2024年秋季高三開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試卷B卷含答案

2024年秋季高三開學(xué)摸底考試數(shù)學(xué)試卷B卷

學(xué)校：___________姓名：班級：___________考號：

一'選擇題

1.設(shè)全集U=R，集合4={小2-2%>0},3={小=氏2用，則@可B=()

A.1x|0<x<21B.1x|0<x<21C.1x|0<%<21D.1x|0<x<2}

2.在平行四邊形ABC。中,G為△ABC的重心，滿足47=；0鉆+/10(尤℃1i),則

x-2y=()

A.AB.-C.OD.-l

33

3.第14屆國際數(shù)學(xué)教育大會在上海華東師范大學(xué)舉行，如圖是本次大會的會標,會標中

“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦3,7,4,4,這是中國古代八進制計數(shù)符號,換算成

現(xiàn)代十進制是3x83+7x8?+4xU+4x8°=2020,正是會議計劃召開的年份，那么八進制

4.已知函數(shù)/(%)=Asin(0x+0)(A>0,(v>09I^|<—)的部分圖象如圖所示，將

函數(shù))(幻的圖象向右平移加加>0)個單位長度后，所得到的函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于原點

5.已知圓￡：尤2+〉2=從3>0）與雙曲線。2：0—1=1（。>0力>0）,若在雙曲線C,上

ab

存在一點P,使得過點P所作的圓C1的兩條切線，切點為A,B,且NAPB=巴，則雙

3

曲線。2的離心率的取值范圍是（）

A.1,手B.]乎,+ooC.（l,73]D.[百,+oo）

6.已知函數(shù)/。）=苫3+以2+3利+。的圖象在點（1,〃1））處的切線方程為丁=-12%+m.

若函數(shù)至少有兩個不同的零點，則實數(shù)》的取值范圍是（）

A.（-5,27）B.[-5,27]C.（-1,3]D.[-l,3]

7.已知A,B,C,D四點都在表面積為100兀的球0的表面上，若AZ）球。的直徑，且

BC=4,ABAC=150°，則三棱錐A—5CD體積的最大值為（）

A.4V3B.873C.4（2-73）立8（2-5

2

8.已知函數(shù)/（x）=_^,則不等式/（x）〉e，的解集為（）

1+lnx

A.（0,1）B（/[C.（l,e）D.（l,+oo）

二、多項選擇題

9.在復(fù)數(shù)集內(nèi)，下列命題是真命題的是（）

A.若復(fù)數(shù)zcR，則彳cR

B.若復(fù)數(shù)Z滿足z2eR，則zGR

Z],z?Z]=z

C.若復(fù)數(shù)滿足zxz2eR,則2

D.若復(fù)數(shù)z滿足』eR,則ZGR

z

10.已知函數(shù)/（尤）與g（x）的定義域均為R,/（x+3）+g（x）=3,/（x）-g（-l-x）=l,<

g（-l）=2,g（x-1）為偶函數(shù)，則下列選項正確的是（）

A.函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于x=-1對稱B./（2）=l

2025

c.g（2）=0D.￡"（A）+g（4）]=6074

k=l

11.已知拋物線c過點A（l,-4）,則（）

A.拋物線C的標準方程可能為/=16x

B.撻物線C的標準方程可能為2=--y

x4"

C.過點A與拋物線只有一個公共點的直線有一條

D.過點A與拋物線只有一個公共點的直線有兩條

三、填空題

12.在［也-2］的二項展開式中，只有第5項的二項式系數(shù)最大，則該二項展開式中

的常數(shù)項等于.

13.已知圓。：爐+/―4x+6y-12=0,直線/：4x-3y+23=0,P為/上的動點，過點P作

圓C的切線，切點為MM\PM\的最小值為.

14.某同學(xué)5次上學(xué)途中所花的時間(單位：分鐘)分別為x,>,8,10,12.已知這組數(shù)據(jù)

的平均數(shù)為10,標準差為夜，則％-y的值為.

