高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型與專項訓(xùn)練：拋物線題型戰(zhàn)法

第八章平面解析幾何

8.4.1拋物線(題型戰(zhàn)法)

知識梳理

一定義及標準方程

定義：平面內(nèi)與一個定點廠和一條定直線/的距離相等的點的軌跡叫做拋物線。

方程：

焦點在X軸上焦點在y軸上

kU7E____

圖形與方程

—K.7RI'77T---------

標準方程y2=2px(p>0),y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0),x2=-2py(p>0)

隹占

八、、八'、

(2,0)，(-2,0)(0苧,(0,—g

準線

r__￡r_￡y=-P,y=P

2222

二簡單幾何性質(zhì)

拋物線：y2=2px(p>0)

⑴焦半徑：\BF\=X2+-^；焦點弦：|陰=玉+%+尸

⑵若直線AB的傾斜角為口，則=

1-cosdf1+cosa

I如二—

sina2sma

(3)以A3為直徑的圓與準線相切，以AF或為直徑的圓與y軸相切

(4)_L+_L=2

\AF\\BF\p

(5)%%=［，%%=-/

(6)中點弦：k=—(中點坐標和斜率的關(guān)系)

%

題型戰(zhàn)法

題型戰(zhàn)法一拋物線的定義及辨析

典例1.若動點P到定點尸（7,0）的距離與到直線》=4的距離相等，則點P的軌跡是（）

A.拋物線B.線段C.直線D.射線

變式1-L若點P到直線工=-2的距離比它到點（3,0）的距離小1,則點尸的軌跡為（）

A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.圓

變式1-2.在平面直角坐標系xQy中，設(shè)拋物線f=4y的焦點為產(chǎn)，準線為/,尸為拋物線上一點,

過點尸作上4，/,交準線/于點A,若直線AF的傾斜角為30。，則點尸的縱坐標為（）

A.3B.2C.1D.1

變式1-3.拋物線V=4x上一點M到焦點廠的距離是10,則點〃到y(tǒng)軸的距離是（）

A.10B.9C.8D.7

變式1-4.已知拋物線C：產(chǎn)=8尤的焦點為尸，點「在拋物線上"尸尸|=6,則點P的橫坐標為（）

A.6B.5C.4D.2

題型戰(zhàn)法二拋物線上的點到焦點與定點距離的和、差最值

典例2.已知拋物線C：V=12x,A（0,~4）,點尸在拋物線C上，記點尸到直線x=-6的距離為d,則

|PA|+d的最小值是（）

A.5B.6C.7D.8

變式2-1.已知焦點為尸的拋物線C：/=4y的準線是直線/,點P為拋物線C上一點，且垂

足為。，點G（2,0）則|P0+|PG|的最小值為（）

A.6B.2C.A/10D.272

變式22已知定點A（2,3）,尸為拋物線V=6x的焦點，尸為拋物線上的動點，則1尸尸1+1尸川的最

小值為（）

A.5B.4.5C.3.5D.不能確定

變式2-3.拋物線y2=4x的焦點為尸，定點M（2,l）,點P為拋物線上的一個動點，則|MP|+|PW的

最小值為（）

A.5B.4C.3D.2

變式2-4.已知拋物線C：V=x的準線為/，點A的坐標為（1,0）,點尸在拋物線上，點尸到直線/的

距離為d,則|/訓(xùn)-"的最大值為（）

312

A.-B.gC.1D.

423

題型戰(zhàn)法三拋物線的標準方程

典例3.以橢圓1+丁=1的對稱中心為頂點，橢圓的焦點為焦點的拋物線的方程是（）.

