三角形中的倒角模型、飛鏢模型、風(fēng)箏模型、角內(nèi)翻模型-2025中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)（含答案）

三角形中的倒角模型-飛鏢模型、風(fēng)箏模型、角內(nèi)翻模

型2025中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)含答案

三角形中的導(dǎo)角模型-飛鏢模蟄、風(fēng)箏模蟄、角內(nèi)翻模爨

近年來(lái)各地中考中常出現(xiàn)一些幾何導(dǎo)角模型,該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計(jì)算（內(nèi)角和定

理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就飛鏢型、風(fēng)箏模型進(jìn)行梳理

及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。

模型1、“飛鏢”模型（“燕尾”模型）

圖1圖2圖3

條件:如圖1,凹四邊形ABCD；結(jié)論:①/3GD=乙4+/B+/。；②4B+AD>BC+C。。

條件:如圖2,線段平分/ABC,線段OD平分/4DC；結(jié)論：ZO=^-（ZA+ZC）-

條件:如圖3,線段AO平分/D4B,線段。。平分/BCD；結(jié)論：ZO=y（ZZ?-ZB）o

飛鏢模型結(jié)論的常用證明方法：

血11（2023?重慶?八年級(jí)專題練習(xí)）請(qǐng)閱讀下列材料,并完成相應(yīng)的任務(wù):

有趣的“飛鏢圖”:如圖，這種形似飛鏢的四邊形，可以形象地稱它為“飛鏢圖”.當(dāng)我們仔細(xì)觀察后發(fā)現(xiàn)，

它實(shí)際上就是凹四邊形.那么它具有哪些性質(zhì)呢？又將怎樣應(yīng)用呢？下面我們進(jìn)行認(rèn)識(shí)與探究：凹四邊

形通俗地說(shuō)，就是一個(gè)角“凹”進(jìn)去的四邊形，其性質(zhì)有:凹四邊形中最大內(nèi)角外面的角等于其余三個(gè)內(nèi)角

之和.

（即如圖1,/ADB=/A+/B+/C）理由如下：

方法一:如圖2,連接AB,則在AABC中，/C+/CAB+/CRA=180°,即/1+/2+/3+/4+/C

=180°,又?在&ABD中，/I+/2+NADB=180°,ANADB=Z3+Z4+ZC,即AADB=ACAD

+ACBD+AC.

方法二:如圖3,連接CD并延長(zhǎng)至F,VZ1和23分別是△ACD和八丹。。的一個(gè)外角，........

大家在探究的過(guò)程中，還發(fā)現(xiàn)有很多方法可以證明這一結(jié)論,你有自己的方法嗎？

任務(wù)：（1）填空:“方法一”主要依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)定理是;

（2）探索:根據(jù)“方法二”中輔助線的添加方式，寫出該證明過(guò)程的剩余部分；

（3）應(yīng)用:如圖4,AE^ZCAD的平分線，是NCBD的平分線，AE與BF交于G,若/ADB

=150°,乙4GB=110°,請(qǐng)你直接寫出ZC的大小.

吼2（2023?廣東河源?八年級(jí)?？计谀拍Ｐ吞骄?如圖1所示的“鏢形”圖中，請(qǐng)?zhí)骄縉ADB與乙4、NB、

/C的數(shù)量關(guān)系并給出證明；（2）模型應(yīng)用：如圖2,DE平分/ADB,CE平分/ACS,/A=24°,NB=

66°,請(qǐng)直接寫出/E的度數(shù).

四3（2022秋.廣西八年級(jí)期中）如圖,AABD,乙4CD的角平分線交于點(diǎn)P,若=48°,=10°,則ZF

的度數(shù)（）

A

BC

D

A.19°B.20°C.22°D.25°

四4（2023?廣東?八年級(jí)期中）如圖,在三角形中，AB>AC>BC,為三角形內(nèi)任意一點(diǎn),連結(jié)AP,并延

長(zhǎng)交于點(diǎn)D求證：（1）AB+AC>AD+BC；（2）AB+AC>AP+BP+CR

國(guó)］5（2023?福建三明?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1所示的圖形，像我們常見(jiàn)的符號(hào)一-箭號(hào).我們不妨把這樣圖

形叫做“箭頭四角形”.

圖1圖2圖3

探究：⑴觀察“箭頭四角形"，試探究/BDC與41、/B、之間的關(guān)系,并說(shuō)明理由；

應(yīng)用：（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論,解決以下兩個(gè)問(wèn)題：

①如圖2,把一塊三角尺XYZ放置在AABC上，使三角尺的兩條直角邊Xy、XZ恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、。,若

ZA=60°,則ZABX+ZACX=:②如圖。3,/ABE、NACE的2等分線（即角平分線）BF、CF相

交于點(diǎn)F,若ABAC=60°,4BEC=130°,求ABFC的度數(shù)；

拓展:⑶如圖4,敢,CQ分別是N4B。、44co的2020等分線（i=l,2,3,?■?,2018,2019）,它們的交

點(diǎn)從上到下依次為Oi、5、。3、…、O20i9.已知ZBOC=m°,/氏4。=n°,則/BOioooC=_度.

