2024年“未知數(shù)杯”數(shù)學(xué)模擬測(cè)試試題及答案

“未知數(shù)杯”數(shù)學(xué)模擬測(cè)試

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案

標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí),

將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每個(gè)小題給出的選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如30=7+23.在

不大于10的素?cái)?shù)中，選兩個(gè)不同的數(shù)，和為素?cái)?shù)的概率為

A.-B.|C.-D.y

4332

2.數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，滿足S,+%=1024,則數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)積的最大值

為

A.255B.245C.29D.

3.圓心為(-1,3),且與直線x-y+2=0相切的圓的半徑為

A.V2B.2C.8D.2V2

4.已知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，且%+。7+%3=4兀，則sin%=

cD.

A"b-4-T

5.已知二次函數(shù)/(x),對(duì)任意的XER,有/(2X)V2/(X),則/(x)的圖象可能是

數(shù)學(xué)試題第1頁共6頁

6.如圖是某兩位體育愛好者的運(yùn)動(dòng)素養(yǎng)測(cè)評(píng)圖，其中每項(xiàng)能力分為三個(gè)等級(jí),

般”記為4分，“較強(qiáng)”記為5分，“很強(qiáng)”記為6分，把分值稱為能力指標(biāo)，則

籃球

下列判斷不正確的是

A.甲、乙的五項(xiàng)能力指標(biāo)的平均值相同

B.甲、乙的五項(xiàng)能力指標(biāo)的方差相同

C.如果從長(zhǎng)跑、馬術(shù)、游泳考慮，甲的運(yùn)動(dòng)素養(yǎng)高于乙

D.如果從足球、長(zhǎng)跑、籃球考慮，甲的運(yùn)動(dòng)素養(yǎng)高于乙

長(zhǎng)跑馬術(shù)

7.一個(gè)二元碼是由0和1組成的數(shù)字串網(wǎng)迎…%（〃wN*），其中/（左=1,2,

“）稱為第左位碼元，二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時(shí)會(huì)發(fā)生碼元錯(cuò)

誤（即碼元由0變?yōu)?,或者由1變?yōu)?）.已知某種二元碼再馬…吃的碼元滿足如下校

匕十十/十X7=。

驗(yàn)方程組：卜2十退十%十工7=°，其中運(yùn)算十定義為

X]十退十%十了7=。

已知一個(gè)這種二元碼在通信過程中僅在第4位發(fā)生碼元錯(cuò)誤后變成了1100001,那么

用上述校驗(yàn)方程組可判斷后等于

A.4B.5C.6D.7

8.運(yùn)用祖晅原理計(jì)算球的體積時(shí)，夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于

這兩個(gè)平面的任意一個(gè)平面所截，若截面面積都相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.

構(gòu)造一個(gè)底面半徑和高都與球的半徑相等的圓柱，與半球（如圖1）放置在同一平

面上，然后在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)，圓柱上底面為底面的圓錐

后得到一新幾何體（如圖2）,用任何一個(gè)平行于底面的平面去截它們時(shí)，可證得

所截得的兩個(gè)截面面積相等，由此可證明新幾何體與半球體積相等.現(xiàn)將橢圓

22

土+匕=1繞y軸旋轉(zhuǎn)一周后得一橄欖狀的幾何體（如圖3）,類比上述方法，運(yùn)用

1636

祖曬原理可求得其體積等于

數(shù)學(xué)試題第2頁共6頁

二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得

部分分，有選錯(cuò)的得0分。

9.意大利畫家列奧納多?達(dá)?芬奇的畫作《抱銀鼠的女子》中，女士脖頸上黑色珍

珠項(xiàng)鏈與主人相互映襯呈現(xiàn)出不一樣的美與光澤，達(dá)?芬奇提出：固定項(xiàng)鏈的兩端，

使其在重力的作用下自然下垂，項(xiàng)鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線

問題”.后人給出了懸鏈線的函數(shù)解析式：/（x）=?cosh^,其中“為曲線頂點(diǎn)到

橫坐標(biāo)軸的距離，cosh尤稱為雙曲余弦函數(shù)，其函數(shù)表達(dá)式為cosh;c=e'+e',相應(yīng)