A.y2=4xB.丁2=_4%或/=4,

C.x2=4yD.>2=4%或〉2=一4%

變式3-1.已知拋物線產(chǎn)=2?（p>0）經(jīng)過點M（xo,2收），若點M到準線/的距離為3,則該

拋物線的方程為（）

A.9=4工B.9=2%或,2=4%

C.y2=8xD.V=4x或,2=8%

變式3-2.頂點在原點，關(guān)于y軸對稱，并且經(jīng)過點〃（-1，2）的拋物線方程為（）

A.y2=4xB.y2=-4x

變式3-3.設(shè)拋物線C:y2=2px5>0）的焦點為尸，準線為/,A為C上一點，以尸為圓心，|硝為

半徑的圓交/于8,。兩點.若ZABD=90。，且，ABF的面積為4石，則拋物線C的方程為（）

A.y2=2xB,y2=4.x

C.y2=8xD.丁=16

變式3-4.設(shè)拋物線C：丁=2°葉（">0）的焦點為產(chǎn)，準線為/,“（5,%）為拋物線C上一點，以〃

為圓心的圓M與準線/相切，且過點E（9,0）,則拋物線的方程為（）

A.y2=4.rB.y2-2xC.;/=36尤D.y?=4x或,2=35尤

題型戰(zhàn)法四拋物線的軌跡方程

典例4.在平面直角坐標系中，已知M（-l,2）,N（l,0）,動點？滿足|尸加?。M=|尸可|,則動點P的

軌跡方程是

A.y2=4.rB.x2=4yC.9=-4尤D.x2=-4y

變式4-1.已知產(chǎn)是拋物線y=的焦點，尸是該拋物線上一動點，則線段2歹的中點E的軌跡方

10

程是（）

A.x2=8y-16B.x2=2y---

16

1

C.%9=y——D.x9=2y—2

變式4-2.設(shè)動點。是拋物線y=2/+1上任意一點，點A（0,—1）,存在點M,使得PM=2MA，則M

的軌跡方程是（）

11

A.y=6x9——B.y=3%9+-

33

C.y=-3x2-lD.%=6y2-1

變式4-3.一個動圓與定圓/：（x-3『+y2=4相外切，且與直線/：x=-l相切，則動圓圓心的軌跡方

程為（）

A.y2=6xB.y2=4xC.y2=SxD./=12%

變式4-4.在平面直角坐標系中，已知點M（2,0）,點3為直線/：%=-2上的動點，點A在線段MB的

垂直平分線上，且則動點A的軌跡方程是（）

A.y2=SxB.y2=4xC.x2=8yD.x2=4y

題型戰(zhàn)法五拋物線的幾何性質(zhì)

典例5.已知尸為拋物線C:y'8x的焦點，點A為C上一點，點B的坐標為（6,0）,^\AF\=\BF\,

貝UAB尸的面積為（）

A.2B.4C.8D.16

變式5-1.已知拋物線C:y2=4x的焦點為R準線為I,點尸在C上,直線P5交y軸于點Q,若PF=3FQ,

則點尸到準線/的距離為（）

A.3B.4C.5D.6

變式52已知點尸是拋物線C：V=8x上的動點，過點P作圓M：（x-2）2+y2=i的切線，切點為Q,

則|尸。|的最小值為（）

3

A.1B.y/2C.布D.—

變式5-3.設(shè)拋物線「:V=2x的焦點為RA為拋物線上一點且A在第一象限，|A/|=2.現(xiàn)將直線

A尸繞點尸逆時針旋轉(zhuǎn)30,得到直線/,且直線/與拋物線交于C、。兩點，則|C0=（）

3

A.1B.-C.2D.4

2

變式5-4.拋物線V=4x的焦點為RA,3是拋物線上兩點，若網(wǎng)=2網(wǎng)，若A8的中點到準線

的距離為3,則A方的中點到準線的距離為（）.

A.1B.2C.3D.4

第八章平面解析幾何

8.4.1拋物線(題型戰(zhàn)法)

知識梳理

一定義及標準方程

定義：平面內(nèi)與一個定點廠和一條定直線/的距離相等的點的軌跡叫做拋物線。

方程:

焦點在X軸上焦點在y軸上

1

圖形與方程

K-7--------xJ_7

RJ—5/

標準方程y2=2px(p>0),y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0),x2=-2py(p>0)

焦點

§,0),(苫0)(0?)

