5.3對(duì)數(shù)函數(shù)（第1課時(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)的概念圖象和性質(zhì)）課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版

3對(duì)數(shù)函數(shù)第1課時(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)第四章對(duì)數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)函數(shù)北師大版

數(shù)學(xué)

必修第一冊(cè)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)課程標(biāo)準(zhǔn)1.通過(guò)具體實(shí)例,理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念.2.能用描點(diǎn)法或借助計(jì)算工具畫(huà)出對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象,探索并理解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).3.知道對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax與指數(shù)函數(shù)y=ax互為反函數(shù)(a>0,且a≠1).基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)知識(shí)點(diǎn)1

對(duì)數(shù)函數(shù)1.對(duì)數(shù)函數(shù)的概念一般地,函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)叫作對(duì)數(shù)函數(shù),其中a稱為

,由定義可知,對(duì)數(shù)函數(shù)具有以下基本性質(zhì):①定義域是

;②圖象過(guò)定點(diǎn)

.

2.兩種特殊的對(duì)數(shù)函數(shù)特別地,我們稱以

為底的對(duì)數(shù)函數(shù)為常用對(duì)數(shù)函數(shù),記作y=lgx;稱以

為底的對(duì)數(shù)函數(shù)為自然對(duì)數(shù)函數(shù),記作y=lnx.

底數(shù)

(0,+∞)(1,0)10無(wú)理數(shù)e3.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=2x和對(duì)數(shù)函數(shù)x=log2y刻畫(huà)的是同一對(duì)變量x,y之間的關(guān)系,所不同的是:在指數(shù)函數(shù)y=2x中,x是自變量,y是x的函數(shù),其定義域是R;而在對(duì)數(shù)函數(shù)x=log2y中,y是自變量,x是y的函數(shù),其定義域是(0,+∞).我們稱對(duì)數(shù)函數(shù)x=log2y是指數(shù)函數(shù)y=2x的反函數(shù),同時(shí),也稱指數(shù)函數(shù)y=2x是對(duì)數(shù)函數(shù)x=log2y的反函數(shù).名師點(diǎn)睛1.判斷一個(gè)函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的依據(jù):(1)形式滿足y=logax;(2)底數(shù)a滿足a>0,且a≠1;(3)真數(shù)為x,而不是x的函數(shù).2.根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的關(guān)系知,y=logax可化為ay=x,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),可知在對(duì)數(shù)函數(shù)中,有a>0,且a≠1,x>0,y∈R.思考辨析1.函數(shù)y=2x與函數(shù)x=log2y的圖象有什么關(guān)系?2.函數(shù)y=2x的圖象與函數(shù)y=log2x的圖象有什么關(guān)系?提示

重合.提示

關(guān)于直線y=x對(duì)稱.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫(huà)√,錯(cuò)誤的畫(huà)×)(1)函數(shù)y=log2(x+5)是對(duì)數(shù)函數(shù).(

)(2)對(duì)數(shù)函數(shù)y=log2x的定義域?yàn)镽.(

)(3)函數(shù)y=log2x與y=x2互為反函數(shù).(

)×××2.[人教A版教材例題]求下列函數(shù)的定義域:(1)y=log3x2;(2)y=loga(4-x)(a>0,且a≠1).解

(1)因?yàn)閤2>0,即x≠0,所以函數(shù)y=log3x2的定義域是{x|x≠0}.(2)因?yàn)?-x>0,即x<4,所以函數(shù)y=loga(4-x)的定義域是{x|x<4}.3.[人教B版教材例題]判斷f(x)=2x+2的反函數(shù)是否存在,如果不存在,說(shuō)明理由;如果存在,寫(xiě)出反函數(shù)f-1(x)的解析式,并在同一平面直角坐標(biāo)系中作出f(x)與f-1(x)的函數(shù)圖象.解

