空間距離（5題型分類）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（解析版）

專題37空間距離5題型分類

彩題如工總

彩先也寶庫(kù)

1.點(diǎn)到直線的距離

如圖，已知直線/的單位方向向量為“，A是直線/上的定點(diǎn)，尸是直線/外一點(diǎn)，設(shè)亦=小則向量成在直

線/上的投影向量肢=3"）",在RCAP。中，由勾股定理，得尸°="而2_|超|2=/2一（4."）2.

AQ

2.點(diǎn)到平面的距離

如圖，已知平面a的法向量為"，A是平面a內(nèi)的定點(diǎn)，尸是平面a外一點(diǎn).過點(diǎn)P作平面a的垂線/,交

平面a于點(diǎn)Q,則n是直線I的方向向量,且點(diǎn)P到平面a的距離就是靜在直線I上的投影向量加的長(zhǎng)度，

因此尸。=1還命H膂卜隔回

彩偏至赴籍

（一）

空間距離

（1）點(diǎn)到直線的距離.

①設(shè)過點(diǎn)P的直線I的單位方向向量為n,A為直線/外一點(diǎn)，點(diǎn)A到直線/的距離4=弋|向2-（麗.〃）2；

②若能求出點(diǎn)在直線上的射影坐標(biāo)，可以直接利用兩點(diǎn)間距離公式求距離.

（2）求點(diǎn)面距一般有以下三種方法.

①作點(diǎn)到面的垂線，求點(diǎn)到垂足的距離；

②等體積法；

③向量法.

題型1：求點(diǎn)到直線的距離

1-1.（2024高三下?廣東茂名?階段練習(xí)）菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4,NA=60。，E為的中點(diǎn)（如圖1）,將VADE

沿直線DE翻折至處（如圖2）,連接A3,A'C,若四棱錐A'-EBCD的體積為4指，點(diǎn)/為的

中點(diǎn)，則F到直線BC的距離為（）

A而V23「屈

A?----------DR.----------?----------

224

【答案】A

【分析】

由已知可證得DE工平面AEB,AE_L平面BCDE,所以以E為原點(diǎn)，￡5,所在的直線分別為x,y,z

軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.

【詳解】

連接3D,因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，且4=60。，所以△ASD為等邊三角形，

因?yàn)椤?為的中點(diǎn)，所以DE人所以DE_LEB,_LHE,

因?yàn)楣E=E,平面AE3,所以DEI平面A￡B,

因?yàn)榱庑蜛BC。的邊長(zhǎng)為4,所以AB=AD=CD=BC=4,DE=2&AE=BE=2,

所以直角梯形的面積為:x（2+4）x2g=6g,

設(shè)四棱錐A'-EBCD的高為心貝"x6粗力=46，得6=2,

所以〃=A'E,所以AEL平面BCDE,

所以以E為原點(diǎn)，砂,四,所'所在的直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則

3（0,2,0）,C（-234,0）,F（-區(qū)0,1）,

所以BC=(-2石,2,0),

BC

所以"同T萬萬。卜=FB=(S,2,-1)

所以忖=J3+4+1=2V2,a-c=—^+1=――,

所以歹到直線BC的距離為1=

1-2.（2024?吉林?模擬預(yù)測(cè)）如圖1,在等腰梯形ABCD中，AB//CD,AB=AD=1,CD^2,DE=,沿AE

圖1圖2

（1）若平面PAE、平面PBC=/,求證：///BC；

⑵若點(diǎn)T是PC的中點(diǎn)，求點(diǎn)T到直線EB的距離的取值范圍.

【答案】⑴證明見解析

（2）H_

【分析】（1）根據(jù)題意得到四邊形ABCE是平行四邊形，證得/場(chǎng)〃BC,進(jìn)而證得BC〃平面2鉆，結(jié)合

線面平行的性質(zhì)定理，即可證得///BC.

(2)取AE中點(diǎn)。，以。為原點(diǎn)，過。作平面ABCE的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。-型，設(shè)

求得ET=(o,立(cose+1),走sin/和向量防=(」,走,o],得到

/POB=e(0<9〈兀)

I44)I22J

￡TEB=j(cos0+l),且網(wǎng)=1,結(jié)合點(diǎn)T到直線￡B的距離

8

【詳解】(1)證明：在梯形ABCD中，因?yàn)镸//CE且AB=CE,

所以四邊形ABCE是平行四邊形，所以4￡〃以7,

又因?yàn)锳Eu平面以E,且BC＜Z平面R4E，所以BC〃平面E4E,

因?yàn)?Cu平面P3C,且平面P4E「〕平面依C=/,所以//ABC.