2

地，雙曲正弦函數(shù)的表達(dá)式為sinh尤若直線》=加與雙曲余弦函數(shù)。雙曲正

弦函數(shù)G的圖象分別相交于點(diǎn)A,B,曲線￡在點(diǎn)A處的切線4與曲線C?在點(diǎn)B處

的切線4相交于點(diǎn)P,則下列結(jié)論正確的為

A.cosh(x-y)=cosh尤coshy-sinhxsinhy

B.y=sinhxcoshx是偶函數(shù)

C.(coshx)'=sinhx

D.若△"3是以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則實(shí)數(shù)加=0

10.平面螺旋是以一個(gè)固定點(diǎn)開始，向外圈逐漸旋繞而形成的圖案，如圖（1）.它

的畫法是這樣的：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,取正方形ABCD各邊的四等分點(diǎn)E,F,

G,〃作第二個(gè)正方形，然后再取正方形EFG"各邊的四等分點(diǎn)N,P,。作第

三個(gè)正方形，以此方法一直循環(huán)下去，就可得到陰影部分圖案，設(shè)正方形/BCD邊

長(zhǎng)為外,后續(xù)各正方形邊長(zhǎng)依次為外,%，…，M，…；如圖（2）陰影部分，設(shè)直

角三角形4E77面積為4,后續(xù)各直角三角形面積依次為d，&，…，“，….則

圖⑴圖⑵

數(shù)學(xué)試題第3頁共6頁

A.數(shù)列｛。“｝是以4為首項(xiàng)，回為公比的等比數(shù)列

4

B.從正方形45CZ）開始，連續(xù)3個(gè)正方形的面積之和為32

C.使得不等式6“成立的〃的最大值為3

D.數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和邑<4

11.1872年德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無

理數(shù)（史稱“戴德金分割”），并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，從而結(jié)束

了無理數(shù)被認(rèn)為“無理”的時(shí)代，也結(jié)束了數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī).將有理數(shù)集Q

劃分為兩個(gè)非空的子集M與N,且滿足MuN=Q,McN=0,M中的每一個(gè)元

素都小于N中的每一個(gè)元素，則稱（M,N）為戴德金分割.試判斷下列選項(xiàng)中，可能

成立的是

A.M=｛xeQ|x<0｝,N=｛xeQ|x>0｝滿足戴德金分割

B.M沒有最大元素，N有一個(gè)最小元素

C.M有一個(gè)最大元素，N有一個(gè)最小元素

D.M沒有最大元素，N也沒有最小元素

三、填空題：本大題3小題，每小題5分，共15分。

12.有些在平面幾何中成立的結(jié)論到了立體幾何中不再成立，比如：”垂直于同一

條直線的兩條直線平行”；有些在平面幾何中成立的結(jié)論到了立體幾何中依然成立,

比如：“平行于同一條直線的兩條直線平行”.請(qǐng)你寫出滿足下列條件的命題各一個(gè)

在平面幾何中成立而在立體幾何中不成立的命題：;既在平面幾何中成立又在

立體幾何中成立的命題：.

13.在二項(xiàng)式、的展開式中恰好第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)

項(xiàng)是.

14.已知數(shù)列｛風(fēng)｝為g,…，則該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式可以是.

數(shù)學(xué)試題第4頁共6頁

四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（13分）

已知直線x+y-3=0與拋物線C:黃=8x相交于8兩點(diǎn).

⑴求弦長(zhǎng)|/回及線段N3的中點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）試判斷以為直徑的圓是否經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)。？并說明理由.

16.（15分）

如圖，在五面體A8CDE中，平面A8C,AD//BE,AD=2BE,AB=BC.

（1）求證：平面COEJ■平面/CD；

（2）若48=6，AC=2,五面體ABCDE的體積

為夜，求平面CDE與平面/5ED所成角的余弦值.

17.（15分）°

設(shè)函數(shù)〃x）=f3+分qfer+c的導(dǎo)數(shù)/⑺滿足/（T）=0,/-（2）=9.

⑴求/（x）的單調(diào)區(qū)間；

⑵/（x）在區(qū)間［-2,2］上的最大值為20,求c的值.

⑶若函數(shù)的圖象與無軸有三個(gè)交點(diǎn)，求c的范圍.

