2023年高考數(shù)學(xué)模擬卷7新高考專用附參考答案

2023年高考數(shù)學(xué)模擬卷（新高考專用）

卷07數(shù)學(xué)

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（陜西省安康市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月第一次質(zhì)量聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題）記集合

M=|x||x|>2^,N==ln（x2,則McN=（）

A.但2<尤43}B.{x|x>3或x<-2}C.{尤|04x<2}D.|x|-2<x<3j

2.（2023?浙江溫州?模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)z滿足乜巴=l-2i,其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z

Z

的虛部是（）

1010.

A.-----B.-----iC.2iD.2

33

3.（2022?天津市南開(kāi)中學(xué)濱海生態(tài)城學(xué)校高一階段練習(xí)）已知函數(shù)

/卜）=23!1（0戈+0）［。>0,0<。<|^的圖象的相鄰兩個(gè)零點(diǎn)的距離為5，/（O）=V2,則

〃x）=（）

A.V2sin|2x+—B.2sin2x+—

I4I4

C.V2sinf4-x+^-

D.2sin4x+—

I4.

4.（2022?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?高三期中（文））下列各式大小比較中，其中正確的是（）

A.V7-V5>V5-V3B.tany<sin^jC.21n3<31n2D.log]1<Q

22

5.（2022?河南?民權(quán)縣第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知雙曲線?-4=1（°>0/>0）的離心

ab

率為巫，右焦點(diǎn)為下，直線4,均過(guò)點(diǎn)尸且互相垂直，4與雙曲線的右支交于4c兩點(diǎn)，

2

FC

4與雙曲線的左支交于8點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，（）

A.2B.3C.4D.5

6.（2022糊南?高二期末）第19屆亞運(yùn)會(huì)即將在西子湖畔一杭州召開(kāi)，為了辦好這一屆"中

國(guó)特色、浙江風(fēng)采、杭州韻味、精彩紛呈"的體育文化盛會(huì)，杭州亞運(yùn)會(huì)組委會(huì)決定進(jìn)行賽

會(huì)志愿者招募，在杭大學(xué)生紛紛踴躍參加.現(xiàn)有4名大學(xué)生志愿者，通過(guò)培訓(xùn)后，擬安排在

游泳、籃球、體操三個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行志愿者服務(wù)，假設(shè)每個(gè)項(xiàng)目至少安排一名志愿者，且每位志

愿者只能參與其中一個(gè)項(xiàng)目，在甲被安排到游泳項(xiàng)目的條件下，乙也被安排到游泳項(xiàng)目的概

率為（）

/、\ax+l—2a,x<1

7.(2022?廣東廣東?高一期中)已知函數(shù)/'(x)={2，若存在Xi，ZeR,x產(chǎn)9，

[x-ax,x>l

使/'(xj=/■(%)成立，則實(shí)數(shù)0的取值范圍是()

A.[0,2)B.(-<?,0]C.(-oo,0]"2,+8)D.(-oo,0]U(2,+oo)

8.（2021?全國(guó)?高二專題練習(xí)）如圖，在圓錐S。中，A,8是。。上的動(dòng)點(diǎn),

33'是。。的直徑，M,N是S3的兩個(gè)三等分點(diǎn)，NAOB=9（Q<e<G，

記二面角N-CM-B,河一48，-8的平面角分別為&,P,若則。

的最大值是（）

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.（2022?江蘇?南京師大附中高二期中）為迎接黨的二十大勝利召開(kāi)，某中學(xué)舉行黨史知識(shí)

競(jìng)賽，對(duì)全校參賽的1000名學(xué)生的得分情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，把得分?jǐn)?shù)據(jù)按照

[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]分成5組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，根

B.得分在區(qū)間[60,70）內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為200

C.該校學(xué)生黨史知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)大于80D.估計(jì)該校學(xué)生黨史知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的平

均數(shù)落在區(qū)間70,80）內(nèi)

10.（2022?福建?廈門市湖濱中學(xué)高二期中）如圖是常見(jiàn)的一種滅火器消防箱，抽象成數(shù)學(xué)模

型為如圖所示的六面體，其中四邊形和8CFG為直角梯形，A,D,C,2為直角頂

點(diǎn)，其他四個(gè)面均為矩形，AB=BG=3,FC=4,BC=1,下列說(shuō)法不正確的是（）

A.該幾何體是四棱臺(tái)

B.該幾何體是棱柱，平面48c是底面

C.EGLHC

D.平面EFG”與平面/BCD的夾角為45。

11.（2022,湖北?恩施市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）己知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓

