上海市曹楊第二中學(xué)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

曹楊二中2023學(xué)年第二學(xué)期高二年級數(shù)學(xué)期中一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，前6題每個空格填對得4分，后6題每個空格填對得5分，否則一律得零分.1.與的等差中項是________.【答案】5【解析】【分析】根據(jù)等差中項的定義計算即可.【詳解】設(shè)等差中項為，則，故答案為：52.某學(xué)校開設(shè)4門球類運動課程、5門田徑類運動課程和2門水上運動課程供學(xué)生學(xué)習(xí)，某位學(xué)生任選1門課程學(xué)習(xí)，則不同的選法共有_____________種.【答案】11【解析】【分析】直接根據(jù)分類加法計數(shù)原理得答案.【詳解】根據(jù)分類加法計數(shù)原理得不同的選法共有種.故答案為：11.3.已知數(shù)列（，）的通項公式是，則是該數(shù)列中的第________項.【答案】9【解析】【分析】利用通項公式的概念求解的值.【詳解】根據(jù)題意，得，解得，所以是該數(shù)列中的第9項.故答案為：94.已知數(shù)列（，）為等比數(shù)列，且，則的公比為________.【答案】2【解析】【分析】由等比數(shù)列的定義及性質(zhì)計算即可.【詳解】設(shè)的公比為，由題意可知，則由得.故答案為：25.設(shè)函數(shù)，則________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)常用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)計算即可.【詳解】由，故答案為：6.等比數(shù)列{an}的前3項的和等于首項的3倍，則該等比數(shù)列的公比為____．【答案】﹣2或1【解析】【詳解】試題分析：當(dāng)公比q=1時，等比數(shù)列{an}的前3項的和等于首項的3倍；當(dāng)公比q≠1時，．由此能求出該等比數(shù)列的公比．解：∵等比數(shù)列{an}的前3項的和等于首項的3倍，∴當(dāng)公比q=1時，等比數(shù)列{an}的前3項的和等于首項的3倍，成立；當(dāng)公比q≠1時，，解得q=﹣2．∴該等比數(shù)列的公比為﹣2或1．故答案為﹣2或1．考點：等比數(shù)列的通項公式．7.若，則符合條件的二次函數(shù)的解析式有______個．【答案】294【解析】【分析】由分步乘法原理求解【詳解】是二次函數(shù)，故．由集合元素的互異性知互不相同，故符合條件的函數(shù)解析式有個．故答案為：2948.設(shè)曲線在點處的切線與直線垂直，則_______．【答案】2【解析】【詳解】【分析】y′＝aeax，y′|x＝0＝a.由題意知，a×＝－1，∴a＝29.已知雙曲線，其右焦點與拋物線的焦點重合，則該雙曲線方程為________.【答案】【解析】【分析】求出拋物線的焦點坐標(biāo)，可得出雙曲線的右焦點坐標(biāo)，進而可求出的值，由此可得出該雙曲線的方程.【詳解】拋物線的焦點坐標(biāo)為，所以，雙曲線的右焦點坐標(biāo)為，則，得.因此，該雙曲線的方程為.故答案為.【點睛】本題考查雙曲線方程的求解，同時也考查了拋物線焦點坐標(biāo)的求解，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.10.記數(shù)列的前項和為，若，（為正整數(shù)），則數(shù)列的通項公式為________．【答案】【解析】【分析】當(dāng)時，，所以兩式相減得，所以化簡有，又因為，可得數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列，即可求出數(shù)列的通項公式.【詳解】因為，，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以兩式相減得：，則，所以，又因為，所以數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列.所以當(dāng)時，.所以數(shù)列的通項公式為：故答案為：.11.將數(shù)列（，）分組為：（1），，，，……，則第（，）組中的第一個數(shù)是________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式計算第組中的第一個數(shù)位于數(shù)列的第幾項即可.【詳解】由條件可知第組即有項，則第組的第一個數(shù)是數(shù)列的第項，計算，即為第組中的第一個數(shù).故答案為：12.已知函數(shù)，點是函數(shù)圖象上不同的兩個點，設(shè)為坐標(biāo)原點，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】作出函數(shù)的圖形，求出過原點且與函數(shù)的圖象相切的直線的方程，以及函數(shù)的漸近線方程，結(jié)合兩角差的正切公式，數(shù)形結(jié)合可得出的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)；當(dāng)時，由可得，即，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：設(shè)過原點且與函數(shù)的圖象相切的直線的方程為，設(shè)切點為，所以，切線方程為，將原點坐標(biāo)代入切線方程可得，即，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，由，解得，所以，，而函數(shù)的漸近線方程為，設(shè)直線與的夾角為，設(shè)直線的傾斜角為，則，結(jié)合圖形可知，.