2024高考數(shù)學(xué)數(shù)列中的知識(shí)交匯和創(chuàng)新型問題

數(shù)列中的期識(shí)交樂和創(chuàng)新型問題

［題目II〕王先生今年初向銀行申請(qǐng)個(gè)人住房貸款100萬元購買住房，按復(fù)利計(jì)算，并從貸款后的次月初

開始還貸,分10年還清.銀行給王先生提供了兩種還貸方式:①等額本金:在還款期內(nèi)把本金總額等

分，每月償還同等數(shù)額的本金和剩余本金在該月所產(chǎn)生的利息;②等額本息:在還款期內(nèi)，每月償還同

等數(shù)額的貸款（包括本金和利息）.

（1）若王先生采取等額本金的還貸方式，已知第一個(gè)還貸月應(yīng)還15000元,最后一個(gè)還貸月應(yīng)還6500

元,試計(jì)算王先生該筆貸款的總利息；

（2）若王先生采取等額本息的還貸方式,貸款月利率為0.3%,?銀行規(guī)定每月還貸額不得超過家庭月

收入的一半，已知王先生家庭月收入為23000元，試判斷王先生該筆貸款能否獲批.（不考慮其他因素）

參考數(shù)據(jù)1.003叫《1.428,1.00318°?1.433,1.003121?1.437

題目區(qū)|佛山新城文化中心是佛山地標(biāo)性公共文化建筑.在建筑造型上全部都以最簡(jiǎn)單的方塊體作為核

心要素，與佛山世紀(jì)蓮體育中心的圓形蓮花造型形成''方”“圓”呼應(yīng).坊塔是文化中心的標(biāo)志性建筑、

造型獨(dú)特、類似一個(gè)個(gè)方體錯(cuò)位堆疊,總高度153.6米.坊塔塔樓由底部4個(gè)高度相同的方體組成塔基,

支托上部5個(gè)方體，交錯(cuò)疊合成一個(gè)外形時(shí)尚的塔身結(jié)構(gòu).底部4個(gè)方體高度均為33.6米，中間第5個(gè)

方體也為33.6米高,再往上2個(gè)方體均為24米高,最上面的兩個(gè)方體均為19.2米高.

坊塔示意圖

（1）請(qǐng)根據(jù)坊塔方體的高度數(shù)據(jù),結(jié)合所學(xué)數(shù)列知識(shí)，寫出一個(gè)等差數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式,該數(shù)列以

33.6為首項(xiàng)，并使得24和19.2也是該數(shù)列的項(xiàng)；

（2）佛山世紀(jì)蓮體育中心上層屋蓋外徑為310米.根據(jù)你得到的等差數(shù)列,連續(xù)取用該數(shù)列前山（小G

N*）項(xiàng)的值作為方體的高度,在保持最小方體高度為19.2米的情況下，采用新的堆疊規(guī)則，自下而上依

次為2a1、3a2、4a3、...、（m+l）am（（m+D冊(cè),表示高度為o?的方體連續(xù)堆疊m+1層的總高度），請(qǐng)

問新堆疊坊塔的高度是否超過310米？并說明理由.

???

題目區(qū)在當(dāng)前市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)條件下，某服裝市場(chǎng)上私營個(gè)體商店中的商品所標(biāo)價(jià)格a與其實(shí)際價(jià)值b之間

存在著相當(dāng)大的差距.對(duì)購物的消費(fèi)者來說，這個(gè)差距越小越好，而商家則相反,于是就有消費(fèi)者與商

家的“討價(jià)還價(jià)”，常見的方法是“對(duì)半還價(jià)法”，消費(fèi)者第一次減去定價(jià)的一半，商家第一次討價(jià)加上

二者差價(jià)的一半;消費(fèi)者第二次還價(jià)再減去二者差價(jià)的一半，商家第二次討價(jià),再加上二者差價(jià)的一

半，如此下去,可得表1:

表1

次數(shù)消費(fèi)者還價(jià)商家討價(jià)

.1Q=bi+/(a—bj

第一次b'F

^2=Ci-y(C-6i)

第二次1°2=

第三次%=。2-~^-(C2—b2)。3=匕3+/(。2—6)

?????????

b=c-i—~^~(c-i—b-i)Cn=b+-^-(c-i—b)

第九次nnnnnnn

消費(fèi)者每次的還價(jià)圖(nGk)組成一個(gè)數(shù)列｛bj.