模型2、風(fēng)箏模型（鷹爪模型）

1）風(fēng)箏（鷹爪）模型:結(jié)論：/A+/O=/I+/2；?M

2）風(fēng)箏（鷹爪）模型（變形）:結(jié)論：ZA+ZO=Z2-Z1?

吼色（2023?四川達(dá)州?八年級(jí)期末）如圖，/I,Z2,23分別是四邊形的外角，判定下列大小關(guān)系：①

Zl+Z3=AABC+ND；②N1+Z3<ZABC+③/I+/2+/3=360°；④/I+Z2+Z3>360°.

其中正確的是.（填序號(hào)）

血］7（2023春.河南南陽(yáng).八年級(jí)統(tǒng)考期末）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù).

在數(shù)學(xué)探究課上，老師出了這樣一個(gè)題:如圖L銳角ABAC內(nèi)部有一點(diǎn)D,在其兩邊AB和AC上各取任

意一點(diǎn)E,F,連接_DE,DF.求證：ABED+ADFC=ABAC+AEDF.

AA

圖1圖2

小麗的證法小紅的證法

證明：

證明：

如圖2,連接AD并延長(zhǎng)至點(diǎn)河，

/BED=80°,ADFC=60°,

ABED=ABAD+NEDA,

NBAC=51°,ZEDF^89°（量角器測(cè)量所得），

ZDFC=ADAC+NADF（依據(jù)）,

:"BED+ADFC=140°,

又ABAD+ADAC=ABAC,

ZBAC+/EDF=140°（計(jì)算所得）.

/EDA+NADF=NEDF,

:"BED+ADFC=ZBAC+/即尸（等量代換）.

ABED+ADFC=ZBAC+AEDF.

任務(wù)：（1）小麗證明過(guò)程中的“依據(jù)”是指數(shù)學(xué)定理:

（2）下列說(shuō)法正確的是.

A.小麗的證法用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碜C明了該定理

B.小麗的證法還需要改變/氏4C的大小，再進(jìn)行證明，該定理的證明才完整

C.小紅的證法用特殊到一般的方法證明了該定理

D.小紅的證法只要將點(diǎn)。在/氏4。的內(nèi)部任意移動(dòng)100次，重新測(cè)量進(jìn)行驗(yàn)證，就能證明該定理

（3）如圖，若點(diǎn)。在銳角乙民4。外部，即與AC相交于點(diǎn)G,其余條件不變，原題中結(jié)論還成立嗎？若成

立,請(qǐng)說(shuō)明理由;若不成立,請(qǐng)?zhí)剿鰽BED,4DFC,ABAC,/EOF之間的關(guān)系.

A

吼巨（2022秋?山東青島?八年級(jí)統(tǒng)考期末）三角形內(nèi)角和定理告訴我們:三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°如何證

明這個(gè)定理呢？我們知道,平角是180。,要證明這個(gè)定理就是把三角形的三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)移到一個(gè)平角中去，

請(qǐng)根據(jù)如下條件，證明定理.

（1）【定理證明】

圖①圖②圖③

已知：AABC如圖①，求證：乙4+/B+/C=180°.

（2）【定理推論】如圖②，在△AB。中，有乙4+180°,點(diǎn)。是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，由平角的定義

可得ZAGD+ZACB=180°,所以4ACD=，從而得到三角形內(nèi)角和定理的推論:三角形的外角

等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

【初步運(yùn)用】如圖③，點(diǎn)。、后分別是△ABC的邊4B、力。延長(zhǎng)線上一點(diǎn).

（3）若/A=80°,4DBC=150°,則AACB=.（4）若/A=80°,則ADBC+ZECB=.

【拓展延伸】如圖④，點(diǎn)。、后分別是四邊形4BPC的邊AB、AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn).

（5）若/A=80°,ZP=150°,則ADBP+4ECP=.

（6）分別作ADBP和2ECP的平分線BM、CN,如圖⑤，若BM//CN,則ZA和ZF的關(guān)系為.

⑺分別作2DBP和AECP的平分線,交于點(diǎn)O,如圖⑥，求出/A,和/P的數(shù)量關(guān)系，說(shuō)明理由.

圖④圖⑥

模型3、角內(nèi)翻模型

?M

A

A

條件:如圖1,將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當(dāng)點(diǎn)。落在四邊形ABFE內(nèi)部時(shí),結(jié)論：2ZC=Z1+Z2;

條件:如圖2,將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當(dāng)點(diǎn)。落在四邊形ABFE外部時(shí)，結(jié)論：2/。=/2—/I。

的9（2023春?江蘇鎮(zhèn)江?七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，中，/A=67°,將AAB。沿DE翻折后，點(diǎn)A落

在邊上的點(diǎn)A處，如果/A'EC=74°,那么/ADE的度數(shù)為.