Q:（x-cos0）2+（y-sin0）2=1,則下列結(jié)論正確的是（）

A.圓。恒過(guò)原點(diǎn)O

B.圓。與圓/+必=4外切

C.直線x+y=竽被圓。所截得弦長(zhǎng)的最大值為百

D.直線尤coscz+ysincz=0與圓。相切或相交

12.（2022?福建?莆田華僑中學(xué)高二期中）已知數(shù)列｛%｝滿足的=28,

（1）

a?=[2"+?]a?_1（n>2）,〃wN*,數(shù)列上｝的前〃項(xiàng)和為S”，且

22，a

〃二1°§2（。月+2n-\）-log2（a2?-（z2?+1）,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.幺=21

a2

B.4?g=16

C.數(shù)列[筆]為單調(diào)遞增的等差數(shù)列

I?2?J

D.滿足不等式邑-5>0的正整數(shù)〃的最小值為63

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(2022?上海交大附中高一期末)古代典籍《周易》中的"八卦"思想對(duì)我國(guó)的建筑有一定

影響.圖1是受"八卦"啟示設(shè)計(jì)的正八邊形的八角窗.在正八邊形/8CDEFGH中，若

~AC=xAB+yAH(<x,y^,貝ljx+y=.

14.(2022?天津市匯文中學(xué)高三期中)|^j-^的展開(kāi)式中，/的系數(shù)是

.(用數(shù)字填寫答案)

15.(2022?上海市金山中學(xué)高二期末)已知￡、月為雙曲線C：W-《=l(a>0,b>0)的兩個(gè)焦

ab

TT

點(diǎn)，P、。為。上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且|尸。|=|耳區(qū)I,若直線P。的傾斜角為則

C的離心率為—.

16.(2020?黑龍江?哈九中高三期末(文))若存在實(shí)常數(shù)左和6,使得函數(shù)萬(wàn)(尤)和G(x)對(duì)

其公共定義域上的任意實(shí)數(shù)x都滿足廠(x)2丘+6和G(x)4日+6恒成立，則稱直線

y=+b為廠(x)和G(無(wú))的“隔離直線已知函數(shù)/3=/卜?&),g(x)=-(x<0),

〃(x)=2elnx,則有下列命題：

①V=-g(無(wú))與〃(尤)有"隔離直線"；

②〃x)和g(x)之間存在“隔離直線”，且6的最小值為T；

③〃尤)和g(x)之間存在"隔離直線"，且左的取值范圍是(-4,0］；

④“X)和〃(x)之間存在唯一的"隔離直線"夕=2值-e.

其中真命題的序號(hào)為.(請(qǐng)?zhí)钌纤姓_命題的序號(hào))

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.（河北省張家口市部分學(xué)校2023屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝的前"

項(xiàng)和為S“，其中％=2,4S,=m+l）2+4（〃N2,〃eN*）.

⑴求｛與｝的通項(xiàng)公式，并判斷｛%｝是否是等差數(shù)列，說(shuō)明理由；

11111

（2）證明：當(dāng)“22時(shí)，一+—+—+…+-----<-.

。2〃3anan+l

18.（2022?湖北?華中師大一附中高三期中）在銳角。3C中，角A,B,。所對(duì)的邊分別為

a,b,c,已知6(/+/-c2)=26csiiM.

⑴求sin2yl+cos米的取值范圍;

⑵若。是48邊上的一點(diǎn)，且血）:￡>8=1:2,5=2,求AABC面積的最大值.

19.(2022?黑龍江?哈爾濱三中模擬預(yù)測(cè))如圖，在三棱柱NBC-44G中，△4為等邊

三角形，四邊形44百8為菱形，AC1BC,/C=4,BC=3.

⑴求證：AB,1A,C；

(2)線段cq上是否存在一點(diǎn)E,使得平面N2也與平面/8C的夾角的余弦值為［?若存在,

4

求出點(diǎn)￡的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

20.（2022?上海市金山中學(xué)高二期末）近兩年因?yàn)橐咔榈脑?，線上教學(xué)越來(lái)越普遍了.為

了提升同學(xué)們的聽(tīng)課效率，授課教師可以選擇在授課過(guò)程中進(jìn)行專注度監(jiān)測(cè)，即要求同學(xué)們

在10秒鐘內(nèi)在軟件平臺(tái)上按鈕簽到，若同學(xué)們能夠在10秒鐘內(nèi)完成簽到，則說(shuō)明該同學(xué)在

認(rèn)真聽(tīng)課,否則就可以認(rèn)為該同學(xué)目前走神了.經(jīng)過(guò)一個(gè)月對(duì)全體同學(xué)上課情況的觀察統(tǒng)計(jì),

平均每次專注度監(jiān)測(cè)有90%的同學(xué)能夠正常完成簽到.為了能夠進(jìn)一步研究同學(xué)們上課的

專注度情況，我們做如下兩個(gè)約定：

①假設(shè)每名同學(xué)在專注度監(jiān)測(cè)中出現(xiàn)走神情況的概率均相等；

②約定每次專注度監(jiān)測(cè)中，每名同學(xué)完成簽到加2分，未完成簽到加1分.

