2024年高考復習：圓錐曲線技巧總結

【高考總復習】圓錐曲線概念方法技巧總結

圓錐曲線的定義：

定義中要重視“括號”內的限制條件:

橢圓中，與兩個定點F],F2的距離的和等于常數(shù)2。，且此常數(shù)2?？隙ㄒ笥阝蹰?，當常數(shù)等于因用

時，軌跡是線段FIF2,當常數(shù)小于恒乙|時，無軌跡；

雙曲線中，與兩定點FrF2的距離的差的肯定值等于常數(shù)2a,且此常數(shù)2a肯定要小于IFF?1,定義

中的“肯定值”與2aV|FF2I不行忽視。若2a=RF21，則軌跡是以F「F?為端點的兩條射線，若2a

>恒才21，則軌跡不存在。若去掉定義中的肯定值則軌跡僅表示雙曲線的一支。

練習：

:L已知定點尸（1-3,0）,尸2（3,0），在滿意下列條件的平面上動點P的軌跡中是橢圓的是（答：C）；

A.|P^|+|P^|=4B.\PF}\+\PF2\=6C.|P^|+|P^|=10D.\PFf+\PF^=12

?方程"（x-6尸+V一+6尸+。=8表示的曲線是（答：雙曲線的左支）

_2

3.己知點。（20,0）及拋物線了=二上一動點P（x,y），則y+|PQ|的最小值是（答：2）

4

二.圓錐曲線的標準方程（標準方程是指中心（頂點）在原點，坐標軸為對稱軸時的標準位置的方程）：

⑴橢圓：焦點在X軸上時:+、=1孩邸’（參數(shù)方程，其中0為參數(shù)）,

22

焦點在y軸上時々+二=1（a>Z?>0）o方程于2+3y2=c表示橢圓的充要條件是什么？（ABCWO,

ab

且A,B,C同號，AWB）。

2222

（2）雙曲線：焦點在x軸上：※一樂=1，焦點在y軸上：亍—芯=1（。>。力>0）。方程

4：2+為2=。表示雙曲線的充要條件是什么？（ABCWO,且A,B異號）。

（3）拋物線：開口向右時V=2px（p〉0）,開口向左時V=一2px（p〉0）,開口向上時

X2=2py（p>0）,開口向下時x?=_2py（p>0）。

練習：

2211

1.已知方程=匚+上一=1表示橢圓，則左的取值范圍為一（答：（-3,——）U（—―,2））；

3+k2-k22

2.若羽yeR,且送+2/=6,則x+y的最大值是一，/+/的最小值是_（答：75,2）

1

3.雙曲線的離心率等于Yi,且與橢圓工+￡=1有公共焦點，則該雙曲線的方程

294—

4.設中心在坐標原點。，焦點K、工在坐標軸上，離心率e=后的雙曲線C過點尸（4,-師），則C的方程

為（答：x2-y2=6）

22

5.已知方程^—+=1表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是_______

|m|-12-m

三.圓錐曲線焦點位置的推斷（首先化成標準方程，然后再推斷）：

（1）橢圓：由X2,y2分母的大小確定，焦點在分母大的坐標軸上。

（2）雙曲線：由X2,y2項系數(shù)的正負確定，焦點在系數(shù)為正的坐標軸上；

（3）拋物線：焦點在一次項的坐標軸上，一次項的符號確定開口方向。

特殊提示：（1）在求解橢圓、雙曲線問題時，首先要推斷焦點位置，焦點F-F?的位置，是橢圓、雙

曲線的定位條件，它確定橢圓、雙曲線標準方程的類型，而方程中的兩個參數(shù)。為，確定橢圓、雙曲線的形

態(tài)和大小，是橢圓、雙曲線的定形條件；在求解拋物線問題時，首先要推斷開口方向；（2）在橢圓中，。最

大，a2=b2+c2,在雙曲線中，c最大，c2=a2+b2o

四.圓錐曲線的幾何性質：

橢圓的圖像和性質

焦點的位置焦點在光軸上焦點在y軸上

V

圖形￡2

2222

標準方程”=S>o)

