若CD=2,求力。的長.

②若CD=x,AD=y,求了關(guān)于x的關(guān)系式，并求出四邊形40CD周長的最大值.

17.如圖1所示，已知AB,CD是。。的直徑，T是CD延長線的一點，。。的弦4F

(1)如圖1,求證：B7是。。的切線；

(2)在圖1,連接CB,DB,若案=：，求黑的值；

DCZD1

(3)如圖2,連接DF交4B于點G,過G作GPJ.CD于點P,若BT=6五,DT=6,

求DG的長.

18.圓內(nèi)接四邊形若有一組鄰邊相等，則稱之為等鄰邊圓內(nèi)接四邊形.

⑴如圖1,四邊形力BCD為等鄰邊圓內(nèi)接四邊形，AD=CD,^ADC=60°,貝(I

/.ABD=；

(2)如圖2,四邊形4BCD內(nèi)接于O。，4B為O。的直徑，AB=10,AC=6,若四邊

形ABCD為等鄰邊圓內(nèi)接四邊形，求CD的長；

(3)如圖3,四邊形ABCD為等鄰邊圓內(nèi)接四邊形，BC=CD,AB為。0的直徑，且AB=

48.設(shè)BC=x,四邊形4BCD的周長為y,試確定y與比的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的

最大值.

19.已知：。。是A/IBC的外接圓，連接B。并延長交4C于點D/CDB=3N4BD.

⑴如圖1,求證：AC=AB；

(2)如圖2,點E是弧AB上一點，連接CE,力尸_LCE于點尸,且乙BAF=^ACE,求tanzBCf

的值；

⑶在(2)的條件下，若EF=2,BC=8V2,求線段AB的長.

20.拋物線丫=/-2。久+1(￡1>1)與乂軸交于4,B兩點(4在B的左側(cè))，與y軸

交于點C,頂點為D.

(2)如圖1,若乙4cB=45。，求a的值；

(3)如圖2,過點C作CEIIAB交拋物線于另一點￡,以CE為直徑作。P,求證：直線

與OP相切.

參考答案

1.解：ABC是等邊三角形,

：.^ABC=4ACB=Z.BAC=60°,

如圖所示，連接。4OB,過點。作。DJL4B于D,

--------

是等邊AZBC的外接圓,48=6,

：.OA=OB,OA,OB平分NBHC/ABC,。。是弦AB的垂直平分線，

：.^OAD=^OBD=-^BAC=-x60°=30°,

22

.?.在RtzktMD中，AD=^AB=^x6=3,

設(shè)。。=無，則。4=2x,

222

：.OA=OD+AD,即（2久）2=/+32,解得，打=一百（舍去），x2=V3,

.\。力=2x=2V3

,。。的半徑是2舊，

故選：C.

2.解：如圖，作。M14B于點M,連接。B,設(shè)圓的半徑是x,

D--'C

則在直角AOBM中，OM=2—久，BM=1,

OB2=OM2+BM2,

x2=(2—%)2+1,

解得x="

4

故選：B.

3.解：如圖所示，連接。。，OE,DE,

VC.D、E、F是弧AB上的五等分點，

12

.,.ZDO￡,=^X180°=36°,/.BOE=1x180°=72°,

VOD=OE,

：.Z.DEO=(180°-36°)+2=72°,

;?4DEO=乙BOE,

：.DE//AB,

：.△ODE和aPDE是等底等高，AB=4,

-1i

J半徑OD=OE=^AB=x4=2

?,S陰影一2X薪?兀-即

故選：C.