準線

r__￡r_￡產(chǎn)上，yJ

2222

二簡單幾何性質(zhì)

拋物線：y2=2px{p>0)

(1)焦半徑：|Ab|=%+§

|BF\=X2+^-;焦點弦：|AB|=x1+x2+P

2,

(2)若直線45的傾斜角為口，則M耳=P

1-C0S6Z1+cosa

P2

2sina

(3)以AB為直徑的圓與準線相切，以AF或所為直徑的圓與y軸相切

(4)_L+_L=2

|AF||BF|p

(5)%%=§，乂%=-"

(6)中點弦：k=—(中點坐標和斜率的關(guān)系)

%

題型戰(zhàn)法

題型戰(zhàn)法一拋物線的定義及辨析

典例L若動點P到定點/（T,0）的距離與到直線》=4的距離相等，則點P的軌跡是

（）

A.拋物線B.線段C.直線D.射線

【答案】A

【分析】由拋物線定義可直接得到結(jié)果.

【詳解】動點尸滿足拋物線定義，則其軌跡為拋物線.

故選：A.

變式1-1.若點P到直線*=-2的距離比它到點（3,0）的距離小1,則點P的軌跡為（）

A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.圓

【答案】C

【解析】題設(shè)條件等價于點尸到直線》=-3的距離等于它到點（3,0）的距離，滿足拋物

線定義.

【詳解】因為點P到直線x=-2的距離比它到點（3,0）的距離小1,

所以點尸到直線了=-3的距離等于它到點（3,0）的距離，

...點尸的軌跡為拋物線，

故選:C.

【點睛】本題考查拋物線的基本定義，考查軌跡思想,屬于簡單題.

變式1-2.在平面直角坐標系xOy中，設(shè)拋物線f=4y的焦點為產(chǎn)，準線為/,P為

拋物線上一點，過點尸作交準線/于點A,若直線轉(zhuǎn)的傾斜角為30。，則點尸

的縱坐標為（）

A.3B.2C.1D.I

【答案】A

【分析】求出"的長，根據(jù)拋物線的定義可得.

【詳解】設(shè)準線與y軸交于M點，則歸閭=2,ZFAM=3Q°,.-.|AF|=4,

連接尸尸，則|P尸|=|必，XZft4F=90°-30°=60°,所以△B4F是正三角形，

準線/的方程是y=-l,

二尸點縱坐標為3.

故選：A

變式1-3.拋物線J=4x上一點M到焦點口的距離是10,則點M到y(tǒng)軸的距離是（）

A.10B.9C.8D.7

【答案】B

【分析】由拋物線的定義即可求解.

【詳解】解：由題可知，拋物線y2=4x的準線方程為X=-1,

因為點〃到焦點P的距離是10,故M到準線x=-l的距離是10,

則點〃到＞軸的距離是9.

故選：B.

變式1-4.已知拋物線C：V=8x的焦點為尸，點？在拋物線上，|尸耳=6,則點尸的

橫坐標為（）

A.6B.5C.4D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)拋物線的標準方程，確定準線方程，根據(jù)拋物線的定義計算可得；

【詳解】解：設(shè)點尸的橫坐標為飛,拋物線y=8尤的準線方程為》=-2,

，點尸在拋物線上，IP尸1=6,

x0+2=69/=4.

故選：C.

題型戰(zhàn)法二拋物線上的點到焦點與定點距離的和、差最值

典例2.已知拋物線C：V=i2x,A（o,~4）,點尸在拋物線c上，記點P到直線x=-6的

距離為d,則IP*+〃的最小值是（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【分析】先求出拋物線y、12x的焦點和準線，利用拋物線的定義將1PAi+d轉(zhuǎn)化為

|出|+怛刊+3的距離，即可求解.

【詳解】由已知得拋物線C的焦點為尸（3,0）,準線方程為*=-3,

設(shè)點/到準線工=-3的距離為小,則d="+3,

則由拋物線的定義可知I申l+d4融1+4'+34如|+|尸尸|+3.