(2)解：取4E中點(diǎn)。，連接。民。尸，因?yàn)橐籄BE是等邊三角形，可得O3_LOE

以。為原點(diǎn)，。瓦。3所在直線為x軸，y軸，過0作平面ABCE的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。-型,

如圖所示，

設(shè)/尸03=。(0＜。＜萬)，

則尸0,且cos。,且sin。,C1,—,0，叫,0,0),30,與,0—,^-(cos0+l),^-sin^

v7

、22)(2,244

X

3

所以ET=0,^—(cos^+1),——sin。,_j_V3

EB=一,0,ET?EB==—(cos0+l),且

、44,27

囪=1,

則點(diǎn)T到直線EB的距離d=小ET?-(ET-EB)?

3

+——sin夕-(cos^+l)

4

=^J^-(cos6?+l)2+sin26i

11

因?yàn)?IvcosOvl,所以當(dāng)cos6=,時(shí)，dmax=-；

當(dāng)cos。3—I時(shí)，d^O,所以點(diǎn)T到直線EB的距離的取值范圍是

故P到面ADGE的距離Z一垃.

\n\728

故選：A

2-2.（2024高三上?山東青島?期中）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面42CD為正方形，..RW為等邊三角

形，面R4BJ_底面43CDE為的中點(diǎn).

⑴求證：AC±PE；

（2）在線段BD上存在一點(diǎn)F,使直線AP與平面PEP所成角的正弦值為害.

①確定點(diǎn)廠的位置；

②求點(diǎn)C到平面PEF的距離.

【答案】⑴證明見解析

⑵①點(diǎn)尸的位置是線段3D上靠近8的三等分點(diǎn)；0175

【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理，即可證明線線垂直；

（2）①根據(jù)（1）的證明過程，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，

以線面角的向量公式求點(diǎn)尸的位置；②根據(jù)①的結(jié)果，結(jié)合點(diǎn)到平面的距離的向量公式,

計(jì)算結(jié)果.

【詳解】（1）取48中點(diǎn)。，連接OE,PO,

,為等邊三角形，

:.PO±AB,

面R4B_L底面ABCD,

面底面ABCD=AB,

POu面E4B,

.?.尸。_1面45。，

:.PO±AC,

ACABD,

BD/1'OE,

AC_LOE又POOE=O,

/.AC1面尸OE,

QPEu面尸OE,

:.AC_LPE,

/>

j

(2)①如圖以。為原點(diǎn)，OP為z軸，為X軸建立空間

‘變干y

直角《包標(biāo)系.設(shè)3C=8尸=2,

尸(0,(),右)，A(-l,0,0),3(1,0,0),D(-l,2,0),￡(-1,1,0),

衣二(1,0,6),PB=(l,0,-V3),P￡=(-l,1,-73),BO=(-2,2,0),

BF=2BD=(-22,2Z,0),:.PF=PB+BF=(1-2九2九-6)

設(shè)勺=(x,y,z)是平面PEF的一個(gè)法向量

-x+y-\/3z=0

則有?

(1-24)x+22y—=0

令Z=6解得：

^=(3-62,6-62,73)

-6-623—34

cos<AP,%>=-i=/=

2^3+(3-6A)2+(6-6X)2，72矛-1082+48

因?yàn)橹本€針與平面際所成角的正弦值為g

.'.|cos<AP,n}>|=|-/3"|=2/1

2V1822-27A+125

即90獷J

72A2-108A+485

解得彳=；，所以點(diǎn)尸的位置是線段2。上靠近B的三等分點(diǎn)，

②C(l,2,0),￡(-1,1,0),EC=(2,1,0)

小(L4,?Q(云，總島

點(diǎn)c到平面阻的距離［=止。3|=工+二=^^.

1nliV20V205

2-3.(2024?浙江?模擬預(yù)測(cè))如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABC。為平行四邊形，側(cè)面尸AD是邊長(zhǎng)為2

的正三角形，平面抬O_L平面ABC。，AB1PD.

⑴求證：平行四邊形ABCD為矩形；

(2)若E為側(cè)棱PO的中點(diǎn)，且平面ACE與平面AB尸所成角的余弦值為好，求點(diǎn)3到平面ACE的距離.