四、解答題

15.為考察某種藥物A對預(yù)防疾病B的效果，進行了動物試驗，根據(jù)40個有放回簡單隨

機樣本的數(shù)據(jù)，得到如下列聯(lián)表：

(1)補全下面的2x2列聯(lián)表(單位：只)；

疾病3

藥物合

未患患

A計

病病

未服

7

用

服用819

合計

(2)依據(jù)a=0.05的獨立性檢驗，分析藥物A對預(yù)防疾病B的有效性.

八一八m2n(ad-bc)24,

參考公式：力=(a+b)(c+d)(a+c)W+d)淇中—+/

參考附表:

0.100.050.02

a

005

2.703.845.02

Xa

614

16.如圖，在四棱錐A—BCOE中，平面平面BCDE，AELBE，四邊形

BCDE為梯形，BCHDE，BC工BE，AB=25BC=2,CD=2舊BE=2,BD

交CE■于點。，點P在線段AB上，且AP=2Pfi.

(1)證明：0?！ㄆ矫鍭C￡).

(2)求二面角A—CD—E1的正弦值.

22

17.在平面直角坐標系xOy中才隋圓C:f+與=1(。〉人〉0)的左,右頂點分別為A、B,

ab

點R是橢圓的右焦點,AE=3FB,A?FB=3.

⑴求橢圓C的方程；

(2)不過點A的直線/交橢圓C于M、N兩點,記直線/、AM,AN的斜率分別為匕占，七.

若%(%+%2)=1,證明直線/過定點，并求出定點的坐標.

18.已知函數(shù)/(x)=2ox-a-l,g(x)=e*-ex.

(1)討論g(x)的單調(diào)性并求極值.

(2)設(shè)函數(shù)M?=g，(x)—〃x)(g〈x)為g(x)的導(dǎo)函數(shù))，若函數(shù)〃⑴在(0,1)內(nèi)有

兩個不同的零點,求實數(shù)。的取值范圍.

19.已知函數(shù)/(x)=2sin(ox+0)(o>O,O<0<7i)在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示溶函

數(shù)/(幻的圖象向左平移三個單位長度,再將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，

縱坐標不變，得到函數(shù)g(x)的圖象.

(1)求g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)在△ABC中，若/(A)=-0,AB=2,AC=5,求BC.

參考答案

1.答案：c

解析：A=|x|x<>2j,A=1x|0<%<21,XB=^x|y=log2|x|j=|x|x^Oj,

；.(2A)B=|X|0<%<21.

2.答案：C

解析：設(shè)AC,相交于點。,G為△ABC的重心，

可得。為BD中點，5G=2G9，

AG=AO+OG=AO+^OB=AO+~DB=~^AB+AD)+^AB-AD^

=243+,4￡),所以％=2,)；=」,所以%—2'=2—2=0.

333-333

3.答案：C

解析：由進位制的換算方法可知,八進制77一-7換算成十進制得：

8個7

1_Q8

7X87+7X86+---+7X81+7X8°=7X——=88-b

1-8

88-l=(10-2)8-l=C°108+C；107(-2)1+---+^101(-2)7+C|(-2)8-1

因為C；K)8+c；K)7(_2)i+...+C；10i(-2)7是10的倍數(shù),

所以，換算后這個數(shù)的末位數(shù)字即為C；(-2)8-1的末尾數(shù)字，

由C((-2)8—1=255可得沫尾數(shù)字為5.

故選:C

4.答案：B

解析：由題意得，4=3,—=7T—fT=6n>co=—,又

4{2J23

/(0)=3sin^=-,\(p\<-，：.(p=~,.■./(x)=3sinf-+-L將/(x)的圖象向右平移

226136)

m(m>0)個單位長度后得到的函數(shù)解析式為g(x)=3sinri-?｝由題意可知,函

數(shù)y=g(x)為奇函數(shù)，=kn(keZ),m=—~3kn(keZ),當(dāng)左=。時,

632

m=—,故選B.