18.（17分）

在孟德爾遺傳理論中，稱遺傳性狀依賴的特定攜帶者為遺傳因子，遺傳因子總是成

對(duì)出現(xiàn)例如，豌豆攜帶這樣一對(duì)遺傳因子：A使之開紅花，。使之開白花，兩個(gè)因

子的相互組合可以構(gòu)成三種不同的遺傳性狀：44為開紅花，念和“4一樣不加區(qū)分

為開粉色花，加為開白色花.生物在繁衍后代的過程中，后代的每一對(duì)遺傳因子都

包含一個(gè)父系的遺傳因子和一個(gè)母系的遺傳因子，而因?yàn)樯臣?xì)胞是由分裂過程產(chǎn)

生的，每一個(gè)上一代的遺傳因子以;的概率傳給下一代，而且各代的遺傳過程都是

相互獨(dú)立的.可以把第〃代的遺傳設(shè)想為第"次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，每一次實(shí)驗(yàn)就如同拋一

枚均勻的硬幣，比如對(duì)具有性狀癡的父系來說，如果拋出正面就選擇因子A,如果

拋出反面就選擇因子。，概率都是?，對(duì)母系也一樣.父系、母系各自隨機(jī)選擇得到

數(shù)學(xué)試題第5頁共6頁

的遺傳因子再配對(duì)形成子代的遺傳性狀.假設(shè)三種遺傳性狀44,癡（或遢），幽在

父系和母系中以同樣的比例：M:V:W（M+V+W=1）出現(xiàn)，則在隨機(jī)雜交實(shí)驗(yàn)中，遺傳

因子A被選中的概率是p="+],遺傳因子。被選中的概率是4=w+'l.稱〃，q分

別為父系和母系中遺傳因子A和。的頻率，2：4實(shí)際上是父系和母系中兩個(gè)遺傳因子

的個(gè)數(shù)之比.基于以上常識(shí)回答以下問題：

（1）如果植物的上一代父系、母系的遺傳性狀都是/a,后代遺傳性狀為44,（或

aA）,的概率各是多少？

（2）對(duì)某一植物，經(jīng)過實(shí)驗(yàn)觀察發(fā)現(xiàn)遺傳性狀。。具有重大缺陷，可人工剔除，從

而使得父系和母系中僅有遺傳性狀為44和/a（或的個(gè)體，在進(jìn)行第一代雜交實(shí)

驗(yàn)時(shí)，假設(shè)遺傳因子A被選中的概率為P,。被選中的概率為以P+q=l.求雜交

所得子代的三種遺傳性狀44,/a（或a/）,所占的比例%,.

（3）繼續(xù)對(duì)（2）中的植物進(jìn)行雜交實(shí)驗(yàn)，每次雜交前都需要剔除性狀為四的個(gè)體

假設(shè)得到的第〃代總體中3種遺傳性狀44,Na（或a/）,。。所占比例分別為

設(shè)第"代遺傳因子A和a的頻率分別為。，和紜，已知有以下

證明;5,是等差數(shù)列?

公式〃"行此=i’"=12一

（4）求％的通項(xiàng)公式，如果這種剔除某種遺傳性狀的隨機(jī)雜交實(shí)驗(yàn)長(zhǎng)期進(jìn)行

下去，會(huì)有什么現(xiàn)象發(fā)生？

19.（17分）

若一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)與面積都是整數(shù)，則稱為“海倫三角形”；三邊長(zhǎng)互質(zhì)的海倫

三角形，稱為“本原海倫三角形”；邊長(zhǎng)都不是3的倍數(shù)的本原海倫三角形，稱為

“奇異三角形”.

（1）求奇異三角形的最小邊長(zhǎng)的最小值；

（2）求證：等腰的奇異三角形有無數(shù)個(gè)；

（3）問：非等腰的奇異三角形有多少個(gè)？

數(shù)學(xué)試題第6頁共6頁

“未知數(shù)杯”數(shù)學(xué)模擬測(cè)試

數(shù)學(xué)試題詳解

1.【答案】c

【分析】求出不大于10的所有素?cái)?shù)，再利用列舉法求出古典概率即得.

【詳解】不大于10的素?cái)?shù)有2,3,5,7,

從中任取兩個(gè)數(shù)的試驗(yàn)的樣本空間。=｛（2,3）,（2,5）,（2,7）,（3,5）,（3,7）,（5,7）｝,共6個(gè)樣

本點(diǎn)，

其中和為素?cái)?shù)的樣本點(diǎn)2個(gè)，

所以和為偶數(shù)的概率為上

3

故選：C

2.【答案】B

【分析】根據(jù)給定的遞推公式求出%,進(jìn)而求出數(shù)列｛見｝通項(xiàng)，借助單調(diào)性求解即

得.

