第六章 微分中值定理及其應(yīng)用

§1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性§2柯西中值定理及不定式極限§3泰勒公式§4

函數(shù)的極值與最值§5函數(shù)的凹凸性與拐點(diǎn)§6

函數(shù)圖象的討論第六章微分中值定理及其應(yīng)用第六章微分中值定理及其應(yīng)用§1拉格朗日定理和函數(shù)的單調(diào)性一問題的提出我們知道，導(dǎo)數(shù)是刻劃函數(shù)在一點(diǎn)處變化率的數(shù)學(xué)模型，它反映的是函數(shù)在一點(diǎn)處的局部變化性態(tài)，但在理論研究和實際應(yīng)用中，常常需要把握函數(shù)在某區(qū)間上的整體變化性態(tài)，那么函數(shù)的整體變化性態(tài)與局部變化性態(tài)有何關(guān)系呢？中值定理正是對這一問題的理論詮釋。中值定理揭示了函數(shù)在某區(qū)間上的整體性質(zhì)與該區(qū)間內(nèi)部某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。中值定理既是利用微分學(xué)知識解決應(yīng)用問題的數(shù)學(xué)模型，又是解決微分學(xué)自身發(fā)展的一種理論性數(shù)學(xué)模型。二微分中值定理微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange)中值定理，費(fèi)馬定理是它的預(yù)備定理，羅爾定理是它的特例，柯西定理是它的推廣。1預(yù)備定理——費(fèi)馬（Fermat）定理費(fèi)馬（Fermat，1601-1665），法國人，與笛卡爾共同創(chuàng)立解析幾何。因提出費(fèi)馬大、小定理而著于世。幾何解釋:證明:幾何解釋:2羅爾(Rolle)定理證注1:若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足,其結(jié)論可能不成立.例如,例如,XY-110注2:若羅爾定理的條件僅是充分條件，不是必要的.例12）唯一性由零點(diǎn)定理即為方程的正實根.矛盾,證：1）存在性3拉格朗日(Lagrange)中值定理幾何解釋:證分析:弦AB方程為化歸證明法作輔助函數(shù)拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精確地表達(dá)了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.推論1拉格朗日中值公式另外的表達(dá)方式：例2證由上式得第四節(jié)函數(shù)的單調(diào)性

二單調(diào)性的判別法第四節(jié)（I）函數(shù)的單調(diào)性三單調(diào)區(qū)間求法四單調(diào)性的應(yīng)用五小結(jié)與思考判斷題一問題的提出1問題的提出若在區(qū)間（a,b)上單調(diào)上升若在區(qū)間（a,b)上單調(diào)下降三函數(shù)的單調(diào)性2單調(diào)性的判別法定理證應(yīng)用拉氏定理,得例1解例2解注1:要用導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上的符號來判定，而不能用一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號來判別一個區(qū)間上的單調(diào)性．注2：函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個部分區(qū)間上單調(diào)．3單調(diào)區(qū)間求法1、單調(diào)區(qū)間定義:若函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)．2、單調(diào)區(qū)間的劃分例3解單調(diào)區(qū)間為例4解單調(diào)區(qū)間為解：1）定義域為(-∞、+∞)2)f'(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2)3)列表：令f'(x)=0得x1=1x2=24）由表可知：函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-∞、1]∪[2、+∞）單調(diào)減區(qū)間為（1、2）。xy'y(-∞、1)+10（1、2）-+(2、+∞)20練習(xí)：確定函數(shù)y=2x3+3x2-12x+1的單調(diào)區(qū)間。例4：解：1）定義域為(-∞、-1)∪（-1、+∞).3)列表:(-∞、-2)+-20（-1、0）-00+(0、+∞)4）由表可知函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞、-2)∪(0、+∞)

單調(diào)減區(qū)間為（-2、-1）∪（-1、0）。xy’y（-2、-1）-4單調(diào)性的應(yīng)用例5證四.小結(jié)與作業(yè)1.拉格朗日中值定理及推論.2.函數(shù)單調(diào)性的判定方法與步驟.3.作業(yè)：P124:1(1)~(2).2(1)~(2).3.4(1)~(3).5(1(~(2).6(1)~(4).7(1)~(3).

