江蘇省棠張高級中學(xué)20232024第二學(xué)期高一期末考試模擬試卷（二）

江蘇省棠張高級中學(xué)20232024學(xué)年度第二學(xué)期高一數(shù)學(xué)期末考試模擬卷(二)注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在簡單隨機(jī)抽樣中，下列關(guān)于其中一個個體被抽中的可能性說法正確的是（）A．與第幾次抽樣有關(guān)，第一次抽到的可能性更大一些B．與第幾次抽樣有關(guān)，最后一次抽到的可能性更大一些C．與第幾次抽樣無關(guān)，每次抽到的可能性都相等D．與第幾次抽樣有關(guān)，第一次抽到的可能性更小一些【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用簡單隨機(jī)抽樣的意義逐項判斷即得.【詳解】在簡單隨機(jī)抽樣中，每個個體每次被抽中的可能性都相等，與第幾次抽樣無關(guān)，A，B，D錯誤，C正確．故選：C2.設(shè)，其中為虛數(shù)單位，則（

）A． B． C．1 D．5【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合復(fù)數(shù)乘法運算及復(fù)數(shù)相等求解即得.【解析】由，得，而，因此，所以.故選：A3.向量與向量夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．且C． D．且【答案】B【分析】根據(jù)向量數(shù)量積小于0，以及不共線可解.【解析】由題可知，即，又向量不共線，所以，，所以實數(shù)k的取值范圍為且.故選：B4.（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·4）已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【分析】根據(jù)兩角和的余弦可求的關(guān)系，結(jié)合的值可求前者，故可求的值.【解析】因為，所以，而，所以，故即，從而，故，故選：A.5.（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·5）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，根據(jù)圓錐和圓柱的側(cè)面積相等可得半徑的方程，求出解后可求圓錐的體積.【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為，則圓錐的母線長為，而它們的側(cè)面積相等，所以即，故，故圓錐的體積為.故選：B.6.已知棱長為1的正方體分別是AB和BC的中點，則MN到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【分析】延長交延長線于點，連接，由幾何關(guān)系證明MN到平面的距離即點到平面的距離，再由等體積法求出結(jié)果即可；【詳解】延長交延長線于點，連接，，因為分別是AB和BC的中點，則，由正方體的性質(zhì)可得，所以，又平面，平面，所以平面，所以MN到平面的距離即點到平面的距離，設(shè)為，則，因為正方體的棱長為1，所以，，，所以，即，故選：C.7.已知函數(shù)的最小值為，則（）A. B.1 C.2 D.3【答案】A【分析】先由二倍角的余弦公式，輔助角公式化簡，再由與相交的兩個交點的最近距離為，結(jié)合解出即可.【解析】，因為，所以，因為當(dāng)時，對應(yīng)的的值分別為，所以與相交的兩個交點的最近距離為，又的最小值為，所以，即，故選：A.8.在三角形中，角，，的對邊分別為，，且滿足，則角的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【分析】兩邊同乘，逆用正弦平方差公式、正弦定理化邊，再利用余弦定理、基本不等式即可.【解析】∵，∴，由正弦平方差公式得，由正弦定理得，∴由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，∵∴，選B.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知，都是復(fù)數(shù)，下列正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】AD【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義及復(fù)數(shù)的乘法運算即可判斷A；舉出反例即可判斷BC；根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算及復(fù)數(shù)的模的計算公式即可判斷D.【解析】設(shè)，對于A，若，則，故，故A正確；對于B，當(dāng)時，，故B錯誤；對于C，當(dāng)時，，故C錯誤；對于D，若，則，所以，，同理，所以，所以，故D正確.故選：AD.10.棱長為2的正方體中，點，，分別是棱，，的中點.則下列說法正確的有（

）A．平面B．與所成的角為60°C．平面截正方體的截面形狀是五邊形D．點在平面內(nèi)運動，且平面，則的最小值為【答案】AC【分析】對于A，利用再證平面即可；對于B,首先要利用平行線做出異面所成得角，再進(jìn)行求解即可；對于C，通過增補(bǔ)兩個正方體，根據(jù)面面平行的性質(zhì)，可以做出截面圖；對于D，首先利用平面確定點位置再線段上，再做出垂線,根據(jù)相似三角形定理即可求得.【解析】對于A，如下圖，連接,易得又,平面,又平面,故A正確.