4.解：過。作。b_L45,垂足為巴連接。C,

：.ZOCA=ZOACf

,?ZC平分NB4E,

???ZDAC=ZCAO,

：.ZDAC=ZOCA,

：.PB//OC,

U：CDA.PA,

：.OC±CD,

：.ZOCD=ZCDA=ZOFD=90°,

???四邊形DC。b為矩形，

：?OC=FD,OF=CD,

9：DC+DA=12,

設(shè)貝1J。代CZ)=12-x,

VOO的直徑為20,

：.DF=OC=W,

?*.AF=W-x,

在中，由勾股定理得/產(chǎn)+。產(chǎn)=CM2,

即(10-x)2+(12-%)2=1()2,

解得：%I=4,%2=18(不合題意，舍去)，

?\AD=^,

OF=8,

：.AF=y/AO2-OF2=6,

9：OFLAB,由垂徑定理知，尸為45的中點，

,*.AB=2AF=12.

故選：B

5.解：如圖所示，作點。關(guān)于的對稱點。'，連接CD',交于力B于點P,止匕時PC+PD

的值最小，HPPC+PD=PC+PD=CD,

連接OC,。。'/。'，

:點C在。。上，^CAB=30°,D為弧BC的中點,

.,.弧CD=MBD=MB。'，

乙BAD'=-Z-BAC=工x30。=15°,

22

C.Z.CAD=45°,

：.^LCOD=2Z.CAD=2x45°=90°,

OC,OD‘是o0的半徑，即OC=OD'=^AB=3x2=1,

.?.△C。。'是等腰直角三角形，

CD'=V2OC=V2,

：.PC+PD的最小值為

故選：B.

6.解：連接。4OB,

■■Z.ACB=30°,

Z.AOB=60°,

是等邊三角形，

AB=7,

當GH為。。的直徑時，GE+FH有最大值.

當G”為直徑時，E點與。點重合，

???AC也是直徑，AC^14.

???”BC是直徑上的圓周角，

???4ABC=90°,

ZC=30°,

AB=-AC=7.

2

???點E、F分別為AC、8c的中點，

1

???EF=-AB=3.5,

2

??.GE+FH=GH-EF=14-3.5=10.5.

故選：B.

令y=0,貝！J0=|x2一%—I，

解得，=-L%2=3,

Z(—L。)，8(3,0),

AB=4,

???M(2,0),

：.EM1%軸.EM=MA=MB=2f

???點E在OM上，

?:EN=NP,

：.MN1EP,

?"MNE=90。，

???點N的運動軌跡是以EM為直徑的半圓,

???點N運動的路徑長是7TX2X1=7T.

故選：D

連接OD,

是。。的直徑，AB=2DE,

：.OD=DE,

:.乙E=乙EOD=18°,

在小EDO中，乙ODC=ZF+乙EOD=18°+18°=36°,

VOC=0D,

；.ZC=乙ODC=36°.

故答案為：36。.

9.解:

連接P。，過0作QMIIOP,交4。于以M為圓心，為半徑作圓，連接MC交OM

于。，

：.AM:AO=AQ:AP,

???AQ=3PQ,

：.AQ:AP=3:4,

■:D的坐標是(0,-4),

0A=0D=4,

=±4。="4=3,

44

V0A=0P,

：.^.MAQ=乙P,

?.?QMWOP,

：./.MQA=ZP,

：./LMAQ=￡.MQA,

：.MQ=MA=3,

?，?0在G)M上，

.??當。與Q'重合時，CQ最小，

*：0M=AO-AM=4-3=1,0C=4,

：.MC=70M2+。。2=V42+l2=V17,

：.CQ'=CM-MQ=V17-3,

：.CQ的最小值是舊一3.

故答案為：V17-3.

10.解：設(shè)折疊后的圓弧所對的圓心為。'，連接。'。，OD,OE,。'。與EF交于點如圖

：.00與EF互相垂直平分，

：.OM=-OO',EF=2EM,

2

u：AB=4,

：.OA=OB=OE=2,

以點。'為圓心的圓半徑也是2,

O'D=2,

VXD=3DB,

i

：.DB=-AB=1,

4

：.OD=1,

???O'O=+。為2="2+22=V5,

：,OM=—

29

：.EM=y/OE2-OM2=4--=—,

q42

：.EF=2EM=VTl,

即折痕EF的長為“1,

故答案為：Vil.