思考判斷題1區(qū)間內(nèi)個別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零,影響區(qū)間的單調(diào)性.3單調(diào)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)仍是單調(diào)函數(shù)。第六章微分中值定理及其應(yīng)用§2柯西中值定理及不定式極限一、柯西(Cauchy)中值定理幾何解釋:證作輔助函數(shù)例1二、不定式極限洛必達(dá)(L’Hospital,1661-1704)定理1洛必達(dá)法則證則有輔助函數(shù)所以定義定義這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則.例2解例3解例4解例5解例6解注意：1)使用羅必塔法則必須驗證條件，不是未定式不能用羅必塔法則；2)羅必塔法則可以連續(xù)應(yīng)用，必須步步化簡（盡可能地化簡）、步步驗證求未定式的極限.例7

定理2例8解注意3：若導(dǎo)數(shù)比的極限不存在，不能判斷原函數(shù)極限不存在。例如，事實上例題三其他未定式例8解解法：將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決的類型例9解例10解例11四小結(jié)與思考判斷題Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理1）羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間的關(guān)系；2）利用中值定理證明等式與不等式.Fermat定理四小結(jié)與思考判斷題洛必達(dá)法則思考判斷題思考題

1拉格朗日中值定理的條件缺少一個，結(jié)論就可能不成立.2第六章微分中值定理及其應(yīng)用§3泰勒公式一問題的提出不足問題1、精確度不高；2、誤差不能估計。分析:2.若有相同的切線3.若彎曲方向相同近似程度越來越好1.若在點(diǎn)相交三泰勒(Taylor)中值定理證明:定理1（帶lagrange余項的泰勒定理）如果f(x)在點(diǎn)鄰域內(nèi)有n+1階導(dǎo)數(shù)，則拉格朗日形式的余項皮亞諾形式的余項定理2（帶peano余項的泰勒定理）如果f(x)在點(diǎn)鄰域內(nèi)有n+1階導(dǎo)數(shù)，則幾點(diǎn)說明：（3）（麥克勞林公式）四常用n階泰勒公式及其簡單應(yīng)用解例3求在x=1點(diǎn)的四階泰勒公式例4：求極限羅爾定理Lagrange定理柯西定理泰勒公式羅必塔法則條件，結(jié)論五小結(jié)與思考判斷題其它函數(shù)的麥克勞林公式第六章微分中值定理及其應(yīng)用§4函數(shù)的極值與最值1.確定函數(shù)f(x)=2x3-9x2+12x-3的單調(diào)區(qū)間.1）函數(shù)f(x)的定義域為（-∞，+∞）2）又f’(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2)令f’(x)=0,得x=1或x=2.3）4）單調(diào)增區(qū)間為(-∞，1]和[2，+∞）單調(diào)減區(qū)間為[1，2]xf’(x)f(x)(-∞，1)1(1，2)2(2，+∞）++00-解：復(fù)習(xí)引入2.根據(jù)單調(diào)性畫出函數(shù)f(x)的草圖由圖知：f(x)在x=1處的函數(shù)值大于它近兩旁各點(diǎn)的函數(shù)值；而f(x)在x=2處的函數(shù)值小于它近兩旁各點(diǎn)的函數(shù)值。xy12-1-212f’(1)=0f’(2)=00一.極值的概念定義：設(shè)f(x)在區(qū)間(a，b)上有定義，x0∈(a，b)極值極小值極大值極值點(diǎn)極小值點(diǎn)極大值點(diǎn)注：1）極值是指函數(shù)值，而極值點(diǎn)是自變量的值；2）函數(shù)的極值概念具有局部性；在小范圍內(nèi)相比比較而言該點(diǎn)的函數(shù)值較大，而不是在整個定義域上最大或最小，所以函數(shù)的極大值不一定比極小值大。3）函數(shù)極值點(diǎn)必出現(xiàn)在區(qū)間內(nèi)部，而不在區(qū)間的端點(diǎn)。講授新課極大值,極大值點(diǎn).極小值,極小值點(diǎn).幾何特征：結(jié)論：1）f(x)在x0處有極值且可導(dǎo)，則f’(x0)=0

2）f(x)在x0處有極值且可導(dǎo)，則f’(x0)在x0的左右兩旁的符號要改變。f’(x)從+到-f’(x)從-到+xy0xy0x0+-x0+-二.判定定理定理:極大值.極小值.