(1)寫出此數(shù)列的前三項(xiàng)，并猜測(cè)通項(xiàng)勾的表達(dá)式并求出limb.；

九一+8

(2)若實(shí)際價(jià)格b與定出a的價(jià)格之比為b:a=0.618:1,利用“對(duì)半還價(jià)法”討價(jià)還價(jià),最終商家將能有

百分之幾的利潤(rùn)？

題目區(qū)近兩年，直播帶貨逐漸成為一種新興的營銷模式，帶來電商行業(yè)的新增長(zhǎng)點(diǎn).某直播平臺(tái)第1年

初的啟動(dòng)資金為500萬元，由于一些知名主播加入，平臺(tái)資金的年平均增長(zhǎng)率可達(dá)40%，每年年底把除

運(yùn)營成本a萬元，再將剩余資金繼續(xù)投入直播平合.

(1)若a=100,在第3年年底扣除運(yùn)營成本后，直播平臺(tái)的資金有多少萬元？

(2)每年的運(yùn)營成本最多控制在多少萬元，才能使得直播平臺(tái)在第6年年底切除運(yùn)營成本后資金達(dá)到

3000萬元？(結(jié)果精確到0.1萬元)

題目Ui甲、乙兩人同時(shí)分別入職AB兩家公司，兩家公司的基礎(chǔ)工資標(biāo)準(zhǔn)分別為：A公司第一年月基

礎(chǔ)工資數(shù)為3700元，以后每年月基礎(chǔ)工資比上一年月基礎(chǔ)工資增加300元；B公司第一年月基礎(chǔ)工資

數(shù)為4000元，以后每年月基礎(chǔ)工資都是上一年的月基礎(chǔ)工資的1.05倍.

（1）分別求甲、乙兩人工作滿10年的基礎(chǔ)工資收入總量（精確到1元）

（2）設(shè)甲、乙兩人入職第n年的月基礎(chǔ)工資分別為期、圖元，記品=冊(cè)一隊(duì),討論數(shù)列｛品｝的單調(diào)性，指

出哪年起到哪年止相同年份甲的月基礎(chǔ)工資高于乙的月基礎(chǔ)工資,并說明理由.

題目叵治理垃圾是S市改善環(huán)境的重要舉措.去年S市產(chǎn)生的垃圾量為200萬噸,通過擴(kuò)大宣傳、環(huán)

保處理等一系列措施,預(yù)計(jì)從今年開始，連續(xù)5年，每年的垃圾排放量比上一年減少20萬噸，從第6年

開始，每年的垃圾排放量為上一年的75%.

（1）寫出S市從今年開始的年垃圾排放量與治理年數(shù)"⑺6N*）的表達(dá)式；

（2）設(shè)人.為從今年開始幾年內(nèi)的年平均垃圾排放量.如果年平均垃圾排放量呈逐年下降趨勢(shì)，則認(rèn)為

現(xiàn)有的治理措施是有效的;否則，認(rèn)為無效，試判斷現(xiàn)有的治理措施是否有效，并說明理由.

題目區(qū)為了防止某種新冠病毒感染，某地居民需服用一種藥物預(yù)防.規(guī)定每人每天定時(shí)服用一次，每次

服用小毫克.已知人的腎臟每24小時(shí)可以從體內(nèi)濾除這種藥物的80%，設(shè)第n次服藥后（濾除之前）

這種藥物在人體內(nèi)的含量是冊(cè)毫克，（即5=G）.

（1）已知772=12,求出、。3；

（2）該藥物在人體的含量超過25毫克會(huì)產(chǎn)生毒副作用，若人需要長(zhǎng)期服用這種藥物,求m的最大值.

題目叵保障性租賃住房,是政府為緩解新市民、青年人住房困難，作出的重要決策部署.2021年7月，

國務(wù)院辦公廳發(fā)布《關(guān)于加快發(fā)展保障性租賃住房的意見》后，國內(nèi)多個(gè)城市陸續(xù)發(fā)布了保障性租賃住

房相關(guān)政策或征求意見稿.為了響應(yīng)國家號(hào)召，某地區(qū)計(jì)劃2021年新建住房40萬平方米,其中有25

萬平方米是保障性租賃住房.預(yù)計(jì)在今后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積平均比上一年增長(zhǎng)8%,

另外，每年新建住房中，保障性租賃住房的面積均比上一年增加5萬平方米.