因?yàn)閒(x)=2x+2是增函數(shù),因此任意給定值域中的一個(gè)值,只有唯一的x與之對(duì)應(yīng),所以f(x)存在反函數(shù).令y=2x+2,對(duì)調(diào)其中的x和y得x=2y+2,解得y=x-1,因此f-1(x)=x-1.f(x)與f-1(x)的函數(shù)圖象如圖所示.知識(shí)點(diǎn)2

對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)的圖象和性質(zhì)

圖象和性質(zhì)a>10<a<1圖象

性質(zhì)(1)定義域:(0,+∞)(2)值域:R(3)過(guò)定點(diǎn)(1,0),即x=1時(shí),y=0(4)當(dāng)x>1時(shí),y>0;當(dāng)0<x<1時(shí),y<0(4)當(dāng)x>1時(shí),y<0;當(dāng)0<x<1時(shí),y>0(5)在定義域(0,+∞)上是增函數(shù)當(dāng)x值趨近于正無(wú)窮大時(shí),函數(shù)值趨近于正無(wú)窮大;當(dāng)x值趨近于0時(shí),函數(shù)值趨近于負(fù)無(wú)窮大(5)在定義域(0,+∞)上是減函數(shù)當(dāng)x值趨近于正無(wú)窮大時(shí),函數(shù)值趨近于負(fù)無(wú)窮大;當(dāng)x值趨近于0時(shí),函數(shù)值趨近于正無(wú)窮大名師點(diǎn)睛1.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象都在y軸的右側(cè),x的取值越接近于0,圖象越接近y軸.2.對(duì)數(shù)函數(shù)函數(shù)值的符號(hào)常受到底數(shù)和真數(shù)的范圍的制約,注意對(duì)底數(shù)a的分類討論.3.兩個(gè)底數(shù)都大于1的對(duì)數(shù)函數(shù),圖象在第一象限內(nèi)越接近x軸,底數(shù)越大;兩個(gè)底數(shù)都大于0小于1的對(duì)數(shù)函數(shù),圖象在第四象限內(nèi)越接近x軸,底數(shù)越小.思考辨析請(qǐng)?zhí)角骹(x)=|lgx|與g(x)=lg|x|在區(qū)間[1,+∞)上的單調(diào)性.提示

f(x)=|lg

x|與g(x)=lg|x|在[1,+∞)上均為增函數(shù).自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫(huà)√,錯(cuò)誤的畫(huà)×)(1)函數(shù)y=log5(x+1)的定義域是(0,+∞).(

)(2)函數(shù)y=log2x2在R上單調(diào)遞增.(

)(3)函數(shù)f(x)=的值域是[-2,+∞).(

)(4)對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)的圖象一定在y軸的右側(cè).(

)(5)log20.35>log20.3.(

)×××√√2.(多選題)若函數(shù)y=logax的圖象如圖所示,則a的值可能是(

)AB3.[人教B版教材例題]比較下列各題中兩個(gè)值的大小:(1)log0.33與log0.35;(2)ln3與ln3.001;(3)log70.5與0.解

(1)因?yàn)?<0.3<1,所以y=log0.3x是減函數(shù),又因?yàn)?<5,所以log0.33>log0.35.(2)因?yàn)閑>1,所以y=ln

x是增函數(shù),又因?yàn)?<3.001,所以ln

3<ln

3.001.(3)因?yàn)?>1,所以y=log7x是增函數(shù),又因?yàn)閘og71=0,而且0.5<1,所以log70.5<log71=0.4.[人教B版教材例題]已知log0.7(2m)<log0.7(m-1),求m的取值范圍.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一對(duì)數(shù)函數(shù)的概念【例1】

(1)已知函數(shù)f(x)=(m2-3m+3)logmx是對(duì)數(shù)函數(shù),則m=

.