V|PA|+|PF|>|AF|=A/32+42-5，當(dāng)點尸、A、歹三點共線時等號成立，

/.|PA|+<Z>8,

故選：D.

變式2-1.已知焦點為尸的拋物線C:l=4y的準線是直線，，點P為拋物線C上一

點，且尸。取垂足為°,點G（2,0）則|尸0+|尸才的最小值為（）

A.45B.2C.V10D.272

【答案】A

【分析】連接PR由拋物線的定義可知尸4PQ,然后結(jié)合圖形可得答案

【詳解】連接PF由拋物線的定義可知尸4PQ,

所以\PQ\+\PG\=\PF\+\PG\>|FG|=75,

故選A.

變式2-2.已知定點4（2,3）,F為拋物線V=6尤的焦點，尸為拋物線上的動點，則

吐|+|的最小值為（）

A.5B.4.5C.3.5D.不能確定

【答案】C

【分析】過點P作尸河口隹線/,垂足為加，根據(jù)拋物線的定義可知|"|=|加|，當(dāng)

且僅當(dāng)A、P、M三點共線時，P口+191的最小值為|A〃|.

【詳解】如圖所示，過點尸作9,準線/,垂足為M,

則歸耳=1尸M，

當(dāng)且僅當(dāng)A、尸、M三點共線時，

吐I+1PA|取得最小值|AM卜2+；=3.5.

故選：C

【點睛】本題考查了拋物線的定義、拋物線的標準方程，考查了基本運算能力，屬

于基礎(chǔ)題.

變式2-3.拋物線產(chǎn)=以的焦點為凡定點M（2,l）,點P為拋物線上的一個動點，

則四尸|十|尸尸|的最小值為（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)可知最短距離為/到準線的距離.

【詳解】解：易知點”（2,1）在拋物線的內(nèi)部，其準線方程為x=T,

過戶作準線的垂線，垂足為N,則尸N=P尸，

故而當(dāng)尸,M,N三點共線時，\MP\+|P用取得最小值2+1=3.

故選：C.

【點睛】本題考查拋物線的定義和性質(zhì)的應(yīng)用，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合

思想，解答的關(guān)鍵利用是拋物線定義，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

變式2-4.已知拋物線C：y'x的準線為/，點A的坐標為(1,0),點尸在拋物線上,

點尸到直線/的距離為d,則1pH-d的最大值為()

3?2

A.-B.：C.1D.[

423

【答案】A

【分析】利用拋物線定義，把問題轉(zhuǎn)化為拋物線上的點尸到點A和焦點尸距離差的

最大值求解.

【詳解】拋物線C：y2=x的焦點F(：,0),依題意，d^PF\,貝lj

4

3

\PA\-d=\PA\-\PF|<|AF|=-,

當(dāng)且僅當(dāng)點P,F,A共線，即點尸為拋物線頂點時取“=”，

所以|必-"的最大值為:.

故選：A

題型戰(zhàn)法三拋物線的標準方程

典例3.以橢圓j+丁=1的對稱中心為頂點，橢圓的焦點為焦點的拋物線的方程是

().

A.y2=4xB.丁2=_4%或爐=4,

C.x2=4yD.丁=4%或;/=_4%

【答案】D

【分析】由橢圓的方程得出橢圓的焦點坐標，然后可得答案.

2

【詳解】因為橢圓、+丁=1的對稱中心為原點，焦點為(±1,0)

所以拋物線的方程為丁=4X或丁=_4x

故選:D

變式3-1.已知拋物線y2=2px(p>0)經(jīng)過點M(沏，20),若點加到準線/的距

離為3,則該拋物線的方程為()

A.產(chǎn)二以B.y2=2x或y=4x

C.V=8xD.產(chǎn)=4%或y=8x

【答案】D

【分析】把"的坐標代入拋物線方程可得M的橫坐標，結(jié)合點/到準線/的距離為

3列式求得p,則拋物線方程可求.

【詳解】???拋物線V=2px（。>0）經(jīng)過點M（xo,20）,

（20『-2px0,可得毛=丁

又點M到準線/的距離為3,

4D

.'.7+萬=3,解得°=2或p=4.