范圍yeXEye

頂點

軸長長軸的長=,短軸的長=

焦點

焦距

對稱性

準線方程

焦半徑|PF||￡=|PFh=|PF||i-=|PFI|T=

離心率：焦準距：通徑長：

雙曲線的圖像和性質

焦點的位置焦點在X軸上焦點在y軸上

2

y

圖形△4t

1V

2222

標準方程—z——1(〃>0，b>0)--7—1(〃>0?b>0)

abab

范圍xeyexeye

頂點

軸長實軸的長=,虛軸的長=

焦點

焦距

對稱性

準線方程

焦半徑|PFi|s=|PFi|?=|PFi|±=|PF!|T=

漸近線方程

離心率：焦準距：通徑長：

拋物線

標準方程y2=2px,,y2=-2px,X2=2py,,X2=-2py,

寺

圖形a

頂點

對稱軸

焦點

準線方程

范圍yeyeyeye

通徑離心率

焦半徑|PF|=|PF|=

拋物線的

@l^=sX?□_J_2

焦點弦性①M目=X+X+p②X/2=7，%為~~P2+=

x2\AF\\BF\p

質：

練習:

1.若橢圓工+片=1的離心率0=叵，則加的值是—（答：3或生）;

5m53

2.以橢圓上一點和橢圓兩焦點為頂點的三角形的面積最大值為1時，則橢圓長軸的最小值為——

3

洛叵或叵）;

3.雙曲線的漸近線方程是3x±2y=0,則該雙曲線的離心率等于.

23

4.雙曲線以2_勿2=1的離心率為石，則（答：4或L）；

4

5.設雙曲線二-二=1（a>0,b>0）中，離心率ee[、歷，2],則兩條漸近線夾角。的取值范圍是—（答:

ab

6.設aw0,。eR,則拋物線y=4ax2的焦點坐標為（答：（0,—））；

16a

2222

五'點P（Xo，%）和橢圓j+==lCa>b>0）的關系：（1）點P（%,%）在橢圓外o烏+烏〉1；（2）

a"bab

點尸（X。,九）在橢圓上u>―+2}=1；（3）點尸（玉）,％）在橢圓內U>+智■<1

ab'（Tb"

六.直線與圓錐曲線的位置關系：

（1）相交：A〉0o直線與橢圓相交；A>00直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不肯定有

A>0,當直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交且只有一個交點，故A>0是直線與雙曲線相

交的充分條件，但不是必要條件；A>0=直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不肯定有A>0,當直

線與拋物線的對稱軸平行時，直線與拋物線相交且只有一個交點，故△>（）也僅是直線與拋物線相交的充分

條件，但不是必要條件。如

（2）相切：A=0o直線與橢圓相切；A=0o直線與雙曲線相切；A=0o直線與拋物線相切；

（3）相離：A<0o直線與橢圓相離；A<0o直線與雙曲線相離；A<0o直線與拋物線相離。

特殊提示：（1）直線與雙曲線、拋物線只有一個公共點時的位置關系有兩種情形：相切和相交。假如直

線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交，但只有一個交點；假如直線與拋物線的軸平行時，直線與拋物

22

線相交，也只有一個交點；（2）過雙曲線二-三=1外一點P（x°,%）的直線與雙曲線只有一個公共點的狀

ab~

況如下：①P點在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內時，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩

支相切的兩條切線，共四條；②P點在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內時，有兩條與漸近線平行的直

線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；③P在兩條漸近線上但非原點，只有兩條：一條是與另一漸

近線平行的直線，一條是切線；④P為原點時不存在這樣的直線；（3）過拋物線外一點總有三條直線和拋物

線有且只有一個公共點：兩條切線和一條平行于對稱軸的直線.