4

【答案】⑴證明見解析

(2)正

2

【分析】

（1）取AD中點(diǎn)連接尸河，由正三角形、面面垂直的性質(zhì)易得9_1_面鈿。。，再由線面垂直的性質(zhì)

及判定證ABLAZ）,即可得結(jié)論；

（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=/>0并求面ACE、面尸的法向量，結(jié)合面面角的余弦值求參數(shù)，應(yīng)

用向量法求點(diǎn)面距.

【詳解】（1）取AD中點(diǎn)連接PM，.皿）為正三角形，則PA/_LAD,

面上4￡>_L面ABCD,面PADc面ABCD=AD,2Mu面PA。，則乃0_1面458,

ABu面ABCD,故尸M_L49,又AB_LPD,PM,PDc^PAD,PMcPD=P,

所以AB上面PAD,ADu面PAD,故A5_LAD,則平行四邊形ABC。為矩形.

（2）如下圖，以A為原點(diǎn)，AB為尤軸，AD為y軸建立坐標(biāo)系，設(shè)AB=t>0,

則A（0,0,0）,3（/,0,0）,C（z,2,0）,P（0,l,V3）,E（0：斗,

所以AC=Q,2,0）,AE=（°，|，￥），AB=9°，0），AP=（°，1，石），

n?AC=txx+2乂=0

設(shè)面ACE的法向量為〃=zj,則＜36,令石=2,貝IJ〃=（2,T,64,

n-AE=-yl+-zl=0

n?AB=tx=0

設(shè)面AB尸的法向量為根=（%，%，Z2），則，2令Z2=l,則根=（O,—百,1）,

n?AP=y2+V3Z2=0

m-n2"A/6

由麗目白轉(zhuǎn)=7,解得”1,

則面ACE的法向量為7T2,-1,網(wǎng)，AB=（1,0,0）,

\AB-n\2拒

點(diǎn)B到平面ACE的距離—|^p=《F-

2-4.(2024?廣東)已知正四棱柱48。-43。]2,43=1,/141=2,E為CG中點(diǎn)，尸為2?中點(diǎn).

(1)證明：E尸為B2與CG的公垂線;

(2)求點(diǎn)2到面BDE的距離.

【答案】⑴見解析

⑵逑

3

【分析】(1)以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明匹，即可得證;

(2)利用向量法求出直線DA與平面3ZJE所成角的正弦值，從而可得出答案.

【詳解】(1)證明：如圖，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

則2(1,1,0),40,1,0),￡(01,2),口(0,0,2),磯0,1,1),尸&，3，1；

則M=[,一；,0),%=(T,-1,2),CG=(0,0,2),

因?yàn)镋F-BR=0,EFCCl=0,

所以EB_LBQ,E尸_LC￡,

即E尸為22與CG的公垂線；

(2)解：r>B=(l,l,O),r>E=(O,l,l),DD1=(O,O,2),

設(shè)平面BDE的法向量m=(x,y,z),

m-DB=x+y=0./.

則有■,可取加=(1,一1,1),

m?DE=y+z=0

連接8。，設(shè)AC與5。相交于點(diǎn)。，連接PO,

因?yàn)榻鹱炙-ABCD可視為一個(gè)正四棱錐，

故以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。4,。民。尸所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

又由題意可得48=3頂，尸0=3,

所以。i=OB=oc=a>=o尸=3,

所以0（0,0,0）,4（3,0,0）,P（0,0,3）,B（0,3,0）,C（-3,0,0）,0（0,-3,0）,

不妨設(shè)E（x,y,z）,又因?yàn)镻E=2EB，所以（x,y,z-3）=2（—x,3-y,-z）,

即x=—2x,y=6—2y,z—3=—2z,解得x=0,y=2,z=l,即E（0,2,l）,

AD=(-3,-3,0),C4=(6,0,0),AE=(-3,2,1),

設(shè)平面AEC的法向量為m=(x,y,z),則力CA=0,m-AE=0,

f6x=0/、

即°cc，取y=i,得加=(0,1,—2),

［一3x+2y+z=0'7

\AD'm&

所以點(diǎn)D到平面AEC的距離d==二=包.

\m\V55

故選：A.

題型3:求直線到平面的距離

3-1.（2024高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E為線段的中點(diǎn),

F為線段8瓦的中點(diǎn).

⑴求直線FG\SU直線AE的距離;

(2)求直線FG到平面AB.E的距離.