網(wǎng)］10（2022秋?遼寧撫順?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△48。中，/B=30°,將△ABC沿直線m翻折，點(diǎn)B落在

點(diǎn)。的位置，則/I—/2的度數(shù)是（）

吼旦（2023春?重慶黔江?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖LA4B。中，乙4=64°,/B=90°,/C=26°.點(diǎn)。是AC

邊上的定點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊上運(yùn)動(dòng)，沿DE折疊△CDE,折疊后點(diǎn)。落在點(diǎn)F處.下面我們來(lái)研究折疊后

的有一邊與原三角形△ABC的一邊平行時(shí)AADF的值.

（1）首先我們來(lái)研究邊DE.因?yàn)镺E和△ABC的人。、3。相交，所以只有一種可能的情況（如圖2）,DE

//AB,此時(shí)NADF=.

（2）其次，我們來(lái)研究邊EF.因?yàn)辄c(diǎn)E在BC上，所以EF可能與△ABC的邊AB、力。邊分別平行.

當(dāng)EF//AB時(shí)（如下圖），則/ADF=.?M

當(dāng)EF〃入。時(shí)（如下圖），則AADF=.

⑶最后,我們來(lái)研究邊FD.因?yàn)辄c(diǎn)。在AC上，所以FD可能與AABC的邊AB、3。邊分別平行.

當(dāng)FDIIAB時(shí)，ZADF=.當(dāng)FD〃BC時(shí)，ZADF=.

網(wǎng)］12（2023?湖北武漢?八年級(jí)校考階段練習(xí)）（1）如圖，將/BAC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在乙民4。的內(nèi)部的點(diǎn)

M處，當(dāng)乙4=50°,/BDM=30°時(shí)，求/CEAf的度數(shù)；

（2）如圖,將/94。沿DE折疊，使點(diǎn)A落在/BAG的外部的點(diǎn)M處.求圖中乙4,4BDM,/CEW

之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖，將/A、乙8一起沿EF折疊，使點(diǎn)A、點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M、N分別落在射線

BD的左右兩側(cè)，/CW,/DFN,乙4、ZB的數(shù)量關(guān)系一（直接寫結(jié)果，不需要過(guò)程）

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

題目Q（2023?四川綿陽(yáng)?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，△ABC中，90°,將△ABC沿DE折疊,使得點(diǎn)B落在

力。邊上的點(diǎn)F處，若/CFD=60°且則的度數(shù)為（）

題目區(qū)（2023?河南安陽(yáng)?八年級(jí)校考期中）如圖，把△ABC紙片沿OE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCED的外

部時(shí)，則乙4與/I和Z2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，請(qǐng)?jiān)囍乙徽疫@個(gè)規(guī)律，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是

A.2ZA=Z1-Z2B.3ZA=2（Z1-Z2）C.3ZA=2Z1-Z2D.ZA=Z1-Z2

題目1（2023秋?重慶開(kāi)州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將△ABC沿BE翻折交AC于點(diǎn)D,又將相⑺沿BA

翻折，點(diǎn)。落在BE上的。'處，其中/a=18°,/C'DB=68°,則原三角形中/C的度數(shù)為（）

A

A.87°B.75°C.85°D.70°

（2023?廣東八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在4ABC中，=28°,將ZVlB。沿直線m翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)。

的位置，則Zl-Z2=°.

【題目可（2023洞南平頂山?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)43、。、。、H在同一平面內(nèi)，連接AB,BC、CD、

DE、EA,若ABCD=80°,則/A++/。+/E=.

題目回（2023秋?浙江?八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的高,點(diǎn)E,F分別是AB,AC

邊上的點(diǎn),連接EF,將沿著EP翻折，使點(diǎn)A與邊上的點(diǎn)G重合,若NEGB=90°,ADCB+

/.CFG=82°,則AACD的度數(shù)為

c

題目不（2023春?江蘇鎮(zhèn)江?七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，ZVIB。中，乙4=67°,將△ABC沿DE翻折后，點(diǎn)A

落在BC邊上的點(diǎn)A處，如果AAEC=74°，那么AADE的度數(shù)為.

題目回（2023?湖南永州?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，若△O4D空△OBC,且ZO=60°,ZC=20°,則ZOAD=

O

I題目可（2023春?四川?七年級(jí)統(tǒng)考期末）在四邊形4BCD中，/人=98°,40=140°.

圖1圖2圖3

（1）如圖1,若則NB=度；

⑵如圖2,作/BCD的平分線CE交AB與點(diǎn)E,若CE〃AD,求的度數(shù)；

（3）如圖3,作/ABO和ZDCB的平分線交于點(diǎn)E,求/BEC的度數(shù).

題目jo］（2023?浙江杭州?八年級(jí)專題練習(xí)）（2018十三中開(kāi)學(xué)考）已知，在△ABC中，/人=60°,

（1）如圖①，/ABC和/ACB的角平分線交于點(diǎn)。，則ZBOC=；

（2）如圖②，/4BC和/ACB的三等分線分別對(duì)應(yīng)交于點(diǎn)Q,。2,則/3。2。=；

⑶如圖③，AABC和NACB的n等分線分別對(duì)應(yīng)交于點(diǎn)Q,Q，…，O”T（內(nèi)部有九—1個(gè)點(diǎn)），則

C=—；

⑷如圖③，/ABC和/AC?的九等分線分別對(duì)應(yīng)交于點(diǎn)Q,Q，…，O”T，若/BO“TC=90°,求九的值.