11.W：過點E分別作EG1BC,EILAC,垂足分別為G,l,過點B作BF1EC,垂足為F,

過點A作AHIBC,垂足為H,

BC=4V5,tanzBCD=

.,.在Rt△BCF中，CF=2BF,

由勾股定理得，BF2+CF2=BC2,

2

即BF2+（2B尸）2=（4V5）,

???BF=4,CF=8,

???CE=9,

AEF=1,

由勾股定理得，BE=W,

設(shè)BG-x,則CG=4A/5—x,

在ABEG和△CEG中，

EG2=BE2-BG2,EG2=EC2-CG2,

____27

-（V17）—%2=92—（4A/5—%）

解得x=|V5,即BG=|V5,

???AB=AC,AH1BC,

???BH=^BC=2V5,

.BGBH

COS/.ABC--=——

BEAB

???AB=AC=5V17,

■■■AE=4V17,

設(shè)C/=y,則4/=5g-y,

在△力￡7和4CEI中，

El2=AE2-Al2,EI2=EC2-Cl2,

____2____7

即（4g）_（5舊一力=92-y2,

癡34日1175/17日口_.117V17

在RtACE/中，由勾股定理得E/二空四,

85

?*?tsmZ-DCA————f

CI13

???Z-ABD=Z-ACD,

???tanZ.ACD=—■

13

故答案為：!|，

12.解：連接。C.

E

CD1AB,

???(CHO=90°,

設(shè)。。=7，則。〃二丁一1.,

在Rt^COH中，

???CH=2,

???r2=22+(r—I)2,

/.r=2.5,即OC=2.5；

連接AM.

vAB是直徑，

???AAMB=90°,

???乙MAB+Z.ABM=90°,

???ZE+Z.ABM=90°,

???(E=Z-MAB,

???Z-MAB=乙MNB=ZE,

???LEHM=乙NHF,

LEHMfNHF,

HEHM

HNHF

???HE?HF=HM,HN,

???乙AMN=乙ABN

△AHMNHB

.AH_HM

?.NH-HB

即HM,NH=AH,HB,

???HE?HF=AH?HB=1x(5—1)=4,

-------/

故答案為：2.5,4

13.W：如圖，連接Z。，將陰影部分沿CE翻折，點F的對應(yīng)點為M,過點M作MNLCD

于點N,

CD為。0的直徑，AB1CD,AB=8,

1

AG=-AB=4,

2

,：OG-.OC=3:5,AB1CD,垂足為G,

.??設(shè)。0的半徑為5k,則OG=3k,

，(3k)2+42=(5k)2,解得：卜=1或々=一1(舍去),

5k=5,即。。的半徑是5,

連接0M,貝=60。,

???AMOC=120°,

過點M作MN1CD于點N,

:.MN=MO-sin60°=5x—,

2

.q_sqi-t120TTX2525V3_257r25V3

??3陰影=3弓形0MC-b^OMC，即廠=不二，

即圖中陰影部分的面積是：竽—苧.

J4

故答案為：竽—竽.

04

14.解：①如圖，連接網(wǎng)、在3c上取一點E,使得8￡=1,連接尸E,DE,

?；PB2=4,BE?BC=4,

：.PB12=BE?BC,

.PB_BE

??BC-PB'

NPBE=/CBP,

：.APBEs^CBP,

.PB_PB_1

?.PC-BC-2’

1

：.PD+-PCPD+PE,

2

"：PE+PD<DE,

在Rt/\DCE中，。E=V32+42=5,

；.PD+赳的最小值為5.