則該拋物線的方程為或/=8%.

故選:D.

變式3-2.頂點在原點，關(guān)于y軸對稱，并且經(jīng)過點M（T，2）的拋物線方程為（）

A.J2=4XB.y1=-4x

,1,1

C.x=-yD.尤2=——y

22

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，設(shè)拋物線的方程為V=〃y（"O）,進而待定系數(shù)求解即可.

【詳解】解：由題，設(shè)拋物線的方程為V="y（"O）,

因為M（-l,2）在拋物線上，

所以1=2°,解得。=:，即所求拋物線方程為無2=gy

故選：C

變式3-3.設(shè)拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點為產(chǎn)，準線為/,A為C上一點，以F為

圓心，但4|為半徑的圓交/于B,D兩點.若ZABD=90。，且，ABF的面積為4道，則

拋物線C的方程為（）

A.y2=2xB.y2=4x

C.y2=8兀D.y2=16

【答案】B

【分析】利用圓和拋物線的定義得到尸是等邊三角形，再產(chǎn)面積得到忸司的

長度，進而建立關(guān)于P的等式即可求解.

【詳解】解：：以月為圓心，|網(wǎng)|為半徑的圓交/于B,。兩點，ZABD=90°,結(jié)合

拋物線的定義可得：|4?|=|AF卜忸同

.二池廠是等邊三角形，

.\ZFBD=30°.

鉆尸的面積為：爭研2=4百，

.?.|BF|=4.

又點尸到準線的距離為忸典sin30。=2=。，則該拋物線的方程為y2=4x.

故選：B.

變式34設(shè)拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點為產(chǎn)，準線為/,加（5,%）為拋物線C

上一點，以〃為圓心的圓M與準線/相切，且過點石（9,0）,則拋物線的方程為（）

A.丁=4尤B.y2=2xC.y2=36xD.丫2=4尤或〉2=36苫

【答案】D

【分析】首先根據(jù)拋物線的定義得到圓M經(jīng)過焦點b又石（9,0）也在圓上，

接著分類討論當(dāng)E,/不重合時，根據(jù)垂徑定理求得P=2；當(dāng)E,尸重合時，g=9,

最后寫出拋物線的方程.

【詳解】由拋物線的定義知，圓加經(jīng)過焦點/［點，。］,點河的橫坐標為5,

由題意，當(dāng)E,尸不重合時，加是線段所垂直平分線上的點，

??P=2,

所以拋物線的方程為丁=4x；

當(dāng)E,尸重合時，

?￡=9

2'

,p=18,

所以拋物線的方程為y2=36尤.

故選D.

【點睛】拋物線方程中，字母夕的幾何意義是拋物線的焦點/到準線的距離，等

于焦點到拋物線頂點的距離.牢記它對解題非常有益.

題型戰(zhàn)法四拋物線的軌跡方程

典例4.在平面直角坐標系xOv中，已知M(-t,2),N(l,0),動點尸滿足1PM?ON|=|PN|,

則動點尸的軌跡方程是

A.y2=4xB.x2=4yC.y2=-4xD.x2=-4y

【答案】A

【分析】設(shè)尸(%目，然后表示出向量的坐標，代入已知條件，整理后得到動點尸的

軌跡方程.

【詳解】設(shè)尸(x,y),M(-L2),N(l,0)

PM=(-l-x,2-y),ON=(1,0),PN=(l-x,-y)

因為1PM.c

所以|1+尤卜^(l-x)2+y2

整理得好=以

故選A項.

【點睛】本題考查求動點的軌跡方程，屬于簡單題.

變式4-1.已知尸是拋物線〉=上/的焦點，尸是該拋物線上一動點，則線段的中

lo

點E的軌跡方程是()

,,1

A.無2=8y-16B.x2=2y~—

C.—y——D.X2=2y—2

【答案】A

【分析】先把拋物線整理成標準方程，然后求得拋物線的焦點，設(shè)出尸和。的坐標，

然后利用產(chǎn)和。的坐標表示出尸的坐標，進而利用拋物線方程的關(guān)系求得尤和y的關(guān)

系及。的軌跡方程.