【詳解】依題意，〃eN*,5?+a?=1024,則4=512,當(dāng)時(shí)，1024,

兩式相減得2%=%-,即因此數(shù)列｛%｝是以512為首項(xiàng)，；為公比的等

22

比數(shù)列，

于是0“=512*（：產(chǎn)=29",顯然數(shù)列｛0“｝單調(diào)遞減，當(dāng)“V10時(shí)，當(dāng)〃211,an<\,

所以當(dāng)〃=9或〃=10時(shí)，數(shù)列｛。0｝的前〃項(xiàng)積最大，最大值為

29x28x27x---x22x2x2°=245.

故選：B

3.【答案】A

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解.

【詳解】由題意知，圓心為（T,3）,且與直線x-y+2=0相切，

1-1-3+21I-

則圓的半徑為1=d=,儼+（_］）2=02.

故選：A.

4.【答案】D

數(shù)學(xué)試題詳解第1頁共13頁

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得為,進(jìn)一步計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛6｝為等差數(shù)列，

貝Uax+%+%3=57=4兀,

所以%=學(xué)47r

,4兀

貝!Jsin%=sin——二

32

故選：D.

5.【答案】A

【分析】令/(2x)<2/(x)中％=0,則”0)>0,排除C,D；又由/(2x)<2/(x)可得0>2加

任意的XER恒成立，貝1J?！?。，2〃<0,排除B,即可得出答案.

【詳解】因?yàn)閷?duì)任意的xeR,有/(2x)<2/(x),令x=0,貝1」/(0)<2/(0),

所以〃0)>0,排除C,D；即7(0)90,

設(shè)二次函數(shù)/(x)=62+bx+c(aw0),

所以f(2x)=4ox2+2bx+c,2/(x)=^ax1+2bx+2c,

由/(2x)<2/(x)可得4ax2+2bx+c<lax2+2bx+2c,則lax2-c<0,

所以c>2a/任意的xeR恒成立，貝！|c>0,2a<0,故排除B.

故選：A.

6.【答案】D

【分析】由運(yùn)動(dòng)素養(yǎng)測(cè)評(píng)圖可以求得平均值以及方差，通過識(shí)圖可判斷甲乙運(yùn)動(dòng)素

養(yǎng)的高低.

【詳解】由圖可知：甲的平均值為6+4+：4+5=4.8,

乙的平均值為6+5+；+5+4=4.8,A正確；

甲的方差為s；=((6-4.8)氣(4-4.8)2+(5-4.8j+(4-4.8j+§-4.8)=0.56,

乙的方差為(6-4.8了+(5-4.8)2+(4-4.8J+g-4.8)+6-4.8j=0.56,

B正確；

從長(zhǎng)跑、馬術(shù)、游泳考慮，甲三方面的分值和為5+4+5=14,乙三方面的分值和為

4+5+4=13,乙小于甲，C正確；

從足球、長(zhǎng)跑、籃球考慮，甲三方面的分值和為6+5+4=15,乙三方面的分值和為

6+4+5=15,乙與甲相同，D錯(cuò)誤.

數(shù)學(xué)試題詳解第2頁共13頁

故選：D

7.【答案】A

【分析】

根據(jù)校驗(yàn)方程組分別判斷各位碼元的正誤.

【詳解】

由已知得X4十%十/十七=0十0十。十1=1R0,故X44,x6,與至少錯(cuò)誤一個(gè)，

又馬十當(dāng)十了6十工7=1十0十0十1=0,正確，故和%X6,X7均正確，

王十X3十％十x?=1十0十0十1=0,正確，故X],x3,x5,x7均正確，

綜上所述，匕錯(cuò)誤，

故選：A.

8.【答案】C

【分析】

由類比推理可知所求幾何體體積為在底面半徑及=4,高〃=6的圓柱內(nèi)，挖出一個(gè)以

該圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)，上底面為底面的圓錐后，得到的新的幾何體體積的2倍,

借助圓錐和圓柱體積公式可求得結(jié)果.

