河南省鄭州市重點高中2025屆高三數(shù)學（文）上學期期中試題（含解析）

河南省鄭州市重點中學2025屆高三數(shù)學上學期期中試題文（含

解析）

一、選擇題（本大題共12小題）

1.函數(shù)f（X）=的定義域是（）

A.B.C.D.

2.下列各式的運算結果為實數(shù)的是（）

A.B.C.D.

3.設集合/=3丫2>4},/n廬{X|X<-2},則集合8可以為（）

A.B.C.D.

4.函數(shù)F（x）=（sinx+cosx）之的最小正周期為（）

A.B.C.D.

5.在平行四邊形/皿中，4（1,2）,8（-2,0）,=（2,-3）,則點〃的坐標為（）

A.B.C.D.

6.若函數(shù)f(x)=l+k|+/,則=()

A.2B.4C.6D.8

7.在欣?△/阿中，Z^90°,4^4,則二()

A.B.16C.D.9

8.已知函數(shù)/'（x）=sinx和g（x）=的定義域都是[-口，Ji],則它們的圖象圍成的

區(qū)域面積是（）

A.B.C.D.

9.函數(shù)=sinxTnx的圖象大致是()

.二ml

C-----c|-----D-/*/

1

10.若存在等比數(shù)列{2},使得國（&+々）=6a「9,則公比。的最大值為（）

A.B.C.D.

11.已知函數(shù)『（x）=2cos2（2x+）+sin（4x+）,則下列推斷錯誤的是（）

A.為偶函數(shù)B.的圖象關于直線對稱

C.的值域為D.的圖象關于點對稱

1

12.已知函數(shù)的導函數(shù)滿意「、一一，“|對」：恒成立，則下列不

e

等式中肯定成立的是（）

A.B.C.D.cf（1）</（rI

二、填空題（本大題共4小題）

13.已知全集法兄集合，貝比產(chǎn).

14.若函數(shù)/'（x）=arcsin（xT）-cos（）的圖象與x軸交于點4過點/的直線，與

函數(shù)的圖象交于另外兩點一、Q,。是坐標原點，則（+）?=

15.若集合/=｛削/一(a+2)x+2-a<0,xG為中有且只有一個元素，則正實數(shù)a的取值

范圍是__

16.正方形相切的邊長為2,對角線AC,即相交于點0,動點P滿意,若，其中m、nGR,

則的最大值是

三、解答題(本大題共6小題)

17.函數(shù)/(x)=/cos(3矛+。)(/>0,?>0,)

部分圖象如圖所示.

(1)求/1(x)的最小正周期及解析式；

(2)設g(x)-f(jr)+sin2x,求函數(shù)g(x)在區(qū)間上的最大值和最小值.

18.等差數(shù)列｛&｝的前〃項和為￡,數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列,滿意a產(chǎn)3,4=1,友+￡=10,

as-2br^a.z.

(I)求數(shù)列｛aj和優(yōu)｝的通項公式；

(II)令設數(shù)列｛c?｝的前n項和Tn,求Tin.

19.已知函數(shù)，；

若函數(shù)在上存在零點，求a的取值范圍；

設函數(shù)，，當時，若對隨意的，總存在，使得，求6的取值范圍.

2

20.在△/8C中，3sinJ=2sin氏tan(5=2.

(1)證明：△/肉為等腰三角形.

(2)若△/比1的面積為2,〃為/C邊上一點，且阱3",求線段。的長.

21.已知函數(shù)f(x)=(x-a-l)e+ax.

(1)探討/■(x)的單調(diào)性；

(2)若m2],/1(x。)<0,求a的取值范圍.

22.若數(shù)列｛a0｝、億｝滿意|a"「a/=4,貝I稱依｝為數(shù)列｛aj的“偏差數(shù)列”.

(1)若｛4｝為常數(shù)列，且為｛aj的“偏差數(shù)列”，試推斷｛&｝是否肯定為等差數(shù)列，

并說明理由；

(2)若無窮數(shù)列｛2｝是各項均為正整數(shù)的等比數(shù)列，且a3-a?=6,｛4｝為數(shù)列｛aj

的“偏差數(shù)列”，求的值；

(3)設,仿“｝為數(shù)列｛4｝的“偏差數(shù)列”，團=1,azWazz且儂Wag若

對隨意心恒成立，求實數(shù)〃的最小值.

答案和解析

L【答案】A

【解析】解：由/1(*)=,令矛-4》0,解得x04,

所以函數(shù)F(x)的定義域為｛x|x24｝.

故選：A.

函數(shù)f(x)有意義即保證二次根式的被開方為非負.