2

5.答案：B

解析：連接。4、OB、OPMOALAP,OBLBP

由切線長定理可知,

=歸用,又因為|1=|OB|,|OP|=|OP|,所以,ZXAOP三△BOP,所

1JT

以,NAP0=N3PO=—ZAP3:一,貝U|OP=2|OA|=2b,

26

設(shè)點P(x,y),則丁="

-Z?2,JL|x|>a,

a

\a?—b2=a$

Va

6.答案：B

解析：由題意，得r(x)=3x?+2ax+3。，，/")=3+5a=—12,a=-3,

/(x)=A3-3x?-9x+Z?.令/'(x)=3x?-6x-9=0,得占=一1,々=3.當(dāng)x<—1或x>3

時，f\x)>0,.1/(x)在(-oo,—1),(3,+oo)上單調(diào)遞增；當(dāng)—l<x<3時，f'(x)<0,

.?./(X)在(-1,3)上單調(diào)遞減二當(dāng)x=-1時，/(x)有極大值/(-1)=H5；當(dāng)x=3時，

缶+5>0

/(幻有極小值/(3)=6-27.若要使/(%)至少有兩個不同的零點，只需，一，解

b-Zl<Q

得-5W6W27.故選B.

7.答案：D

解析：設(shè)球。的半徑為R,因為球。的表面積為100兀，故4兀長=i(x)兀，即尺=5,

BC=4,ZBAC=120。,設(shè)AABC的外接圓半徑為廠,圓心為Ox,

二根據(jù)正弦定理知,一--=2廠,即廠=4，

sin150°

3|=’OB?—Op=752-42=3，

AD是直徑是AD中點，故D到平面ABC的距離為2\OO^=6,

在△ABC中，根據(jù)余弦定理得,BC2=AB2+AC2-2AB-AC-cosZBAC，

BP16=AB2+AC2+gAB-AC>2AB-AC+6AB-AC，

ABAC<16(2-也)，當(dāng)且僅當(dāng)AB=AC時，等號成立，

.?.△ABC面積的最大值為S=gAB?AC?sinNR4C=gx16(2—6)義g=4(2-百),

三棱錐A-BCD體積的最大值y=1x4(2-73)x6=8(2-73).

故選:D.

8.答案：B

c_2.1+lnx

解析：函數(shù)則/(x)〉e'o^—一〉上，

1+lnx1+lnx1+lnxx

因x>0,則不等式/(x)〉e*成立必有l(wèi)+lnx>0,即x〉L

e

令g(x)=求導(dǎo)得g1x)=e%x-1),當(dāng)4<X<1時,g'(x)<0,

XeX2e

當(dāng)x>1時,g'(x)>0，因此，函數(shù)g(x)在(L1)上單調(diào)遞減，在(L+oo)上單調(diào)遞增，

e

又/(%)>e”og(l+In九)〉g(X),

當(dāng)x>l時,lnx+l>l,于是得l+lnx>x,即l+lnx-x>0,令力(x)=l+lnx-x,

當(dāng)x>1時,hr(x)=--l<0,函數(shù)力(九)在(1,+co)上單調(diào)遞減,Vx>1,h{x)<h(y)=0,因

%

此l+lnx>x無解，

當(dāng)！<%<1日寸,0<lnx+l<1,于是得1+Inxv%,即1+lnx—x<0,此時h\x)=--1>0,

ex

函數(shù)/z(九)在(±1)上單調(diào)遞增,(2,1),/z(x)<h(l)=0，不等式l+lnx<%解集為(±1),

eee

所以不等式/(%)〉e、的解集為(Ll).

e

故選：B.

9.答案：AD

解析：對于A,若復(fù)數(shù)z=a+OicR,則Z?=0,5=z￡R，故A為真命題.