練習：

1.若直線尸kx+2與雙曲線x2-y2=6的右支有兩個不同的交點，則k的取值范圍是

4

2.直線y-kx-l=O與橢圓土+上=1恒有公共點，則m的取值范圍是

5m

22

3.過雙曲線^--t=1的右焦點直線交雙曲線于A、B兩點，若|AB|=4,則這樣的直線有條

12

4.過點（2,4）作直線與拋物線/=8x只有一個公共點，這樣的直線有（答：2）；

22

5.過點Q2）與雙曲線上-二=1有且僅有一個公共點的直線的斜率的取值范圍為

916

2

6.過雙曲線％2一］=1的右焦點作直線/交雙曲線于A、B兩點，若目=4,則滿意條件的直線/有一

7.對于拋物線C：/=4x,我們稱滿意為2<4%的點〃（%,%）在拋物線的內部，若點在拋物線

的內部，則直線/：%y=2（x+x0）與拋物線C的位置關系是（答:相離）；

8.過拋物線丁=心的焦點E作始終線交拋物線于p、Q兩點，若線段PF與FQ的長分別是八q,則

-+-=（答：1）;

pq

22

9.設雙曲線±-t=1的右焦點為/，右準線為/,設某直線相交其左支、右支和右準線分別于P,Q,R,

169

則NPm和NQ尸H的大小關系為（填大于、小于或等于）（答：等于）；

10.求橢圓7/+4產=28上的點到直線3x-2y-16=0的最短距離（答：/3）；

11.直線y=or+l與雙曲線3/-產=1交于A、B兩點。①當a為何值時，A、5分別在雙曲線的兩支上？

②當。為何值時，以AB為直徑的圓過坐標原點？（答：①卜6,、療）；?tz=±l）；

七、焦半徑（圓錐曲線上的點P到焦點F的距離）的計算方法：利用圓錐曲線的其次定義，轉化到相應

準線的距離，即焦半徑廠="?,其中d表示P到與F所對應的準線的距離。

練習：

2235

1.已知橢圓土+匕=1上一點P到橢圓左焦點的距離為3,則點P到右準線的距離為—（答：一）；

25163

2.已知拋物線方程為V=8x,若拋物線上一點到y(tǒng)軸的距離等于5,則它到拋物線的焦點的距離等于—；

3.若該拋物線上的點〃到焦點的距離是4,則點/的坐標為（答：7,（2,土4））；

22

4.點P在橢圓二+二=1上，它到左焦點的距離是它到右焦點距離的兩倍，則點P的橫坐標為

259

5.拋物線上的兩點A、B到焦點的距離和是5,則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為

5

6.橢圓3+餐=1內有一點尸（1,-1）,F為右焦點，在橢圓上有一點M,使"研+2|孫之值最小，則點

M的坐標為（答：（壁,T））；

3

八'焦點三角形（橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構成的三角形）問題：常利用第肯定義和正弦、余

弦定理求解。設橢圓或雙曲線上的一點尸（%,%）到兩焦點耳,心的距離分別為？々，焦點"質的面積為

入220

2

S,則在橢圓二+與=1中，S=btan-=c|y0|,當|%|=6即尸為短軸端點時，的最大值為be；

ab2,,

221/□

對于雙曲線0-2r=1的焦點三角形有：S=一。弓sin8=Z?2cot—o

ab22

練習：

1.短軸長為石，離心率e=g的橢圓的兩焦點為工、F2,過工作直線交橢圓于A、B兩點，則AAB生的

周長為（答：6）；

2.設P是等軸雙曲線--V="2（”>0）右支上一點，F(xiàn)i、F2是左右焦點，若兩?不[=0,|PFi|=6,則該

雙曲線的方程為（答：X2-/=4）；

22

3.橢圓二+乙=1的焦點為Fi、F2,點P為橢圓上的動點，當市2?市1<0時，點P的橫坐標的取值范圍是

94

4.雙曲線的虛軸長為4,離心率e=——，F(xiàn)i、F2是它的左右焦點，若過Fi的直線與雙曲線的左支交于A、B

2

兩點，且|A4是|A閭與忸閭等差中項，則（答：80）；

5.己知雙曲線的離心率為2,Fi、F2是左右焦點，P為雙曲線上一點，且/月「工=60°,=12瓜求

22

該雙曲線的標準方程（答：—=1）;