本題考查了二次根式的被開方非負，以及函數(shù)定義域的求法問題，是基礎題.

2.【答案】D

【解析】解：(1+/)=1-7；i(1-7)=1+7；(1+7)-(1-7)=27;(1+7)(1-7)

=1-/=1+1=2,

故選：D.

干脆利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案.

本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查運算求解實力，是基礎題.

3.【答案】C

【解析】【分析】

考查描述法的定義，一元二次不等式的解法，以及交集的運算.

可解出集合4然后進行交集的運算即可.

【解答】

解：A=｛x\x<-2,或x>2｝；

.?.廬｛x|x<l｝時，/C廬｛x|x<-2｝.

故選C.

4.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查三角恒等變換，考查三角函數(shù)的周期性及其求法，屬于基礎題.

將/>(X)=(sinjv+cosx),綻開，可得『(x)=l+sin2x,從而可求得其最小正周期.

【解答】

解：*:f(X)-(sinx+cosx)2

=l+2sinjrcosx

=l+sin2x,

:Qx)的最小正周期為佇二兀.

故選：B.

5.【答案】A

【解析】解：解：設。(x,y),D(s,力，則：

."(3,-1)；

又，；

(3一s,—1一力)—(一3,-2)；

4

，點〃的坐標為(6,1).

故選：A.

可設C(x,y),D(s,t),從而依據(jù)條件得出(獷1,廠2)=(2,-3),從而可求

出，即C(3,-1),并可求出，依據(jù)即可求出點〃的坐標.

考查依據(jù)點的坐標求向量的坐標的方法，相等向量的概念.

6.【答案】C

【解析】【分析】

考查對數(shù)的運算性質，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，已知函數(shù)求值的方法.

可知，從而可依據(jù)可x)的解析式得出=l+lg2+(lg2)3+l+lg2+(-lg2)M+l,g5+(lg5)

3+l+lg5+(-lg5)3=6.

【解答】

解：

=f(lg2)+f(-lg2)+f(lg5)+f(-lg5)

=l+lg2+(lg2)3+l+lg2+(-lg2)3+l+lg5+(lg5)3+l+lg5+(Tg5)3

=4+2(Ig2+lg5)=6.

故選：C.

7.【答案】B

【解析】解：信90°,

=0.

.*.===16.

故選：B.

利用向量垂直與數(shù)量積的關系、向量的三角形法則即可得出.

本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關系、向量的三角形法則，屬于基礎題.

8.【答案】C

【解析】解：g(x)=的圖象為圓心為。半徑為“

的圓的上半部分，

?.?產(chǎn)sinx是奇函數(shù)，

在0］上與x軸圍成的面積與在［0,

"］上與x軸圍成面積相同，

則兩個函數(shù)圖象之間圍成的面積等價為圓的上半部

分的面積

S=,

故選：C.

作出/1(x)與g(x)的圖象，結合圖象的對稱性進行求解即可.

本題主要考查區(qū)域面積的計算，作出兩個函數(shù)的圖象，利用圖象的對稱性，利用割補法

是解決本題的關鍵，屬基礎題.

9.【答案】A

【解析】解：fC-x)=sin(-x)ln|-x|=-sinxln|x|=-F(x),

函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，

函數(shù)/'(x)的圖象關于原點對稱，故解除8C,

當矛一+8時，TWsinxWl,ln|x|一+8,

...F(x)單調(diào)性是增減交替出現(xiàn)的，故解除，D,

故選：A.

先依據(jù)函數(shù)的奇偶性，可解除8,C,依據(jù)函數(shù)值的符號即可解除〃

本題考查了函數(shù)圖象的識別，依據(jù)依據(jù)函數(shù)值的符號即可推斷，屬于基礎題.

10.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查了等比數(shù)列的通項公式、方程與不等式的解法，考查了推理實力與計算實力，

屬于中檔題.

由Si(a2+a3)=6ai-9,化為：a?-6&+9=0,當時,易知q=~l,滿意題意,

當△》()，解得<?范圍即可得出.

【解答】

解：ai(a?+a3)=6a「9,

...a/(<?+</)-6ai+9=0,

當中q"=0時，易知Q=~l,滿意題意，

當(7+d#0,A=36-36(<T+<?2)20,解得WgW且gWO,g#T.

的最大值為.

故選：D.

H.【答案】D

【解析】解：f(x)=l+cos(4x+)+sin(4x+)=l+2sin(4x++)=l+2cos4x,

則4B,C均正確，2錯誤.

故選：D.

化簡/1(x)=l+2cos4x后，依據(jù)函數(shù)的性質可得.