【答案】⑴粵

⑵工

3

【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得直線FG到直線AE的距離;

(2)轉(zhuǎn)化為G到平面ABE的距離，利用點(diǎn)到平面的距離向量法可得答案.

【詳解】(1)建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

4(1,1,1),60,0,：］,尸［1,1,￡|,4(1,0,0)<(。，1，1)，

因?yàn)镕G=1-1，0,，所以畫FC\,即AE//FQ,

所以點(diǎn)尸到直線AE的距離即為直線FG到直線AE的距離，

所以直線FG到直線AE的距離為-(或］=畫

Vl10J5

(2)因?yàn)锳E〃/G,尸G<z平面4月E,短匚平面人與石，所以尸G〃平面4月￡,

所以直線尸G到平面ABIE的距離等于G到平面AB.E的距離，

ce=(1,0,0),破=(0,1,1),AE=S,，，

設(shè)平面AB］E的一個(gè)法向量為"=(x,y,z),

，f1

AE-n=0-x-\——z=0

則〈，即｛2，取z=2,可得〃=(1,-2,2),

W-n=0［y+z=0

卜C閭i

所以G到平面陰E的距離為=

H3

所以直線FC、到平面AB.E的距離為1.

3-2.（2024高二上?全國(guó),課后作業(yè)）在棱長(zhǎng)為。的正方體ABCD-4BGR中，E、歹分別是8月、Cg的中

點(diǎn).

⑴求證：AD〃平面4EF，；

（2）求直線AD到平面AE/肛的距離.

【答案】⑴證明見解析

⑵*

【分析】（1）以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA.DC、所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)

系。-孫z,證明出D4//2A，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；

（2）利用空間向量法可求得直線AD到平面4EFR的距離.

【詳解】（1）證明：如圖，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC、所在直線分別為x軸、,軸、z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系。一孫z,則。（0,0,0）、A（a,0,0）、2（0,0,。）、4（a,0,a）,

所以D4=（a,0,0）,D14=（?,0,0）,所以八4//。八,

又因?yàn)閆M、QA不共線，則D4//2A，

因?yàn)?Au平面AEED1,平面4EFR,所以，D4〃平面AEER.

(2)解：由(1)得〃(0,0,。)、F^0,o,|

所以“=[o,a,-Or>F=[o,a,.|j.

設(shè)平面AEFD］的法向量為〃=(xy,z),

n-D.F=ay——z=Q

則■2取y=i,可得”=(o,i,2),

n,RA=ax=0

所以點(diǎn)O到平面\EFDX的法向量為d==卡=個(gè)a.

所以直線AD到平面\EFD.的距離是乎..

3-3.(2024高二?全國(guó)?課后作業(yè))如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，Q4L底

面ABC。，OA=2,M,N、R分別是Q4、BC、AD的中點(diǎn).求:

⑴直線MN與平面OCD的距離；

(2)平面MNR與平面OCD的距離.

【答案】⑴正

2

(2)#

2

【分析】(1)證明出平面MW"/平面OCD,可得出MN〃平面OCD,以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,AO

所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得直線MN與平面OCD的距離；

(2)利用空間向量法可求得平面MNR與平面OCD的距離.

【詳解】(1)解：因?yàn)镼4L平面ABCD,四邊形ABCD為正方形，

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB.AD,AO所在直線分別為X、，、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

【答案】D

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量求解

【詳解】由正方體的性質(zhì)，AB^DC^D.B^DB,AB]。4=瓦，0GlDB=D,

易得平面ABQ//平面BOG，

則兩平面間的距離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)2到平面4瓦2的距離.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA,DC,所在的直線分別為x軸、y軸、z軸

建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（a,O,O）,B（?,（z,O）,A（a,O,a）,C（0,4Z,0）,耳（a,a,a）,Dt（0,0,tz）

所以C4j=（a,—a,a）,54=（0,_a,0）,Ag=（0,a,a）,B[D[=（_a,_a,0）.

連接AC,由CAj.做=（。，-。，。），（。，。，。）=0，-BlDl=（a,-a,a）-（-a,-a,0）=0,且A8JB.D）=,可知

AC1平面ABR,

得平面ABQ的一個(gè)法向量為〃=

則兩平面間的距離d=/=.

