上海市閔行區(qū)六校2023-2024學(xué)年高一年級下冊6月期末考試數(shù)學(xué)試卷含答案

上海市閔行區(qū)六校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期6月期末考試數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校：___________姓名：班級：___________考號：

一'選擇題

1.已知等差數(shù)列-2024,-2020,…,則該數(shù)列的前〃項和S“（）

A.無最大值，有最小值B.有最大值，無最小值

C.有最大值，有最小值D.無最大值，無最小值

111

2.用數(shù)學(xué)歸納法證明」+----+----++---->〃￡N）時，由〃=左至!Jn-k+1

〃+1n+2〃+3n+n24'

時，不等式左邊應(yīng)添加的項是（）

111

A.—B.D.—

2k+l2k+1左+12k+l2k+22k+l2k+2

3.對于函數(shù)/（x）usinxcosx+siEx-；給出下列結(jié)論:

①函數(shù)y=的圖象關(guān)于點對稱;

②函數(shù)y=〃可的對稱軸是片包+型《eZ；

28

③若函數(shù)y=f（x+（p）是偶函數(shù)，則闞的最小值為工；

④函數(shù)產(chǎn)/⑺在匡生］的值域為「匕烏史二1,

'，［63J［44

其中正確的命題個數(shù)是（）

A.OB.lC.2D.3

4.中國文化中的太極八卦圖蘊含了現(xiàn)代哲學(xué)中的矛盾對立統(tǒng)一規(guī)律，如圖1是八卦模

型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形A3CDERGH,其中Q4=l,若點P是其內(nèi)部任意

一點，則OA.AP+Ok.AP的取值范圍是（）

A.(-V2,^+l)B.(-V2,2)D.卜1,0+1)

二、填空題

5.2024。是第象限角，

6.函數(shù)/(x)=sin2x的最小正周期是.

7.已知扇形的半徑長為5cm，圓心角是2rad,則扇形的弧長是cm.

D

8.已知點A(2,l),3(-23,若AB=2AD，則點的坐標(biāo)是?

9.已知無窮數(shù)列｛4｝滿足。1=1,3Q〃+I=2an，則X%=-

n=l

10.若tan(7i+cr)=2,貝Ucos2fz=-

11.已知等差數(shù)列｛a,｝若+a3+a5=兀,則sin(w+%)=-

12.已知a=(1,G),。力=2，8在°上的投影向量的坐標(biāo)為.

13.已知.=2.卜0,且關(guān)于x的方程/+,卜+。必=0有實數(shù)根，則q與匕的夾角的取值

范圍是.

14.若復(fù)數(shù)4,z?滿足㈤=%|=2.且z+Z2=V§-i(i為虛數(shù)單位)，則

\Z1-Z2\=---------

15.已知函數(shù)/(x)=6sin(0x+0(o>O),將y=/(x)圖像上所有點的橫坐標(biāo)伸長到

原來的2倍，而縱坐標(biāo)保持不變，得到函數(shù)y=g(x)的部分圖像如圖所示，若

=網(wǎng)?,則①=.

16.已知關(guān)于z的方程卜2_4z+5Mz2+az+9)=0(aeR)有四個互不相等的根，若這四

個根在復(fù)平面上對應(yīng)的點共圓，則a的取值范圍是.

三、解答題

已知忖=1,忖=0,卜,"=:

⑴求卜+囚；

(2)若.+4乂”2辦求實數(shù)上的值.

18.設(shè)復(fù)數(shù)4=2-ai(aeR),z2=1+i.

(1)若在復(fù)平面上所對應(yīng)的點在第一象限，求。的取值范圍;

7

(2)若，為純虛數(shù)，求Rez「Imz「

19.如圖,某快遞小哥從A地出發(fā)，沿小路f以平均時速20km/h,送快件到。處,

已知Z.CBD=120°，ZADB=30°，sinZABD=V3sinA，BD=10km，CD=5^^km-

(1)求△BCD的面積.

(2)快遞小哥出發(fā)25分鐘后，公司發(fā)現(xiàn)快件有重大問題，由于通訊不暢,公司只能派車

沿大路AD^DC追趕，若汽車平均時速50km/h,問汽車能否先到達(dá)C處？

20.已知a=^A/3siiix,cos2xj,b=(2cosx,—l),記/(%)=a?/?(%eR)

(1)求函數(shù)y=/(x)的值域；

(2)求函數(shù)y=/(￡),x?0,可的單調(diào)減區(qū)間；

（3）若/x）=f—,XG恰有2個零點苞，%,求實數(shù)m的取值范圍和

m

X1+x2的值.

21.已知數(shù)列｛4｝(〃6川9，若｛%+4+1｝為等比數(shù)歹!1,則稱｛4｝具有性質(zhì)「.