②連接DB,PB,在8。上取一點￡,使得BE=?,連接EC,作EFLBC于F,

D

'：PB2=4,BE-BD=yX4V2=4,

；.BP2=BE?BD,

.BP_BE

??訪一'BP9

,/ZPBE=ZPBD,

：.APBEs8DBP,

.PE_PB_y/2

??PD-BD_4f

：.PE=—PD,

4

AV2PD+4PC=4(yP￡>+PC)=4(PE+PC),

:PE+PCWEC,

在比ZkEFC中，EF=3,FC=T，根據(jù)勾股定理得，

AEC=7EF2+FC2=J(|)2+(1)2="，

.?.&PD+4PC的最小值為：4x第=10應(yīng)，

故答案為5,IOA/2.

15.(1)證明：:兩個半圓圓心為。,

A0A=OC,OB=0D,

又??ZOB=乙COD,

???△AOBwZkCOD(SAS),

：.AB=CD.

(2)SMOB=：B0.h,只有〃取到最大值，面積最大，〃為點/到BD的距離,

當B。14。，點/到BD的距離最大為。4如圖,

7/

此時面積最大S-OB=\A0?BO.

u：AC=2BD=4

：.AC=4fBD=2,

1i

：.AO=-AC=2,BO=-BD=1,

22

ii

1?SNOB=-BO=-x2xl=l.

(3)當48與半圓BO相切時，AABO=90°,如下圖:

在Rt△AOB中，

cosZ-AOB=—=

OA2

C.Z.AOB=60°,

：.Z.DOH=乙408=60°,

當3在AC左側(cè)時，如下圖,

,?IB與半圓8。相切,

：.Z.ABO=90°

Rt△AOB中,

4八cOB1

cos乙AOB=—=一,

OA2

：.A.AOB=60°,

:?乙DOH=180°-乙AOB=120°,

綜上，弧。”長弓或

16.(1)證明：9：OC=OB,

:?乙OCB=(OBC,

U：AD\\OC,

：.Z,H=乙B,

：.AB=AH.

(2)解：①連接AC,

又XB是直徑，

；?AC1BH,

U：AB=AH,

:?HC=CB,

???四邊形/BCD是圓。的內(nèi)接四邊形,

：ZHDC=乙B,

???(HDC=NH=

又,；OC=OB,

Z.OCB=Z-B,

：.CD=CH=CB=2f

???Z.HDC=乙B,(HDC=Z.OCB,

C.LHDCCBO,

?.?HD_—BC_,DH—_—2,

HCOC25

4

；.DH=芻

：.AD=y.

②?：AHDCCBO,

??——,-一一,

HCOCx5

：.DH=^,

???y=10

/5

四邊形AOCD周長=10+10--~~x————+x+20,

v-i<0,

???當x=2.5時，四邊形AOCD周長的最大值為21.25.

17.(1)證明：：CD是。。的直徑，。。的弦AF交CD于點E,且4E=EF,

?-?CDLAF,即。DE。=90。,

,/OA2=OE-OT,AB是圓的直徑，

_AO_OT

"OE-OB'

又NAOE=ABOT,

■,.AAOEsXTOB,

乙OBT=AAEO=90°,

又OB是半徑，

??.BT是O。的切線；

圖1

乙CBD=90°,

又上OBT=90°,

???Z-CBO=Z-DBT,

???OB=OC,

zf=Z.OBC,

???Z.C=Z-DBT,

??,zT=zT,

DBTBCT,

.DT_BT_DB_1

“BT~CT~BC~2；

(3)解：VZOBT=90°,

OB2+BT2=OT2,

設(shè)半徑為r,

又BT=6/，DT=6,

r2+(6V2)2=(r+6)2,

解得：r=3,

■■OA2=OE-OT,OT=OD+DT=9,

CLOA2Y

???OE=—=1,

OT

：.AE=2V2,

???GP1CD于點P,/.AEO=90°,

???Z-AEO=乙GPO,

又2AOE=乙GOP,

:.bAOEGOP,

OP_OE_1

'''PG~~AE~玄’

設(shè)：OP=a,貝!JPG=2V^z,PD=OD—OP=3—a,

VGP1CD,AFLCD,

：.GP||AF,

△PDGEDF,

則竺=—,

DEEF

日n3-a2V2a

崗」：—7^，

42V2

解得：。=春，

12D「6A/2

???PnDn=PG=

在Rt△PDG中，

DG=VPD2+PG2=等.