412

九、拋物線中與焦點弦有關的一些幾何圖形的性質：

（1）以過焦點的弦為直徑的圓和準線相切；（2）設AB為焦點弦，M為準線與x軸的交點，則/AMF=

ZBMF；（3）設AB為焦點弦，A、B在準線上的射影分別為A],B1；若P為A[B]的中點，則PALPB；（4）若

A0的延長線交準線于C,則BC平行于x軸，反之，若過B點平行于x軸的直線交準線于C點，則A,0,C

三點共線。

6

十、弦長公式：若直線y=+b與圓錐曲線相交于兩點A、B,且為々分別為A、B的橫坐標，則

=Vi+F|x1-x2|,若斗，為分別為A、B的縱坐標，則|AB|=j+乃|，若弦AB所在直線方程

設為％=6+b，則|AB|=JI79E-%］。特殊地，焦點弦（過焦點的弦）：焦點弦的弦長的計算，一般

不用弦長公式計算，而是將焦點弦轉化為兩條焦半徑之和后，利用其次定義求解。

練習：

1.過拋物線y2=4x的焦點作直線交拋物線于A（xi，y）B（x2,y2）兩點，若x1+x2=6,那么|AB|等于

2.過拋物線V=2%焦點的直線交拋物線于A、B兩點，已知|AB|=10,O為坐標原點，則AABC重心的橫坐

標為（答:3）；

22

十一、圓錐曲線的中點弦問題：遇到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法”求解。在橢圓=1

ab

r2y2

中，以「（%,%）為中點的弦所在直線的斜率k=——b?X;在雙曲線一—與二1中，以尸（%,%）為中點的弦

ay0ab

所在直線的斜率k=”^；在拋物線y2=2px（p〉0）中，以「（毛,%）為中點的弦所在直線的斜率k=￡。

ay0y0

練習：

22

1.假如橢圓上+乙=1弦被點A（4,2）平分，那么這條弦所在的直線方程是（答：x+2y-8=0）；

369

22

2.已知直線y=—x+l與橢圓=+2r=1（?！?〉0）相交于A、B兩點，且線段AB的中點在直線L：x-2y=0

a"b

拒

上，則此橢圓的離心率為（答：—）；

2

特殊提示：因為A>0是直線與圓錐曲線相交于兩點的必要條件，故在求解有關弦長、對稱問題時，務

必別忘了檢驗A〉0!

十二.你了解下列結論嗎？

（1）雙曲線三一21=1的漸近線方程為E_E=o；

a2b2a2b2

i2222

（2）以丁=±2%為漸近線（即與雙曲線二—2L=1共漸近線）的雙曲線方程為二—上=〃4為參數(shù)，

aa2b2a2b2

2WO）o

（3）中心在原點，坐標軸為對稱軸的橢圓、雙曲線方程可設為陽2+町？=1；

2b2

（4）橢圓、雙曲線的通徑（過焦點且垂直于對稱軸的弦）為——，焦準距（焦點到相應準線的距離）

a

b2

為一，拋物線的通徑為2p,焦準距為p；

c

7

(5)通徑是全部焦點弦(過焦點的弦)中最短的弦；

若拋物線〉的焦點弦為則①|占+々+

(6)=2px(p0)AB,A(x15_y1),B(x2,y2),48|=p；

2

②=一。2

(7)若OA、0B是過拋物線y=2Px(P〉0)頂點0的兩條相互垂直的弦，則直線AB恒經過定點(2p,0)