對于B,若復(fù)數(shù)z=i，則%?=-1$R，但zWR，故B為假命題；

對于C,若復(fù)數(shù)4=i,Z2=2i滿足ZE=-2￡R，但4w馬，故C為假命題；

對于D,設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,beR)，則-=f=7~:需—Ayi,

、7za+bi(a+bi)[a-bi)a+b-cr+b-

若工eR,則/?=0,所以z=aeR，故D為真命題；

z

10.答案：ABD

解析：g(xT)為偶函數(shù)，=,即有g(shù)(-x)=g(x-2),A正

確;，/(x+3)+g(x)=3,令x=T,可得〃2)+g(-l)=3,又8(-1)=2,,/(2)=1,：8正確;

/(%)—g(T—x)=l，，/(x)—g(x—l)=l，，/(%+3)—g(x+2)=l①,/(x+l)-g(x)=l

②

將①②式與/(x+3)+g(x)=3聯(lián)立化簡得

g(x)+g(x+2)=2,/(x+l)+/(x+3)=4,.,.g(x)=g(x+4)，/(x)=/(x+4),即/(%)與

g(x)的周期均為4,，g⑴+g(2)+g(3)+g(4)=4,〃l)+〃2)+/⑶+"4)=8

g(O)=g(-2)=g⑵,g(O)+g⑵=2,

，g(—2)=8(0)=8(2)=1。錯誤；

又g(T)=2=g⑶,g⑴+g(3)=2

20257094

--.g(l)=0,.-.￡g(Z:)=--x4+g(l)=2024,

k=i4

2。250074

/(l)+g(-2)=3,.-./(l)=2,.-.￡/(左)=-x8+7?⑴=4050,

k=i4

2025

+g(左)]=4050+2024=6074,D正確.

k=\

11.答案：ABD

解析：對于選項A,當(dāng)拋物線開口向右時，設(shè)拋物線的方程為產(chǎn)二2內(nèi)，將A。,T)代

入拋物線C中得p=8,則拋物線C的方程為丁=i6x，故A正確；

對于選項B,當(dāng)拋物線開口向下時，設(shè)拋物線的方程為必=_2刃，將4(1,T)代入拋

物線C中得夕=!，則拋物線C為/=-工y，故B正確；

84'

對于C、D選項，過點A與對稱軸平行的直線，以及拋物線在點A處的切線都與拋物

線只有一個公共點，故C錯誤，D正確.

故選：ABD.

12.答案：112

解析：[近-的二項展開式的中，只有第5項的二項式系數(shù)最大，.?.”=8,

——8_4r

通項公式為&1=C)(-2)F3=(_2)JC〉令=0,求得r=2,

可得二項展開式常數(shù)項等于4xC；=112。

故答案為：112.

13.答案：^39

解析：將圓C化為標準方程為：（％-2了+（丁+3）2=25,

所以圓C的圓心為C（2,-3%半徑為5,因為9,CM，

所以\PM\=JPC|2-|CM|2=J|PC|2一25,

所以當(dāng)PC'/時,|F>//取得最小值，

因為圓心。（2,-3）到直線/的距離d

V？T?

所以歸閭的最小值為Jg2_25=屈，

故答案為：V39-

14.答案：±2

解析：平均數(shù)為＜x（x+y+10+12+8）=10Wx+y=2（^,

方差為1x[(%-10)2+(y-10)2+(10-10)2+(12-10)2+(8-10)2]=2,

即(x-10)2+(y-10)2=2@,

由①②解得％=9,y=ll或x=ll,y=9,

所以當(dāng)x=9，y=ll時,x—y=—2；當(dāng)％=ll,y=9,x—y=2

故答案為：+2.

