2025年高考數學一輪復習：基本不等式及其應用（附答案解析）

基本不等式及其應用-一輪復習考點專練

核心考點1基本不等式的概念與辨析

角度1基本不等式適用條件辨析

1.下列函數中，最小值為2的是（）

2XX

A.y=x+—B.y=Q2-J_Q2

1（八兀、x2+3

C.y=sinx+------Q<x<—D.y=—j=

sinxl2；7772

2.設a>0,b>0,則是“Qw6”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.下列不等式的推導過程正確的是.

①若x>l,則犬+工22<，,=2；

③若“/eR,則2+^^2、反=2.

ab\ab

角度2基本不等式的變形

4.《幾何原本》卷2的幾何代數法（以幾何方法研究代數問題）成了后世西方數學家處理問

題的重要依據，通過這一原理，很多的代數的公理或定理都能夠通過圖形實現證明，也稱之

為無字證明.現有如圖所示圖形，點尸在半圓。上，點C在直徑AB上，且。尸，AB,設

AC=a,BC=b,則該圖形可以完成的無字證明為（）

a+

A.^>-Tablet>0,Z7>0)B.a2+b2>2y[ab(d：>0,/?>0)

2

a

C.<4ab(a>0,b>0)D.>0,b>0)

a+b

5.下列命題正確的是()

A.若〃>0,b>0且a】b,貝!+

2

a+b

B.若a>0,^>0,則

2

C.對任意〃、Z?GR,a1+b2>2ab1均成立

D.若QHO,貝iU+Lw2ja，=2

a\a

6.設a,6為非零實數，給出不等式：

^a2+b2,^a1+b2a+b^^a+bab公。b

①---------Nab；②---------->----；③------>——-；@-+->2.

2212J2a+bba

其中恒成立的不等式是.

核心考點2基本不等式的應用

角度1由基本不等式比較大小

z?x0.6

7.己知"T°g/，^=log56.log54,c=Z,()

A.c<b<aB.c<a<bC.b<c<aD.b<a<c

8.已知a>6>0,則下列不等式可能成立，也可能不成立的是()

0cZ?/?—1

A.(4Z+Z?)>(Z?+1)B.—>-------

aa—1

_a2+b2,71cc

C.—i——〉〃+〃D.〃+I>2.9

slabTab

9.已知如，牛，或成等差數列，則①收、弭@b2^ac.③巫團2例中，正確的是—

abc2

角度2由基本不等式證明不等式關系

10.已知a>0,b>0.

(1)若c>0,證明a+4b+，N2y[ab+y/ac+2揚c；

/、、-++-,、Tn口c1+6ab—3a~-36~~

(2)若。>。，證明：2a+——---------------->2b.

/-2ab+b-

11.若實數％、V、機滿足卜一時>|y-利，則稱x比y遠離機.

(1)若尤2_1比3遠離0,求x的取值范圍；

(2)對任意兩個不相等的正數。、b,證明：/+/比。2匕+。廿遠離2ab疝.

試卷第2頁，共6頁

12.已知三角形ABC的三邊長為4、氏c,且其中任意兩邊長均不相等.若L：一成等差數

abc

列.(1)比較e與的大小，并證明你的結論；(2)求證8不可能是鈍角

角度3利用基本不等式求最值

13.設x,yNl,a＞\,6＞1.若優(yōu)=/=3,a+b=2^/3,則一+一最大值為()

xy

A.2B.-C.1D.I

22

14.已知尤＞0,y＞0,且x+y+Ay-3=。，則()

A.打的取值范圍是［1,9］

B.犬+y的取值范圍是［2,3)

C.x+4y的最小值是3

D.尤+2y的最小值是40一3

E.x+4y＞3

15.己知“力,c＞。，4abe=［+?+1,判斷(1+：丫1+」是否存在最大值和最小值，若存

abc\ab八ac)

在，請求解出最大值和最小值.