(1)若數(shù)列｛an｝具有性質(zhì)P,且q=%=1，/=3，求為的值；

(2)若包=2"+(-l)n，求證:數(shù)列｛2｝具有性質(zhì)P；

(3)設(shè)q+C2++C.=+",數(shù)列｛4｝具有性質(zhì)P,其中4=1一。2=，。2+。3=。2,

若4">1()3,求正整數(shù)m的取值范圍.

參考答案

1.答案：A

解析：易得該等差數(shù)列首項q=-2024為負(fù)，公差［=(-2020)-(-2024)=4為正,

故該數(shù)列的前〃項和=叫+〃(；-1)d=2-器］-萼

故當(dāng)〃=506或〃=507時Sn取得最小值,Sn無最大值.

故選:A

2.答案：D

解析：當(dāng).加寸，有不等式」-+」-+--++」-?〃,

左+1左+2左+3k+k24

1111、11

當(dāng)〃=左+1時，不等式為----1H1------2----,

k+2k+3-------2k+l2左+224

將上面兩式的左邊相減可得，由〃=左到〃=左+1時，不等式左邊應(yīng)添加的項是

1--1---1-1------1----=1------------

2k+\2k+2k+12k+l2k+2

故選:D

3.答案：D

解析：因為/(x)=sinxcosx+sin2%-sin2x+--，

2

因為，圉行.

——S12x］-?=0,所以函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點對稱,故①正

2

確;

令2%4=＞也,左Z,解得％哼+墨芯Z,

所以函數(shù)y=/(x)的對稱軸是》=期+型"eZ，故②正確;

28

因為y=y(x+°)=^^sin12x+2e—為偶函數(shù)，

所以20一2=2E+E"GZ,解得"=型+如"eZ,

4282

所以闞的最小值為石，故③正確;

8

兀2兀兀13兀

當(dāng)工￡，則2x~—e而下

69T4

即“里時"X)=交〉史二1,故④錯誤.

8JV/max24

故選:D

4.答案：C

解析：由八卦圖的對稱性可得NAOB=@=2,

84

故IAB|=理—=“0A—OB^=\loA+OB~-2OA-OB

設(shè)O到AB的距離為d,則SOAB=J04||O回sin?=；|AB|d,

解得d=*=尹A戶=.

2也-32V2-V2V2+V22

又OAAP+OFAP=OAAP+BOAP=(OA+BO^AP=BAAP

=|BA|-|AP|X(-COSZPAB).

又(-cosNPAB)即AP在胡上的投影,

即-l<BAAP<yj2-l-

故選:C

5.答案：三

解析：易知2024。=5x360°+224°，因此2024。與224°的終邊相同，

因為224。在第三象限，所以2024。是第三象限角.

故答案為:三

6.答案：兀

解析：函數(shù)/（x）=sin2尤的最小正周期T=5~=兀.

故答案為:兀

7.答案：10

解析：由題意，弧長是5x2=10cm.

故答案為：10

8.答案：（0,2）

解析：設(shè)￡）（工,可,則=（-2,3）-（2,1）=（T,2）,AD=（x,y）-（2,1）=（%-2,yf，

因為AB=2AD，所以（＜2）=2（%-2,丁-1）,即＜H=2‘解得'y=2'

所以0（0,2）.

故答案為：（0,2）

9.答案：3

解析：因為q=1,3?！?1=2%,即一—=大，

所以包｝是以1為首項，!■為公比的等比數(shù)列，所以4ml

所以=limS=lim3=3.

)n

n=ln—>+<xn-?+co

故答案為：3

10.答案：-3/-O.6

5

解析：tan（兀+a）=2,

「.tana=2，

/.sina=2cos。，

sincr+cosa=l^

4cos2cr+cos2cr=I，

I

cos2a=—,

5

23

cos2a=2cosa-\-——?

5

故答案為：-3.

5

U.答案：B

2

解析：因為等差數(shù)列{a“}+%+%=3%=兀，/=],

2兀

貝Usin（a+%）=sin（2%）=sin=亙

2一可

12.答案:

解析：由a=(l,6),得|。|=肝+(兩2=2,

所以匕在a上的投影向量空=

故答案為:

13.答案：-,7T

[3」

解析：因為關(guān)于X的方程%2+,卜+。2=0有實數(shù)根，所以△|^|—4〃N0,即

I

,設(shè)°與匕的夾角為0，所以cos。=|\"|=日々|，因為＜。工兀,所

川HW馴；0

a\

以三<。4兀,即a與b的夾角的取值范圍是1,TI

14.答案：2G

解析：設(shè)Z]=a+歷,(4￡R,A￡R),z2=c+di(ceR,JGR),

Z]+z2=a+c+(Z?+d)i—A/3-i，

...<a+c—",又國=田=2,所以/+從=4"+笛=4,

b+d--1

(a+c)2+(b+d)2=a2+d?_|_2(ac+bd)—4,

etc+bd——2，

「JZ]-z21—|(a-c)+(b-d)i|—-c)?+S_d)?=J8-2(ac+bd)=<8+4-2^/^?

故答案為：26.