題目兀（2023?北京?一模）在課外活動(dòng)中，我們要研究一種凹四邊形--燕尾四邊形的性質(zhì).

定義1：把四邊形的某些邊向兩方延長(zhǎng)，其他各邊有不在延長(zhǎng)所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凹四邊

形（如圖1）.

（1）根據(jù)凹四邊形的定義，下列四邊形是凹四邊形的是（填寫序號(hào)）

。①，.②「③

定義2：兩組鄰邊分別相等的凹四邊形叫做燕尾四邊形（如圖2）.

22

特別地，有三邊相等的凹四邊形不屬于燕尾四邊形.

小潔根據(jù)學(xué)習(xí)平行四邊形、菱形、矩形、正方形的經(jīng)驗(yàn),對(duì)燕尾四邊形的性質(zhì)進(jìn)行了探究.

下面是小潔的探究過(guò)程,請(qǐng)補(bǔ)充完整：（2）通過(guò)觀察、測(cè)量、折疊等操作活動(dòng),寫出兩條對(duì)燕尾四邊形性質(zhì)的

猜想,并選取其中的一條猜想加以證明；（3）如圖2,在燕尾四邊形ABCD中，AB=4D=6,

?（

4,4BCD=120°,求燕尾四邊形ABCD的面積（直接寫出結(jié)果）.

題目至］（2023.重慶.八年級(jí)專題練習(xí)）如圖①所示是一個(gè)飛鏢圖案，連接我們把四邊形ABCD叫

做“飛鏢模型”.

（1）求證：乙4。C=/D4B+/。CB+/4B。；（2）如圖②所示是一個(gè)變形的飛鏢圖案，CE與JBF交于點(diǎn)

D,若2EDF=120°,求/A+/B+ZC+ZG+NE+/F的度數(shù).

題目包（2023?四川達(dá)州?中考模擬）箭頭四角形,模型規(guī)律:如圖1,延長(zhǎng)交于點(diǎn)。，則4BOC=Z1

+ZB=ZA+ZC+ZB..因?yàn)榘妓倪呅?BOC形似箭頭，其四角具有“/BOC=ZA+ZB+這個(gè)

規(guī)律，所以我們把這個(gè)模型叫做“箭頭四角形”.模型應(yīng)用：

⑴直接應(yīng)用:①如圖2,AA+ZB+AC+ZD+ZE+AF=.②如圖3,NABE、乙4CE的2等分

線（即角平分線）BF、CF交于點(diǎn)F,已知ZBEC=120°,ZBAC=50°,則ZBFC=

③如圖4,BQ、O（2分別為乙4BO、乙400的2019等分線（i=1,2,3,…，2017,2018）.它們的交點(diǎn)從上

到下依次為Q、。2、。3、…、C>2oi8.已知ZBOC=m°,/氏4。=n°,則乙BOioooC=_度

題目亙（2022秋?浙江?八年級(jí)期末）如圖⑴△ABC是一個(gè)三角形的紙片，點(diǎn)D、E分別是△ABC邊上的兩

點(diǎn)，

圖1圖2圖3

研究（1）：如果沿直線。E折疊，寫出/BD4'與乙4的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

研究（2）：如果折成圖2的形狀，猜想2BDA'、ACEA'和乙4的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

研究（3）：如果折成圖3的形狀，猜想ABDA'.ACEA'ZA的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

題目巨（2022秋?河北唐山?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知，在四邊形人38中，乙4=/。=90°.

?M

（1）求證：ZABC+AADC=180°.

（2）如圖1,若DE平分AADC,平分2ABe的外角，寫出DE與BF的位置關(guān)系,并證明.

（3）如圖2,若BF、DE分別平分ZABC,2ADC的外角，寫出與DE的位置關(guān)系，并證明.

題目足（2023春?江蘇淮安?九年級(jí)校考階段練習(xí)）我們知道:光線反射時(shí)，反射光線、入射光線分別在法線

兩側(cè),反射角等于入射角.如圖為一鏡面,A。為入射光線，入射點(diǎn)為點(diǎn)O,ON為法線（過(guò)入射點(diǎn)。

且垂直于鏡面EF的直線），為反射光線，此時(shí)反射角/BON等于入射角AAON,由此可知2BOF等

于NAOE.

（1）兩平面鏡OP、OQ相交于點(diǎn)。，一束光線從點(diǎn)A出發(fā)，經(jīng)過(guò)平面鏡兩次反射后，恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B.

①如圖2,當(dāng)/POQ為多少度時(shí)，光線A河〃NB?請(qǐng)說(shuō)明理由.