請(qǐng)回答如下兩個(gè)問(wèn)題：

⑴若一節(jié)課老師會(huì)進(jìn)行3次專注度監(jiān)測(cè)，那么某班同學(xué)在3次專注度監(jiān)測(cè)中的總得分的數(shù)

學(xué)期望是多少？

⑵記某位同學(xué)在數(shù)次專注度監(jiān)測(cè)中累計(jì)得分恰為〃分的概率為夕（比如：［表示累計(jì)得分

為1分的概率，鳥(niǎo)表示累計(jì)得分為2的概率），求：

①化+「目的通項(xiàng)公式；

②優(yōu)｝的通項(xiàng)公式.

22/9r\

21.（2022?重慶?高二階段練習(xí)）已知橢圓c:0+2=l（a>6>O）過(guò)點(diǎn)M三，三，且離

a2b②（22J

心率為e=——.

2

⑴求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)橢圓。和圓O：/+丁=1.過(guò)點(diǎn)/（見(jiàn)0）（加>1）作直線4和/2,且兩直線的斜率之積等于

1,乙與圓。相切于點(diǎn)P,4與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)/，N.

（i）求他的取值范圍；

（ii）求AOMN面積的最大值.

22.(2022?重慶一中高三期中)已知函數(shù)f(x)=oxlnx,g(x)=-xe*+ex(x>0),(aeR,

g(x),g(x)</(x)

e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，〃(x)=

/(x),g(x)>/(x),

⑴若/(x)與g(x)在x=l處的切線相互垂直，求。的值并求〃(力的單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)若。=6,h(x^)=h[x1)=h(xi),x3>x2>xlt且%二加為，證明：當(dāng)me(l,e)時(shí),

x2+x3<西+1.

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（陜西省安康市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月第一次質(zhì)量聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題）記集合

M=|x||x|>2^,N=ln（x2,則McN=（）

A.{32<尤43}B.{尤|x>3或x<-2}C.{尤|04x<2}D.|x|-2<x<3j

【答案】B

【分析】先解不等式確定集合然后再根據(jù)交集的定義求其交集即可.

［詳解］\x\>2,:.x>2^x<-2,

所以集合河=門,>2或工<-2},

N={x尤2-3X>O}={尤卜<0或:>3},

所以”門"=,上>3或：1<-2}.

故選：B.

2.（2023?浙江溫州?模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)z滿足乜土型=l-2i,其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z

Z

的虛部是（）

1010.

A.-----B.-----iC.2iD.2

33

【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求得z即可求得虛部.

【詳解】由已知同叫=1一玉，故5=（l-2i）znz=!=l+2i,

故z的虛部是2.

故答案為：D

3.（2022?天津市南開(kāi)中學(xué)濱海生態(tài)城學(xué)校高一階段練習(xí)）已知函數(shù)

/（x）=2sin（0x+e）（0>O,O<e<|^的圖象的相鄰兩個(gè)零點(diǎn)的距離為f⑼=6,則

〃x）=（）

A.V2sinf^x+~jB.2sin（2x+^-j

C.瓜.inf4x+^-D.2sin4x+—

I4.

【答案】B

【分析】先根據(jù)函數(shù)圖象相鄰兩個(gè)零點(diǎn)的距離為g7T,求出周期，算出0的值，再根據(jù)

/（0）=血求出。的值，即可得到答案.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)〃x）=2sin（ox+e）M>0,0<夕</）的圖象的相鄰兩個(gè)零點(diǎn)的距離為

所以T=^x2=;r,所以0=女=至=2,所以/（x）=2sin（2x+0）,

2T7i

又因?yàn)?（0）=血，所以/（0）=2311夕=血，解得sin°=當(dāng)，

因?yàn)?<夕<],所以"=?,所以/（x）=2sin12x+f.

故選：B.

4.（2022?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?高三期中（文））下列各式大小比較中，其中正確的是（）

A.V7—^5>\/5—A/3B.tan—<sinJC.2In3<3In2D.logjvjj

【答案】D

【分析】由不等式的性質(zhì)，三角函數(shù)和指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，逐個(gè)判斷選項(xiàng)是否正確.

【詳解】（療+6『=10+2M<（6+6『=10+2后，.?.近+省〈囪+石，即

V7-V5<V5-V3;選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

1?—

jr------->147r71smATT

v0<cos-<l,則兀,得sin（=）=sinvv―=tan-,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

5cos—55萬(wàn)5

5cos—

5

21n3=ln9>ln8=31n2,選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

logi-=log52<log5^=~,.Jog選項(xiàng)D正確.

故選：D

22

5.（2022?河南?民權(quán)縣第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知雙曲線，-與=1（。>0,"0）的離心

ab

率為巫，右焦點(diǎn)為下，直線4，/,均過(guò)點(diǎn)尸且互相垂直，《與雙曲線的右支交于4c兩點(diǎn)，

2

FC

4與雙曲線的左支交于8點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)4aB三點(diǎn)共線時(shí)，=（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】根據(jù)題意作出圖形，由雙曲線的對(duì)稱性及雙曲線的定義，利用勾股定理建立方程求

解可得.