角度4利用基本不等式求參數的范圍

79-

16.焦點在x軸橢圓中截得的最大矩形的面積范圍是-^2,-^2，則橢圓離心率的范圍是(

叵病叵屈屈^65AV69

A.〒，丁B.~'~9~C.~'~9~〒，丁

log2(-x),x<0

17.已知函數/(%)=若函數8(彳)=々-1/(*)1有四個零點七巧，工3，，

x-2,x>0

且王＜工2＜尤3＜工4，則下列正確的是()

A.〃的范圍(0,2］B.4+4+工3+工4的范圍(-8,2)

C.叼々+號區(qū)的取值范圍［4,+8)D.3的范圍［。，1)

18.設acR,函數/(%)=(〃一%)l%l.

(1)若。=1,求/(九)的單調區(qū)間；

⑵若函數＞=/(%+2023)的圖象關于點(-2023,0)對稱，且對于任意的％注-2,2］,不等式

如2+相＞/"(%)］恒成立，求實數次的范圍.

角度5基本不等式在實際問題中的應用

19.拉魯濕地國家級自然保護區(qū)位于西藏自治區(qū)首府拉薩市西北角，是國內最大的城市濕地

自然保護區(qū)，也是世界上海拔最高、面積最大的城市天然濕地.其中央有一座涼亭，涼亭的

俯瞰圖的平面圖是如圖所示的正方形結構，其中〃和G8KL為兩個相同的矩形，俯瞰圖

白色部分面積為20平方米.現計劃對下圖平面正方形染色，在四個角區(qū)域（即圖中陰影部

分）用特等顏料，造價為200元/平方米，中間部分即正方形MNP。區(qū)域使用一等顏料，造

價為150元/平方米，在四個相同的矩形區(qū)域即EFNM,GHPN,PQJI,MQKL用二等顏料，

造價為100元/平方米.

（1）設總造價為W元，MV的邊長為x米，的邊長為y米，試建立W關于x的函數關系式；

（2）計劃至少要投入多少元，才能完成平面染色.

20.杭州，作為2023年亞洲運動會的舉辦城市，以其先進的科技和創(chuàng)新能力再次吸引了全

球的目光.其中首次采用“機器狗”在田徑賽場上運送鐵餅等，迅速成為了全場的焦點.已知購

1o一

買尤臺“機器狗”的總成本為“X）=存/+/+15（萬元）

⑴若使每臺“機器狗”的平均成本最低，問應買多少臺？

⑵現安排標明“汪1”、“汪2”、“汪3”的3臺“機器狗”在同一場次運送鐵餅，且運送的距離都

是120米.3臺“機器狗”所用時間（單位:秒）分別為工，T2,T3.“汪1”有一半的時間以速度

（單位:米/秒）匕奔跑，另一半的時間以速度匕奔跑；“汪2”全程以速度后直奔跑；“汪3”

有一半的路程以速度匕奔跑，另一半的路程以速度匕奔跑、其中匕>0,%>。，則哪臺機

器狗用的時間最少？請說明理由.

21.材料1.類比是獲取數學知識的重要思想之一，很多優(yōu)美的數學結論就是利用類比思想

獲得的.例如：若a>0,b>0,則石，當且僅當。=6時，取等號，我們稱為二

元均值不等式.類比二元均值不等式得到三元均值不等式：a>0,b>0,c>0,則

絲”3痂，當且僅當q=6=c時，取等號.我們經常用它們求相關代數式或幾何問題

試卷第4頁，共6頁

的最值，某同學做下面幾何問題就是用三元均值不等式圓滿完成解答的.

題：將邊長為12cm的正方形硬紙片（如圖1）的四個角裁去四個相同的小正方形后，折成

如圖2的無蓋長方體小紙盒，求紙盒容積的最大值.

圖1圖2

核心考點3其他不等式

角度1柯西不等式

22.柯西不等式最初是由大數學家柯西（Cauchy）在研究數學分析中的“流數”問題時得到的.