（1）到哪一年底,該市歷年所建保障性租賃住房的累計(jì)面積（以2021年為累計(jì)的第一年）將首次不少于

475萬平方米？

（2）到哪一年底，當(dāng)年建造的保障性租賃住房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%?

題目區(qū)某市2013年發(fā)放汽車牌照12萬張,其中燃油型汽車牌照10萬張，電動(dòng)型汽車2萬張，為了節(jié)能

減排和控制總量，從2013年開始，每年電動(dòng)型汽車牌照按50%增長(zhǎng)，而燃油型汽車牌照每一年比上一

年減少0.5萬張，同時(shí)規(guī)定一旦某年發(fā)放的牌照超過15萬張，以后每一年發(fā)放的電動(dòng)車的牌照的數(shù)

量維持在這一年的水平不變.

（1）記2013年為第一年,每年發(fā)放的燃油型汽車牌照數(shù)量構(gòu)成數(shù)列｛冊(cè)｝,每年發(fā)放電動(dòng)型汽車牌照數(shù)

為構(gòu)成數(shù)列｛6?｝，完成下列表格，并寫出這兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式；

a=_

Ql=10。2=9.5。3=_4

bi=2&2=3%=_.bi=_

（2）從2013年算起，累計(jì)各年發(fā)放的牌照數(shù)，哪一年開始超過200萬張?

題目叵］市民小張計(jì)劃貸款60萬元用于購買一套商品住房，銀行給小張?zhí)峁┝藘煞N貸款方式：

①等額本金:每月的還款額呈遞減趨勢(shì)，且從第二個(gè)還款月開始，每月還款額與上月還款額的差均相

同；

②等額本息:每月的還款額均相同.

銀行規(guī)定,在貸款到賬日的次月當(dāng)天開始首次還款（如2020年7月7日貸款到賬,則2020年8月7日

首次還款）.已知該筆貸款年限為20年，月利率為0.4%.

（1）若小張采取等額本金的還款方式，已知第一個(gè)還款月應(yīng)還4900元,最后一個(gè)還款月應(yīng)還2510元,試

計(jì)算該筆貸款的總利息、.

（2）若小張采取等額本息的還款方式，銀行規(guī)定，每月還款額不得超過家庭平均月收入的一半.已知小

張家庭平均月收入為1萬元，判斷小張申請(qǐng)?jiān)摴P貸款是否能夠獲批（不考慮其他因素）.

參考數(shù)據(jù)：1.0042.61.

（3）對(duì)比兩種還款方式，從經(jīng)濟(jì)利益的角度考慮,小張應(yīng)選擇哪種還款方式.

題目叵］流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道傳染病.某市去年11月份曾發(fā)生流感，據(jù)統(tǒng)計(jì)，11

月1日該市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于該市醫(yī)療部

門采取措施,使該種病毒的傳播得到控制，從11月k+1(9&k<29#CN*)日起每天的新感染者比前

一天的新感染者減少20人.

(1)若k=9,求11月1日至11月10日新感染者總?cè)藬?shù)；

(2)若到11月30日止,該市在這30天內(nèi)的新感染者總?cè)藬?shù)為11940人，問H月幾日，該市新感染者人

數(shù)最多？并求這一天的新感染者人數(shù).

題目舊某知識(shí)測(cè)試的題目均為多項(xiàng)選擇題，每道多項(xiàng)選擇題有4B,C,。這4個(gè)選項(xiàng)，4個(gè)選項(xiàng)中僅

有兩個(gè)或三個(gè)為正確選項(xiàng).題目得分規(guī)則為:全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

已知測(cè)試過程中隨機(jī)地從四個(gè)選項(xiàng)中作選擇,每個(gè)選項(xiàng)是否為正確選項(xiàng)相互獨(dú)立.若第一題正確選項(xiàng)

為兩個(gè)的概率為J，并且規(guī)定若第i(i=1,2,…,71-1)題正確選項(xiàng)為兩個(gè)，則第i+1題正確選項(xiàng)為兩

個(gè)的概率為1;第i(i=題正確選項(xiàng)為三個(gè)，則第i+1題正確選項(xiàng)為三個(gè)的概率為

(1)若第二題只選了“C”一個(gè)選項(xiàng)，求第二題得分的分布列及期望；

(2)求第n題正確選項(xiàng)為兩個(gè)的概率；

(3)若第九題只選擇8、。兩個(gè)選項(xiàng)，設(shè)V表示第n題得分,求證：E(V)W2.

io

題目叵］甲、乙兩人進(jìn)行象棋比賽，賽前每人發(fā)3枚籌碼.一局后負(fù)的一方，需將自己的一枚籌碼給對(duì)

方;若平局，雙方的籌碼不動(dòng)，當(dāng)一方無籌碼時(shí)，比賽結(jié)束，另一方最終獲勝.由以往兩人的比賽結(jié)果可

知，在一局中甲勝的概率為0.3、乙勝的概率為0.2.