②如圖3,若兩條光線⑷NB所在的直線相交于點(diǎn)E,延長(zhǎng)發(fā)現(xiàn)和NO分別為△MEN一個(gè)內(nèi)角

和一個(gè)外角的平分線，則ZPOQ與ZMEN之間滿足的等量關(guān)系是.（直接寫出結(jié)果）

（2）三個(gè)平面鏡PM、MN、NQ相交于點(diǎn)M、N,一束光線從點(diǎn)A出發(fā),經(jīng)過(guò)平面鏡三次反射后，恰好經(jīng)過(guò)

點(diǎn)E,請(qǐng)直接寫出NM、4N、乙BCD與/BFD之間滿足的等量關(guān)系.

題目立（2023?江西新余?八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知,P為第四象限一動(dòng)點(diǎn),Q為x軸負(fù)半軸上一動(dòng)點(diǎn)，R

在PQ下方且為y軸負(fù)半軸上一動(dòng)點(diǎn).

（1）如圖①，若F（2,-l）,Q（-3,0）,R（0,—5），求S^QR；⑵如圖②，若用W、分別平分2PRO,

/PQO,P、Q、R在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，/P、/河是否存在確定的數(shù)量關(guān)系？若存在，請(qǐng)證明你的結(jié)論;若不存

12

在.請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖③，若將R點(diǎn)改為g軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，且在P、Q及（2）中的條件不變的前提

下，“、又有何數(shù)量關(guān)系？

題目逗（2023?山東?八年級(jí)假期作業(yè)）模型規(guī)律:如圖1,延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)。，則ZBOC=Z1+ZB-

ZA+ZC+ZB.因?yàn)榘妓倪呅蜛BOC形似箭頭，其四角具有“乙80。=乙4+48+這個(gè)規(guī)律，所以

我們把這個(gè)模型叫做“箭頭四角形”.

模型應(yīng)用：（1）直接應(yīng)用:①如圖2,/A=60°,ZB=20°,30°,則4BOC=°；

②如圖3,ZA+ZB+ZC+AD+AE+°；

（2）拓展應(yīng)用:①如圖4,/ABO、AACO的2等分線（即角平分線）BQ、交于點(diǎn)O”已知NBOC=

120°,ABAC=50°,則/BOQ=°；

②如圖5,BO、CO分別為AABO,AACO的10等分線（i=1,2,3,…,8,9）.它們的交點(diǎn)從上到下依次為

Oi、。2、。3、…、Oa.已知ZBG>C=120°,力。=50°,則NBOQ=°；

③如圖6,乙4BO、乙民4。的角平分線BD、AD交于點(diǎn)。，已知ZBOC=120°,/。=44°,則ZADB=

④如圖7,ABAC./BOC的角平分線AD、OD交于點(diǎn)。，則乙8、乙0之間的數(shù)量關(guān)系為.

題目電（2023春?山東?七年級(jí)校聯(lián)考期中）實(shí)驗(yàn)探究：⑴動(dòng)手操作：

①如圖1,將一塊直角三角板OEF放置在直角三角板AB。上，使三角板OEF的兩條直角邊DE、DF分別

經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C,且BC〃EF,已知/A=30°,則NABD+AACD=；

②如圖2,若直角三角板ABC不動(dòng),改變等腰直角三角板OEF的位置,使三角板DEF的兩條直角邊DE、

DF仍然分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)6、C,那么乙4BD+乙4CD=；

（2）猜想證明:如圖3,ZBDC與/A、乙8、/。之間存在著什么關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）靈活應(yīng)用:請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決下列問(wèn)題:①如圖4,BE平分AABD,CE平分/ACD,若

13

/BAC=40°,/BZX7=120°,求/BEC度數(shù).②如圖5,AABD,乙4。。的10等分線相交于點(diǎn)R、鳥(niǎo)、…、

國(guó)，若4BDC=120°,乙8網(wǎng)。=71°,則ZA的度數(shù)為

圖4圖5

:題目叵（2023?廣東清遠(yuǎn)?七年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖①，在四邊形ABOC中，/BOC=130°,/B=29°,ZC

=28°.直接寫出/BOC與乙8,/C,/A之間的關(guān)系.

（2）根據(jù)圖②中的條件，利用（1）中你得出的結(jié)論計(jì)算/4+/人3。+/。+/?！昙拥亩葦?shù).

（3）如圖③，在△ABC中，設(shè)/A=0,/ABC和AACB的平分線BD,CE交于點(diǎn)。，過(guò)B作EC的平行線

BG交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,試用含6的代數(shù)式表示/OBG的度數(shù).

題目叵（2023?安徽淮北?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，乙4=/ABO,直線EF分別交△ABO的邊

AB、AC和CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D、E、F.（1）若乙4=70°,則/F+.⑵2F、4FEC、

/A有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

題目組（2023?江蘇?八年級(jí)專題練習(xí)）①△ABC中，90°,點(diǎn)。，E分別是邊AC,BC上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一

動(dòng)點(diǎn)，令/PDA=Zl,NPEB=Z2，2DPE=Na.