【詳解】

類比推理可知：若在底面半徑火=4,高〃=6的圓柱內(nèi)，挖出一個(gè)以該圓柱下底面圓

心為頂點(diǎn)，上底面為底面的圓錐后，得到一新的幾何體，則新幾何體與所求橄欖狀

幾何體的一半的體積相等.

（,1,>4,4

，所求體積憶=2[萬五萬氏2/?）=17rA24=-^X16x6=128^r.

故選：C.

9.【答案】ACD

【分析】

根據(jù)雙曲余弦函數(shù)、雙曲正弦函數(shù)的表達(dá)式可判斷A的正確，根據(jù)奇函數(shù)的定義可

判斷B的正誤，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式可判斷C的正誤，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷

數(shù)學(xué)試題詳解第3頁共13頁

D的正誤.

【詳解】

ex+e-x。+。一卜e'-e-x??一歹e"+ef

coshxcoshy-sinhxsinhy==cos(x-y),

22222

A正確；

^2xe-2x2x-2x-2x2x

y=sinhxcoshx=--------，，己g(x)=--------，貝！Jg(-x)=--------=-g(x)，

444

g(x)為奇函數(shù)，即》=sinhxcoshx是奇函數(shù)，B錯(cuò)誤;

ex+e-x

-——--=sinhx,C正確;

22

因?yàn)檩S，設(shè)S(x)=E，，則￡(%)=三寸

所以若是以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形，貝U怎4=0,

加_-m

由kPA=S'(加)=-------=0,解得加=0,D正確.

故選：ACD.

10.【答案】ACD

【分析】根據(jù)題意，｛%｝,也｝都是等比數(shù)列，從而可求也｝,也｝的通項(xiàng)公式，再

對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可得到答案.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由題意知，+(^J="且。“>o.

所以%M=乎又因?yàn)閝=4,

所以數(shù)列｛4｝是以4為首項(xiàng)，巫為公比的等比數(shù)列，故A正確；

4

對(duì)于B選項(xiàng)，由上知，an=4x——，q=4,a2=V10,=-|,

所以a；+q；+q；=42++故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C選項(xiàng)，

易知｛“｝是單調(diào)遞減數(shù)列，且”=3x僅［=二>\,3(5?3751

b.=-x—=----<一

218J128242(8)10242

數(shù)學(xué)試題詳解第4頁共13頁

故使得不等式6“>；成立的的最大值為3,故C正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)楣2[,且“eN*,

1-8

所以0<1-<1,所以工<4,故D正確；

故選：ACD.

11.【答案】BD

【分析】根據(jù)集合的定義和題目要求，分析各選項(xiàng)即可.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)镸={xeQ|x<0},N={xeQ|x>0},MuN={尤e（^尤/0}wQ,

故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B,設(shè)M={xeQ|x<0},N={xeQ|xNO},滿足戴德金分割，則/W中沒有

最大元素，N有一個(gè)最小元素0,故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,若Af有一個(gè)最大元素小，N有一個(gè)最小元素〃，若冽。九，一定存在

左￡（九〃）使MDN=Q不成立；若加二〃，則McN=0不成立，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D,設(shè)M={xe0卜<亞},N={xe0卜2直）,滿足戴德金分割，此時(shí)M沒

有最大元素，N也沒有最小元素，故D正確.

故選:BD.

12.【答案】垂直于同一條直線的兩條直線平行（答案不唯一）；平行于同一條直線

的兩條直線平行.（答案不唯一）

【分析】

根據(jù)平面幾何和立體幾何中線線、線面位置關(guān)系的相關(guān)理論直接得到結(jié)果即可.

【詳解】

在平面幾何中，垂直于同一條直線的兩條直線平行；在立體幾何中，垂直于同一條

直線的兩條直線可能平行、相交或異面；

則在平面幾何中成立而在立體幾何中不成立的命題為：垂直于同一條直線的兩條直

線平行.

在平面幾何中，平行于同一條直線的兩條直線平行；在立體幾何中，平行于同一條

直線的兩條直線平行；

則在平面幾何中成立又在立體幾何中成立的命題為：平行于同一條直線的兩條直線

平行.

數(shù)學(xué)試題詳解第5頁共13頁

故答案為：垂直于同一條直線的兩條直線平行（答案不唯一）；平行于同一條直線的

兩條直線平行.（答案不唯一）.