18.(1)解：'：AD=CD,

，MAD=弧CD,

：.AABD=^CBD=-^CBA

2

又??ZDC=60°,

：.^ABC=180°-60°=120°,

.?.乙4BD=2BC=60。；

(2)解：為。。的直徑，AB=10,4C=6,

：./.ACB=乙ADB=90°,BC=y/AB2-AC2="00-36=8

①當AC=4。時，連接CD,如圖：

,：AC=AD,AB為。。的直徑，

RtAACB=Rt△ADB(HV),

：.BC=BD,AB垂直平分CD.

'S四邊形4DBC=■jo。*"B=力。XBC

②當AD=8。時，連接CD,過點力作力H_LCD,交CD于點H.如圖:

A

D

此時△ADB為等腰直角三角形，AD=BD=5魚.

在Rt△力"C中，'：^ACH=AABD=45°,AC=6,

..,AHAHV2

..smZ.AACrHu=——=—=——

AC62

：.CH=AH=3V2

在Rt△力HD中，'：AH=3V2,AD=5V2,

：.DH=4V2,

CD=CH+DH=7V2.

綜上可知，。。=?或。。=7應(yīng)；

(3)如圖，連接。C,BD.

'：BC=CD,OB=OD,

；.oc垂直平分BD

?.?。為AB中點，

；.0F為ABIM的中位線，有=OF11AD.

設(shè)OF=t,

則CF=24—t,AD=23y=48+%+%+2t=2t+2%+48,

在Rt△BFC中，BF2=BC2-CF2=x2-(24-t)2

在Rt△BFO中，BF2=BO2-OF2=242-t2

于是有：x2—(24—t)2=242—t2

整理得，t=--x2+24,

48

=_#+2x+96=_=(x-24)+120

當X=24時，＞max=120

19.(1)證明：連接。C,如圖所示：

A

???乙CDB=/-DAB+乙ABD,Z.CDB=3Z-ABD,

??.Z,DAB=2乙ABD,即NG4B=2乙ABD,

弧BC=弧BC,

???乙COB=2Z.CAB,

???乙COB=4乙ABD,JffjZ.COB=Z.CDO+Z.DCO,

???44ABD=Z.CDB+Z-ACO=3Z-ABD+Z-ACO,

A.ACO=乙ABD,

???OC=OB,

Z.OCB=Z-OBC,

???Z-ACB=Z.ACO+Z,OCB=(ABD+Z.OBC=乙ABC,

AC=AB；

(2)解：設(shè)SB與CE交于G點，如圖所示：

???/.AGF+/.AFG+/.GAF=180°=ZCGB+ZGBC+乙BCG,且Z71GF=乙CGB,

Z-AFG+Z.GAF=Z-GBC+乙BCG,

vAF1CE,

??.匕AFG=90°,

???90°+/.GAF=乙GBC+乙BCG,

由(1)知NZCB=2ABC=2GBC,

???Z.GBC=Z-ACE+乙BCE,

???90°+2LGAF=/LACE+乙BCE+乙BCG,

???乙BAF=/-ACE,即NGZF=zXCE,

???90°=乙BCE+乙BCG,即2乙BCE=90°,

??.ZBCE=45°,

???tanZ-BCE=tan45°=1；

(3)解：過A作4N_LBC于N,連接AE,如圖所示:

由(1)知AC=AB,由(2)知NBCE=45。，

...NM=NC=NB=^BC=4vL

vAAMF=乙CMN=45°,AF1CE

AAFM是等腰直角三角形，即FA=FM,

設(shè)=FM=x,則AM=V2x,

???乙ABC=乙4cB=乙E,乙ANC=Z.AFE=90°,

ANCAFE,

3=竺，即&*=延，解得％=4,

AFFEx2

???在等腰RtAAFM中，E4=FM