13.動點軌跡方程：

(1)求軌跡方程的步驟：建系、設點、列式、化簡、確定點的范圍；

(2)求軌跡方程的常用方法：

①干脆法：干脆利用條件建立x,y之間的關系F(x,y)=0；如已知動點P到定點F(l,0)和直線x=3的

距離之和等于4,求P的軌跡方程.(答：/=一12(%—4)(3<x<4)或丁=4x(0<x<3))；

②待定系數(shù)法：己知所求曲線的類型，求曲線方程一一先依據(jù)條件設出所求曲線的方程，再由條件確定

其待定系數(shù)。如線段AB過x軸正半軸上一點M(m,0)(m>0),端點A、B到x軸距離之積為2m,以x

軸為對稱軸，過A、O、B三點作拋物線，則此拋物線方程為(答：/=2x)；

③定義法：先依據(jù)條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義干脆寫出動點的軌跡方程；如

(1)由動點P向圓好+；/=1作兩條切線PA、PB,切點分別為A、B,ZAPB=60°,則動點P的軌跡方程為_

(答：x2+y2=4)；(2)點M與點F(4,0)的距離比它到直線/：x+5=0的距離小于1,則點M的

軌跡方程是(答：y2—16x)；(3)一■動圓與兩圓。M：X1+y2=1^0?N：x1+y2—8x+12=0

都外切，則動圓圓心的軌跡為(答：雙曲線的一支)；

④代入轉移法：動點P(x,y)依靠于另一動點。(%,為)的改變而改變，并且。(小,>0)又在某已知曲線

上，則可先用工y的代數(shù)式表示毛,先，再將毛，先代入已知曲線得要求的軌跡方程；如動點P是拋物線

y=2/+l上任一點，定點為A(0,—1),點M分工所成的比為2,則M的軌跡方程為(答：

y=6x2--);

3

⑤參數(shù)法：當動點P(x,y)坐標之間的關系不易干脆找到，也沒有相關動點可用時，可考慮將九,y均用

一中間變量(參數(shù))表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得一般方程)。如(1)AB是圓。的直徑，且|AB|=2a,

M為圓上一動點，作岷，人8,垂足為2在加上取點尸，使|0尸|=|政7|,求點尸的軌跡。(答：x2+y2=?|y|)；

(2)若點P(%],%)在圓/+丁=1上運動，則點。。]%,玉+%)的軌跡方程是(答：

y2=2x+l(|x|〈g))；(3)過拋物線/=4y的焦點F作直線/交拋物線于A、B兩點，則弦AB的中點M

的軌跡方程是(答：/=2丁—2)；

8

②曲線與曲線方程、軌跡與軌跡方程是兩個不同的概念，尋求軌跡或軌跡方程時應留意軌跡上特殊點對

軌跡的“完備性與純粹性”的影響.

③在與圓錐曲線相關的綜合題中，常借助于“平面幾何性質”數(shù)形結合（如角平分線的雙重身份一一對

稱性、利用到角公式）、”方程與函數(shù)性質”化解析幾何問題為代數(shù)問題、“分類探討思想”化整為零分化處

理、“求值構造等式、求變量范圍構造不等關系”等等.

④假如在一條直線上出現(xiàn)“三個或三個以上的點”，那么可選擇應用“斜率或向量”為橋梁轉化.