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解本題的關(guān)鍵在于求出設(shè)過原點且與函數(shù)的圖象相切的直線的方程以及函數(shù)的漸近線方程，再利用兩角差的正切公式以及數(shù)形結(jié)合思想求解.二、選擇題（本大題滿分18分）本大題共有4小題，13，14每題4分，15，16每題5分，填錯或不填在正確的位置一律得零分.13.已知，，，四個實數(shù)成等差數(shù)列，4，，1三個正實數(shù)成等比數(shù)列，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由等差數(shù)列及等比數(shù)列的定義與性質(zhì)計算即可.【詳解】設(shè)，，，四個實數(shù)所成等差數(shù)列的公差為，則由題意可得，又為正實數(shù)，故.故選：A14.“”是“G是a、b的等比中項”的（）條件A.既不充分也不必要 B.充分不必要C.必要不充分 D.充要【答案】A【解析】【分析】分別舉反例判斷充分與必要條件是否滿足即可【詳解】當(dāng)時，滿足，不滿足G是a、b的等比中項；當(dāng)G是a、b的等比中項，如，但不滿足，故“”是“G是a、b的等比中項”的既不充分也不必要條件故選：A15.函數(shù)，則（）A.B.C.D.關(guān)系不確定【答案】C【解析】【分析】求得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)符號，即可求得的單調(diào)區(qū)間,進而可判斷結(jié)果.【詳解】解：由已知可得，令，解得．當(dāng)時，；當(dāng)時，；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．因為，所以.故選：C16.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為的圖象如圖所示，關(guān)于函數(shù)，下列說法不正確的是（）A.函數(shù)在和上單調(diào)遞增 B.函數(shù)在和上單調(diào)遞減C.函數(shù)僅有兩個極值點 D.函數(shù)有最小值，但是無最大值【答案】C【解析】【分析】根據(jù)的圖象判斷出的單調(diào)性、極值點、最值對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】根據(jù)的圖象可知，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，A選項正確.函數(shù)在和上單調(diào)遞減，B選項正確.所以的極小值點為，極大值點為，C選項錯誤.由上述分析可知，函數(shù)的最小值是和兩者中較小的一個，沒有最大值，D選項正確.故選：C【點睛】利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、極值點或最值，關(guān)鍵點在于根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象判斷出函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)單調(diào)性判斷出極值點，而最值在區(qū)間的端點或極值點處取得.三、解答題（本大題共5題，滿分76分）17.已知等差數(shù)列的前三項依次為前n項和為，且.（1）求a及k的值；（2）設(shè)數(shù)列{bn}的通項公式bn＝，證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求其前n項和Tn.【答案】（1）a＝2，k＝10；（2）證明見解析，Tn＝.【解析】【分析】（1）設(shè)該等差數(shù)列為{an}，根據(jù)等差數(shù)列的前三項依次為由a＋3a＝8，求得a，再利用等差數(shù)列前n項和的公式，由Sk＝110求解；（2）由（1）得到Sn＝＝n(n＋1)，進而得到bn＝，再利用等差數(shù)列的定義證明.【詳解】（1）設(shè)該等差數(shù)列為{an}，則a1＝a，a2＝4，a3＝3a，由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k，由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.（2）證明：由（1）得Sn＝＝n(n＋1)，則bn＝＝n＋1，故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，又b1＝1＋1＝2，所以數(shù)列{bn}是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，所以Tn＝＝.18.已知雙曲線：.（1）求與雙曲線有相同的焦點，且過點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）直線：分別交雙曲線的兩條漸近線于，兩點.