（1）第一局比賽后，甲的籌碼個(gè)數(shù)記為X,求X的分布列和期望；

（2）求四局比賽后，比賽結(jié)束的概率；

（3）若舄（i=0,l,…,6）表示“在甲所得籌碼為i枚時(shí)，最終甲獲勝的概率”，則冗=0,冗=1.證明：

｛一+L、｝（i=0,1,2,…,5）為等比數(shù)列.

題目叵已知數(shù)列｛冊(cè)｝的前幾項(xiàng)和為Sng=2,對(duì)任意的正整數(shù)71,點(diǎn)（M+i,Sn）均在函數(shù)/（無）=2圖象

⑴證明:數(shù)列｛SJ是等比數(shù)列；

（2）問｛冊(cè)｝中是否存在不同的三項(xiàng)能構(gòu)成等差數(shù)列？說明理由.

???

題目|15｝如果數(shù)列｛冊(cè)｝對(duì)任意的nEN*,an+2—an+1＞冊(cè)+廠冊(cè),則稱｛a"｝為“速增數(shù)列”.

（1）請(qǐng)寫出一個(gè)速增數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式，并證明你寫出的數(shù)列符合要求；

（2）若數(shù)列｛時(shí)｝為“速增數(shù)列”，且任意項(xiàng)Z,?=1,a2=3,耿=2023，求正整數(shù)A;的最大值.

題目叵］設(shè)數(shù)列｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和為S”,若得WW25CN*）,則稱｛冊(cè)｝是“緊密數(shù)列”.

（1）若@=2管，判斷｛an｝是否是“緊密數(shù)列”，并說明理由；

（2）若數(shù)列｛冊(cè)｝前幾項(xiàng)和為5.=十（川+371）,判斷｛冊(cè)｝是否是“緊密數(shù)列”，并說明理由；

（3）設(shè)數(shù)列｛冊(cè)｝是公比為q的等比數(shù)歹U.若數(shù)列｛an｝與｛SJ都是“緊密數(shù)列”，求q的取值范圍.

題目,已知｛冊(cè)｝和｛bn｝是各項(xiàng)均為正整數(shù)的無窮數(shù)歹U,若｛冊(cè)｝和｛6J都是遞增數(shù)歹U,且｛冊(cè)｝中任意

兩個(gè)不同的項(xiàng)的和不是拈/中的項(xiàng)，則稱｛冊(cè)｝被｛幻｝屏蔽.已知數(shù)列｛cj滿足工+2+…

Clc2

+————=n(nETV*).

cn

(1)求數(shù)列｛cn｝的通項(xiàng)公式；

(2)若｛dn｝為首項(xiàng)與公比均為C1+l的等比數(shù)歹!J,求數(shù)列｛cn-dn］的前幾項(xiàng)和S〃,并判斷｛Sn｝能否被

｛品｝屏蔽,請(qǐng)說明理由.

題目|18］設(shè)4=/(c)是定義域?yàn)镽的函數(shù)，如果對(duì)任意的g、X2GR(x1^x2),\f(x1)-f(x2)\<屆―電|均

成立，則稱夕=/(?)是“平緩函數(shù)”.

⑴若力Q)=-—,〃，)=simc,試判斷夕=力㈤和沙=人3)是否為“平緩函數(shù)”？并說明理由；(參

6+1

考公式:①>0時(shí)，sinreV/恒成立)

(2)若函數(shù)是“平緩函數(shù)"，且g=/Q)是以1為周期的周期函數(shù)，證明:對(duì)任意的刈、電GA,

均有-/(?2)l<y；

(3)設(shè)u=gQ)為定義在R上函數(shù)，且存在正常數(shù)人>1使得函數(shù)夕=A-gQ)為“平緩函數(shù)”.現(xiàn)定

義數(shù)列｛xn｝滿足:g=0,4=g(*nT)(n=2,3,4,…)，試證明:對(duì)任意的正整數(shù)71,gQn)W.