而后來有兩位數學家Buniakowsky和Schwarz彼此獨立地在積分學中推而廣之，才能將這一

不等式應用到近乎完善的地步.該不等式的三元形式如下：對實數％。嗎'和仿也也:，有

+?僅;+6；+公）2（3+生仇+43。3）2等號成立當且僅當,二,二片'已知

Zz-2U3

22（

x+r+z=14,請你用柯西不等式，求出x+2y+3zi的最大值是（）

A.14B.12C.10D.8

23.已知a/eR,設/⑴=冰若函數丁=/（"在區(qū)間［皿上存在零點，則當

取到最小值時y=/（x）的零點為.

24.已知。,瓦。>。，^a+b+c=abc1.

（1）求而，的最小值m.

⑵證明：mabc+（。+b）c2>m2.

角度2（選）權方和不等式

25.“權方和不等式”是由湖南理工大學楊克昌教授于上世紀80年代初命名的.其具體內容

為:設4>0也>0,〃eN*,…，則展+展+展++/,

耳外b3bn伍］+偽+仇++bn）

當且僅當+=賢=?==答時，等號成立.根據權方和不等式，若當

仄b2b3bnI2）

生8+，取得最小值時，x的值為（）

sinxcosx

26.求/(%)=y/x2-3x+2+A/2+3X-X2的最大值為

27.若4+的■1--%=1，證明：

+…+----------------------->—

a：+ci^a?+qa；+a：W+a；/+a2d+^3+4吊+〃；4

角度3（選）幕平均不等式

28.設a、b、c是三角形的三邊長，且滿足a+6+c=2p（定值），試求

---------1-----------1---------

b+cc+aa+b

試卷第6頁，共6頁

參考答案：

1.B

【分析】舉反例可判斷A錯誤；由基本不等式可得B正確；由基本不等式和正弦函數的值

域可判斷C錯誤；由基本不等式和完全平方可判斷D錯誤.

2

【詳解】A：當xvO時，y=x+—<0,故A錯誤；

x

B：，3>2A/X3-2'當且僅當即％=。時取等號，故B正確；

y—c-rCZ,yc,C一乙c—c

C：當時，sinXG（0,1）,y=sinx+」一>2,當且僅當sinx=」一,即sinx=l時

V2Jsinxsinx

取等號，因為sinx?0,l）,故C錯誤;

D:當且僅當丁=-1時取等號，又

fw—1,故D錯誤;

故選：B.

2.B

【分析】根據基本不等式以及必要不充分條件的定義求解.

【詳解】：。>0,b>0,：.^->4ab,當且僅當4=6時等號成立,

若而26時，片2底26,貝U疝2

即，，學士6”是“而26”的必要不充分條件，

而3乎26無法推出，石W6,

所以26”是“旅26”的必要不充分條件.

故選：B.

3.②

【分析】根據基本不等式成立的條件進行判斷即可.

【詳解】①中忽視了基本不等式等號成立的條件，

當x=L即x=l時，等號成立，

X

因為x>l,所以x+^>2,故①錯誤；

X

4

②因為xvO,所以―兀>。,—>。，

X

答案第1頁，共17頁

4

所以x+2=-4,

X

4

當且僅當-X=—-,即x=—2時，等號成立，故②正確；

X

③中忽視了利用基本不等式時每一項必須為正數這一條件,

當”=1力=-1時，-+^=-2,故③錯誤.

故答案為：②.

4.D

［分析］利用數形結合計算出5,OC,再在RtOb中，利用勾股定理得CF,再由CF2O尸,

可得結論.

【詳解】^AC=a,BC=b,可得圓。的半徑為廠=。/=148=巴史,

22

又由冗=。8-屈=巴吆-6=巴吆,

22

在RtOCF中，WWFC2=OC2+OF2=+[^~]

因為尸OW/C,所以巴立4付1±a，當且僅當。=6時取等號.

2丫2

故選：D.

5.AB

【分析】利用作差法、基本不等式逐項判斷，可得出合適的選項.

【詳解】對于A選項，若〃>0,〃>0且a】b,貝“a+b-2y^=（曰-加）>0,所以,

a+b>2y/ab，A對；

對于B選項，若。>0,b>0,由基本不等式可得疝4等，則［審J,

當且僅當a=b時，等號成立，B對；

對于C選項，對任意。、Z?eR,a1+b2-lab=^a-b^>0,/十匕222ab恒成立,

當〃<0,6<0時，a+b<0<2y［ab,C錯；

1/、1J/、1C

對于D選項，當Q<0時,a+-=-（一Q）H-----<-2,l-a）--1,

a—av—a

答案第2頁，共17頁

當且僅當。=-1時，等號成立，D錯.