2解析

由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義可得m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0,也就是(m-1)(m-2)=0,解得m=1或m=2.又因?yàn)閙>0,且m≠1,所以m=2.(2)已知對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)①求f(x)的解析式;②解方程f(x)=2.②方程f(x)=2,即log16x=2,所以x=162=256.規(guī)律方法

1.對(duì)數(shù)函數(shù)是一個(gè)形式定義:2.對(duì)數(shù)函數(shù)解析式中只有一個(gè)參數(shù)a,用待定系數(shù)法求對(duì)數(shù)函數(shù)解析式時(shí)只需一個(gè)條件即可.變式訓(xùn)練1(1)若函數(shù)f(x)=log(a+1)x+(a2-2a-8)是對(duì)數(shù)函數(shù),則a=

.

4(2)點(diǎn)A(8,-3)和B(n,2)在同一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象上,則n=

.

探究點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用【例2】

已知函數(shù)f(x)=log2x,若函數(shù)g(x)是f(x)的反函數(shù),則f(g(2))=(

)A.1 B.2 C.3 D.4A解析

∵g(x)是f(x)的反函數(shù),∴g(x)=2x.∴g(2)=22=4,∴f(g(2))=f(4)=log24=2.規(guī)律方法

涉及指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)的問(wèn)題,一定注意前提是“同底數(shù)”,且它們的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱;反之,兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱,則這兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù).變式訓(xùn)練2已知函數(shù)g(x)=f(x)+x2是奇函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)y=log2x的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱,則g(-1)+g(-2)=(

)A.-7 B.-9C.-11 D.-13C解析

由題意知f(x)=2x,故當(dāng)x>0時(shí),g(x)=2x+x2.∵g(x)為奇函數(shù),∴g(-1)=-g(1)=-3,g(-2)=-g(2)=-(22+22)=-8.∴g(-1)+g(-2)=-11.探究點(diǎn)三與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域、值域問(wèn)題【例3】

(1)函數(shù)f(x)=ln(x2-x)的定義域?yàn)?

)A.(-∞,0)∪(1,+∞)B.(-∞,0]∪[1,+∞)C.(0,1)D.[0,1]A解析

由題意得x2-x>0,解得x>1或x<0,故函數(shù)f(x)的定義域是(-∞,0)∪(1,+∞).故選A.(2)已知函數(shù)

的值域?yàn)閇-1,1],則函數(shù)f(x)的定義域是

.

變式探究本例(1)中的函數(shù)變?yōu)?結(jié)論又如何?規(guī)律方法

定義域問(wèn)題注意事項(xiàng)(1)要遵循以前已學(xué)習(xí)過(guò)的求定義域的方法,如分式分母不為零,偶次根式被開(kāi)方式大于或等于零等.(2)遵循對(duì)數(shù)函數(shù)自身的要求:一是真數(shù)大于零;二是底數(shù)大于零且不等于1;三是按底數(shù)的取值應(yīng)用單調(diào)性,有針對(duì)性地解不等式.探究點(diǎn)四對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象【例4】

函數(shù)y=log2x,y=log5x,y=lgx的圖象如圖所示.(1)指出三個(gè)函數(shù)分別對(duì)應(yīng)于哪個(gè)圖象.(2)在如圖的平面直角坐標(biāo)系中分別畫(huà)出

的圖象.(3)從(2)的圖中你發(fā)現(xiàn)了什么?解

(1)①對(duì)應(yīng)函數(shù)y=lg

x,②對(duì)應(yīng)函數(shù)y=log5x,③對(duì)應(yīng)函數(shù)y=log2x.規(guī)律方法

對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的變化規(guī)律

(1)對(duì)于幾個(gè)底數(shù)都大于1的對(duì)數(shù)函數(shù),底數(shù)越大,函數(shù)圖象向右的方向越接近x軸;對(duì)于幾個(gè)底數(shù)都大于0且小于1的對(duì)數(shù)函數(shù),底數(shù)越大,函數(shù)圖象向右的方向越遠(yuǎn)離x軸.以上規(guī)律可總結(jié)成x>1時(shí)“底大圖低”.實(shí)際上,作出直線y=1,它與各圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即各函數(shù)的底數(shù),如圖所示.(2)牢記特殊點(diǎn):對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0),(a,1),變式訓(xùn)練3作出函數(shù)y=|lg(x-1)|的圖象,并根據(jù)圖象寫(xiě)出函數(shù)的定義域、值域以及單調(diào)區(qū)間.解