故選:D

4-2.（2024高二上?河北滄州?階段練習(xí)）兩平行平面名用分別經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)。和點(diǎn)A（l,2,3）,且兩平面的一

個(gè)法向量〃=（-1,。,1）,則兩平面間的距離是（）

A.V2B.—C.73D.3V2

2

【答案】A

【分析】由空間向量求解

【詳解】回兩平行平面a,尸分別經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)。和點(diǎn)A(1,2,3),OA=(1,2,3),

且兩平面的一個(gè)法向量〃=(-1,0,1),

回兩平面間的距離d=區(qū)色0=2-=^.

\n\V2

故選：A

4-3.(2024高二上?全國(guó)?專題練習(xí))直四棱柱ABC。-44GA中，底面ABCD為正方形，邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱

AA=3,M、N分別為Aa、42的中點(diǎn)，區(qū)p分別是G2,8C的中點(diǎn).

⑴求證：平面4WN〃平面EFBD；

(2)求平面與平面EFBD的距離.

【答案】⑴證明見解析

⑵處

19

【分析】(1)法一：由面面平行的判定定理即可證明；法二：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,通

過證明=MN,AM=BF，再由面面平行的判定定理即可證明.

(2)法一：平面與平面跳BD的距離=3到平面的距離心再由等體積法即可求出答案.法二:求

出平面4VW的法向量,AB=(O,2,O),平面4VW與平面￡7如的距離等于B到平面的距離/z,由點(diǎn)到

平面的距離公式即可求出答案.

【詳解】(1)法一:證明：連接用2,NF,M、N分別為人用、4。的中點(diǎn),

E、/分別是GR，8G的中點(diǎn)，

MN//EF//BlDl,MNu平面EFBD,EFu平面EFBD,

:.MNII平面EFBD,NF平行且等于AB,

.?.AB/W是平行四邊形，；.AV//班\

ANU平面BFu平面EFBD,；.AN〃平面EFBD,

4Vc=N,平面AMV〃平面￡7如；

法二：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

貝1JA(2,O,O),M(1,0,3),3(220),￡(0,1,3),

F(1,2,3),N(2,l,3),;.EF=(1,1,0),MN=(1,1,0),

AM=(-l,0,3),BF=(-1,0,3),

EF=MN,AM=BF，EF//MN,AMIIBF,

一MNU平面EFBD,EFu平面EFBD,:.MN“平面EFBD,

AVcZ平面跳B￡),BFu平面EFBD,:.AN“平面EFBD,

又A4NcAM=M，，平面AACV〃平面EfBD,

(2)法一:平面AMN與平面EFBD的距離=B到平面AMN的距離h.

AMN中，AM=AN=\/10,MN=A/2,SAMN=—■\/2?^10——=—

???由等體積可得1?巫。='、231,=8侈.

323219

法二：

設(shè)平面4WN的一個(gè)法向量為〃=（x,y，Z）,

n-MN=x+y=0

則-,則可取〃=(3,—3,1),

n-AM=-x+3z=0

如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，45,40,44,的方向分別為x軸、>軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

由題意得A(0,0,0),C(l,l,0),￡>(0,1,0),G(1,1,1),

則AC=(1,1,0),DC}=(1,0,1),AD=(0,1,0).

設(shè)異面直線AC與DQ的公垂線的方向向量〃=(x,y,Z),

n-AC=0\x+y=0

則〈，即〈八，令x=l,得y=—l,z=—l,/.n=(l,-l,-l),

nDCx=0[x+z=0

所以異面直線AC與。G之間的距離==

故選：c.

5-2.(2024高二上?山西運(yùn)城期中)如圖，在三棱柱ABC-AgG中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2道的正三角形,

隊(duì)=幣,頂點(diǎn)A在底面的射影為底面正三角形的中心，P,。分別是異面直線AG，A/上的動(dòng)點(diǎn)，則尸，

。兩點(diǎn)間距離的最小值是()

22

【答案】D

【分析】設(shè)。是底面正ABC的中心，A。，平面ABC,COLAB,以直線CO為x軸，0A為z軸，過。平

行于的直線為〉軸建立空間直角坐標(biāo)系，P,。兩點(diǎn)間距離的最小值即為異面直線AG與48間的距離用

空間向量法求異面直線的距離.