71—1

題目叵]若項(xiàng)數(shù)為N(N>3)的數(shù)列4：電@,…,aw滿足：5=1?六m[=2,3,--,")，且存在河6

{"我■二則稱數(shù)…有性質(zhì)

{2,3,…,N—1}，使得an+1—anE

(1)①若N=3,寫出所有具有性質(zhì)P的數(shù)列4；

②若N=4,a4=3,寫出一個(gè)具有性質(zhì)尸的數(shù)列A4；

⑵若N=2024,數(shù)列4)24具有性質(zhì)P，求4124的最大項(xiàng)的最小值；

⑶已知數(shù)列4：出42,…,。',為：仇也，…,與均具有性質(zhì)P，且對(duì)任意i/e{1,2,…,M，當(dāng)1巧時(shí)，都有

a六電,bj.記集合7]={aiQ,…,aQ，T2={仇也，…,如}，求工口或中元素個(gè)數(shù)的最小值.

題目西在一個(gè)有窮數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入這兩項(xiàng)的和,形成新的數(shù)列，我們把這樣的操作稱為該

數(shù)列的一次“和擴(kuò)充”.如數(shù)列1,2第1次“和擴(kuò)充”后得到數(shù)列1,3,2,第2次“和擴(kuò)充”后得到數(shù)列

1,4,3,5,2.設(shè)數(shù)列a,b,c經(jīng)過第4次“和擴(kuò)充”后所得數(shù)列的項(xiàng)數(shù)記為2，所有項(xiàng)的和記為S”.

⑴若0=1,1=2,6=3,求2,S2;

(2)設(shè)滿足2023的打的最小值為9,求為及(其中[句是指不超過力的最大整數(shù)，如[1.2]=

LTJ

1,[—2.6]=—3)；

???

題目囪J已知Q：電42,…,出為有窮整數(shù)數(shù)列.給定正整數(shù)力,若對(duì)任意的nE在Q中存在

汁1,。汁2,…,出+4/>0）,使得a：+a汁1+*2H---Fa；+j=n,則稱Q為m—連續(xù)可表數(shù)列.

（1）判斷Q：2,1,4,2是否為7—連續(xù)可表數(shù)列？是否為8—連續(xù)可表數(shù)列？說明理由；

⑵若Q：電《2,…，以為8—連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4.

題目畫已知有限數(shù)列｛冊(cè)｝,從數(shù)列｛%｝中選取第1項(xiàng)、第i2項(xiàng)、…、第基項(xiàng)（i《i2〈…VJ），順次排列

構(gòu)成數(shù)列｛既｝，其中bk=aik,1WkWm,則稱新數(shù)列｛既｝為｛a,J的長(zhǎng)度為m的子列.規(guī)定:數(shù)列｛冊(cè)｝

的任意一項(xiàng)都是｛冊(cè)｝的長(zhǎng)度為1的子列，若數(shù)列｛冊(cè)｝的每一子列的所有項(xiàng)的和都不相同，則稱數(shù)列

｛a?｝為完全數(shù)列.設(shè)數(shù)列｛冊(cè)｝滿足an=n,l&n&25,nCN*.

（1）判斷下面數(shù)列｛冊(cè)｝的兩個(gè)子列是否為完全數(shù)列，并說明由；

數(shù)列①：3,5,7,9,11；數(shù)列②：2,4,8,16.

（2）數(shù)列｛斯｝的子列｛既｝長(zhǎng)度為山,且｛d｝為完全數(shù)列,證明：m的最大值為6；

（3）數(shù)列｛冊(cè)｝的子列｛瓦｝長(zhǎng)度巾=5,且｛既｝為完全數(shù)列，求/+；+；+白+；的最大值.

。5

12

題目叵］有窮數(shù)列｛冊(cè)｝共小項(xiàng)(m>3).其各項(xiàng)均為整數(shù),任意兩項(xiàng)均不相等.b,=

|Q「Qz+J(i=1,2,…,nz—1),"+i(i=1,2,…,?72—2).

(1)若｛QJ：0,1,。3?求。3的取值范圍；

54

⑵若小=5,當(dāng)2舊取最小值時(shí),求?的最大值；

i=li=l

m—1

(3)若1力(i=1,2,=M+L求館的所有可能取值.

k=l

題目叵如圖為一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)表，記數(shù)表中第i行第，列的數(shù)為a(ij),已知各行從左至右成等

差數(shù)列，各列從上至下成公比相同的等比數(shù)列.