極值的求法：1）求出函數(shù)f(x)的定義域；2）求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)；3）令f’(x)=0,解出方程f'(x)=0的全部解，得到f(x)的

全部駐點(diǎn)。4）用駐點(diǎn)把函數(shù)的定義域劃分成若干個部分區(qū)間，考察每個部分區(qū)間內(nèi)f’(x)的符號，以確定該駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，并由極值點(diǎn)求出函數(shù)的極值。例題與練習(xí)解：xf’(x)f(x)(-∞，-3)-3(-3，3)3(3，+∞）++00-極大值

22極小值

-14由上表得極大值f(-3)=22,極小值f(3)=-14練習(xí)1.求函數(shù)y=xln2x例2.求函數(shù)f(x)=(x2-1)3的極值解：xf’(x)f(x)(-∞，-1)-1(-1，0)0(0，1）++00-極小值

-1-(1，+∞)10練習(xí)2.解：xf’(x)f(x)+0-極大值

練習(xí)3.例4：求函數(shù)f(x)=x3-3x2-9x+5在[-2，6]上的極值.解：(1)f'(x)=3x2-6x-9=3(x2-2x-3)=3(x+1)(x-3)(2)令f'(x)=0，(3)列表考察f'(x)的符號xf'(x)f(x)(-2，-1)+(-1，3)(3，6)300-1+-(4)極小值f(3)=-22,極大值f(-1)=10草圖：由圖知，極大值為10但不是最大值。問題：求f(x)=x3-3x2-9x+5

在[-2，6]上的最大(小)值.(-2,3)-1-2106(3,-22)3(-1,10)(6,59)極大值

10極小值

-22xy0函數(shù)最大值和最小值的一般求法：(一)y=f(x)x∈[a,b](1)求出f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)；令f'(x)=0，求出駐點(diǎn)；(2)求出駐點(diǎn)處的函數(shù)值以及端點(diǎn)處的函數(shù)值；(3)比較這些值的大小，其中最大的就是函數(shù)的最大值，最小的就是最大值.三.函數(shù)的最值例題與練習(xí)解：(1).f(x)的定義域為(-∞，1)，[-8，1](-∞，+1](2).(3).令f‘(x)=0，解之得駐點(diǎn)為(5).比較大小得，在[-8，1]上的最大值為，最小值為-5.(4).練習(xí)：求函數(shù)y=x2-4x+6在閉區(qū)間[-3，10]上的最大值和最小值例2.求函數(shù)f(x)=x2-2x+6的最值.(1).f(x)的定義域為(-∞，+∞).解：(2).f’(x)=2x-2=2(x-1)(3).令f’(x)=0，解之得駐點(diǎn)為x=1.當(dāng)x∈(-∞，1)時，f’(x)<0,單調(diào)遞減.當(dāng)x∈(1，+∞)時，f’(x)>0,單調(diào)遞增.(二)若函數(shù)在一個開區(qū)間或無窮區(qū)間(-∞，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，且有唯一的極值點(diǎn).

例3.在半徑為R的半圓內(nèi)作內(nèi)接梯形，使其底為直徑其他三邊為圓的弦，問應(yīng)這樣設(shè)計，才能使梯形的面積最大？解：(三)：解決實際問題中的最大值問題的步驟：(1).根據(jù)題意建立函數(shù)關(guān)系式.(2).確定函數(shù)的定義域..(3).求函數(shù)f(x)在給定區(qū)域上的最大值或最小值.練習(xí)3.求半徑為R的半圓的內(nèi)接矩形的最大面積.例4.生產(chǎn)某種商品x個單位的利潤是P(x)=5000+x-0.00001x2(元)

問生產(chǎn)多少個單位時獲得的利潤最大？解：(1)函數(shù)關(guān)系式為P(x)=5000+x-0.00001x2(x>0).(2)P’(x)=1-0.00002x(3)令P’(x)=0得駐點(diǎn)x=5×104∵x=5×104是唯一駐點(diǎn)，又利潤最大值存在.練習(xí)：∴當(dāng)生產(chǎn)5×104個單位時獲得的利潤最大.

小結(jié)與作業(yè)1）求出函數(shù)的定義域；2）求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)；3）令f’(x)=0,解出方程f'(x)=0的全部解，得到f(x)的

全部駐點(diǎn)。4）列表考察f’(x)的符號，以確定該駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，并由極值點(diǎn)求出函數(shù)的極值。求函數(shù)極值的步驟：小結(jié)與作業(yè)最值問題的兩種類型：(1)求出給定解析式的導(dǎo)數(shù)f'(x)；令f'(x)=0，求出駐點(diǎn)；(2)求出駐點(diǎn)處的函數(shù)值以及端點(diǎn)處的函數(shù)值；(3)比較這些值的大小，其中最大的就是函數(shù)的最大值，最小的就是最大值.1.已知函數(shù)解析式及閉區(qū)間求最值.2.實際問題求最值.(1)根據(jù)題意建立函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x)；(2)根據(jù)實際問題確定函數(shù)的定義域；(3)求出函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)，令f‘(x)=0，求出駐點(diǎn)；若定義域為開區(qū)間且駐點(diǎn)只存一個，則由題意判定函數(shù)存在最大或最小值，則該駐點(diǎn)所對應(yīng)函數(shù)值就是所求.作業(yè)：P146:1,2,3,4,5.第六章微分中值定理及其應(yīng)用§5函數(shù)的凸性與拐點(diǎn)