【詳解】設(shè)雙曲線另一焦點(diǎn)為斤'，連接AF',CF',BF',如圖，

所以由雙曲線的對(duì)稱性知，四邊形NqF為矩形，

設(shè)|4F|=x,|FY71=fx,則|/F|=2a+x,|CF'\-2a+tx,

在Rf△/尸尸中，|/尸「+|/尸尸尸「，即（2a+x>+x2=4c2,

又《=回，解得x=?；騲=-3a（舍去），

2

在RfZk/PC中，M尸'『+|/C|2=|CfT，即（2a+ay+（a+〃）2=（2a+s）2,

FC

解得f=3,即F=3.

故選：B

6.（2022糊南?高二期末）第19屆亞運(yùn)會(huì)即將在西子湖畔一杭州召開(kāi)，為了辦好這一屆"中

國(guó)特色、浙江風(fēng)采、杭州韻味、精彩紛呈"的體育文化盛會(huì)，杭州亞運(yùn)會(huì)組委會(huì)決定進(jìn)行賽

會(huì)志愿者招募，在杭大學(xué)生紛紛踴躍參加.現(xiàn)有4名大學(xué)生志愿者，通過(guò)培訓(xùn)后，擬安排在

游泳、籃球、體操三個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行志愿者服務(wù)，假設(shè)每個(gè)項(xiàng)目至少安排一名志愿者，且每位志

愿者只能參與其中一個(gè)項(xiàng)目，在甲被安排到游泳項(xiàng)目的條件下，乙也被安排到游泳項(xiàng)目的概

率為（）

1112

A.—B.-C.—D."

12649

【答案】B

【分析】利用條件概率的公式直接求解即可.

【詳解】記"甲被安排到游泳項(xiàng)目"為事件/,記"乙也被安排到游泳項(xiàng)目"為事件8,

甲被安排到游泳項(xiàng)目分為兩類，甲一人被安排到游泳項(xiàng)目的種數(shù)為C；A；,

兩人被安排到游泳項(xiàng)目的種數(shù)為C；A；,

故種數(shù)為C；A；+C；A；=12,

甲乙被同時(shí)安排到游泳項(xiàng)目的種數(shù)為A；=2,

所求概率為尸/⑷,、)n=(A3B\=A；

C；A；+C泡6

故選：B.

,、[ax+\—2a,x<1

7.(2022?廣東廣東局一期中)已知函數(shù)/'(x)=<2，若存在％,工2eR,x尸Z,

lx—ax,x>\

使I(xj=/(X2)成立，則實(shí)數(shù)0的取值范圍是()

A.[0,2)B.(-8,0]C.(-oo,0]u[2,+co)D.(-co,0]u(2,+co)

【答案】D

【分析】對(duì)。進(jìn)行分類討論，結(jié)合直線、拋物線的知識(shí)求得。的取值范圍.

【詳解】axl+l-2a=l-a,l2-axl=l-a,

y=ax+l-2a=a(x-2)+l,過(guò)定點(diǎn)(2,1),

y=x2-ax開(kāi)口向上，對(duì)稱軸x=T，

當(dāng)"0時(shí)，/(x)在(--1)遞減，在(1,+⑹遞增，最小值為了⑴=1-。，

根據(jù)直線和拋物線的知識(shí)可知：存在國(guó),％eR,再Ax?,使/(占)=)(超)成立.

/\fl,X<1/\/\

當(dāng)“=0時(shí)，/(-2)=/(-1)=1,

所以存在花,3eR,X[WX2,使/(不)="々)成立，

當(dāng)?〈■|41,0<“<2時(shí)，/(X)在(-8,1)上遞增，在(1,+8)遞增，

即/(X)在R上遞增，所以不存在符合題意的三,馬.

當(dāng)時(shí)，在(fl)上遞增，在[I,]]上遞減，在g+s|上遞增，

根據(jù)直線和拋物線的知識(shí)可知：存在占,馬€凡西R馬，使/(xj=f(x2)成立.

綜上所述，。的取值范圍是(-*0]u(2,+B).

故選：D

【點(diǎn)睛】對(duì)于含有參數(shù)的分段函數(shù)的分析，關(guān)鍵在于對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，本題中，涉及直

線、拋物線，參數(shù)與直線的單調(diào)性、拋物線的對(duì)稱軸(單調(diào)性)有關(guān)，由此可確定分類的標(biāo)

準(zhǔn)，從而使分類做到“不重不漏"

8.(2021?全國(guó)?高二專題練習(xí))如圖，在圓錐S。中，A,B是OO上的動(dòng)點(diǎn)，89是。。的

直徑，M,N是S3的兩個(gè)三等分點(diǎn)，NAOB=9（0<e<G，記二面角N-CM-B,

州-49-2的平面角分別為a,/3,若aM/3,則。的最大值是（）

【答案】B

【解析】設(shè)底面圓的半徑為「，OS=。,以"8所在直線為x軸，以垂直于"2所在直線為了軸,

以O(shè)S所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).利用法向量求得二面角

N-0/-3與刊-/9-3夾角的余弦值,結(jié)合即可求得。的取值范圍，即可得。的最大

值.