故選：AB.

6.①②

【解析】由標+2之2浦可判斷①②正確；取特殊值可判斷③④錯誤.

【詳解】對于①，由重要不等式/+62三2ab可知①正確；

對于②，_2(/+廿)(/+b2)+(a2+b2)>/+62+2"=伍+卜尸(。+扛故

②正確；

對于③，當。=匕=—1時，不等式的左邊為中=-1,右邊為名=-1，可知③不正確；

對于④，令4=1,/?=-1可知④不正確.

故答案為：①②.

【點睛】本題考查不等式的性質，屬于基礎題.

7.D

3

【分析】化簡可得1。&8,結合對數函數性質證明結合基本不等式及對數性質

證明匕<1,結合函數>=為(F,y)上的增函數，證明C>|,由此可得結論.

【詳解】a=-1Ogl8=1Og68,

6

3

因為8?=64v216=63,所以8<6“又6<8,

所以6<8<6.因為函數丁=1奧6%為（。，+8）上的增函數，

33

所以1<log68<—,即

因為什log56.log54<心6；『=^J<J]*j=1,

所以匕<1,

因為函數、=為(-00,+00)上的增函數,

所以6<a<c,

答案第3頁，共17頁

故選：D.

8.ABD

【分析】AB作差法比較大小，舉出可能成立和可能不成立的例子；C選項，利用基本不等

式得到C一定正確；D選項，由基本不等式入手，舉出可能成立和可能不成立的例子.

【詳解】A選項，a>b>0,故a+乃+1>0,

當0<4<1時，(〃+b)2—(/?+1)2=(〃+2b+1)(〃一1)<0,即(Q+Z?)2<(b+1)2,

當a>l時，(〃+Z?)2—3+1)2=(〃+2Z?+l)(a—l)>0,即(〃+/?)?>(b+l)2,

A可能成立，也可能不成立，

bb—1b^a-\)-a(b-1)_a-b

B選項,

aa-1—1)a(tz-l)

因為<3>5>0,所以〃一/?>0,

bb-1_a-b

當Q>1時,>0

bb-1_a-b

當0vav1時,<0,

aa-1

故B可能成立，也可能不成立;

C選項，因為<3>6>0,所以4+。2>，故2(片+。2)>(Q+。),

〃a+br-r

所以------>----，而一

a+b22

故a+b>,即———>a+b,C—*定正確；

a+byjab

D選項，若a>0,b>0,由基本不等式得〃+/?+-N2^7^+-2

7ab7ab

兩個等號成立的條件為a=b,ab=g,

32

但a>6>0,不妨設〃=

此時a+/?+—L==—+—+^2=—+41<2.9,

-Jab4312

當a=4,b=1時，顯然〃+6+—^=^>2.9,

7ab

故。+人+*7>2.9可能成立，也可能不成立，D正確.

7ab

故選：ABD

9.③

答案第4頁，共17頁

【分析】由條件可得---=一十—，整理可得la2c2=b2(di2+c2)^b2*2ac,討論的符

bac

號可得①、②都不正確.再由基本不等式、不等式的傳遞性質可得③正確，從而得出結論.

【詳解】解：根據題意，4、氏C都不為0,：己知生，竽，或成等差數列，，華="+或，

abcbac

整理可得2a2Q=b2c2+a2b2=〃(〃2+。2)2b2?2|Qc|,即a2c2^b2\ac\.

當〃c>0時，正確；當。cVO時，b2^：-ac,b2^ac,

故有①和②都不正確.

由2〃2c22b2?2|〃C|,可得孩即yj\cic\>\b\,

再由基本不等式可得與目2M以及不等式的傳遞性得③回[且上網正確.

故答案為③.