對于B，如下圖，取的中點,連接,則又,則或其補(bǔ)角為與所成的角.又正方體棱長為2，易求得,則，，故B錯誤.

對于C，如下圖，增補(bǔ)兩個正方體，取的中點,連接,則為的中點，連接交于連接交于,連接,則得到截面為五邊.

對于D，如下圖，連接

取得中點,連接,過作平面平面則點在線段上,最小值即為.又,,又,.故D錯誤.故選：AC.11.在中，點滿足，當(dāng)點在線段上（不含點）移動時，記，則（

）A． B．C．的最小值為 D．的最小值為【答案】BC【分析】根據(jù)中點和向量共線，可得，進(jìn)而可得，的關(guān)系，然后根據(jù)基本不等式以及對勾函數(shù)可求最小值.【解析】是中點,則,又點在線段上,即三點共線,設(shè),故,.故B對A錯.,當(dāng)且僅當(dāng)時,即,故C對.在上單調(diào)遞減，當(dāng)取最小值，故D錯.故答案為：BC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.設(shè)A，B是一個隨機(jī)試驗中的兩個事件且，則.【答案】【分析】根據(jù)對立事件的概率與互斥事件的概率計算公式求解即可.【解析】因為，故，因為與為互斥事件，故，所以，故，故.13.（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·7）已知正三棱臺的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為.【答案】1【分析】解法一：根據(jù)臺體的體積公式可得三棱臺的高，做輔助線，結(jié)合正三棱臺的結(jié)構(gòu)特征求得，進(jìn)而根據(jù)線面夾角的定義分析求解；解法二：將正三棱臺補(bǔ)成正三棱錐，與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，根據(jù)比例關(guān)系可得，進(jìn)而可求正三棱錐的高，即可得結(jié)果.【解析】解法一：分別取的中點，則，可知，設(shè)正三棱臺的為，則，解得，如圖，分別過作底面垂線，垂足為，設(shè)，則，，可得，結(jié)合等腰梯形可得,即，解得，所以與平面ABC所成角的正切值為；解法二：將正三棱臺補(bǔ)成正三棱錐，則與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，因為，則，可知，則，設(shè)正三棱錐的高為，則，解得，取底面ABC的中心為，則底面ABC，且，所以與平面ABC所成角的正切值.14.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，且，則BC邊上的高的最大值為.【答案】【分析】根據(jù)正弦定理邊角互化可得,由基本不等式以及三角形的面積公式即可求解.【解析】由正弦定理可得，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故，故的最大值為設(shè)邊上的高為則，要使最大，則三角形的面積最大即可，故的最大值為，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在直角中，，，，為邊上一點，且.（1）若上一點滿足，且，求的值.（2）若為內(nèi)一點，且，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】(1)因為，則，即，因為，則，又因為，則，，故.(2)在中，，，，則，以點為坐標(biāo)原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則、、，設(shè)點，則，可得，設(shè)，若點在上且使得，且為的中點，此時，因為點在內(nèi)，所以，，則，，，，，所以，，所以，，因為，則，故當(dāng)時，取最小值.16.在中，角，，所對的邊分別為，，，已知，，其中為的面積.（1）求角的大??；（2）設(shè)是邊的中點，若，求的長.