15.答案：（1）見解答;

（2）/土2.431<3.841,藥物A對預(yù)防疾病3無效

解析：（1）列聯(lián)表如下:

疾病3

藥物合

未患患

A計

病病

未服

14721

用

服用81119

合計221840

（2）零假設(shè)為“°：藥物A對疾病3無效.

n{ad-be)2

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到/=

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

40x(14x11—8x7)2

?2.431<3.841

(14+7)(8+11)(14+8)(7+11)

根據(jù)小概率值a=0.05的獨立性檢驗，我們沒有充分證據(jù)推斷H。不成立，可以認為4成

立，即認為藥物A對預(yù)防疾病B無效.

16.答案：（1）證明見解析；

（2）正

2

解析：（1）平面平面BCDE，且兩平面交于3E，又AE上BE，

.-.AE±^BCDE-

在ABE中，AB=2?，BE=2,：.AE=242-

BCLBE且BC=BE=2,.?.△BCE是等腰直角三角形，

NBEC=NBCE=,：.EC=2B

jr

BCHDE，ZCED=/BCE=-，

4

又EC=CD=2夜，.,.△OCE為等腰直角三角形，DE=4-

RC1

^BOCsADOE，——=—=—，

DODE2

Bpi

又，一戛=3'所以O(shè)P〃AD，。。.平面人口)陋匚平面人。。，

PA2

.?.。尸〃平面4C￡).

(2)由(1)得AE_L平面BCDE，且BEJLDE，所以建立如圖所示空間直角坐標系.

可得A（O,O,20）,C（2,2,0）,0（0,4,0）,

即AC=Q2,-20）,AD=（0,4,-20）.

ri-AC—2x+2y-20z=0

設(shè)平面ACD的法向量為〃=(%,y,z),則＜

n-AD=4y-2后z=0

解得〃=（1,1,.

平面CDE的法向量為EA=(0,0,2A/2).

n-EAy/2

設(shè)二面角A—CD—E為。，所以cos6=

同2，

則sin，=A/1-COS2^*4=立^?

2

22

17.答案:(1)W1；

43

⑵證明見解析,(-5,0).

解析：⑴由題意，知4(一00),3(。,0),尸(c,0)

〃+c=3（a-c）

AF=3FB,AFFB=3,*i

（a+c）（〃-c）=3

,\a-2

解得（從而〃二/一片二？

c=l,

22

橢圓c的方程三+工=1；

43

（2）設(shè)直線/的方程為y=kx+m,M（xi,yi）,N（x2,y2）.

V直線/不過點A,因此-2k+7〃wO.

[22

工工=]

由143-得（3+4/）尤?+8爪+4加2-12=。.

y=k+m

4m*2-12

A>0時，玉+x2=

：.k[+k2=+=—_（八r、"

%；+2x2+2玉々+2（玉+々）+4

4-m2-12-8km.

------+2不+4

3+4左23+4左2

12（機-24）3

4（蘇-4km+4k2）m-2k'

由左（勺+&）=1,可得3人=7九一2左，即加=5左，

故I的方程為y=kx+5k，恒過定點（-5,0）.

18.答案：（1）見解析

（2）（e-2,1）

解析：（1）因為/（x）=e=e在R上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)尤＜1時g1%）＜0,當(dāng)1＞1時g〈x）＞0,

所以g（X）在（-00,1）上單調(diào)遞減，在（1,+00）上單調(diào)遞增,

所以g（X）的極小值為g⑴=0,無極大值.

（2）因為/z（x）==e*-e-（2or-a-l）=（

所以“(x)=e九一2a,

當(dāng)無￡(0,1)時,exe(1,e),

所以當(dāng)2a?l或2〃Ne時,力⑴在(。,1)上單調(diào)，至多只有一個零點，不滿足題意,

當(dāng)l<2a<e時，由e'_2a=0可得x=ln(2a),

當(dāng)x￡(0,ln(2a))時,//(%)<0,h(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x￡(ln(2a),l)時>0,/z(x)單調(diào)遞增，

/z（0）>0

所以要使函數(shù)人⑴在(0,1)內(nèi)有兩個不同的零點，則有《〃(ln(2a))<0,

X1)>0

由<可得e