4.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式教學(xué)設(shè)計(jì)高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

§等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式(一)復(fù)習(xí)回顧師：等差數(shù)列是一種重要的數(shù)學(xué)工具，之前我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式和性質(zhì)。我們一起來(lái)填空回顧一下：(1)等差數(shù)列的概念(遞推公式)：_______=常數(shù)，常數(shù)叫做等差數(shù)列的________；(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：;(3)等差中項(xiàng)：如果兩個(gè)數(shù)、的等差中項(xiàng)為,那么=________;(4)等差數(shù)列的性質(zhì)：若(其中),則;等差數(shù)列中，；(5)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,則?！驹O(shè)計(jì)意圖】：復(fù)習(xí)相關(guān)知識(shí)，為后面等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)打下基礎(chǔ)。(二)創(chuàng)設(shè)情境，引入新知師：高斯，在數(shù)學(xué)學(xué)科中經(jīng)常能聽到他的名字，數(shù)學(xué)王子高斯與數(shù)學(xué)泰斗阿基米德、百科書式的“全才”牛頓齊名，被稱為有史以來(lái)最偉大的三大數(shù)學(xué)家。近代數(shù)學(xué)史家貝爾對(duì)高斯的成就評(píng)價(jià)是：“在數(shù)學(xué)的世界里，高斯處處流芳。”而他最出名的故事就是他在十歲時(shí)，他的數(shù)學(xué)老師出了一道難題“計(jì)算的和”，大家知道高斯是如何快速計(jì)算出來(lái)的嗎？【設(shè)計(jì)意圖】：結(jié)合多媒體課件向?qū)W生們展示高斯算法，明確本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生對(duì)新授課的興趣，向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)文化，更重要的是，讓學(xué)生對(duì)于倒序相加法有一個(gè)初步的感知。探究1在公元前5世紀(jì)的《張丘建算經(jīng)》中記載著這樣一個(gè)故事：今有女不善織，日減功遲，初日織五尺，末日織一尺，今三十日織訖。問織幾何？師：我們請(qǐng)同學(xué)來(lái)翻譯一下這個(gè)問題。生：有一個(gè)女子，不擅長(zhǎng)織布，每天織得越來(lái)越來(lái)少，第一天織了五尺布，最后一天織了一尺布，這樣織了30天，問一共織了多少布？師：很好！但日減功遲，每天織的布都在減少，還不準(zhǔn)確，它的意思是她每天織的布都比上一天減少一些，而且減少的數(shù)量都相等，那我們?cè)撊绾蝸?lái)思考這個(gè)問題呢？生：那她每天織布的數(shù)量會(huì)是一個(gè)等差數(shù)列。生：這個(gè)等差數(shù)列有三十項(xiàng)，并且我們知道第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)。生：那我們就可以利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式把這個(gè)等差數(shù)列的公差求出來(lái)，知道公差和首項(xiàng)，我們可以把每一項(xiàng)都算出來(lái)，最后把中三十項(xiàng)相加，就可以知道她到底織了多少布。師：同學(xué)們說(shuō)的這個(gè)方法可行！但是計(jì)算量比較大，比較耗費(fèi)時(shí)間，我們來(lái)看一看在《張丘建算經(jīng)》中是如何解決這個(gè)問題的呢？探究2原書的解法是“并初、末日織布數(shù)，半之，余以乘織訖日數(shù)，即得”。生：這個(gè)做法根剛剛的高斯算法很像欸！師：沒錯(cuò)，那大家理解為什么這么做嗎？假設(shè)另有一女善織，日益功疾，初日織一尺，末日織五尺，三十日織訖，則兩女織布數(shù)無(wú)異。假設(shè)有另外一個(gè)擅長(zhǎng)織布的女子，她每天織布織得越來(lái)越多，每天增加的數(shù)量剛好同不善織布女每天減少的數(shù)量一樣，她第一天織了一尺，最后一天織了五尺，這樣織了三十天，那這兩個(gè)女子這三十天織布的總量是一樣的。