13.【答案】6

【分析】

由已知，根據(jù)二項(xiàng)式定理可得〃=4,再利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式即可求解

【詳解】

由己知，展開式中恰好第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大可知，〃=4.

根據(jù)二項(xiàng)式定理設(shè)第r+1項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，

則：Tr+i=Cy-'b"=C；=C；(-1J(x廣',

令4-2r=0,解得r=2,所以常數(shù)項(xiàng)是4=盤（-1）2=6

故答案為：6

〃+2

凡【答案】“”瓦T（答案不唯一）

【分析】分析數(shù)列｛%｝前4項(xiàng)的特征，求出前4項(xiàng)都滿足的一個(gè)通項(xiàng)公式作答.

【詳解】依題意，|=|2+25_3+264+2

2+1?4-3+1?54+1

〃+2

所以前4項(xiàng)都滿足的一個(gè)通項(xiàng)公式為“77r

〃+2

故答案為…”一

15.【答案】（1）|4用=86,中點(diǎn)坐標(biāo)為（7,-4）

⑵以為直徑的圓不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)。，理由見解析

【分析】（1）設(shè)出48坐標(biāo)，聯(lián)立直線與拋物線方程得到橫坐標(biāo)的韋達(dá)定理形式，

根據(jù)弦長(zhǎng)公式結(jié)合韋達(dá)定理可求|/同，根據(jù)玉+工2，%+%的值可求線段N8的中點(diǎn)坐

標(biāo)；

（2）根據(jù)韋達(dá)定理計(jì)算出國(guó)迎+X力的值，然后可判斷出結(jié)果.

【詳解】（1）設(shè)/（%,1）,8（孫丹），

x+y—3—0

聯(lián)立/=8x'消去了整理得j4x+9=0,且A=14?-4xlx9=160>0,

數(shù)學(xué)試題詳解第6頁共13頁

xx+x2=14

所以

x^x2=9

所以|48|=Jl+H,J(xj+x2)2—4-乙=41-V196-36=8后,

又因?yàn)樵?尤2=14,必+%=3—再+3—12=一8,

所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為（7,-4）.

（2）以48為直徑的圓不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O.

因?yàn)镺AOB-X[X2+yxy2-xtx2+（3-西）（3-x2）=2XJX2-3（彳+4&9=-15里），

所以04與。不垂直，

故以48為直徑的圓不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)。.

16.【答案】（1）證明見解析

【分析】（1）利用中位線定理證明線線平行，得到平行四邊形，進(jìn)而根據(jù)線面垂直

的判定即可證明；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求出平面CDE與平面N5ED的

法向量，利用向量的夾角公式即可求解.

【詳解】（1）取NC中點(diǎn)連接VAB=BC,：.BM1AC,

又：AD_L平面/3C,平面/3C,Z.ADVBM,

又NCnAD=/,/C,ADu平面ZCD,

/平面ACD,取CD中點(diǎn)乩連接MF,EF,

數(shù)學(xué)試題詳解第7頁共13頁

D

B

：.敏//工/。且，又?:BE//-AD且BE=-AD,

2222

MFUBE且MF=BE,

四邊形BMFE為平行四邊形，；.EF//BM.

E歹1平面/CD,又：即u平面CDE,二平面CDE_L平面/CD.

（2）過點(diǎn)貝l|s“Bc=gx2xV5=：x6xG2nG2=^p.

設(shè)BE=x,AD=2x,0五面體ABCDE=1S梯形/BE。CQ

=、（X+2X）XG義域=收0/1.

323

由（1）可知"3,"RMC兩兩互相垂直，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

如圖，,C(0,1,0),D(0,-1,2),￡(V2,0,1),^(0,-1,0),5(V2,0,0)，

CD=(0,-2,2),DE=(V2,1,-1),25=(0,0,2).

設(shè)平面CDE與平面ABED的一個(gè)法向量分別為）=（占,加21）,元=（%,/，22），

日nx加CD=0寸if屆-2+必乂+2-zx「=0廠"一「（°」』）'

n2DE=0+y-z2=°-_

—?—?n2——<——

n2-AD=02Z2=0

設(shè)平面CDE與平面48ED所成角為仇

數(shù)學(xué)試題詳解第8頁共13頁

J7-x/3c

cosO=2m=音方=一，即平面CDE與平面N瓦汨所成角的余弦值為叱.