15.答案：4/L

33

解析：設(shè)A(x,O),小+；,G：C,+*-何其中T為產(chǎn)g(x)的最小正周期，

根據(jù)=得解得丁=12，

因為y=g(x)是由y=/(%)圖像上的點橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)保持不變,

所以V=g(%)的解析式為g(x)=Gsino+，,故,-1°-I?,即°=2.

'1203

故答案為把

3

16.答案：(-6,6兒{-7}

解析：因為z?—4z+5=0,即(z-2)2=一1=(土i))解得z=2土i，

設(shè)所對應(yīng)的兩點分別為A、3,則A(2,l)、B(2,-1),

設(shè)z?+az+9=o的解所對應(yīng)的兩點分別為C、。，記為。(石,%)，。(*2，%)，

當(dāng)A<0,即a?一36<0,解得一6<a<6，即一6<a<6時，

因為A、3關(guān)于x軸對稱，且C、。關(guān)于x軸對稱，

則以A、B、C、。為頂點的四邊形為矩形或等腰梯形，所以A、B、C、。四點共圓;

當(dāng)A>0,即a>6或av-6時,

此時C(^,0),Z)(x2,0)，且土也=--,玉々=9，

22

故此圓的圓心為。［-,0),半徑廠二歸30,

又圓心O,到A的距離|。刈=^2+-|J+l*2=r，

解得a=—7，

綜上可得?ne(-6,6)U{-7}

故答案為：(-6,6)U{-7}.

17.答案：(1)6

⑵-3

解析：(1)因為卜|=1,忖==：,

所以=卜|Wcos(a,Z?)=lxV2x^-=1,

所以卜+4=J(a++2a-b+b

=/+2x1+(司=5

(2)因為(h+力斗-2孫

所以(左”+葉(。一28)=0,即ka+(l-2k^a-b-2b=0,

即左、12+(1一2人)義1一2*(0)2=0，解得左=一3.

18.答案：(1)-2<a<2

(2)4.

解析：(1)由題意可知，因為4=2-質(zhì)馬=l+i,

所以Z1=2+ai，

所以4?z2=(2+ai)?(l+i)=2—a+(2+a)i,

又因為)口在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第一象限，

2—a>Q

所以

2+。>0

解得-2<a<2.

所以實數(shù)。的取值范圍為-2<a<2.

(2)因為五=^1=(2也3=2”(2+41為純虛數(shù)

z21+i(l+i)(l-i)2

^^=0

所以2，即a=2,

2+。八

-----。0

12

所以Z]=2—2i,

故ReZ]_加4=2-(―2)=4.

19.答案：(1)生Ikn?

2

(2)汽車先到達(dá)C處，理由見解析

解析：(1)因為5r>=10km,NCBD=120o，CD=5Mkm，

由余弦定理得cosNCBD=BCfCD?,

2BCBD

即3c2+100-475=?os120°=—,，故BC2+10BC—375=0，

20BC2

解得BC=15,負(fù)值舍去，

2

故S人Brn=-BCBDsinNCBD=-xl5xl0xsin120°=^^km

△BCO222

（2）在△ABO中,由正弦定理得—空二=衛(wèi)二

sinZABDsinA

又sinZABD=gsinA，故AD=6BD，

因為5。=10，所以4。=10百，

AD+CD=1OG+5M，

故汽車所需時間為竺店土獨1=走+巫h,

50510

因為ZADB=30°，由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD-BDcosZADB

=300+100-2xl0^xl0x—=100,

2

故AB=10，

AB+BC=10+15=25,

快遞小哥出發(fā)25分鐘，騎行路程為20義生=生km,

603

剩余路程為25-生=^km,到達(dá)C處所需時間為史+20="，

3336

苴力[6719Y25_319屈_25_炳173_36炳-1730?

I510J36251002536259009000

故走+叵＜』,所以汽車先到達(dá)C處.

5106

20.答案：⑴[-2,2]

解析：(1)由題意可

知,/'(x)=a-Z?=Csinxx2cosx+cos2xx(-l)=Gsin2x-cos2x=2sin12x—已］

則函數(shù)函數(shù)y=/(x)的值域為［-2,2］

(2)由/(冗)=2sin|2x--|

因為IQ4所以一臺2“4〈詈，令廨得了X"，

函數(shù)y=/(x),x￡[0,7i]的單調(diào)減區(qū)間兀

((71

3)Fx)=/(%+—二2sin2x+-—=2sin2x+-——

mv46mI3)m

因為犬[。，方，所以四<2x+—<71

33

7

根據(jù)條件/（x）在元］。（恰有2個零點%,馬，則2sin12%+三—=0有兩個根,

m

即sin（2x+'）二」■有兩個木艮，貝!J」■￡

3mm

實數(shù)機的取值范圍

根據(jù)函數(shù)尸（%）在元］。，］恰有2個零點工］,X2,即sin|2x+g=!有兩個根,

m

因為四＜2%+色4兀，令2x+二=二,解得片工,所以和x,關(guān)于戶工對稱,

33321212