對(duì)于不善織布女，我們有：；(1)對(duì)于善織布女，我們有：；(2)由等差數(shù)列的性質(zhì)有：；把(1)和(2)相加得：所以；師：并初、末日織布數(shù)，半之，余以乘織訖日數(shù)，即得。師：像這樣把數(shù)列倒著寫一遍再把兩式相加的方法叫做倒序相加法，我們可以利用這個(gè)方法來(lái)求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和?！驹O(shè)計(jì)意圖】：高斯算法和女不善織問題，能讓學(xué)生真實(shí)地體會(huì)到倒序相加法求和的思想，為等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)打下方法基礎(chǔ)。同時(shí)也能讓學(xué)生體會(huì)到我國(guó)古代數(shù)學(xué)家的智慧。(三)新知探究問題設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,則,如何求？師：仿照在女不善織問題中我們用到的倒序相加法，大家嘗試的解決這個(gè)問題。利用倒序相加法我們有：；；兩式相加有：所以.由此我們得到了等差數(shù)列的求和公式。另外，如果知道數(shù)列的首項(xiàng)和公差，這個(gè)數(shù)列也就完全確定了，我們還可以利用通項(xiàng)公式整體代入將前n項(xiàng)和公式改寫成.問題：《九章算術(shù)》“盈不足”章的第19問記述了下面的問題：今有良馬與駑馬發(fā)長(zhǎng)安至齊，齊去長(zhǎng)安三千里，良馬初日行一百九十三里，日曾十三里。駑馬初日行九十七里，日減半里。良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬。問：幾何日相逢及各行幾何？劉徽在做注文中用“平行數(shù)±中平里”來(lái)計(jì)，算良馬15日所行里數(shù),其中“平行數(shù)”“以二馬初日所行里乘十五日”得到。良馬的“中平里”的計(jì)算公式是,這樣良馬15日所行里數(shù)的和為同學(xué)們猜一猜他是怎么發(fā)現(xiàn)這個(gè)公式的呢？【師生活動(dòng)】：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察良馬每天所行里數(shù)可看成193與相對(duì)于第一天所增加里數(shù)的和，可以得到下面的式子：.學(xué)生仿照上面的方法，從另一個(gè)角度得到等差數(shù)列的前n項(xiàng)和。.【設(shè)計(jì)意圖】：從良馬與駑馬問題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，既讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察—?dú)w納—猜想”的過程，獲得發(fā)現(xiàn)公式的體驗(yàn)，又讓學(xué)生用倒序相加法推導(dǎo)公式，體會(huì)數(shù)學(xué)方法的美妙。（四）鞏固練習(xí)練習(xí)1：已近數(shù)列是等差數(shù)列.（1）若，，求;（2）若，，，求.解：（1）因?yàn)椋?，根?jù)公式，可得.（2）把，，代入，得.整理，得.解得，或（舍去）.所以.【設(shè)計(jì)意圖】：根據(jù)已知條件會(huì)選擇合適的公式求等差數(shù)列的前項(xiàng)和。練習(xí)2：已知一個(gè)等差數(shù)列前10項(xiàng)的和為310，前20項(xiàng)的和為1220，由這些條件能夠確定這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差嗎？解：由題意得，知，.把他們代入公式,得解方程組，得所以，由所給的條件可以確定等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差.【設(shè)計(jì)意圖】：掌握并能靈活應(yīng)用公式并體會(huì)方程的思想方法。（五）課堂小結(jié)1、倒序相加法求和的思想及應(yīng)用；2、等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程；3、掌握等差數(shù)列的兩個(gè)求和公式；4、感受數(shù)學(xué)文化的魅力。（六）課后作業(yè)1、基礎(chǔ)鞏固：習(xí)題1.2第1題，第7題和第9題。2、思維拓展：在程大位《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題——竹筒容米；家有九節(jié)竹一莖，為因盛米不均勻。