當(dāng)時，求實數(shù)的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)先求雙曲線的焦點坐標(biāo)，然后結(jié)合條件計算出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)設(shè)，構(gòu)造新曲線方程，聯(lián)立直線方程與曲線方程，求出兩根之積，代入向量的表達(dá)式求出結(jié)果【詳解】（1）雙曲線的焦點坐標(biāo)為，，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則解得∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）雙曲線的漸近線方程為，.設(shè)，.由，消去化簡得，由，得.∵，，∴，即【點睛】本題考查了求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程以及結(jié)合向量求參數(shù)的值，題目較為基礎(chǔ)，需要掌握解題方法19.統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量（升）關(guān)于行駛速度（千米/小時）的函數(shù)解析式可以表示為：已知甲、乙兩地相距100千米．（1）當(dāng)汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？（2）當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？【答案】(1)17.5L.(2)當(dāng)汽車以80km/h的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25L.【解析】【詳解】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在物理中的運用．解:(1)當(dāng)x=40時，汽車從甲地到乙地行駛了小時,要耗油(答：當(dāng)汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油17.5升.(2)當(dāng)速度為x千米/小時，汽車從甲地到乙地行駛了設(shè)耗油量為h(x)升，依題意得h(x)=()·,(x)=其中0＜x≤120令(x)=0，得x=80.當(dāng)x∈(0,80)時，(x)＜0,h(x)是減函數(shù);當(dāng)x∈(80,120)時，(x)＞0,h(x)是增函數(shù).∴當(dāng)x=80時，h(x)取到極小值h(80)=11.25.因為h(x)在(0,120)上只有一個極值，所以它是最小值.答：當(dāng)汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升.20.函數(shù)（），其中．（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的極大值和極小值；（3）當(dāng)時，證明存在，使得不等式對任意的恒成立．【答案】（1）；（2）見解析（3）證明見解析．【解析】【詳解】試題分析：該題屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的綜合問題，第一問考查的是導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用點斜式求得對應(yīng)的切線方程，第二問對函數(shù)求導(dǎo)，解得導(dǎo)數(shù)等于零的點，對兩個值的大小進行分類討論，從而確定出函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性，從而確定出函數(shù)的極值點，代入解析式，求得函數(shù)的極值，第三問利用函數(shù)的單調(diào)性將函數(shù)值的大小轉(zhuǎn)化為自變量的大小，最后轉(zhuǎn)化為最值來處理，從而證得結(jié)果．試題解析：（1）當(dāng)時，，得，且，．所以，曲線在點處的切線方程是，整理得．解：，，令，解得或，由于，以下分兩種情況討論，（1O）若，當(dāng)變化時，的正負(fù)如下表：xa0+0f(x)單調(diào)減極小值單增極大值單減因此，函數(shù)在處取得極小值，且；函數(shù)在處取得極大值，且．（2O）若，當(dāng)變化時，的正負(fù)如下表：xa0+0f(x)單調(diào)減極小值單增極大值單減因此，函數(shù)在處取得極小值，且；函數(shù)在處取得極大值，且．（3）證明：由，得，當(dāng)時，，．由（2）知，在上是減函數(shù)，要使，只要，即①……．10分設(shè)，則函數(shù)在上的最大值為．要使①式恒成立，必須，即或．所以，在區(qū)間上存在，使得對任意的恒成立．考點：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．【方法點睛】該題考查的是有關(guān)導(dǎo)數(shù)的綜合問題，第一問將參數(shù)的值代入解析式，將自變量的值代入解析式，從而確定出切點的坐標(biāo)，對函數(shù)求導(dǎo)，將自變量代入，求得對應(yīng)的切線的斜率，利用點斜式，求得切線方程，第二問對函數(shù)求導(dǎo)，求得導(dǎo)數(shù)的零點，對零點的大小進行討論，從而確定出函數(shù)的單調(diào)性，進一步確定出函數(shù)的極值點，求得極值，第三問利用函數(shù)的單調(diào)性將函數(shù)值的大小轉(zhuǎn)化為自變量的大小，進一步向最值靠攏，從而得證．21.設(shè)數(shù)列的首項為常數(shù)，且.（1）證明：是等比數(shù)列；（2）若，求數(shù)列的通項及前項的和；（3）若是嚴(yán)格增數(shù)列，求的取值范圍.【答案】（1）證明見