(1)若a(i,J)=100,求實(shí)數(shù)對(duì)(i,j)；

(2)證明:所有正整數(shù)恰在數(shù)表中出現(xiàn)一次.

｛

題目|25］若數(shù)列｛an｝滿足履+i—QJ=l(k=1,2,3,…,?i—1(/>2)),則稱數(shù)列QJ為〃數(shù)列.記S4=Qi

+a2+a3+—l-an.

(1)寫出一個(gè)滿足電=<25=1,且$5=5的〃數(shù)列；

(2)若5=24,八=2000,證明：〃數(shù)列｛aJ是遞增數(shù)列的充要條件是an=2023；

(3)對(duì)任意給定的整數(shù)口⑺>3),是否存在首項(xiàng)為1的〃數(shù)列｛冊(cè)｝,使得S0=1?如果存在，寫出一個(gè)滿

足條件的〃數(shù)列｛冊(cè)｝；如果不存在，說明理由.

?3定義矩陣運(yùn)算：(：；)(；)=()；/?已知數(shù)列｛”｛.｝滿足電=1，且(；：)(；：

kn(2"+l)r

(1)證明：｛%｝,｛“J分別為等差數(shù)歹！j,等比數(shù)列.

(2)求數(shù)列伍20+3蝮i+l｝的前n項(xiàng)和Sn.

14

題目區(qū)將數(shù)列｛冊(cè)｝按照一定的規(guī)則，依順序進(jìn)行分組，得到一個(gè)以組為單位的序列稱為數(shù)列｛冊(cè)｝的

一個(gè)分群數(shù)列，｛源｝稱為這個(gè)分群數(shù)列的原數(shù)列.如（如小2,…,4）,3r+1,0r+2,…,e），（&+1,如+2,…,a$）,

…，（aa+lEm+Z,…是數(shù)歹U｛冊(cè)｝的一個(gè)分群數(shù)列,其中第k個(gè)括號(hào)稱為第k群.已知數(shù)列｛冊(cè)｝的

通項(xiàng)公式為an=2n.

（1）若數(shù)列｛冊(cè)｝的一個(gè)分群數(shù)列每個(gè)群都含有3項(xiàng),該分群數(shù)列第k群的最后一項(xiàng)為既,求數(shù)列｛bn｝的

通項(xiàng)公式.

（2）若數(shù)列｛冊(cè)｝的一個(gè)分群數(shù)列滿足第七群含有k項(xiàng)，4為｛冊(cè)｝的該分群數(shù)列第k群所有項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)

集，設(shè)｛m\amEAk,am+6E/小｝,求集合河中所有元素的和.

題目也已知數(shù)列修｝是以寺為首項(xiàng)的常數(shù)列應(yīng)為數(shù)列｛編的前幾項(xiàng)和.

⑴求S”；

⑵設(shè)正整數(shù)771=Mx3°+%義3】+…+既X3*,其中dC{0,1,2},“eN.例如：3=0x3°+lx3、則b0

=0,bi=1；4=1X3°+lX3、則b0=1,bx=1.若于(m)=bo+b^1■既,求數(shù)列{S?-/(S?)}的前九項(xiàng)

和黑.

題目叵已知｛aJ是公比為q的等比數(shù)列.對(duì)于給定的=1,2,3…用，設(shè)T⑻是首項(xiàng)為ak，公差為

2aLi的等差數(shù)列｛冊(cè)｝，記T㈤的第i項(xiàng)為戲).若麼)+券=爍,且斕=4).

⑴求｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

⑵求

，=i晅溜

n

⑶求￡好

i=l

題目叵］已知數(shù)列｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和為S”,且S"=2"+L

(1)求｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

(2)保持｛冊(cè)｝中各項(xiàng)先后順序不變，在&與&+1之間插入九個(gè)1，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)

列｛口｝,記｛0｝的前n項(xiàng)和為北,求Zoo的值(用數(shù)字作答).

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題目叵］若項(xiàng)數(shù)為k（keN*,k>3）的有窮數(shù)列｛an｝滿足：0Wai<a2<a3<-<電，且對(duì)任意的i,j

（1<iWk）,%.+應(yīng)或出一的是數(shù)列｛冊(cè)｝中的項(xiàng),則稱數(shù)列｛an｝具有性質(zhì)P.