【詳解】設(shè)底面圓的半徑為，，OS=a,以小2所在直線為x軸，以垂直于小8所在直線為V軸,

以O(shè)S所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如下圖所示：

貝I］由

可得0（0,0,0）,8（廠,0,0）,5（0,0,。）,/（廠00$仇八足仇0）,"（-外,0,0）

是S3的兩個(gè)三等分點(diǎn)

則唬,o,7間”最

所以況=（rcos6?,rsine,0）,^=|^y,0,三］

設(shè)平面NCM的法向量為zj

(xj,,Zj)?(rcos^,rsin,0)=0

m-OA=0八、.

則和麗=。,代入可得

（2i，z）*=。

陽(yáng)/cos0+必尸sin6=0

化簡(jiǎn)可得<2xraz

--x-1---x=0

I33

cos。2r

令XI=1,解得力=-

嬴萬(wàn)'句=一1

cos32r

所以加二

sin6'a

平面OAB的法向量為1二（0,0,1）

由圖可知，二面角N-CM-3的平面角a為銳二面角，所以二面角N-04-5的平面角a滿

足

2r

m-n_______a______

cosa=

m-n[~~cos204r^

J1+—^+―r

Vsin0a2

設(shè)二面角M-48，-8的法向量為元=卜2，及/2）

5,^=(r+rcos0,rsin0,O),AMJ-rcos。,一升sin。.

(x,>>,z)-(r+rcos0,rsin0,O)=0

沒(méi)二代入可得222

則^-rcos0,-rsin

(x2,y2,z2)-=0

x2r+x2rcosO+y2rsin0=0

化簡(jiǎn)可得*xr八.2azzc

2——々/cos"一％尸sm”H——=0

-l-cos02r

令％2=L解得及=--------,z2=

sin。-----a

所以石=1,匚*，一2

Ism，a

平面的法向量為萬(wàn)=（0,0,1）

由圖可知，二面角M-AB,-B的平面角B為銳二面角，所以二面角M-AB'-B的平面角B

由二面角的范圍可知04a4萬(wàn)

結(jié)合余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知cosa>cos13

所以。<。4才

所以。的最大值是年27r

故選:B

【點(diǎn)睛】本題考查了空間直角坐標(biāo)系在求二面角中的綜合應(yīng)用,根據(jù)題意建立合適的空間直

角坐標(biāo)系，求得平面的法向量，即可求解.本題含參數(shù)較多,化簡(jiǎn)較為復(fù)雜，屬于難題.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)

符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.(2022?江蘇?南京師大附中高二期中)為迎接黨的二十大勝利召開(kāi)，某中學(xué)舉行黨史知識(shí)

競(jìng)賽，對(duì)全校參賽的1000名學(xué)生的得分情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，把得分?jǐn)?shù)據(jù)按照

[50,60),[60,70),[70,80)x[80,90),[90,100]分成5組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，根

B.得分在區(qū)間[60,70)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為200

C.該校學(xué)生黨史知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù)大于80

D.估計(jì)該校學(xué)生黨史知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)落在區(qū)間[70,80)內(nèi)

【答案】ABD

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)直接計(jì)算即可.

【詳解】對(duì)于A,由頻率分布直方圖性質(zhì)得：(a+0.02+0.035+0.025+a)xl0=l,解得。=0.01,

故A正確；

對(duì)于B,由頻率分布直方圖得：成績(jī)落在區(qū)間［60,70)的頻率為0.2,所以人數(shù)為

0.2x1000=200,故B正確；

對(duì)于C,由頻率分布直方圖得：［50,70)的頻率為(0.01+0.02)x10=0.3,［70,80)的頻率為

0.035x10=0.35,所以成績(jī)的中位數(shù)位于區(qū)間［70,80)內(nèi)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,估計(jì)成績(jī)的平均數(shù)為：

元=55x0.01x10+65x0.02x10+75x0.035x10+85x0.025x10+95x0.01x10=75.5,所以成績(jī)

的平均數(shù)落在區(qū)間［70,80)內(nèi)，故D正確.

故選：ABD.

10.(2022?福建?廈門市湖濱中學(xué)高二期中)如圖是常見(jiàn)的一種滅火器消防箱，抽象成數(shù)學(xué)模

型為如圖所示的六面體，其中四邊形/DE7/和3CFG為直角梯形，A,D,C,8為直角頂

點(diǎn)，其他四個(gè)面均為矩形，AB=BG=3,FC=4,BC=1,下列說(shuō)法不正確的是()

A.該幾何體是四棱臺(tái)

B.該幾何體是棱柱，平面/8CZ)是底面

C.EGLHC

D.平面EFG”與平面NBCD的夾角為45。

【答案】ABC

【分析】根據(jù)臺(tái)體、柱體、空間直角坐標(biāo)系、線線垂直、面面角等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從

而確定正確答案.