1.函數(shù)y=f(x)單調(diào)性的判定K切=f'(x)>0y單調(diào)遞增凡呈凸型的弧段其切線總位于曲線的上方.凡呈凹型的弧段其切線總位于曲線的下方.K切=f'(x)<0y單調(diào)遞減x0y0px0y0y=f(x)pxyyxoo

2.幾何特征Ｉy=f(x)連續(xù)曲線的凹弧段與凸弧段有分界點(diǎn).復(fù)習(xí)引入一.定義:若曲線y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)位于其切線的上方.則稱該曲線在此區(qū)間內(nèi)是凸的,此區(qū)間稱為凸區(qū)間.若曲線位于其切線的下方,則稱該曲線在此區(qū)間內(nèi)是凹的,此區(qū)間稱為凹區(qū)間.xyoθ1θ2θ3abxyoθ1θ2θ3曲線的凹凸與拐點(diǎn)ab1.幾何特征Ⅱ凸型曲線:切線的斜率隨著X的增大而增大.凹型曲線:切線的斜率隨著X的增大而減小.??????x1x2x3x1x2x3講授新課連續(xù)曲線y=f(x)上凹的曲線弧和凸的曲線弧的分界點(diǎn)稱為拐點(diǎn).曲線y=f(x)的凹凸性可以用f′的單調(diào)性來判定.

即y=f(x)的凹凸性與f″的符號有關(guān).(x)

(x)設(shè)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)f″.(x)(1)如果在(a,b)內(nèi)f″>0,那末曲線在(a,b)內(nèi)

是凸的.(x)

(2)如果在(a,b)內(nèi)f″<0,那么曲線在(a,b)內(nèi)

是凹的.

(x)

2.結(jié)論:二.定理:三.定義:例1.判定y=ax2+bx+c的凹凸性.(a≠0)解:定義域為(?∞,+∞)y'=2ax+b當(dāng)a>0時，y">0,曲線y=ax2+bx+c在(?∞,+∞)內(nèi)是凸的.當(dāng)a<0時，y"<0,曲線y=ax2+bx+c在(?∞,+∞)內(nèi)是凹的.注：凹凸性的判定定理的記憶與二次函數(shù)的開口方向相結(jié)合。y"=2a例2.求下列曲線的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)1.y=x4

?2x3+1解：（1）定義域為（?∞,+∞）（2）y'=4x3?6x2y"=12x2?12x=12x(x?1)（4）列表xy″y（?∞，0）+∪00（0，1）?∩10拐點(diǎn)（0，1）拐點(diǎn)（1，0）（1，+∞）+∪∴已知曲線的凸區(qū)間為（?∞，0）∪（1，+∞），凹區(qū)間為（0，1）拐點(diǎn)為（0，1）與（1，0）.（3）令y"=0,得x=0,x=1

12解：（1）定義域為（?∞，+∞）（2）y'=8(2x-1)3（3）顯然x∈

(?∞,+∞),y"≥0∴凸區(qū)間（?∞，+∞），無拐點(diǎn)

2.y=(2x-1)+14y"=48(2x-1)21.下列結(jié)論是否正確（1）.由f"(x0)=0所確定的點(diǎn)(x0,f(x0))一定是拐點(diǎn).2.求下列曲線的凸區(qū)間與拐點(diǎn)（2）y=ln(1+x2)（2）.若函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)二次可導(dǎo),且f'(x)<0,

f"(x)>0,則曲線y=f(x)在(a,b)單調(diào)遞減且凸向上.練習(xí)（1）y=3x?4x3+14小結(jié):作業(yè):1.如何來研究函數(shù)的凹凸性.2.凹與凸的定義,拐點(diǎn)的定義.3.凹與凸的判定.P153:1,2,3,4,5.第六章微分中值定理及其應(yīng)用§6函數(shù)圖象的討論引例1：引例2：xy0xy011新課講解一.水平漸近線和垂直漸近線.定義1.那么直線y=b稱為曲線y=f(x)的水平漸近線.那么直線y=x0稱為曲線y=f(x)的垂直漸近線.如：引例1中.引例2中.例1.求下列曲線的水平漸近線