【詳解】如圖，。是底面正JWC的中心，A。，平面ABC,AOu平面ABC,則4。，人。，

AB=2欄,則百=2,又用=近，/0=小W-毋=0,

COLAB,直線CO交AB于點(diǎn)。，OD=1,

以直線CO為X軸，。4為Z軸，過0平行于A8的直線為y軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

(2)存在，DE=有或逆

2

【分析】(1)找到四棱錐的高，利用四棱錐體積公式求出體積；

(2)根據(jù)題目中的條件建立空間直角坐標(biāo)系，表達(dá)出與8尸，ED均垂直的向量，進(jìn)而利用異面直線2憶

DE的距離為1建立等式求出a.

【詳解】(1)

回側(cè)面的夕內(nèi)為正方形，0A,B,±BBt,

又8尸_14與，且BBqBF=B,BB「BFu面BBCC,

回44,平面BBCC，又ABIAB\,

回/152平面2瓦。。，取BC中點(diǎn)G,

則EG〃AB,回石6_1平面58。u.

(2)以3為原點(diǎn)，分別以54,BC,8月所在直線建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

則3(0,0,0),E(l,l,0),F(0,2,1),

設(shè)。(a,0,2),則加=(0,2,1),ED=(?-1,-1,2),BE=(1,1,0).

設(shè)與BP，￡￡）均垂直的向量為〃=（x,y,z）,

BF-n=0（2y+z=0//、、

則，即,八cC，取〃=5,a-l,-2（a-l）,

EDn=0［（々-1）元_y+2z=0

_阿.”\5+a-l\、7

團(tuán)異面直線8凡。石的距禺d二―rq—=/-7=1，解得〃=1或彳.

H45+5（”1）22

故存在點(diǎn)。在直線44上，使得異面直線放”的距離為L(zhǎng)且此時(shí)3石或除

5-4.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）在平行四邊形A5CD中，AB=2,AD=1,ZBAD60°,M,N分別為直線

上的動(dòng)點(diǎn)，記M,N兩點(diǎn)之間的最小距離為"，將△ABD沿8。折疊，直到三棱錐A-BCD的體積最大時(shí)，

不再繼續(xù)折疊.在折疊過程中，d的最小值為.

【答案】叵

7

【分析】根據(jù)平行四邊形ABCD的邊長(zhǎng)即角度可得AD人友），再由",N兩點(diǎn)的位置關(guān)系以及d的幾何意義,

確定出△ABD沿3。折疊過程中三棱錐A-BCD的體積最大時(shí)ADL平面BCD,建立空間直角坐標(biāo)系利用兩

異面直線間的距離公式即可計(jì)算出結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題意可知，如下圖所示；

由45=2,4。=1,/&W=60。利用余弦定理可得瓦J?=AB2+AZ52_2ARAZ）cos60，

解得BD=6,所以滿足AD?+302=AB?,即AD工3D,則CBLBD

又M,N分別為直線AB,CD上的動(dòng)點(diǎn)，記",N兩點(diǎn)之間的最小距離為d,則d表示兩直線AB,CD之間的距

離，

在△ABD沿8。折疊過程中，直線鉆,8由兩平行線變成兩異面直線，且兩直線間的距離越來越近；

當(dāng)三棱錐A-3co的體積最大時(shí)，此時(shí)平面BCD；

即此時(shí)M,N兩點(diǎn)之間的距離最小，即為兩異面直線AB,CD之間的距離；

以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以2c,2。為x軸，y軸，以過點(diǎn)B且與AD平行的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

如下圖所示:

則3（0,0,0）,幺（0,31）（（1,0,0）,。（0,后0）,

即加=（0,點(diǎn)1）,。=卜1,后0）,

設(shè)與R4,S垂直的一個(gè)向量為〃=（x,y,z）,

n-BA=y/3y+z=0

則令y=l,貝！Jx=6,z=—石，可得〃=（6,1,-石）

n-CD=-x+石y=0

不妨取4。=（0。-1）,由兩異面直線間的距離公式可得

ADn\石V21

d的最小值為一i-i—=/

|H|V3+1+37

故答案為：孚

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于把"N兩點(diǎn)之間的最小距離為d"理解成異面直線AB,CD之間的距離,

再利用折疊過程中的位置關(guān)系，代入兩異面直線距離公式求解即可.

媒習(xí)與梭升

一、單選題

1.（2024高二上?全國(guó),課后作業(yè)）如圖所示，在長(zhǎng)方體中，A,A=5,AB=n,則直線Bg到

平面A3C2的距離是（）

【答案】C

【分析】

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DIDCDA所在的直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量

求解即可》

【詳解】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OAOCOR所在的直線分別為％y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則C（0,12,0）4（0,0,5）.設(shè)B（X,12,0），4（X/2,5）（XH。）.設(shè)平面ABC"的法向量為〃=（°也c）,

由〃_L5C,〃_LCOi,得

n?BC=(a,b,c)?(-x,0,0)=-ax=0,n-CD\=(a,b,c)-(0,-12,5)=-12Z?+5c=0,

a=0,b=-^c9回可取〃=(0,5,12).