【點睛】本題主要考查等差數列的定義和性質，基本不等式、不等式的性質的應用，屬于中

檔題.

10.(1)證明見解析(2)證明見解析

【分析】(1)由基本不等式可得：a+4b>4y[ab,a+c2>2y[ac,4Z?+c2>4y/bc,三個式子

相加可得到結論；

(2)經過變形，不等式左邊=2。+廣匚-3,故證明2m-6)+廠即可，然后利用

(a-b)(a-b)

三個正數的基本不等式可證明結論.

【詳解】(1)依題意，a+4bN4y[新，當且僅當〃=4/?時等號成立.

a+c1>2yfac,當且僅當Q=/時等號成立.

4。+c224A匠，當且僅當4/?二02時等號成立.

三式相力口可得，2a+Sb+2c2>4y/ab+2\fac+4>Jbc,

即〃+4〃+<?>2y[ab+y/ac+2yfbc，當且僅當a=4b=/時等號成立.

(2)因為所以a—Z?〉O.

『l+6ab-3a2-3b20l-3(a-b)2。1。

而2〃+——-----------------=2a+——-~~:=2a+---------3

a2-2ab+b2(a—b)2(a—b)72

12,即證2("b)+&Z3,

要證2。+

(a_b￥

1

即證(a—。)+(。-")+>3

(a_by

答案第5頁，共17頁

而(。-Z?)+(a-Z?)H---------23J(a—Z?),(<2—Z?),(^bf=3.

(a-b)v

當且僅當值呆=a-》，即a-Z?=l時等號成立,

1+6ab-3a~—3b~

所以2a+>2b.

ci"-2ab+b~

【點睛】本題考查證明不等式的方法、基本不等式的應用，考查推理論證能力以及化歸與轉

化思想，屬于中檔題.

11.(1)(YO,-2)(2,+OO)(2)詳見解析

【分析】(1)根據定義得到不等式上2-1-0|>|3-0],解這個不等式可得x的取值范圍.

(2)只要證明,+"一2。6而卜卜力+一2a以胸|即可，利用作差法可證該不等式，注

意利用基本不等式可證絕對值符號內的代數式恒正.

【詳解】⑴因為爐-1比3遠離0,所以|尤2一1一0|>|3-0|即-一1|>3,

所以％2-1>3或Y—lv—3(無解)，所以d>4,

故％w(―oo,—2)u(2,+oo).

(2)a>0,b>0,a1b,/.a2b+ab2>2aby[ab,a3+b3>labyfab,

|Q3+—2aZ?Jab1—\ci^b+cib^—2abNab|—ci+b，—c^b—ab2,

而々3+/?3—c^b—ab2=(a2一匕2)(〃_8)=(a—(〃+/?)>0

/.|<23+b3-2aby[ab\>^a2b+ab2-2aby[ab^,

即a3+b3比a2b+ab1遠離labyfab.

【點睛】本題考查不等式的證明，其基本方法有

(1)作差法：利用差的符號判斷兩個代數式的大小，作差后需利用因式分解、配方法等判

斷各因式的符號；

(2)作商法：利用商與1的大小關系來判斷兩個代數式的大小，注意商的分母的符號；

(3)利用基本不等式：根據不等式的代數結構特點選擇合適的基本不等式幫助證明.

12.(1)聆嘛,證明見解析；(2)證明見解析.

【分析】(1)結合基本不等式，利用分析法進行證明.

答案第6頁，共17頁

（2）采用反證法.然后利用余弦定理結合基本不等式，推出矛盾從而達到證明的目的.

【詳解】（1）大小關系為，<仁.證明如下：

要證\g<\E，只需證2Vm.

\a\bab

因為〃、b>c>0,只需證

因為上!」成等差數列，所以2=工+工^2,口,

abcbac\ac

所以》2<ac成立（當且僅當〃=b=c時等號成立）.

又因為〃、乩c任意兩邊均不相等，所以。2VQC成立

故所得大小關系正確.

（2）假設5是鈍角，則cos3<0.

—y-八/+/—2ac—Z??cic—Z?2?

HucosB=--------->------->------>0.

laclaclac

這與cosB<0矛盾，故假設不成立.