⑴若點(diǎn)P在線段AB上，如圖1所示，且/a=50°,則/1+/2=°；

（2）若點(diǎn)P在邊4B上運(yùn)動(dòng)，如圖2所示，則/I、N2之間的關(guān)系為；

⑶如圖3,若點(diǎn)P在斜邊歷1的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)（您〈。。）,請(qǐng)寫出/*/1、/2之間的關(guān)系式，并說(shuō)明理

由.

15

三角形中的導(dǎo)角模蟄-飛鏢模蟄、風(fēng)箏模蟄、角內(nèi)翻模爨

近年來(lái)各地中考中常出現(xiàn)一些幾何導(dǎo)角模型,該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計(jì)算（內(nèi)角和定

理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就飛鏢型、風(fēng)箏模型進(jìn)行梳理

及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。

模型1、“飛綠”模型（“燕尾”模型）

圖1圖2圖3

條件:如圖1,凹四邊形ABCD；結(jié)論:①ZBGD=/A++/。；②4B+AD>BC+GD。

條件:如圖2,線段B。平分/4BC,線段OD平分NADC；結(jié)論，ZO=j-（ZA+ZC）。

條件:如圖3,線段AO平分/D4B,線段。。平分/BCD；結(jié)論：ZO=^-（ZD-ZB）.

飛集模型結(jié)論的常用證明方法：

血11（2023?重慶?八年級(jí)專題練習(xí)）請(qǐng)閱讀下列材料,并完成相應(yīng)的任務(wù)：

有趣的“飛鏢圖”:如圖，這種形似飛鏢的四邊形，可以形象地稱它為“飛鏢圖”.當(dāng)我們仔細(xì)觀察后發(fā)現(xiàn)，

它實(shí)際上就是凹四邊形.那么它具有哪些性質(zhì)呢？又將怎樣應(yīng)用呢？下面我們進(jìn)行認(rèn)識(shí)與探究:凹四邊

形通俗地說(shuō)，就是一個(gè)角“凹”進(jìn)去的四邊形，其性質(zhì)有:凹四邊形中最大內(nèi)角外面的角等于其余三個(gè)內(nèi)角

之和.

（即如圖1,乙4OB=/A+/B+/C）理由如下：

方法一:如圖2,連接AB,則在△ABC中，/。+/。48+/。&4=180°,即/1+/2+/3+/4+/。

=180°,又?在AABD中，/I+/2+AADB=180°,ANADB=Z3+Z4+ZC,即AADB=ACAD

+ACBD+AC.

方法二:如圖3,連接CD并延長(zhǎng)至F,VZ1和23分別是△ACD和ABCD的一個(gè)外角.........

大家在探究的過(guò)程中，還發(fā)現(xiàn)有很多方法可以證明這一結(jié)論,你有自己的方法嗎？

任務(wù)：（1）填空:“方法一”主要依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)定理是;

（2）探索:根據(jù)“方法二”中輔助線的添加方式，寫出該證明過(guò)程的剩余部分；

⑶應(yīng)用：如圖4,AE是/G4。的平分線，是2CBD的平分線，AE與BF交于G,若/ADB

=150°,/4GB=110°,請(qǐng)你直接寫出ZC的大小.

【答案】（1）三角形內(nèi)角和定理（或三角形的內(nèi)角和等于180°）;（2）見(jiàn)解析；（3）70°

【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可求解；（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得Z1=Z2+ZA,Z3=Z4

+/B,從而得到/1+/3=/2+乙4+/4+乙8,即可求證；（3）由（2）可得：AADB=ACAD+ACBD

+ZC,ZAGB=/CAB+/CBF+/C,從而得到ZCAE+110°-ZC,4CAD+4CBD=

再由AB是/CAD的平分線，BF是4CBD的平分線，可得150°—/。=2（110°—/C）,即

可求解.

【詳解】（1）解:三角形內(nèi)角和定理（或三角形的內(nèi)角和等于180°）

（2）證明：連接CD并延長(zhǎng)至F,

VZ1和22分別是△ACD和△BCD的一個(gè)外角，二/1=/2+乙4,/3=/4+/B,

A/I+/3=/2+/A+/4+即NADB=/A++NACB;

⑶解：由（2）得：AADB=ACAD+ACBD+ZC,NAGB=ACAE+NCBF+AC,

?：/ADB=150°,ZAGB=110°,AACAD+ACBD+150°,ACAE+ACBF+ZC=110°,

AACAE+ZCBF^110°-ZC,ACAD+ACBD=150°-ZC,

?：AE是/CAD的平分線，BF是乙CBD的平分線，；./CAD=2NCAE,NCBD=2ZCBF,

：.ACAD+ACBD=2（ACAE+ACBF）,：.150°-ZC=2（110°-Z。）,解得：ZC=70°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，有關(guān)角平分線的計(jì)算，熟練掌握三角形

MS

內(nèi)角和定理，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵.