又B[B=(0,0,-5),回點(diǎn)Bx到平面ABC"的距離為隨d=的,

\n\13

B.C^BC,3Cu平面48c2，BCa平面48c2，

團(tuán)4cM平面ABcq,

8G到平面48c2的距離為誓.

故選：c

2.（2024高二上?廣東東莞?階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A4GA中，E為線段的中

點(diǎn)，廠為線段的中點(diǎn)，則直線廣G到平面A與E的距離為（）

11

5-3-

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，把直線到平面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，根據(jù)空間中點(diǎn)到平面的距離

公式即可求解.

【詳解】由題意易知直線歹G〃面4月￡,

所以尸到面A瓦E的距離即為直線FG到平面A瓦E的距離.

A。,0,0),E(o,o,g｝瓦(1,1,1),,q(0,1,1),

所以AE=[-l,O,￡j,A4=(O/,l),AP=[o,l,￡|

設(shè)面A與E的法向量〃=（x,y,z）,貝!J：

AE?幾=0-X+—z=0

,即2

ABln=0y+z=0

取z=2,則x=l,y=-2,所以〃=(1,-2,2)

AF-m-1I

所以產(chǎn)到面A31石的距離d=―|—?—=-^=

3

故選：D

3.（2024高三.全國(guó)?專題練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系。孫z中，A（l,2,l）,B（2,l,/n）,C（0,l,2）,若點(diǎn)C到直

線A3的距離不小于少，則加的范圍為（）

2

A.[1-72,1+^]B.[1-72,72-1]

C.[-1-A/2,1+V2]D.[>/2-1,1+72]

【答案】A

【分析】根據(jù)空間中點(diǎn)到線的距離公式，列不等式求解.

【詳解】因?yàn)锳B=（1,—1,祖—1）,AC=（―1,—1,1）,

（、2

,“2ACAB

所以點(diǎn)C到直線A8的距離為〃={4。；網(wǎng)

所以,化簡(jiǎn)得

解得1-0<m<l+0.

故選：A

4.（2024?浙江溫州?三模）四面體。45。滿足/408=/5。7=/（704=90,。4=1,08=2,0。=3,點(diǎn)。在

棱OC上，且OC=3OD,點(diǎn)G為ABC的重心，則點(diǎn)G到直線AD的距離為（）

A.叵B.1C.3D.1

2233

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，再利用向量求出點(diǎn)到直線的距離作答.

【詳解】四面體。45。滿足/493=/3。。=/。。4=90，即兩兩垂直，

以點(diǎn)。為原點(diǎn)，以射線。4。民0。的正方向分別為元,軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

12

因?yàn)镺A=1,O6=2,OC=3,OC=3OD,則A(l,O,O),D(O,O」),G(n，l),

于是AG=(fl),AO=(一1,0,1),|AG|=^(-|)2+(|)2+l2=^,AG-AD=-|x(-D+1=|-

所以點(diǎn)G到直線AD的距離［=lAGjAG-ADy=U.(j_y=也.

X|AD|Y902

故選：A

5.（2024?湖北?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示的多面體是由底面為ABC。的長(zhǎng)方體被截面AEG廠所截得到的，其中

221111

【答案】C

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算平面AECV的法向量，利用點(diǎn)到面距離的向量公式1網(wǎng)即得解

\n\

【詳解】以。為原點(diǎn)，分別以D4,DC,DP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

則。（0,0,0）,A（2,0,0）,3（2,4,0）,C（0,4,0）,磯2,4,1）,G（0,4,3）,

BAQ=（-2,4,3）,AE=（O,4,l）.

設(shè)〃為平面AEC逮的法向量，〃=（x,y,z）,

nAE=0[4y+z=0

,得《

n-ACl=0[-2x+4y+3z=0

X=1

令z=l,團(tuán)v

y

4

所以"=1,一;,1

又CG=（°，°，3），

團(tuán)點(diǎn)C到平面AEC1F的距離層四四=生匡.

I川H

故選：C.