同同V2.V333

17.【答案】⑴遞增區(qū)間為(-1,3),遞減區(qū)間為(-8,-1),(3,+8)

⑵-2

⑶(-27,5)

【分析】

(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)條件建立方程組關(guān)系求出。，6的值，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和

導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求〃無)的單調(diào)區(qū)間；

(2)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)〃x)在區(qū)間［-2,2］上的最大值，建立方程關(guān)系即可求c的值.

(3)根據(jù)“X)的單調(diào)性求得極值，令極大值大于0,極小值小于0,解不等式即可

求c的范圍.

(1)

由f(x)=-x3+ax2+bx+c可得/'(x)=-3x2+2ax+b,

因?yàn)?'(—1)=0,<(2)=9,

-3-2。+6=0

所以,解得:a=3,b=9,

-12+4a+b=9

所以/(x)=-x3+3x2+9x+c,/'(x)=-3x2+6x+9=-3(尤2-2x-3),

由/"(x)>0即x2-2x-3<0可得：

由/'(無)<0即/一2X一3>0可得：或x>3,

所以/(無)的單調(diào)遞增區(qū)間為(T,3),單減區(qū)間為(-亂-1)和(3,+8).

(2)

由(1)知，/(x)在(-2,-1)上單調(diào)遞減，在(-1,2)上單調(diào)遞增，

32

所以當(dāng)x=T時(shí)，取得極小值/(-1)=-(-1)+3X(-1)+9X(-1)+C=C-5,

/(-2)=-(-2)3+3X(-2)2+9X(-2)+C=C+2,

/(2)=-23+3X22+9X2+C=C+22,

數(shù)學(xué)試題詳解第9頁共13頁

則/（X）在區(qū)間[-2,2]上的最大值為/⑵=c+22=20,

所以。=一2.

（3）

由（1）知當(dāng)x=-l時(shí)，/（X）取得極小值=一（-iy+3x（-l）2+9x（-l）+c=c-5,

當(dāng)x=3時(shí)，〃尤）取得極大值

/（3）=-33+3X32+9X3+C=C+27,

若函數(shù)“X）的圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，

r/（-l）=c-5<0[c<5

則;\、。得、“解得-27<C<5,

[/（3）=27+c>0[c>-27

即C的范圍是（-27,5）.

21

18.【答案】（1）44,/。（或。4）,的概率分別是J,g（2）i/j=p,v{=2pq,wx=q

（3）答案見解析（4）答案見解析

【詳解】

（1）利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式即可求解.

（2）利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式即可求解.

（3）由（2）知％,+1=。/,匕田=20必,%+|=4『，求出Piq?+1,利用等差數(shù)列的定義

即可證出.

（4）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得一=一+（"T）,從而可得再由

4“彷1+的

（V

叱M=/2=J\,利用式子的特征可得W“越來越小，進(jìn)而得出結(jié)論.

【詳解】

（1）即與癡是父親和母親的性狀，每個(gè)因子被選擇的概率都是

故44出現(xiàn)的概率是4/或。/出現(xiàn)的概率是!x：+1>4=3，

2222224

〃。出現(xiàn)的概率是!

22

所以：AA,/“（或〃。的概率分別是“—

（2）%=-Vi=2pq,w、=q2

數(shù)學(xué)試題詳解第10頁共13頁

(3)由(2)知""+i=P/，v“+i=2p/“，叫M2

以+1+(Pn+2PM

于是p=21

4〃+1

1-嗎+11一。1+%,

V

?+l

2PnQnPMq〃

q“+i=

1一%i-q；i+%)i+%

n-L=J

q〃功

212Pq

其中，q=22_=/_（由（2）的結(jié)論得）

%

]-%]一夕2\+q

11q

所以■—=—+〃=工=

1+nq

qn%

2

2

于是，%+1=%:q

1+%

2

p+nq2_p+nq

p“=i-q”=

\+nq"1+nq

p(p+M

V〃+I=2〃M=2?

(1+nq)2

2

很明顯叫+1q，"越大，叫用越小，所以這種實(shí)驗(yàn)長(zhǎng)期進(jìn)行下去,

\+nq

嗎越來越小，而叱是子代中因所占的比例，也即性狀。。會(huì)漸漸消失.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了相互獨(dú)立事件的概率乘法公式、等差數(shù)列的定義、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了學(xué)生的分

析能力，屬于中檔題,

19?【答案】