【詳解】解：拋物線的標準方程是xJ16y,故歹(0,4).

設(shè)P?,%),2產(chǎn)的中點Q(x,y)

°+為二

,,2[x0^2x

"4+%[%=2y-4

[一―

2

XQ=16y0,即（2%）2=]6（2y—4）,x=8j—16

故選：A.

【點睛】本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)和求軌跡方程的問題.解題的關(guān)鍵是充

分挖掘題設(shè)信息整理求得X和y的關(guān)系.

變式4-2.設(shè)動點尸是拋物線y=2x?+l上任意一點，點A（O,-1）,存在點使得

PM=2MA＞則加的軌跡方程是（）

,1,1

A.y=6x——B.y=3x+-

-33

C.y=-3尤,-ID.x=6y2-1

【答案】A

【分析】設(shè)”（x,y）,P（XQ］）,由尸用=2MA得，=；；'+2，代入X=2x；+l即得解.

【詳解】設(shè)“（％?），尸（百，%）,貝！j兩=（%—9，1一%）,磁=（一為一1一y）.

由PM=2M4得

x-x1=-2x=3x,

，

y-yl=-2-2y"\yx=3j+2.

又尸（看,%）在拋物線y=2/+1上,

/.%=2x；+1,

即3y+2=2x（3xy+l,gpy=6x2-1,

故選：A.

【點睛】本題主要考查軌跡方程的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.

變式4-3.一個動圓與定圓/：（X-3）2+；/=4相外切，且與直線/:%=-!相切，則動圓

圓心的軌跡方程為（）

A.y2=6xB.y1=4xC.y2=8xD.y2=12%

【答案】D

【分析】根據(jù)點到直線的距離與點到點之間距離的關(guān)系化簡即可.

【詳解】定圓尸：-3）2+V=4的圓心尸（3,0）,半徑為2,

設(shè)動圓圓心P點坐標為（x,y）,動圓的半徑為r,d為動圓圓心到直線x=-1的距離，

即r,

則根據(jù)兩圓相外切及直線與圓相切的性質(zhì)可得，PF-2=r,d=r

所以J（』_3）2+y2_2=x+l,

化簡得：丁=12%.

動圓圓心軌跡方程為V=12%.

故選：D.

變式4-4.在平面直角坐標系中，已知點”（2,0）,點B為直線/：x=-2上的動點，

點A在線段MB的垂直平分線上，且則動點A的軌跡方程是（）

A.y?=8xB.y2=4x

C.x2=8yD.x2=4y

【答案】A

【分析】由拋物線定義得動點軌跡是拋物線，由此易得方程.

【詳解】由題意|鈿|=|4叫，鈿，/，所以A點軌跡是以M為焦點，直線/為準線的

拋物線，

由彳=2得。=4,所以拋物線方程為

故選：A.

題型戰(zhàn)法五拋物線的幾何性質(zhì)

典例5.已知尸為拋物線C：V=8x的焦點，點A為C上一點，點5的坐標為（6,0）,

若|AF|=|陰，貝b.的面積為（）

A.2B.4C.8D.16

【答案】C

【分析】根據(jù)拋物線的焦半徑公式可求得A點的橫坐標，從而可求得A點的縱坐標，

即可求出三角形的面積.

【詳解】解：由題意得*2,0）,

則|跖|=忸同=4,

即點A到準線》=-2的距離為4,

所以點4的橫坐標為2,

當(dāng)x=2時，y=±4,

即何=4,

所以SABF=^x（6-2）x4=8.

故選：C.

變式5-1.已知拋物線C-2=4》的焦點為R準線為/,點P在C上，直線P/交y

軸于點Q,若尸尸=3fQ,則點P到準線/的距離為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】求出焦點尸的坐標，過點尸作了軸的垂線，垂足為N,由。尸〃尸N可得

=求出IPNI,結(jié)合拋物線的定義，即可得