先作出函數(shù)y=lg

x的圖象(如圖①).再將該函數(shù)圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y=lg(x-1)的圖象(如圖②).圖①

圖②

最后把y=lg(x-1)的圖象在x軸下方的部分對(duì)稱翻折到x軸上方(原來(lái)在x軸上方的部分不變),即得出函數(shù)y=|lg(x-1)|的圖象(如圖③).圖③

由圖易知函數(shù)的定義域?yàn)?1,+∞),值域?yàn)閇0,+∞),函數(shù)在區(qū)間(1,2]上單調(diào)遞減,在區(qū)間(2,+∞)上單調(diào)遞增.探究點(diǎn)五利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小【例5】

比較下列各組中兩個(gè)值的大小:(1)log31.9,log32;(2)log23,log0.32;(3)logaπ,loga3.141(a>0,且a≠1).解

(1)(單調(diào)性法)因?yàn)閒(x)=log3x在(0,+∞)上是增函數(shù),且1.9<2,所以f(1.9)<f(2),即log31.9<log32.(2)(中間量法)因?yàn)閘og23>log21=0,log0.32<log0.31=0,所以log23>log0.32.(3)當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)y=logax在定義域內(nèi)是增函數(shù),則有l(wèi)ogaπ>loga3.141;當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)y=logax在定義域內(nèi)是減函數(shù),則有l(wèi)ogaπ<loga3.141.綜上所述,當(dāng)a>1時(shí),logaπ>loga3.141;當(dāng)0<a<1時(shí),logaπ<loga3.141.規(guī)律方法

比較兩個(gè)對(duì)數(shù)式大小的常用方法

對(duì)于含有參數(shù)的兩個(gè)對(duì)數(shù)值的大小比較,要注意對(duì)底數(shù)是否大于1進(jìn)行分類討論,不過(guò)對(duì)于這一類的大小比較問(wèn)題,并不是底數(shù)為參數(shù)時(shí),就一定要討論,而應(yīng)遵循的原則是盡量回避或推遲討論.變式訓(xùn)練4(1)下列不等式成立的是(其中a>0且a≠1)(

)A.loga5.1<loga5.9C.log1.1(a+1)<log1.1aD.log32.9<log0.52.2B解析

對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)閍和1大小的關(guān)系不確定,無(wú)法確定對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,故A不成立;對(duì)于選項(xiàng)B,因?yàn)橐?/p>

為底的對(duì)數(shù)函數(shù)是減函數(shù),故B成立;對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)橐?.1為底的對(duì)數(shù)函數(shù)是增函數(shù),故C不成立;對(duì)于選項(xiàng)D,log32.9>0,log0.52.2<0,故D不成立.故選B.★(2)設(shè)a=log32,b=log53,c=,則(

)

A.a<c<b B.a<b<c

C.b<c<a D.c<a<bA本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)對(duì)數(shù)函數(shù)的概念;(2)反函數(shù);(3)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)及應(yīng)用.2.方法歸納:待定系數(shù)法、分類討論法、數(shù)形結(jié)合法.3.常見(jiàn)誤區(qū):對(duì)數(shù)函數(shù)中隱含的條件,真數(shù)大于0,底數(shù)大于0且不等于1容易忽視,求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域時(shí),易漏掉真數(shù)大于零的情況.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)123451.函數(shù)

+lg(x+1)的定義域?yàn)?

)A.[-1,3) B.(-1,3)C.(-1,3] D.[-1,3]6C123452.函數(shù)

在區(qū)間[1,2]上的值域是(

)A.[-1,0] B.[0,1]C.[1,+∞) D.(-∞,-1]6A123453.設(shè)a與b均為實(shí)數(shù),a>0,且a≠1,已知函數(shù)y=loga(x+b)的圖象如圖所示,則a+2b的值為(

)A.6 B.8

C.10