27對數(shù)與對數(shù)函數(shù)講義學(xué)生版

27對數(shù)與對數(shù)函數(shù)講義高考要求1.理解對數(shù)的概念及運(yùn)算性質(zhì)，能用換底公式將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù).2.理解對數(shù)函數(shù)的概念，掌握對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).3.了解指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的關(guān)系．[知識總結(jié)]1．對數(shù)的概念：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，記作lgN；以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，記作lnN.2．對數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算性質(zhì)(1)對數(shù)的性質(zhì)：loga1＝0，logaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)．(2)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)．(3)對數(shù)換底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．3．對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象定義域(0，＋∞)值域R性質(zhì)過定點(diǎn)(1,0)，即x＝1時(shí)，y＝0當(dāng)x>1時(shí)，y>0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0當(dāng)x>1時(shí)，y<0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0增函數(shù)減函數(shù)4.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對稱．常用結(jié)論1．logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)，＝eq\f(n,m)logab(a>0，且a≠1，b>0)．2.如圖，給出4個(gè)對數(shù)函數(shù)的圖象．則b>a>1>d>c>0，即在第一象限內(nèi)，不同的對數(shù)函數(shù)圖象從左到右底數(shù)逐漸增大．課前自測1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)若M＝N，則logaM＝logaN.()(2)函數(shù)y＝loga2x(a>0，且a≠1)是對數(shù)函數(shù)．()(3)對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)是增函數(shù)．()(4)函數(shù)y＝log2x與y＝log12x2．(2023·雅安模擬)已知xlog32A．9B．3C.eq\r(3)D.eq\f(1,3)3．函數(shù)f(x)＝loga|x|＋1(a>1)的圖象大致為()4．已知函數(shù)y＝loga(x－1)＋4的圖象恒過定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________．[考點(diǎn)題型]考點(diǎn)一對數(shù)式的運(yùn)算[例1](1)(2024全國甲卷理真題T15)已知，1log8a?1(2)(2024北京卷卷真題T7)生物豐富度指數(shù)是河流水質(zhì)的一個(gè)評價(jià)指標(biāo)，其中分別表示河流中的生物種類數(shù)與生物個(gè)體總數(shù).生物豐富度指數(shù)d越大，水質(zhì)越好．如果某河流治理前后的生物種類數(shù)沒有變化，生物個(gè)體總數(shù)由變?yōu)?，生物豐富度指數(shù)由提高到，則（）A.B.C.D.(3)(2024·洛陽模擬)已知3a＝5b＝m，且eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝1，則實(shí)數(shù)m的值為________．(4)計(jì)算：log535＋－log5eq\f(1,50)－log514＝________.思維升華解決對數(shù)運(yùn)算問題的常用方法(1)將真數(shù)化為底數(shù)的指數(shù)冪的形式進(jìn)行化簡．(2)將同底對數(shù)的和、差、倍合并．(3)利用換底公式將不同底的對數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底的對數(shù)式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應(yīng)用．[對點(diǎn)訓(xùn)練1](1)若a>0，a23=A．2B．3C．4D．5(2)計(jì)算：lg25＋lg2×lg50＋(lg2)2＝_____________.考點(diǎn)二對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用[例2](1)(多選)y＝loga(x＋c)(a，c為常數(shù)，其中a＞0，且a≠1)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論成立的是()A.a＞1B.0＜c＜1C.0＜a＜1D.c＞1(2)已知函數(shù)f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0且a≠1)的圖象如圖所示，則a，b滿足的關(guān)系是()A．0<a－1<b<1B．0<b<a－1<1C．0<b－1<a<1D．0<a－1<b－1<1(3)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lgx|，0<x≤10，,－\f(1,2)x＋6，x>10，))若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，則abc的取值范圍是()A．[10,12]B．(10,12]C．(10,12)D．[10,12)思維升華對數(shù)函數(shù)圖象的識別及應(yīng)用方法(1)在識別函數(shù)圖象時(shí)，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)排除不符合要求的選項(xiàng)．(2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解．[對點(diǎn)訓(xùn)練2](1)(2024·烏魯木齊檢測)我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休．”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)性質(zhì)，也常用函數(shù)解析式來琢磨函數(shù)的圖象特征，函數(shù)f(x)＝ax與g(x)＝(a>0且a≠1)在同一坐標(biāo)系中的大致圖象是()(2)(2023·濮陽模擬)已知a>0且a≠1，函數(shù)y＝ax的圖象如圖，則f(x)＝loga(－x＋1)的部分圖象大致為()考點(diǎn)三對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用命題點(diǎn)1比較對數(shù)式的大小[例31]1.(2024天津卷T5)若，則的大小關(guān)系為（）A B. C. D.2.已知a＝log20.3，b＝ln3，c＝log32，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)>b>cB．b>c>aC．b>a>cD．c>a>b命題點(diǎn)2解對數(shù)方程、不等式[例32](2023·衡陽模擬)若loga12A.(22,1)∪(1，＋∞)B.(0,22)C.(2命題點(diǎn)3對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用[例33](2023·鄭州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，則f(x)()A．是偶函數(shù)，且在(12,+∞)C．是偶函數(shù)，且在(?∞,?12)思維升華求與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，必須弄清三個(gè)問題：一是定義域；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成．[對點(diǎn)訓(xùn)練3](1)(2023·宜賓模擬)已知函數(shù)f(x)＝log2(x2－2x)在(a，＋∞)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是()A．[2，＋∞)B．[1，＋∞)C．(－∞，1]D