6.（2024IWJ二?全國(guó)?課后作業(yè)）如圖，已知A5C-A14G是側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均等于a的直二棱柱，Z）是側(cè)

棱CC的中點(diǎn).則點(diǎn)。到平面A5Q的距離為（）

A/2RA/2「3應(yīng)0

A.aD.aC.-------aD?a

4842

【答案】A

【分析】取AB的中點(diǎn)0,連接CO,以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、OC、8后的方向分別為X、,、z軸的正

方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得點(diǎn)C到平面AB.D的距離.

【詳解】取A8的中點(diǎn)。，連接CO,

因?yàn)锳BC為等邊三角形，。為42的中點(diǎn)，則CO_LAB,

以點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、OC、的方向分別為X、y、z軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

W,0,4J、D0,A/3〃、

、B,

2

a^3aX

設(shè)平面AB[D的法向量為〃=(x,y,z),ABj=(a,0,a),AD=一,—a,一

222

n?ABi=ax+az=Q

由<4八〃6〃,取犬=1可得〃=

n-AD=—xH------ay+—z=0

222

Ac/],鼻,o],所以，點(diǎn)C到平面破。的距離為L(zhǎng)此二1=N_=叵.

I22）“04

故選：A.

7.（2024高二上?浙江紹興?期末）空間直角坐標(biāo)系中A（0,0,0）、*1,1,1）、C（l,0,0））,仇-1,2,1）,其中Aea,

Bea,C^/3,D^p,已知平面打〃平面￡,則平面a與平面￡間的距離為（）

.V26RA/13_73n>/5

261335

【答案】A

【分析】由已知得A8，CD，AC，設(shè)向量〃=（x,y,z）與向量AB、CO都垂直，由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算可

求得w，再由平面平行和距離公式計(jì)算可得選項(xiàng).

【詳解】解：由已知得AB=（L1，1）,CD=（-2,2,1）,AC=（1,0,0）,設(shè)向量〃=（x,丫⑶與向量血、C￡）都垂

直，則

n-AB=0x+y+z=0

取x=l,〃=-4),

ri-CD—0—2%+2y+z=0

|AC-n||1X1+3X0+(-4)X0|應(yīng)

又平面all平面0，則平面a與平面夕間的距離為"=匚十=L，'，=J

222

川71+3+(-4)26

故選：A.

8.(2024高二上?全國(guó)?專題練習(xí))在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A4CQ中，則平面儆。與平面AG。之間的

距離為

R百

A昱D.--

63

r26D.B

32

【答案】B

【分析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,求得AD=(-1,0,0)和平面4G。的一個(gè)法向量》1=(1,1,1),

利用向量的距離公式，即可求解.

【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0),G(0,1,0),0(0,0,1),41,0,1),

所以必=(1,0,-1),0cl=(0,1,—1),AD=(-1,0,0),

m_LDA】

設(shè)平面AC。的一個(gè)法向量膽=(x,y』)，則

m_LDC】

m-DA=x-l=0―x=l

即</，解得故初=(i,i,i),

=>-「0y=l

顯然平面ABC〃平面AG。,

所以平面A3。與平面4G。之間的距離d=|A￡>m|=^=—.

\m\y/33

【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間向量在求解距離中的應(yīng)用，對(duì)于利用空間向量求解點(diǎn)到平面的距離的步驟通

常為：①求平面的法向量；②求斜線段對(duì)應(yīng)的向量在法向量上的投影的絕對(duì)值，即為點(diǎn)到平面的距離.空

間中其他距離問題一般都可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離求解.著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.(2024高二上?湖南邵陽?階段練習(xí))在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-4AG。中，瓦尸分別是的中點(diǎn),

則直線8。到平面所〃用的距離為()

A.3B.1C.—D.-

6243

【答案】D

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.

【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則0(0,0,0),2(1,1,0),C(0,l,0),K(g1,0),尸，1,0),4(1,1,1),^(0,0,1),

所以匹=g,O,O),BQ=(-l,-l,O)，4E=(-go,-l),

設(shè)平面EFL避的法向量為"=?y,z),貝U

BQi=-x—y=0

<一1,令z=l,貝0=(—2,2,1),

ln-B,1E=——2x-z=0

因?yàn)??！ㄆ?，平面EBRBi,耳2u平面EFD4，

所以Q〃平面近肛耳，所以直線BQ到平面瓦〃耳的距離即為點(diǎn)3到平面瓦〃耳的距離，

1，一、