【答案】（1）（2）【分析】（1）由向量的數(shù)量積和三角形的面積公式以及正弦定理化簡已知等式可得，再由兩角和的正弦展開式結(jié)合特殊角的三角函數(shù)化簡整理即可；（2）法一：結(jié)合已知由正弦定理可得，代入數(shù)據(jù)化簡后可得，再由兩角差的正弦展開式和同角三角函數(shù)關(guān)系求出，即可得到結(jié)果；法二：由三角形的面積公式結(jié)合已知可得，再在中，據(jù)余弦定理得，解出，然后在中，據(jù)勾股定理解出結(jié)果即可；法三：延長到點，使得，由三角形中位線的性質(zhì)結(jié)合勾股定理和三角函數(shù)定義關(guān)系求出即可；法四：延長到，使，連結(jié)，，由已知結(jié)合三角函數(shù)的定義和勾股定理解出即可；【解析】(1)由，可得，即，結(jié)合正弦定理可得.在中，，所以，整理得.因為，，故，即，又，所以.(2)法一：因為是邊的中點，，所以.在中，，則.在中，，，，據(jù)正弦定理可得，，即，所以.所以，即，所以，又，，所以，解得，所以.法二：因為是邊的中點，故，所以，即，整理得①在中，據(jù)余弦定理得，，即②聯(lián)立①②，可得，.在中，據(jù)勾股定理得，，所以.法三：延長到點，使得.在中，，，故，又是的中點，所以是的中點，所以，，且.在中，，，，所以，且.所以，即，解得（負(fù)舍），所以.法四：延長到，使，連結(jié)，.因為是的中點，且，故四邊形是平行四邊形，.又，所以.在中，，，，，所以，且.在中，，，，，據(jù)勾股定理，可得，將代入上式，可得（負(fù)舍），所以.17.每年的月日為國際數(shù)學(xué)日，為慶祝該節(jié)日，某中學(xué)舉辦了數(shù)學(xué)文化節(jié)，其中一項活動是“數(shù)學(xué)知識競賽”，競賽共分為兩輪，每位參賽學(xué)生均須參加兩輪比賽，若其在兩輪競賽中均勝出，則視為優(yōu)秀，已知在第一輪競賽中，學(xué)生甲、乙勝出的概率分別為，；在第二輪競賽中，甲、乙勝出的概率分別為，.甲、乙兩人在每輪競賽中是否勝出互不影響.(1)若，求甲恰好勝出一輪的概率；(2)若甲、乙各勝出一輪的概率為，甲、乙都獲得優(yōu)秀的概率為.（i）求，，的值；（ii）求甲、乙兩人中至少有一人獲得優(yōu)秀的概率.【答案】(1)(2)（i），；（ii）【分析】（1）利用互斥事件和獨立事件的概率公式求解即可.（2）（i）利用對立事件和獨立事件的概率公式表示出和，即可求解；（ii）利用對立事件和獨立事件的概率公式即可求解.【解析】（1）設(shè)“甲在第一輪競賽中勝出”為事件，“甲在第二輪競賽中勝出”為事件，“乙在第一輪競賽中勝出”為事件，“乙在第二輪競賽中勝出”為事件，則，，，相互獨立，且，，，.設(shè)“甲恰好勝出一輪”為事件，則，，互斥.當(dāng)時，.所以當(dāng)，甲恰好勝出一輪的概率為.（2）由（1）知，（i）記事件為“甲、乙各勝出一輪”，事件為“甲、乙都獲得優(yōu)秀”，所以，.因為甲、乙兩人在每輪競賽中是否勝出互不影響，所以，，則，解得或（舍去）.綜上，，.（ii）設(shè)事件為“甲獲得優(yōu)秀”，事件為“乙獲得優(yōu)秀”，于是“兩人中至少有一人獲得優(yōu)秀”，且，，所以，，所以.故甲、乙兩人中至少有一人獲得優(yōu)秀的概率為.18.在三棱柱中，側(cè)面平面，且，，分別為棱，的中點.

(1)證明：平面；(2)若，，求點到平面之間的距離.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）設(shè)點為的中點，連接，證明，根據(jù)線面平行判定定理證明結(jié)論；（2）利用等體積法求點到平面之間的距離.【解析】（1）設(shè)點為的中點，連接因為，分別為棱，的中點，所以，，，又，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；

（2）因為側(cè)面平面，，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，連接，，由已知，所以為等邊三角形，又點為的中點，所以，又，所以，又側(cè)面平面，平面平面，平面，所以平面，設(shè)點到平面的距離為，則，即，在中，，，所以，在中，，，所以，又，所以，，所以，所以，所以點到平面之間的距離為.

19.已知：①任何一個復(fù)數(shù)都可以表示成的形式．其中是復(fù)數(shù)的模，是以軸的非負(fù)半軸為始邊，向量所在射線（射線OZ）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)的輻角，叫做復(fù)數(shù)的三角形式．②被稱為歐拉公式，是復(fù)數(shù)的指數(shù)形式．③方程（為正整數(shù)）有個不同的復(fù)數(shù)根．(1)設(shè)