預(yù)習(xí)02集合間的基本關(guān)系（五大考點）

預(yù)習(xí)02集合間的基本關(guān)系一、子集的概念定義一般地,對于兩個集合A,B,如果集合中任意一個元素都是集合中的元素,稱集合為集合的子集記法與讀法記作(或),讀作“包含于”(或“B包含”)圖示或結(jié)論（1）任何一個集合是它本身的子集,即;（2）對于集合A,B,C,若,且,則二、集合相等的概念如果集合A的任何一個元素是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么，集合A與集合B相等，記作.也就是說，若且，則.三、真子集的概念定義如果集合,但存在元素,且,我們稱集合是集合的真子集記法記作(或)圖示結(jié)論(1)若且,則;(2)若且,則四、空集的概念定義：我們把不含任何元素的集合,叫做空集，記法：規(guī)定：空集是任何集合的子集,即考點01 空集的概念及應(yīng)用【方法點撥】不含任何元素的集合,叫做空集，且空集是任何集合的子集,即【例1】下列關(guān)于0與說法不正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因為是不含任何元素的集合，故A正確，C不正確；對于選項B：，故B正確；對于選項D：因為是任何集合的子集，所以，故D正確；故選：C.【例2】下列四個集合中是空集的是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】對于A,集合中有一個元素，故不是空集，對于B,方程無實數(shù)解，∴集合為空集，對于C，是無限集，所以不是空集，對于D,，不是空集.故選：B．【變式11】（多選）下列關(guān)系式正確的為（

）A． B． C． D．【答案】BCD【詳解】因為，故A錯誤；是指元素為0的集合，所以，故B正確；是指元素為的集合，所以，故C正確；是任何集合的子集，所以，故D正確．故選：BCD．【變式12】已知集合，下列式子錯誤的是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，，故ABD正確；而與是兩個集合，不能用“”表示它們之間的關(guān)系，故C錯誤.故選：C【變式13】下列四個集合中，(

)是空集A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：選項A：集合中有一個元素0，不為空集；選項B：集合中不存在元素，所以該集合為空集；選項C：集合中有一個元素1，所以不為空集；選項D：集合中存在無數(shù)個元素，所以不為空集.故選：B.考點02 有限集合子集、真子集的確定【方法點撥】求解有限集合子集問題：①確定所求集合，是子集還是真子集；②合理分類，按照子集所含元素的個數(shù)依次寫出；③注意兩個特殊的集合，即空集和集合本身．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．【例3】集合的一個真子集可以為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，故A錯誤；，故B錯誤；因為是集合的子集，但不是真子集，故D錯誤；是集合的真子集，故C正確.故選：C.【例4】設(shè)，寫出集合的子集，并指出其中哪些是它的真子集．【答案】答案見解析【詳解】由，得，解方程得或或，故集合.由0個元素構(gòu)成的子集為；由1個元素構(gòu)成的子集為；由2個元素構(gòu)成的子集為；由3個元素構(gòu)成的子集為,因此集合A的子集為:，，，．真子集為:，，.【變式21】設(shè)集合，則集合A的真子集個數(shù)為（

）A．7個 B．8個 C．16個 D．15個【答案】D【詳解】由和可得，所以集合A的真子集個數(shù)為個.故選：D【變式22】若某集合有32個子集，則該集合有個元素．【答案】5【詳解】一個集合有n個元素，則子集個數(shù)為，某集合有32個子集，由，則該集合有5個元素.故答案為：5【變式23】已知集合{為10以內(nèi)的素（質(zhì)）數(shù)}，則集合A的所有非空子集中所有元素的和為【答案】136【詳解】依題意有，，集合A的所有非空子集有，可知集合A中的元素在各非空子集中各出現(xiàn)了8次，所以集合A的所有非空子集中所有元素的和為.故答案為：136考點03 集合間關(guān)系的判斷【方法點撥】判斷集合間關(guān)系的方法：（1）列舉法：用列舉法將兩個集合表示出來，再通過比較兩集合中的元素來判斷兩集合之間的關(guān)系；（2）元素特征法：根據(jù)集合中元素滿足的性質(zhì)特征之間的關(guān)系判斷；（3）圖示法：利用數(shù)軸或Venn圖判斷兩集合間的關(guān)系．【例5】設(shè)集合是4與6的公倍數(shù)，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意可知：，顯然24的倍數(shù)均為12的倍數(shù)，但12的倍數(shù)不一定是24的倍數(shù)，例如12，所以是的真子集，對比選項可知B正確，ACD錯誤.故選：B.【例6】下面關(guān)于集合的表示正確的序號是.①；②；③；④.【答案】③④【詳解】∵集合中的元素具有無序性，∴，∴①不成立；∵是點集，而不是點集，∴②不成立；∵與都表示大于1的實數(shù)組成的集合，∴③成立；∵與都表示奇數(shù)組成的集合，∴④成立.故答案為：③④.【變式31】若，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】，是以空集為元素的集合，不是集合A的子集，故A錯誤；，故B錯誤；，故C錯誤；，故D正確.故選：D.【變式32】下列集合中表示同一集合的是（