【詳解】因?yàn)樗倪呅?。硒和3CFG為直角梯形，A,D,C,B為直角頂點(diǎn),其他四個(gè)面

均為矩形，

所以這個(gè)六面體是四棱柱，平面4DEH和平面8CFG是底面，故A,B錯(cuò)誤；

由題意可知ON,DC,OE兩兩垂直，如圖，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則￡(0,0,4),G(l,3,3),C(0,3,0),//(1,0,3),函=(1,3,-1),函=(1,一3,3),

則就.麗:=1-9-3=-11片0，所以EG,不垂直，故C錯(cuò)誤；

根據(jù)題意可知DE，平面ABCD,所以方=(0,0,4)為平面ABCD的一個(gè)法向量，

麗=(1,0,-1)環(huán)=(0,3,0),

設(shè)7=(x,%z)為平面EFGH的法向量，

n?EH=x-z=0,

則有＜則可取3=(1,0,1),

n?HG=3y=0,

n-DE4e

貝ljcos〈?DE〉=

\n\-\DE\~4x722

所以平面與平面/BCD的夾角為45。，故D正確.

故選：ABC

11.(2022?湖北?恩施市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè))已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓

Q:(x-cos0)2+(y-sin0)2=1,則下列結(jié)論正確的是()

A.圓。恒過(guò)原點(diǎn)O

B.圓。與圓/+廿=4外切

C.直線x+y=竽被圓。所截得弦長(zhǎng)的最大值為百

D.直線xcoscz+ysina=0與圓。相切或相交

【答案】ACD

【分析】A.代入點(diǎn)(0,0)可判斷；B.計(jì)算圓心距離與半徑差的大小關(guān)系；C.利用垂徑定理求弦

長(zhǎng)然后求最值；D.求圓心到直線的距離來(lái)判斷.

【詳解】對(duì)于A代入點(diǎn)(0,0)得(-co入y+(-sin行=1恒成立,A正確;

對(duì)于B：7cos20+sin20=|1-2|,即兩圓心距離等于兩圓半徑差，兩圓內(nèi)切，B錯(cuò)誤;

sin^+cos^=V2sm

即直線尤+了=?被圓。所截得弦長(zhǎng)的最大值為百，C正確；

COQnCCSzy_|_mf-jcitizy1

對(duì)于D：圓心到直線的距離一,2.2=|cos（0-a）|<1,故圓和直線相切或相交,

A/COS~a+sin~a

D正確；

故選：ACD.

12.（2022?福建?莆田華僑中學(xué)高二期中）已知數(shù)列｛。,｝滿足。3=28,

6=[2（一）"+〃卜1（”22）,〃eN*,數(shù)列也,｝的前〃項(xiàng)和為S",且

aa

bn=1°§2(2n+2'2n-l)-log2(a2?-(z2?+1),則下列說(shuō)法正確的是()

A.幺=21

a2

B.%?42=16

C.數(shù)列[=]為單調(diào)遞增的等差數(shù)列

I%J

D.滿足不等式工-5>0的正整數(shù)〃的最小值為63

【答案】ABD

【分析】由。3=28和遞推公式a〃=[2（一°玲?=8玲q=2,%=168玲A選項(xiàng)正確，

B選項(xiàng)正確；

a,=12（一邛+22）好區(qū)=2（可+〃>2=2（-甲+2n=2〃+2為單調(diào)遞增的等差數(shù)

aa

L」n-\2n-\

列玲C選項(xiàng)不正確；

〃+2〃+2

b〃=log1玲S〃=log——>5玲〃〉62-D選項(xiàng)正確

2n+l22

【詳解】因?yàn)?=28,所以？=2（一以q+B4=28,所以。2=8,

則a2=2（T）?ax+2ax=8,解得4=2,

&=2（T，q+M=168，所以￡=21,aca2=16,所以A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)正確；

因?yàn)闉?上3）"+“卜1（"22）,所以9=2（少+”（心2）,

所以烏-=2(M"+2〃=2〃+2,又“eN*,

a2n-\

所以芻=2〃+2一2〃=2,〃wN*

a2n-\a2n-3

所以,出〔為單調(diào)遞增的等差數(shù)列，

則數(shù)列;羅:不是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，所以c選項(xiàng)不正確;

%"+2=2(-產(chǎn)"+2〃+2=2〃+4,

a2n+l

alon+2

則b”=10g2(a2n+2?*)-噢2@2〃?2n+l)=§2幺鼻鼻log?

。2/2〃+1〃+1

c13,41〃+l[〃+2[34n+1n+2卜0g2n+2「

5"1。%+1。叼+--+1叫”+1嗎”+廣1叫xx?xx>5

Q3nn+1

解得〃>62,又“eN*,

所以正整數(shù)〃的最小值為63,所以D選項(xiàng)正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】數(shù)列問(wèn)題，常常需要由遞推公式求出通項(xiàng)公式，方法有累加法，累乘法，構(gòu)造法等,

要根據(jù)數(shù)列特征選擇不同的方法.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（2022?上海交大附中高一期末）古代典籍《周易》中的"八卦"思想對(duì)我國(guó)的建筑有一定

影響.圖1是受"八卦"啟示設(shè)計(jì)的正八邊形的八角窗.在正八邊形/BCAEFGH中，若

AC=xAB+yAH（x,y&R）,貝>Jx+y=.