吼2（2023?廣東河源?八年級(jí)校考期末）⑴模型探究:如圖1所示的“鏢形”圖中，請(qǐng)?zhí)骄?LDB與乙4、/B、

的數(shù)量關(guān)系并給出證明；（2）模型應(yīng)用：如圖2,DE平分。￡平分/ACS,/A=24°,=

66°,請(qǐng)直接寫出/E的度數(shù).

圖1圖2

【答案】（1）/4DB=/4+/B+/C,理由見(jiàn)詳解；（2）21°

（分析】（1）連接CD并延長(zhǎng)到點(diǎn)E,利用三角形的外角的性質(zhì)求解即可；（2）由（1）可知：AADB-=

ZA+48=90°,從而得/EDO-ABCO=}X90°=45°,結(jié)合/EDO+/E=ABCO+乙8,即可求解.

【詳解】解：（1）/ADB=/A+乙B+/C,理由如下:

連接CD并延長(zhǎng)到點(diǎn)E,

NADE+NBDE=ZACD+ZA+/.BCD+4B,：.2ADB=/A+/B+AACB.

（2）由第（1）題可得：ZADB=ZA+ZB+ZACB,：.AADB-AACB=ZA+ZB=66°+24°=90°,

?/DE平分ZADB,CE平分ZACB,：.ZEDO-ZBCO=^-（ZADB-ZC）=:x90°=45°,

?/ZDOE=ABOC,：.ZEDO+/E=ZBCO+ZB,

/B-NE=ZEDO-ABCO=45°，,NE=2B—45°=66°-45°=21°.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外角的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形外角的性質(zhì)，是

解題的關(guān)鍵.

網(wǎng)］3（2022秋?廣西八年級(jí)期中）如圖,/ABD,乙4c。的角平分線交于點(diǎn)P,若/A=48°,/D=10°,則/P

的度數(shù)（）?M

A

A.19°B.20°C.22°D.25°

【答案】A

【分析】法一：延長(zhǎng)PC爻BD于E,設(shè)AC.PB交于F,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到ZA+AABF+

NAFB=ZF+APCF+APFC=180°推出/P+ZPCF=ZA+AABF，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到

NP+"BE=NPED,推出NP+NPBE=NPCD—ND,根寺忠PB、PC是角平分線得到4PCF=

/PCD,/4BF=/PBE,推出2/。=乙4一/。,代入即可求出ZF.法二:延長(zhǎng)。。，與交于點(diǎn)E.

設(shè)AC與BP相交于O,則AAOB=/POC,可得/P+-j-ZACD=/A+-j-ZABD，代入計(jì)算即可.

【詳解】解：法一:延長(zhǎng)PC交BD于E,設(shè)AC.PB交于F,

?/乙4+AABF+AAFB=AP+APCF+4PFC=180°,

?/NAFB=NPFC,：.ZF+ZPCF=ZA+/ABF,

ZF+4PBE=APED,APED=4PCD-ND,：.ZP+ZPBE=ZPCD-AD,

2ZF+APCF+APBE=AA-AD+/ABF+ZFCD,

是角平分線2PCF=4PCD,NABF="BE,；.2NP=NA-ND

ZA=48°,ZD=10°,ZP=19°.

法二:延長(zhǎng)。。，與AB交于點(diǎn)E.

AACD是LACE的外角，/A=48°,/ACD=/A+ZAEC=48°+AAEC.

?：NAEC是ABDE的外角，；.NAEC=NABD+/D=NABD+10°,

AACD=48°+/AEU=48°+AABD+10°,整理得AACD-AABD=58°.

設(shè)AC與BP相交于O,則AAOB=4PoC,

：.ZF+-j-ZACD=ZA+-j-ZABD,即ZF=48°-^（ZACD-/ABD）=19°.故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，對(duì)頂角的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)

點(diǎn)的理解和掌握，能熟練地運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵.

吼士（2023?廣東?八年級(jí)期中）如圖，在三角形4BC中，AB>BC,為三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，連結(jié)AP,并延

長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D求證：（1）AB+力。>AD+BC；（2）AB+AC>AP+BP+CP.

?M

【詳解】(1)：AABD<AACD

?：NADB>AACD,ZADB>NABD,：.AB>AD

?：AOBC,：.AB+AC>AD+BC

(2)過(guò)點(diǎn)P作EF〃BC，交AB、AC于E、F,則AAEF=AABC,NAFE=ZACB

由(1)知AE+AFAAP+EF

?：BE+EP>BP,CF+FP>CP：.(AE+BE)+(AF+CF)+(EP+FP)>AP+BP+CP+EF

即AB+AOAP+AP+CP

(幾何證明中后一問(wèn)常常要用到前一問(wèn)的結(jié)論)

也回（2023?福建三明?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1所示的圖形，像我們常見(jiàn)的符號(hào)--箭號(hào).我們不妨把這樣圖

形叫做“箭頭四角形”.