本題考查了三角恒等變換與三角函數(shù)的圖象及其性質，運算求解實力，屬中檔題.

12.【答案】A

【解析】解：由(x+xlnx)f(x)(x),xG(,+8),

得(1+lnx)f(A)-fQX)<0,

令，則<0.

.,.故g(X)在(，+8)遞減；

'.g(e)<g(1),即=>/(e)<2,f(1).

故選：4

令，可得<0.可得g(x)在(，+8)遞減，即可求解.

本題考查了利用導數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性、方程與不等式的解法、構造法、等價轉化方法,

考查了推理實力與計算實力，屬于難題.

13.【答案】(-8,1]

【解析】解：由尸中尸，0cxe1,得到了>1,即尸(1,+8),

:全集FR,

，[產(chǎn)(-8,1].

故答案為：(-8,1]

求出產(chǎn)中y的范圍確定出R依據(jù)全集氏兄求出戶的補集即可.

此題考查了補集及其運算，嫻熟駕馭補集的定義是解本題的關鍵.

14.【答案】2

【解析】解：因為『(1)=0,fQx)=arcsin(xT)-cos()在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞

減且關于(1,0)對稱，

所以點/為(1,0),P、0兩點關于點/對稱，所以，

所以()=2,=2,

6

故答案為：2.

先分別視察函數(shù)產(chǎn)arcsin(矛-1)和尸cos()會發(fā)覺兩個函數(shù)都在區(qū)間［0,2］上單調(diào)

遞減且關于(1,0)對稱，所以f(x)=arcsin(尸1)-cos()在區(qū)間［0,2］上單調(diào)

遞減且關于(1,0)對稱，所以得到點/(1,0),且/為國中點，再結合向量的中

點公式和數(shù)量積運算解題.

本題主要考查三角函數(shù)與反三角函數(shù)的圖象與性質，以及向量的中點公式與數(shù)量積，熟

識三角函數(shù)與反三角函數(shù)的單調(diào)性與對稱性是解決本題的關鍵.

15.【答案】

【解析】解：(a+2)x+2-a<0且a>0

x-2x+2<a(x+1)

令/(x)=x-2,x+2,；g(x)-a(x+1)

.".A={x\f(x)(x),xG才

???尸f(x)是一個二次函數(shù)，圖象是確定的一

條拋物線；

而產(chǎn)g(x)一次函數(shù)，圖象是過肯定點(-1,0)

的動直線.

又,：xGZ,a>0.數(shù)形結合，可得：.

故答案為：(，］

因為集合力中的條件是含參數(shù)的一元二次不等

式，首先想到的是十字相乘法，但此題行不通;

應當把此不等式等價轉化為F(x)<g(x)的形式，然后數(shù)形結合來解答，須要留意

的是盡可能讓其中一個函數(shù)不含參數(shù).

此題主要考查集合力的幾何意義的敏捷運用，利用數(shù)形結合的數(shù)學思想來解決參數(shù)取值

范圍問題.

16.【答案】1

【解析】解：建立如圖所示的直角坐標系，則/

(-1,-1),8(1,-1),D(-1,1),產(chǎn)(，)，

所以=(+1,sin9+1),=(2,0),=(0,2),

又，

所以，

則=，

其幾何意義為過點E(-3,-2)與點P(cos9,

sin6)的直線的斜率，

設直線方程為產(chǎn)2=#(x+3),

點戶的軌跡方程為*+7=1,

由直線與圓的位置關系有：

解得：，

即的最大值是1,

故答案為：1

由平面對量的坐標運算得：則A(-1,-1),8(1,T),D(-1,1),P)，所

以=(+1,sin9+1),=(2,0),=(0,2),

又，所以，則=,其幾何意義為過點￡(-3,-2)與點尸(cos。，sin。)的直線的斜率,

由點到直線的距離得：設直線方程為>2=A(x+3),點尸的軌跡方程為*+/=1,由點

到直線的距離有：，解得：，即的最大值是1,得解

本題考查了平面對量的坐標運算、直線與圓的位置關系及點到直線的距離，屬難度較大

的題型

17.【答案】解：(1)由函數(shù)f(x)=/cos(3/。)的部分圖象知，4=1,=-=,

.?.仁n,fqX)的最小正周期為Ji；

由3==2,且個時，I-()=1,

/.2X+<i>=0,解得小=一，

.,"(X)的解析式為/'(x)=cos(2矛-)；

(2)函數(shù)g(x)=f(x)+sin2x

=cos(2A-)+sin2x

=cos2x+sin2x

=sin(2好)，

當xe［0,］時，2x+e［,］,sin(2x+)e［-,1］,

函數(shù)g(x)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.