所以3不可能是鈍角.

13.C

【分析】先利用指、對數的關系，用。力表示男兒再利用基本不等式求最大值.

【詳解】-：x,y>l,a>l,b>\,優(yōu)=〃=3,

1Q11

???尤=1°小=心y=1叫3=

log3b'

a+b,273.2-1

?,?—+—=loga+logb=logab<log

3333~^2~I_】Og3（W）=1，

當且僅當〃=氏6，％=y=2時取等號.

?二的最大值為1.

九y

故選：c.

14.BDE

【分析】對于A項，運用基本不等式將其轉化成關于府的不等式求解即得；對于B項，

直接運用基本不等式將其轉化成關于X+y的不等式,再結合不等式性質求解即得;對于CDE

項，通過題設求出x,代入所求式消元，湊項運用基本不等式即得.

【詳解】對于A項，尤>0,y>0,由孫=3-（x+y）V3-25y^可得

答案第7頁，共17頁

因而>0,故得0<而41,則0〈孫VI,當且僅當X=y=l時等號成立，錯誤;

對于B項，由工+丫=3-酬23-1^^）可得（x+y+6）（x+y-2）20,

因x+y>0,故得：x+y>2,當且僅當x=y=1時等號成立，又x+y=3-.<3,

所以》的取值范圍是［2,3）,正確；

,3—y

對于C和E項，由x+y+呼一3=。得了=,

i+y

所以x+4y=|--+4y=-^―+4（1+y）-5>4><4（［+y）―5=3,

4

當且僅當方;=4（l+y）即>=。時，等號成立，所以尤+4y>3,故C項錯誤，E正確；

3-y

對于D項，由x+y+沖-3=0得尤=■；—,

i+y

所以無+2>=|^+2>=^1-+2（1+>）—322/^1-*2（1+>）—3=4收一3,

當且僅當有;=2（1+）0即>=&-1時，等號成立，正確.

故選：BD.

15.無最大值，最小值為4

【分析】直接將目標展開，消掉+\即得最小值和取等條件，4從蘇一］g關

于0的函數永遠有根，則［,+［1+:］=與+￥；+:］+4關于，的一元二次方程單增,

\a〃八〃cJaaybcJbea

故沒有最大值.

…,iiiii,,ifiiYiniifini

［詳解］4abc=-+-+-,:.-+-=4abc——,-+7-+-=—+--+-+—

abcbcayab八ac）a"aybcJbe

=_L+1|4a/,c_l|+J-=4^c+±>2j4Z2c—=4,當且僅當“歷=1”時取等；

aa\a）bebeVbe2

4abc=—+-J-+—,即4Ac"+=0,止匕時/=［」+4］+16bc>0,即為任意正

abc\bc）\bc）

值，都有解，即都有這樣的a.

1，+:11，+，1=與+，（1+，］+4看成關于，的二次單增函數,所以無最大值.

\a〃八〃cJaa\bcJbea

所以無最大值，最小值為4.

答案第8頁，共17頁

16.C

22

【分析】設橢圓的標準方程為1r+}=l(a>Z>>0),不妨設矩形ABCD的對角線AC所在的

直線方程為：y=kx(假設4>0),與橢圓方程聯立可得矩形A3CD的面積

S=4|xv|=4/呼變形利用基本不等式結合題意求解即可.

11b2+a2k2

22

【詳解】設橢圓的標準方程為f+A=l(a>b>0),

ab

不妨設矩形ABCD的對角線AC所在的直線方程為：y=kx(假設人>0),

X+JlV

2222222

1「kx解得」=工nhabk

聯立a2b，則，+y2

b2+a2k2

y=kx

22

S=4|內=-4-a-V-k=--4a-b-w誓=2ab

所以矩形ABC。的面積為：b2+a2k2b12,2件辦

——+ak

k

b

當且僅當人=一時取等,

a

7Q

因為點在X軸橢圓中截得的最大矩形的面積范圍是產寸：

7Q7049R1

所以一/則，二6,即竺

22441616

322

a-c

4922/(〃一02),即,16

Q2-C)<?<

1649

a2-c2<a2

J6

c265

^~81Bn「屈扃

解得：，即ee〒，丁

c^_>33

a7-49

故選：C.