）A．整數(shù)，整數(shù)集B．，C．，D．，【答案】C【詳解】A選項，整數(shù)中的元素是整數(shù)，整數(shù)集中的元素是整數(shù)集，故不是同一集合；B選項，中的元素是，中的元素是，故不是同一集合；C選項，與都表示直線上的所有點，故是同一集合；D選項，中的元素是數(shù)1，2，中的元素是有序數(shù)對，故不是同一集合；故選：C.【變式33】若集合，，，則的關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】已知，，，顯然可表示整數(shù)，而只能表示偶數(shù)；所以．故選：A．考點04 利用集合的相等求參數(shù)【方法點撥】（1）當(dāng)集合為連續(xù)數(shù)集時，常借助數(shù)軸來建立不等關(guān)系求解，此時應(yīng)注意端點處是實點還是虛點；（2）當(dāng)集合為不連續(xù)數(shù)集時，常根據(jù)集合包含關(guān)系的意義，建立方程求解，此時應(yīng)注意分類討論思想的運用．【例7】已知，其中，則（

）A．0 B．或 C． D．【答案】B【詳解】由題意知：為方程的根，當(dāng)時，；當(dāng)時，二次方程有兩個相同的根，則有，此時.故選:B.【例8】已知集合，，若，則.【答案】【詳解】依題意可知，由于，所以，此時，所以，解得或（舍去），所以.故答案為：.【變式41】設(shè)，集合中含有三個元素，集合中含有三個元素，且集合與集合相等，則.【答案】1【詳解】由題意可知，即，得，，此時，那么，，所以.故答案為：1【變式42】已知，，若集合，，且，則的值為．【答案】【詳解】因為且，故，而集合，，則，，則，則，故，故答案為：【變式43】設(shè)集合，是否存在實數(shù)，使？【答案】存在【詳解】方法一（直接法）由集合元素的互異性知，且，從而或．當(dāng)時，．由知．此時，符合．當(dāng)時，，于是，即與矛盾．綜上，存在，使得．方法二（間接法）由，得，即因為中或都與元素的互異性矛盾，故（Ⅰ）中只有，代入，只有．此時，，符合．因此存在，考點05 利用集合的包含關(guān)系求參數(shù)【例9】已知集合，集合，若，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【詳解】集合，集合，若，又，所以，解得故選：B【例10】設(shè)集合(1)若，試判斷集合與的關(guān)系；(2)若，求的值組成的集合．【答案】(1)，是的真子集；(2)．【詳解】（1）當(dāng)時，，所以B是A的真子集．（2）．若，則，是真子集成立；若，則，因為是A真子集，或，所以或．所以的值組成的集合．【變式51】（多選）若集合，且，則實數(shù)的取值為（

）A． B． C．0 D．2【答案】ABC【詳解】因為，解得，則．當(dāng)時，方程無解，則；當(dāng)時，方程有解，則且，因為，所以，若，即若，即．綜上所述，時，的值為．故選：ABC．【變式52】（多選）已知，則的值可以為（