圖1圖2圖3

探究：（1）觀察“箭頭四角形"，試探究與乙4、ZB、/。之間的關(guān)系,并說(shuō)明理由；

應(yīng)用：（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下兩個(gè)問(wèn)題：

①如圖2,把一塊三角尺XYZ放置在AABC上，使三角尺的兩條直角邊Xy、XZ恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、。,若

ZA=60°,則乙4BX+乙4cx=:②如圖。3,AABE,2ACE的2等分線（即角平分線）BF、CF相

交于點(diǎn)F,若ABAC=60°,ABEC=130°,求ABFC的度數(shù)；

拓展：⑶如圖4,BQ,以2分別是乙4BO、乙4。。的2020等分線（i=1,2,3,…，2018,2019）,它們的交

點(diǎn)從上到下依次為Q、5、。3、…、So必已知ZBOC=m°,/氏4。=n°,則乙80KxMc=_度.

【答案】（1）=/A++/C,理由見(jiàn)詳解；（2）①30;②95°;（3）50r^+51n

【分析】（1）連接AD并延長(zhǎng)至點(diǎn)E,利用三角形外角的性質(zhì)得出4BDE=ABAD+ZB.ZCDS=ACAD

+/C,左右兩邊相加即可得出結(jié)論：

???

⑵①直接利用（1）中的結(jié)論有ABXC=乙4+/4BX+/ASX,再把已知的角度代入即可求出答案；

②先根據(jù)4BEC=ABAC+NABE+/ACE求出2ABE+NACE，然后結(jié)合角平分線的定義再利用

4BFC=ABAC+AABF+/ACF=ZBAC+y（ZAB￡；+ZACE）即可求解；

（3）先根據(jù)ZBOC=ABAC+NABO+NACO求出AABO+/ACO,再求出^ABOl000+ZACOW00的度

數(shù)，最后利用ZBOW00C=ABAC+ZABO1000+ZACOW00求解即可.

【詳解】（1）如圖，連接AD并延長(zhǎng)至點(diǎn)E

,:4BDE=ABAD+NBZCDE=ACAD+ZC,

又-.-4BDC=ABDE+ACDE,ABAD+ACAD,：.乙BDC=ZBAC+ZB+ZC

(2)①由(1)可知NBXC=乙4+AABX+乙4cx

ZA=60°,2BXC=90°/.AABX+/ACX=ABXC-ZA=90°-60°=30°

②由(1)可知2BEC=ABAC+AABE+4ACE

?/ABAC=60°,ABEC=130°NABE+NACE=NBEC—ABAC=130°-60°=70°

?/BF平分/ABE,CF平分/ACEABF=：ABE,ACF=-j-ACE

ZBFC=ABAC+ZABF+Z.ACF=ZBAC+：(/力BE+/ACE)=95°

(3)由(1)可知ZBOC=ABAC+AABO+NACO

?/ZBOC=m,ABAC=n：.zLABO+AACO=ABOC-ABAC=m-n

?：BOi,CO,分別是/ABO、乙48的2020等分線(i=l,2,3,-??,2018,2019)

/48。1頓+/人。5M產(chǎn)得需x1000=5。M；有50九。

ZU/U_LU_L

???ZBO1000C=ABAC+ZABO1000+ZACO1000=5叫『九。

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義，掌握三角形外角的性質(zhì)和角平分線的定義是

解題的關(guān)鍵.

模型2、風(fēng)箏模型（鷹爪模型）

A

2

O

CE

圖1圖2

1）風(fēng)箏（鷹爪）模型:結(jié)論：+/。=/I+/2；

2）風(fēng)箏（鷹爪）模型（變形）:結(jié)論：ZA+ZO=Z2-Z1?

回色（2023?四川達(dá)州?八年級(jí)期末）如圖，Zl,Z2,23分別是四邊形ABCD的外角，判定下列大小關(guān)系：①

Zl+Z3=/AB。+/D；②N1+Z3<AABC+/D；③/I+/2+/3=360°；④/I+Z2+Z3>360°.

其中正確的是.（填序號(hào)）

【答案】①

【分析】根據(jù)多邊形（三角形）的外角和為360°即可求解.

【詳解】解:如圖，連接

Zl=AABD+NADB,Z3=ZDBC+ABDC,

Zl+Z3=/ABD+/LADB+ZDBC+2BDC=ZABC+/ADC,故①正確，②不正確；

?.?多邊形的外角和是360°,：.Zl+Z2+Z3<360°,故③④不正確，故答案為：①.

【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和定理、外角和性質(zhì)，掌握以上知識(shí)，能正確添加輔助線構(gòu)成三角形是

解題的關(guān)鍵.

四工（2023春?河南南陽(yáng)?八年級(jí)統(tǒng)考期末）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù).

在數(shù)學(xué)探究課上，老師出了這樣一個(gè)題:如圖1,銳角ABAC內(nèi)部有一點(diǎn)。，在其兩邊AB和AC上各取任

意一點(diǎn)E,連接DE,DF.求證：4BED+4DFC=ABAC+NEDF.

小麗的證法小紅的證法

證明：證明：

如圖2,連接AD并延長(zhǎng)至點(diǎn)M,...ABED=80°,ADFC=60°,

ABED=ABAD+NEDA,NBAC=51°,N