【答案】亞+2##2+V2

【分析】根據(jù)題意結(jié)合向量的線性運(yùn)算分析運(yùn)算.

【詳解】如圖，連接S,則AB//CH,

不妨設(shè)/B=2,則?！?2血+2，即配=（血+1）益，

：.AC=AH+HC=^+1）AB+AH,則x=0+l,y=l,

故x+y=>/2+2.

故答案為：拒+2.

GF

14.（2022?天津市匯文中學(xué)高三期中）的展開(kāi)式中，/的系數(shù)是

.（用數(shù)字填寫答案）

35

【答案】v

O

【分析】寫出二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式，然后計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)間-的通項(xiàng)公式為：二￡['=（T'X出"掾等，

令8-二=2得,?=4,則其系數(shù)為4

2248

35

故答案為：v

O

22

15.（2022?上海市金山中學(xué)高二期末）已知耳、乙為雙曲線C4-與=1（°>0/>0）的兩個(gè)焦

ab

TT

點(diǎn)，P、。為。上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且|P0|=|斗名若直線尸。的傾斜角為則

C的離心率為.

【答案】V3+l##l+V3

【分析】由題意畫出圖形，可得4。。鳥(niǎo)為正三角形，進(jìn)一步得到四邊形尸片為矩形，再

由雙曲線的定義求解得答案.

【詳解】如圖，

又|PQ|=|片耳I，=可得△。。不為正三角形,

由對(duì)稱性可得，四邊形相。片為矩形，得到|尸周=G|尸閶=6c,

由雙曲線定乂可得，出c-c=2a,

e=A/3+1，

故答案為：V3+1.

16.(2020■黑龍江?哈九中高三期末(文))若存在實(shí)常數(shù)左和6,使得函數(shù)尸(x)和G(x)對(duì)

其公共定義域上的任意實(shí)數(shù)x都滿足尸(x)N丘+6和G(x)V履+6恒成立，則稱直線

y=h+b為尸(x)和G(x)的"隔離直線已知函數(shù)/(x)=W相。/?),g(x)=—(x<0),

〃(x)=2elnx,則有下列命題:

①V=-g(x)與〃(x)有"隔離直線"；

②“X)和g(x)之間存在"隔離直線”，且6的最小值為-4；

③〃x)和g(x)之間存在"隔離直線"，且k的取值范圍是(-4,0］；

④“X)和h(x)之間存在唯一的“隔離直線"y=2&x-e.

其中真命題的序號(hào)為.(請(qǐng)?zhí)钌纤姓_命題的序號(hào))

【答案】②④

【分析】利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合"隔離直線”的定義可判斷①的正誤；利用"隔離直線”的定義求出6、

上所滿足的不等式，求出06的取值范圍，可判斷②③的正誤；求出函數(shù)“X)和/z(x)圖

象的公共點(diǎn)以及公切線方程，結(jié)合利用導(dǎo)數(shù)法證明出g(x)M2&x-e,結(jié)

合"隔離直線”的定義可判斷④的正誤.

【詳解】對(duì)于①，構(gòu)造函數(shù)e(x)=/(x)+g(x)=x2+L其中x<0,

貝Ud(x)=2x-5=斗^<0,所以，函數(shù)。(無(wú))在(-刑0)上單調(diào)遞減，

"(-1)=0,當(dāng)9<-1時(shí),0(x)>0(-l)=0,此時(shí)〃x)>-g(x);

當(dāng)一l<x<0時(shí)，"(司<夕(一1)=0,止匕時(shí)/(x)<-g(x).

所以，了=，(可與力⑺不存在“隔離直線"，①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，設(shè)〃x)和g(無(wú))之間的"隔離直線"為廣b+b，

當(dāng)x<0時(shí)，x2>-,則x2?Ax+b在(--。)上恒成立，

設(shè)工(x)=/一履一6,二次函數(shù)工⑴圖象的對(duì)稱軸為直線尤=今

當(dāng)上20時(shí)，貝1]/(0)=—6N0,可得640；

當(dāng)后<0時(shí)，A=r+46W0,貝I164一h.

4

不等式Ax+b之工在(-8,0)上恒成立，即b2工-fcc在(-巴0)上恒成立，

XX

若左〉0,函數(shù)>在(-8,0)上單調(diào)遞減，該函數(shù)在(-8,0)上無(wú)最小值，此時(shí)b無(wú)解;

X

11

若左=0,可得62—,當(dāng)x￡(—°°,0)時(shí)，一G(—oo,0),貝I」/)20；

XX

若左<0,則—kx,

x

由基本不等式可得，-Ax=一1―-j+AxV-2d―-j-Ax=

當(dāng)且僅當(dāng)x=一古時(shí)，等號(hào)成立，則6N-2口.