）A．2 B．64 C．256 D．1024【答案】AC【詳解】當(dāng)時，由得，滿足，所以；當(dāng)時，由得，滿足，所以；當(dāng)時，由得，不滿足；綜上，則或256.故選：AC.【變式53】設(shè)集合，集合，若且，則實數(shù).【答案】0或或1【詳解】，且，或或．當(dāng)時，且，解得.則；當(dāng)時，且，解得.則當(dāng)時，有，解得.則；所以或或1.故答案為：0或或1【變式54】已知集合，其中是關(guān)于的方程的兩個不同的實數(shù)根.(1)若，求出實數(shù)的值；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，故，又的兩根分別為，故，故；（2）因為，故，又的兩根分別為，故，解得，故實數(shù)的取值范圍是.【變式55】已知集合，，若BA，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】【詳解】當(dāng)時，由，得.當(dāng)時，如圖所示.

則，得，即，綜上可得，實數(shù)m的取值范圍是.一、單選題1．下列命題中，正確的個數(shù)有（

）①；②；③著名的運動健兒能構(gòu)成集合；④；⑤；⑥.A．1 B．2 C．3 D．5【答案】B【詳解】易知，故①正確；，故②錯誤；著名的運動健兒，元素不確定，不能構(gòu)成集合，故③錯誤；表示有一個元素的集合，不是空集，④錯誤；空集是任意非空集合的真子集，若為空集，⑤錯誤；，故，故⑥正確.故選：B2．已知集合，，集合滿足，則所有滿足條件的集合的個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【詳解】，又，，故集合為包含元素和，且為的子集，故集合可以為：，則集合的個數(shù)是個.故選：B.3．設(shè)集合，則下列表述正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】,所以，，，故ABD錯誤,C正確,故選：C4．已知集合，，若，則實數(shù)的值為（

）A． B．0 C． D．2【答案】D【詳解】由題意，，，故選：D.5．若集合有且僅有2個子集，則滿足條件的實數(shù)m組成的集合是（

）A． B． C．或 D．【答案】B【詳解】由題設(shè)集合有2個子集，則集合中僅含一個元素，所以有且僅有一個解，當(dāng)，則，滿足要求；當(dāng)，則，滿足要求；綜上，滿足條件的實數(shù)m組成的集合是.故選：B二、多選題6．下列集合中，與集合相等的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【詳解】A選項，，A錯誤；B選項，，B正確；C選項，，C錯誤；D選項，只有當(dāng)和時，，故，D正確.故選：BD7．若，則稱集合為幸福集合.對集合的所有非空子集，下列敘述正確的是（

）A．幸福集合個數(shù)為8B．幸福集合個數(shù)為7C．不含1的幸福集合個數(shù)為4D．元素個數(shù)為3的幸福集合有2個【答案】BD【詳解】具有“幸福關(guān)系”的元素組有：三組，含一組的有，，共3個，含二組的有，，共3個，含三組的有共1個.所以M的非空子集中幸福集合的個數(shù)為7個，故A錯B對；其中不含1的幸福集合個數(shù)為3個，故C錯誤；其中元素個數(shù)為3的幸福集合有2個，故D正確.故選：BD三、填空題8．已知a是實數(shù)，若集合是任何集合的子集，則a的取值范圍值是.【答案】【詳解】由題意可知：集合是空集，即方程無解，則，解得，所以a的取值范圍值是.故答案為：.9．已知集合A包含3和兩個元素，集合B包含和兩個元素，且，則實數(shù)．【答案】3或【詳解】由題意，或.故答案為：3或.四、解答題10．設(shè)集合，求集合A的所有子集以及子集的的個數(shù).【答案】集合A的所有子集見解析，集合A的所有子集共有16個【詳解】我們根據(jù)集合的子集中含有的元素的個數(shù)分為以下五種情形：情形一：不含任何元素的子集有；情形二：含有一個元素的子集有；情形三：含有兩個元素的子集有；情形四：含有三個元素的子集有；情形五：含有四個元素的子集有；因此集合A的所有子集共有個.11．已知集合.(1)若只有一個元素，試求實數(shù)的值，并用列舉法表示集合；(2)若至少有兩個子集，試求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)或，或(2)【詳解】（1）時，解得符合題意；時令解得，此時，解得符合題意，故或，或（2）若至少有兩個子集，則至少有一個元素.由（1）知或時符合題意.由題意可知時若也符合題意.即解得且.綜上.12．已知集