17.AC

【分析】根據給定的分段函數，作出函數>=1/(%)1的圖象，把函數零點問題轉化為直線與

函數圖象交點求解，再逐項分析、計算判斷作答.

答案第9頁，共17頁

【詳解】函數g（x）=a-"（x）l有四個零點再，無2，三，羽，等價于直線y=。與函數y="（x）|的

圖象有4個交點，其橫坐標依次為無，1%，無3,5，

觀察圖象知，<-1<x2<0<x3<2<x4,由|斗-2|=|%-2|得，x3+x4=4,

由|log2（f）|=|lOg2（-X2）l,即log2（f）+1鳴（-/）=。得為為=1，且有。<。42,

因此。的范圍是（0,2］,A正確；

由0<-log2（-X2）〈2得，-1<X2<-^-,顯然尤+1%2='+%2在尤2上遞減，

4/4

171

因此了K玉+%2<—2,則—W4+%2+“3+*4<2,B不正確；

aXlx2+^^=a+-,顯然函數y=a+±在（0,2］上單調遞減，則。+±24,當且僅當a=2

aaaa

時取等號，c正確；

因為0<a<2,x3=2-a,貝I］有<2X3=a（2—a）=—（a—l）?+1,

當a=2時，（?。﹎in=。，當。=1時，（"3）max=l，即辦3的取值范圍是［。,U,D不正確.

故選：AC

【點睛】思路點睛：涉及給定函數零點個數求參數范圍問題，可以通過分離參數，等價轉化

為直線與函數圖象交點個數，數形結合推理作答.

18.⑴單調遞減區(qū)間為（-00）［；,+，|；單調遞增區(qū)間為］。,￡|

⑵I

【分析】（1）將/（X）寫出分段函數性質，結合二次函數性質畫出“X）的圖象，數形結合判斷

單調區(qū)間即可；

（2）由題意知/（X）為奇函數，結合奇函數性質求得。=0,進而有〃X）=-X|x|,貝（7V（x）］

答案第10頁，共17頁

=V|X|,將問題化為〃〉畢蟲在xw[-2,2]恒成立，再由畢'4二=/+1+1—-2及

X+1X+1X+1X+1

對勾函數性質求右側最大值，即可得參數范圍.

【詳解】(1)由題設〃x)=(l-x)|x|=卜。”

[廠-尤,x<0

所以，/(a)的圖象如下：

由圖知：/⑺在(-8,0),,,+口上遞減，在[o,g]上遞增，

所以/a)單調遞減區(qū)間為(-咫0),1,+8]；單調遞增區(qū)間為1°，：.

(2)由y=f(x+2023)的圖象關于點(-2023,0)對稱，即,⑺關于原點對稱,

所以/(x)為奇函數，則/(-無)=-/(無)，

所以(a+x)|-x|=-(a-x)|x|,即(a+x)|x|=(x-a)|x|在XdR上恒成立，

所以a+x=x-a,故“=0,貝！|/（無）=-x|尤|,故/"（x）]=-（一尤|了|）|一了|了||=工3|x|,

/[(%)]

所以xe[-2,2],則，加+m>/[/(x)]=m>{=4^恒成立，

x2+lx2+l

,X3IXIX421c

由\"一=x2+l1+—------2,

X+1X+1X+1

令，=一+1日1,5],結合對勾函數的單調性知產f+1-2在[1,5]上遞增，

t

所以故曾《3，

5x2+l5

….16

綜上，>—.

【點睛】關鍵點點睛：第二問，根據對稱點判斷〃光)為奇函數，并求出參數〃，進而寫出

/[/?]解析式，把問題化為m>在xw[-2,2]恒成立為關鍵.

x2+l

19.(1)W=^^+100X2(0<X<2^)

(2)2000夜元

答案第11頁，共17頁

【分析】(1)根據已知條件及矩形正方形的面積公式即可建立函數關系式；

(2)利用基本不等式求最小值，確定取值條件即可.