由上可知，當(dāng)左=0時(shí)，6=0；

,—k2,—k1

當(dāng)左<0時(shí)，k=0,6=0也滿足一2口J,

44

由上可知一2口三一[,整理可得一64左23，即上儼+64)40,.―44左<0.

由題意可知，卜,所以一4W6V0,故②正確；

\/max

對(duì)于③，由②可知，-44左W0,故③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，/(x)=x2>"(x)=2elnx,則/(《be,=2elnVe=e,則/1(五)="(能"卜

所以，函數(shù)〃x)、g(x)的圖象的公共點(diǎn)為(右,e),

f'(x)=2x,則/(甸=2八,g[x)=F，則g，(甸=2能,所以，/，(Vej=g,(e),

所以，函數(shù)/(x)、g(x)的圖象在公共點(diǎn)(五建)處有公切線y-e=2&'(x-/),即

y=2Vex-e.

構(gòu)造函數(shù)夕"x)=%2一(2加工一0二工2一2血%+?=[一八『>0,所以，f(x)>2yjex-e.

構(gòu)造函數(shù)2(%)=2e\nx-[2y/ex-e^=2elnx-2

當(dāng)0<x<C時(shí)，以(X)〉0,此時(shí)函數(shù)3(%)單調(diào)遞增;

當(dāng)尤〉G時(shí)，必(x)<0,此時(shí)函數(shù)%(x)單調(diào)遞減.

所以，氏(x)?02(八)=0,即g(x)42&x-e.

綜上可知，“X)和〃(x)之間存在唯一的“隔離直線〃y=2j&-e,④正確.

故答案為：②④.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，方法如下：

(1)直接構(gòu)造函數(shù)法:證明不等式/(X)〉g(x)(或/(X)<g(x))轉(zhuǎn)化為證明/(X)-g(x)>0

(或/(x)-g(x)<0),進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)故x)=/(x)-g(x)；

(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見(jiàn)放縮結(jié)論；

(3)構(gòu)造"形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函

數(shù).

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.(河北省張家口市部分學(xué)校2023屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題)已知正項(xiàng)數(shù)列｛4｝的前〃

項(xiàng)和為S“，其中％=2,4S“=m+l)2+4(〃N2,〃eN*).

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式，并判斷｛%｝是否是等差數(shù)列，說(shuō)明理由；

11111

(2)證明：當(dāng)時(shí)，一+—+—+---+----<-.

2〃=i(\

【答案】(1)%=2；_I〃>2,數(shù)列｛與｝不是等差數(shù)列，理由見(jiàn)解析；

⑵證明見(jiàn)解析.

2

【分析】(1)由45“=(%+1『+4得，當(dāng)心3時(shí)，4S?_1=(a?_1+l)+4,然后兩式相減得

%~%7=2,即數(shù)歹U｛aJ從第2項(xiàng)起為等差數(shù)列，根據(jù)4s“=(。“++4和％=2得至I」g=3,

即可得到g-％=上2,數(shù)列｛0“｝不是等差數(shù)列，然后求通項(xiàng)即可；

(2)利用裂項(xiàng)相消的方法求」一+」一+」一+…+--一，即可證明

11111

+++…+>

【詳解】(1)由45.=(q,+1)2+4得，當(dāng)時(shí)，4S?_,=((/?_]+1)2+4,兩式相減得

22

4冊(cè)=(an+l)-(an_j+l),整理得(%+%)(%-2)=0,

因?yàn)閿?shù)列｛%｝為正項(xiàng)數(shù)列，所以氏+《1片0,貝)]凡一％1-2=0,即。"-%一=2,

在4s“=（%+1『+4中，令〃=2,貝I」4s2=4%+4&=（g+1『+4，解得。2=3或-1（舍去）,

所以%-%=1,數(shù)列｛與｝從第2項(xiàng)起為等差數(shù)列，公差為2,

[2,77=1（、

所以?！?;,數(shù)列%不是等差數(shù)列.

[2n-l,n>2

（2）當(dāng)"22時(shí)’丁.用=+=?。?〃_]-2〃+]）'

111111

所以當(dāng)“22時(shí),---+----+----+???+

°1°2。2。3。4?！?〃+12n-l2〃+1

11

3-2(2/+1)

1八11111111_

因?yàn)?(2〃+1)所以3一班司<-,即----1----------1----------1--I-

D。2。3。3。43,

18.（2022?湖北?華中師大一附中高三期中）在銳角段5C中，角A,B,。所對(duì)的邊分別為

a,b,c,已知省(/+/—c2)=26csiiM.

⑴求sin.2/+cos2B的取值范圍;

⑵若。是45邊上的一點(diǎn)，且3:08=1:2,CD=2,求AASC面積的最大值.

j_7

【答案】⑴

4?4

唔

【分析】（1）先求出C,再根據(jù)三角