圓錐曲線常見題型及解題思路方法。

1.求圓碓曲線的標準方程

先推斷焦點的位置，設出相應圓錐曲線的方程，再依據(jù)已知條件和圓錐曲線的性質列方程（組）

（如求橢圓方程，就是依據(jù)條件和性質列出關于a、6c的方程組），求出待定參數(shù)。

2.求橢圓（或雙曲線）的離心率或離心率的取值范圍

C

求離心率就是依據(jù)條件和圓錐曲線的性質，找尋a、b.c之間的等量關系，求出一的值。在橢

a

c[~c[_（b^\b

圓中，有：e=—=-J1-—；在雙曲線中，有：e=—==J1+—o能求出一，也就求得了

aY\a）a丫\a）a

離心率。在雙曲線中，還要留意漸近線與離心率的關系。

求離心率的取值范圍就是依據(jù)條件和圓錐曲線的性質找尋a、b,c之間的不等關系。關于不等

式的來源，通常是依據(jù)已知不等式，同時還要留意圓錐曲線中幾個常用的不等關系：①圓錐曲線上點

的坐標的范圍；②在橢圓中，有N石由馬ZN石尸與，（其中B為短軸的端點，P為橢圓上任一

點）a-c<\PFi\<a+c（/=1,2）；③在雙曲線中，有（其中F為焦點，

p為雙曲線上任一點，4是同一支雙曲線的頂點）。

解這類問題時，要盡可能地結合圖形，依據(jù)定義，多從幾何角度思索問題。假如涉及直線與圓錐

曲線位置關系問題，還要聯(lián)立方程，用坐標法找關系。

3.在圓錐曲線中推斷點與圓的位置關系

除常規(guī)方法外（比較點到圓心的距離與半徑的大?。ǔＳ孟蛄糠?。例如，已知直線與圓錐曲

線交于力、B兩點，要推斷點P與以力B為直徑的圓的位置關系，只需確定NAPB的大小，通過計

算PAPB,確定其符號。

4.證明定點，定值，定直戰(zhàn)問題

可先取參數(shù)的特殊值（或圖形的特殊位置），對定點，定值，定直線進行探求，然后證明當參數(shù)