（1）判斷數(shù)列0,1,2是否具有性質(zhì)P,并說明理由；

（2）設(shè)數(shù)列｛an｝具有性質(zhì)P,如（i=L2,…，%）是｛4｝中的任意一項(xiàng)，證明：&一備一定是｛4｝中的

項(xiàng)；

⑶若數(shù)列｛aj具有性質(zhì)P,證明：當(dāng)k>5時(shí)，數(shù)列｛aj是等差數(shù)列.

題目叵已知有窮數(shù)列As,a2,…，冊(cè)（n>3）中的每一項(xiàng)都是不大于n的正整數(shù).對(duì)于滿足

"的整數(shù)令集合4山）=｛“除=m,k=l,2,…，n｝.記集合4mo中元素的個(gè)數(shù)為sG71）（約

定空集的元素個(gè)數(shù)為0）.

⑴若46,3,2,5,3,7,5,5,求人⑸及s⑸；

（2）若J/H—^―-H--1■—J、=,求證：a］，a2,…，a”互不相同；

s（ajs（a2）s（an）

（3）已知出=a,&2=b,若對(duì)任意的正整數(shù)i,，（i片，，i+，Wn）都有i+/CA（aJ或i+/C4%）,求出

+<22+—Fa”的值.

???

題目33]已知無窮數(shù)列｛an｝滿足冊(cè)=max｛an+1,an+2｝-min｛a九+i,Q2｝（n=1,2,3,…），其中max｛⑨g｝

表示力，g中最大的數(shù)，min｛%,g｝表示力，g中最小的數(shù).

（1）當(dāng)Qi=l,電=2時(shí)，寫出。4的所有可能值；

（2）若數(shù)列｛冊(cè)｝中的項(xiàng)存在最大值，證明：0為數(shù)列｛%｝中的項(xiàng)；

⑶若冊(cè)＞0伍=1,2,3,…），是否存在正實(shí)數(shù)河，使得對(duì)任意的正整數(shù)人都有冊(cè)《河？如果存在，寫出

一個(gè)滿足條件的M；如果不存在，說明理由.

題目回設(shè)N為整數(shù).有窮數(shù)列｛冊(cè)｝的各項(xiàng)均為正整數(shù)，其項(xiàng)數(shù)為館（館＞2）.若｛Q/滿足如下兩個(gè)性

伊0九+1],Q九為奇數(shù)，

質(zhì)，則稱｛aj為月數(shù)列：①%=1，且&Wl（i=l,2,…,小一l）；②Qr1+l=《an少田4（九=1，

可，%,為偶數(shù)

2,…,m—1）

（1）若｛aj為Pi數(shù)歹!J,且。尸5,求加；

（2）若｛冊(cè)｝為21數(shù)歹!J,求出的所有可能值；

（3）若對(duì)任意的B數(shù)列｛QJ，均有館《210g2Gi+d，求d的最小值.

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題目叵］若數(shù)列｛//滿足4+1=則稱數(shù)列｛4J為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列｛%｝中，的=9,點(diǎn)

（%,冊(cè)+1）在函數(shù)/（⑼=^+2*的圖象上，其中n為正整數(shù)，

（1）證明：數(shù)列｛冊(cè)+1｝是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列｛lg（a?+l）｝為等比數(shù)列；

⑵設(shè)鼠=lg（%+l）,c“=2n+4,定義a*b='a：?’,且記*=bn*q,求數(shù)列｛虞｝的前?2項(xiàng)和Sn.

［b,a>b,

題目叵如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都大于2,則稱這個(gè)數(shù)列為“G型數(shù)列”.

⑴若數(shù)列｛aj滿足電=1,an+1an=32^,求證:數(shù)列｛冊(cè)｝是“G型數(shù)列”.

（2）若數(shù)列｛冊(cè)｝的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且電=1,｛aJ為“G型數(shù)列”,記bn=冊(cè)+1,數(shù)列｛0｝為等比數(shù)列,

公比q為正整數(shù)，當(dāng)仍”｝不是“G型數(shù)列”時(shí),求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式.

（3）在（2）的條件下，令c”=,記｛cj的前n項(xiàng)和為,是否存在正整數(shù)rn,使得對(duì)任意的nG

^n^n+1

N*,都有擊6（巾―1,巾］成立？若存在，求出山的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

bn