【解析】(1)由函數(shù)f(x)=/cos(3矛+。)的部分圖象寫出/、T和3、。的值,

即可寫出『(x)的解析式；

(2)化函數(shù)g(x)為正弦型函數(shù)，求出g(x)在區(qū)間上的最大和最小值.

本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質的應用問題，是中檔題.

18.【答案】解：(I)設數(shù)列｛aj的公差為d,數(shù)列M的公比為q,

由Z%+iS=10,as-2bz=a3.

得，解得

a〃=3+2(72-1)=2/7+1,.

(II)由ai=3,a〃=2歷4得￡=A(TJ+2),

則〃為奇數(shù)，c尸,

〃為偶數(shù)，G=2-

；?&=(C1+C3+…+。2")+(C2+C4+…+。2”)

【解析】(/)利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出；

(II)由&=3,2產(chǎn)2加1得&=〃(加2).則〃為奇數(shù)，c產(chǎn).“分組求和”，利用“裂

項求和”、等比數(shù)列的前A項和公式即可得出.

本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前〃項和公式、“分組求和”、“裂項

求和”，考查了推理實力與計算實力，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)(x)=f-4x+a+3的函數(shù)圖象開口向上，對稱軸為后2,

.../■(X)在［-1,1］上是減函數(shù)，

???函數(shù)產(chǎn)/'(x)在［T,1］上存在零點，

/./,(-1)f(1)W0,即a(8+a)WO,

解得：-8WaW0.

(2)a=3時，f(x)=x-4：x+6,

:.f(x)在［1,2］上單調(diào)遞減，在［2,4］上單調(diào)遞增，

:.f3在⑵4］上的最小值為f(2)=2,最大值為F(4)=6.

即f(x)在⑵4］上的值域為⑵6］.

設g(x)在［1,4］上的值域為弘

,對隨意的荀€［1,4］,總存在4］,使得g(z)=f(苞)，

:.仁［2,6］,

當Z>=0時，g(x)=5,即滬⑸，符合題意，

當6>0時，g(x)=6x+5-2力在［1,4］上是增函數(shù)，

.?.滬［5-45+26］,

8

，，解得0<6W.

當6<0時，g(A-)=6x+5-26在［1,4］上是減函數(shù)，

.,.2［5+26,5-6］,

；.，解得TW6C0.

綜上，力的取值范圍是.

【解析】(I)依據(jù)f(X)在［T,I］上單調(diào)遞減且存在零點可得f(T)r(l)wo,

從而解出a的范圍；

(2)對力進行探討，推斷g(x)的單調(diào)性，分別求出f(x),g(x)在［1,4］上的值

域，令g(x)的值域為f(x)的值域的子集列出不等式組得出6的范圍.

本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性推斷，值域計算，零點的存在性定理，分類探討思想，屬

于中檔題.

20.【答案】(1)證明：?.,tane2>0,

，。為銳角，且sin年，cos年.

過/做月〃，笈，垂足為〃，則小6cos"

：3sin4=2sin6,3a=26,即a-,

，〃是理的中點，又AH1BC,

J.AB^AQ

...△月歐為等腰三角形.

(2)解:/廬6sin信,

??SA1&===2,

解得慶3,.?.給2,

在△血》中，由余弦定理得CQS年二，

解得：CF.

【解析】(1)過/做火的垂線AH,依據(jù)C的大小可得〃為笈的中點，從而得出A^AC-,

(2)依據(jù)面積求出6G在△題中依據(jù)余弦定理計算⑶.

本題考查了余弦定理，三角形中的幾何計算，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)函數(shù)f(x)二(A-a-1)e'+ax的定義域為兄

f'(x)=(x-a)e-x+8F^(x-a)(e'T).令f(x)=0,可得產(chǎn)a,或；v=0,

①當a<0時，xG(-8,a)U(0,+°°),f'(x)>0,xC(a,0),f'(x)<

0.

.,.函數(shù)/'(x)在(-8,苫)，(0,+8)上遞增，在(a,0)遞減；

②當a=0時，f(x)NO恒成立，，函數(shù)f(x)在(-8,+oo)上遞增；

③當a>0時，xG(-8,0)(J(a,+°°),f'(x)>0,xC(0,a),f'(x)<

0.

???函數(shù)F(x)在(-8,0),(分+8)上遞增，在(0,3)遞減；

(2)設g(x)=x~e,g'(x)=1-/

在[1,2],g'(x)W0恒成立，?，?g(x)