改變時，結論成立。

證明直線過定點，有兩種思路：①求出滿意條件的動直線方程（只含一個參數(shù)），再依據(jù)方程求

出定點；②先探求定點，再設出要證明的定點的坐標（如設動直線與x軸交于點（加，0））,把坐

標表示出來，表示式中，往往會含有％j+%2，%i%2（或丁1+丁2，X%），用所求得的結果代入,

就可得出坐標為定值。

證明定點、定值、定直線問題，還可利用圓錐曲線中定點、定值、定直線的性質，將問題進行轉

化。

5.直線與圓錐曲線的位置關系問題

這類問題是平面解析幾何中的重點問題，常涉及直線和圓錐曲線交點的推斷，弦長，面積，對稱，

共線等問題

9

處理問題的基本方法有兩種：

（1）聯(lián)立方程法：解題步驟是：先設交點4（%,%）,B（X2,y2）,再設直線方程，聯(lián)立直線

方程與圓錐曲線方程構成方程組，消元，求％1+%2，%1%2，（或%+%，%%），令A>0（假

如直線經過曲線內的點，可以省去這一步），再依據(jù)問題的要求或求距離，或求弦長，或求點的坐標，

或求面積等。

（2）點差法：設交點為AQp%）,B（x2,%）及4B的中點M（%O，%）,將A、B兩點的坐標

代人圓錐曲線方程，作差變形，可得：上二適=/（%,%）,即勺B=/（/，%）,再由題設條件，求

xl-x2

中點坐標M（%0，%）,依據(jù)問題的條件和要求列式。

值得留意的是，用聯(lián)立方程法，設直線方程時，為簡化運算，可采納這種的策略，若直線過X軸

上的定點P（Q,0）,則直線方程可設為@=%一。（此直線不包括入軸），聯(lián)立方程，消去％,

得到關于y的方程，求出%+%,%%備用。有時，還要依據(jù)y+%，％%，求出

%+%2，%1%2。若直線過y軸上的定點Q（0,b）,則直線方程可設為y=丘+b（此直線不包

括y軸），聯(lián)立方程，消去y。

對于直線y=Ax+機，無特殊交代時，通常留意分兩種狀況：①直線的斜率存在，消元后，留

意A>0；②直線的斜率不存在，即直線為％=/?GR）。

在涉及到弦的中點及斜率時，求參數(shù)（如直線的斜率k）的取值范圍，通常采納點差法。

6.最值問題

這類問題是從動態(tài)角度探討解析幾何中的有關問題，往往涉及求弦長（或距離）、面積、坐標（或

截距）、向量的模（或數(shù)量積）、參數(shù)等的最大（?。┲?。

其解法是：設變量，建立目標函數(shù)。處理的方法有：

（1）利用基本不等式；

（2）考察函數(shù)的單調性；

（3）利用判別式法。

在目標函數(shù)的變形上有肯定的技巧，關于弦長，面積表達式的變形，常用到移入根號，分別常數(shù)，

換元等方法，把目標函數(shù)轉化為雙勾函數(shù)的形式，或用基本不等式，或利用函數(shù)的單調性求最值。求

坐標的最值時，可構造一個一元二次方程，利用A20。

7.求參數(shù)的取值范圍問題

這類問題主要是依據(jù)條件建立關于參變量的不等式，或者把所求參數(shù)轉化關于某個變量的函數(shù)，

通過解不等式或求函數(shù)的值域來求參數(shù)的取值范圍。

詳細解法如下：

（1）結合定義利用圖形中幾何量之間的大小關系。

（2）不等式（組）求解法：利用題意結合圖形列出所探討的參數(shù)適合的不等式（組），通過解不

等式組得出參數(shù)的改變范圍。不等式的來源常有以下途徑：①已知不等式（含基本不等式）；②直線

與圓錐曲線相交時，有A>0；③點與圓錐曲線（以橢圓最為多見）的位置關系；④圓錐曲線（特

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殊是橢圓)上點的坐標的范圍。

(3)函數(shù)值域求解法：把所探討的參數(shù)作為一個函數(shù)，用一個適當?shù)膮?shù)作為自變量來表示這個

函數(shù)，通過探討函數(shù)的值域來求參數(shù)的改變范圍。

(4)利用基本不等式：基本不等式的應用，往往須要創(chuàng)建條件，并進行奇妙的構思。

(5)結合參數(shù)方程，利用三角函數(shù)的有界性。圓、橢圓的參數(shù)方程，它們的一個共同特點是均含

有三角式。因此，它們的應用價值在于：①通過參數(shù)。簡明地表示曲線上點的坐標；②利用三角函

數(shù)的有界性及其變形公式來幫助求解諸如最值、范圍等問題。

(6)構造一個二次方程，利用判別式A20。

8,求動點的軌跡方程

求動點的軌跡方程是解析幾何中兩類基本問題之一，即依據(jù)動點所滿意的條件，求動點的坐標之

間的關系式。最基本的方法是干脆法，步驟是：建系設點一條件立式—坐標代換一化簡方程一查

漏除雜。此外還有定義法(主要是利用圓錐曲線的定義)，相關點法，參數(shù)法，幾何法等。在涉及直線、

圓的軌跡問題時，常從幾何角度去探求動點滿意的關系，選用幾何法；假如題目沒有干脆給出動點所

滿意的條件，而是給出了與動點相關的點所滿意的條件，先設動點坐標為(％,y),再把相關點的坐

標用動點的坐標來表示，依據(jù)相關點的條件列式，此即為相關點法；參數(shù)法是求軌跡方程常用的方法，

合理引入?yún)?shù)(通常是相關點的坐標)列式，消去參數(shù)得到關于九,y的方程，要求所列方程的數(shù)目

要比引入的參數(shù)多一個，才能消去全部參數(shù)。

三.圓錐曲線問題中的條件及要求與韋達定理之間的聯(lián)系舉例：

解決圓錐曲線問題的基本方法是坐標法，這就須要把問題的條件轉化為坐標之間的關系，而把問

題的條件和要求用坐標表示，特殊是用工1+%2，%%2或X+%，%%來表示，往往又是打通問

題思路的關鍵。以下是問題中一些條件的坐標表示：

設斜率為左的直線/與圓錐曲線。交于兩點石，%),y),聯(lián)立方程，可求出

4(B(X2,2

%+%2，以及M+%，乂%。

(1)弦的中點:

可產+%2M+

弦AB的中點坐標可表示為

2'2

(2)弦的垂直平分線過定點或|/>A|=|「歸|：

弦A8的垂直平分線方程為：y

2左I2J

弦AB的垂直平分線過定點尸(a,b),則有:

+々

(3)點”(％0，%)與以為直徑的圓的核置關系，

推斷的符號:

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MAMB>0nNAMB為銳角n點在圓外

MAMB^QnZAMB為直角n點在圓上，

MAMB<0nNAMB為鈍角二點在圓內。

其中Mi?癡=(為一％0)(%2—%)+(%—%)(%一%)

=—％0(%+%2)++%%一%(%+%)+Jo2

(4)垂直問題：

如則有：=%0)(%2%