【詳解】(1)由題意得，陰影部分的面積為S陰影=4'-5=(y_x)2,s-0=/，

c10X

2

S空白=S正方形"CD一5陰影=r-(y-x)=20,化簡得y^—+~,

x2

顯然S正方形MVPQ=/v2。，所以0<x<2百.

則W=200(y—4+150x2+4xxg—jx100

=200y2_200盯+150/=2001"+|^|-200xJ+力+150f

200002

=———+100%,

x

故w關于X的函數關系式W=型"+100Y(0<X<2A^).

(2)W=+100x2>2佇2%io。：=2000&,

xVx

當且僅當號2=100/時，即x=200〉時，W有最小值，

所以當x=200：米時，％”=2000夜元，

故計劃至少要投入20000元，才能完成平面染色.

20.(1)30

(2)答案見解析

【分析】(1)根據題意，得到每臺機器狗的平均成本為>=〃?=!天+"+』，結合基本

x60x4

不等式，即可求解；

T_1201201=12°

(2)根據題意，分別求得?一不口，(=萬/，-2用匕，結合基本不等式，即可

212匕+匕

答案第12頁，共17頁

求解.

i3

【詳解】⑴由題意，購買天臺“機器狗”的總成本為/(%)=而/+/+15,

貝lj每臺機器狗的平均成本為y==—%+—+—>2./—x?—+—=1+—=—,

x60x4V60x444

當且僅當5X="時，即x=30時，等號成立，

60x

所以，若使每臺“機器狗”的平均成本最低，應買30臺.

11T=12°

(2)由題意，汪1滿足不工匕+不7；乂=120,可得?匕+匕，

222

,—.120

汪2滿足《聞^=120,可得石=后可，

6060_120

汪3滿足3―豆十可―百口

匕+匕

因為匕>0,匕>0,可得其答z廊1>0,

又由冠，可得麻2總%>°

V1十V2

當且僅當K=%時，等號全部成立，所以IV5VT；,

所以當％=%時，"汪1”、"汪2”“汪3”，用的時間相同；

當乂*匕時，“汪1”用的時間最少.

21.128cm3

【分析】設截去的小正方形的邊長為M°<x<6)，求出紙盒容積V，利用三元均值不等式

求解.

【詳解】設截去的小正方形的邊長為x(O<x<6),則紙盒容積

y=(12_2x)2x=；(12_2尤)(12—2x)(4x)W；［122x+l；―2無+4x)=128,

當且僅當12—2x=12—2x=4x,即x=2時取等號.

...紙盒的容積取得最大值128cm3.

你也可以將V=(12-2村x變形為V=(12-2x)2x=2(6-x)(6-x)(2x)求解.

你還可以設紙盒的底面邊長為。，高為b,貝M+2A=12,

答案第13頁，共17頁

則紙盒容積V=a2b=、(4b)［=l廣丁)］=；X(平：=128.

x

當且僅當〃=〃=4Z?,即a=8,〃=2時取等號，

???紙盒的容積取得最大值128cm3.

22.A

【分析】利用柯西不等式求出即可.

【詳解】由題干中柯西不等式可得(x+2y+3z)2w(d+y2+z2)(12+22+32)=14x14=196,

所以x+2y+3z的最大值為14,當且僅當無=l,〉=2,z=3時取等號.

故選：A

23小+1

,2

【分析】設函數y=〃x)在區(qū)間口，2］上的零點為，，帶入函數變形得到』=(小+64『，再利

用柯西不等式得到/+/z二，構造函數，求二取最小值時的r值即可.

t+tt+t

【詳解】設函數y=/(x)在區(qū)間［L2］上的零點為r,

tt

則3+6〃一”=0，即+

兩邊平方得e'=卜"+6〃『,

由柯西不等式可得+4/+巧?2+/),當且僅當〃〃-加=o時等號成立,

即/+/之具,re［1,21,

r+t

設8(力=壬，

令g〈x)>0,得上手</<2,8(尤)在［黃,2］上單調遞增，

令