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文檔簡介
廣東省廣州市天河區(qū)2025年高三下學(xué)期期末調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù),若,則的值為()A.1 B. C. D.2.趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家,大約在公元222年,趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時,介紹了“勾股圓方圖”,亦稱“趙爽弦圖”(以弦為邊長得到的正方形是由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成的).類比“趙爽弦圖”.可類似地構(gòu)造如下圖所示的圖形,它是由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成一個大等邊三角形.設(shè),若在大等邊三角形中隨機取一點,則此點取自小等邊三角形(陰影部分)的概率是()A. B. C. D.3.若函數(shù)函數(shù)只有1個零點,則的取值范圍是()A. B. C. D.4.設(shè),集合,則()A. B. C. D.5.設(shè),,,則的大小關(guān)系是()A. B. C. D.6.已知,若對任意,關(guān)于x的不等式(e為自然對數(shù)的底數(shù))至少有2個正整數(shù)解,則實數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.7.函數(shù)的定義域為()A. B. C. D.8.若將函數(shù)的圖象上各點橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變)得到函數(shù)的圖象,則下列說法正確的是()A.函數(shù)在上單調(diào)遞增 B.函數(shù)的周期是C.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱 D.函數(shù)在上最大值是19.函數(shù)的值域為()A. B. C. D.10.閱讀下面的程序框圖,運行相應(yīng)的程序,程序運行輸出的結(jié)果是()A.1.1 B.1 C.2.9 D.2.811.某四棱錐的三視圖如圖所示,該幾何體的體積是()A.8 B. C.4 D.12.若命題p:從有2件正品和2件次品的產(chǎn)品中任選2件得到都是正品的概率為三分之一;命題q:在邊長為4的正方形ABCD內(nèi)任取一點M,則∠AMB>90°的概率為π8A.p∧qB.(?p)∧qC.p∧(?q)D.?q二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.《九章算術(shù)》第七章“盈不足”中第一題:“今有共買物,人出八,盈三錢;人出七,不足四,問人數(shù)物價各幾何?”借用我們現(xiàn)在的說法可以表述為:有幾個人合買一件物品,每人出8元,則付完錢后還多3元;若每人出7元,則還差4元才夠付款.問他們的人數(shù)和物品價格?答:一共有_____人;所合買的物品價格為_______元.14.若,則________.15.(5分)已知函數(shù),則不等式的解集為____________.16.在正奇數(shù)非減數(shù)列中,每個正奇數(shù)出現(xiàn)次.已知存在整數(shù)、、,對所有的整數(shù)滿足,其中表示不超過的最大整數(shù).則等于______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知直線的參數(shù)方程為(,為參數(shù)),曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,并說明曲線的形狀;(2)若直線經(jīng)過點,求直線被曲線截得的線段的長.18.(12分)設(shè)函數(shù).(1)時,求的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)時,設(shè)的最小值為,若恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.19.(12分)在中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且.(1)求B;(2)若的面積為,周長為8,求b.20.(12分)在中,,,.求邊上的高.①,②,③,這三個條件中任選一個,補充在上面問題中并作答.21.(12分)健身館某項目收費標(biāo)準(zhǔn)為每次60元,現(xiàn)推出會員優(yōu)惠活動:具體收費標(biāo)準(zhǔn)如下:現(xiàn)隨機抽取了100為會員統(tǒng)計它們的消費次數(shù),得到數(shù)據(jù)如下:假設(shè)該項目的成本為每次30元,根據(jù)給出的數(shù)據(jù)回答下列問題:(1)估計1位會員至少消費兩次的概率(2)某會員消費4次,求這4次消費獲得的平均利潤;(3)假設(shè)每個會員每星期最多消費4次,以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件的概率,從會員中隨機抽取兩位,記從這兩位會員的消費獲得的平均利潤之差的絕對值為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望22.(10分)已知,分別是橢圓:的左,右焦點,點在橢圓上,且拋物線的焦點是橢圓的一個焦點.(1)求,的值:(2)過點作不與軸重合的直線,設(shè)與圓相交于A,B兩點,且與橢圓相交于C,D兩點,當(dāng)時,求△的面積.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】由復(fù)數(shù)模的定義可得:,求解關(guān)于實數(shù)的方程可得:.本題選擇D選項.2.A【解析】
根據(jù)幾何概率計算公式,求出中間小三角形區(qū)域的面積與大三角形面積的比值即可.【詳解】在中,,,,由余弦定理,得,所以.所以所求概率為.故選A.本題考查了幾何概型的概率計算問題,是基礎(chǔ)題.3.C【解析】
轉(zhuǎn)化有1個零點為與的圖象有1個交點,求導(dǎo)研究臨界狀態(tài)相切時的斜率,數(shù)形結(jié)合即得解.【詳解】有1個零點等價于與的圖象有1個交點.記,則過原點作的切線,設(shè)切點為,則切線方程為,又切線過原點,即,將,代入解得.所以切線斜率為,所以或.故選:C本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)零點問題中的應(yīng)用,考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于較難題.4.B【解析】
先化簡集合A,再求.【詳解】由得:,所以,因此,故答案為B本題主要考查集合的化簡和運算,意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和計算推理能力.5.A【解析】
選取中間值和,利用對數(shù)函數(shù),和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】因為對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,因為對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以,因為指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,綜上可知,.故選:A本題考查利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小;考查邏輯思維能力和知識的綜合運用能力;選取合適的中間值是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、??碱}型.6.B【解析】
構(gòu)造函數(shù)(),求導(dǎo)可得在上單調(diào)遞增,則,問題轉(zhuǎn)化為,即至少有2個正整數(shù)解,構(gòu)造函數(shù),,通過導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,由可知,要使得至少有2個正整數(shù)解,只需即可,代入可求得結(jié)果.【詳解】構(gòu)造函數(shù)(),則(),所以在上單調(diào)遞增,所以,故問題轉(zhuǎn)化為至少存在兩個正整數(shù)x,使得成立,設(shè),,則,當(dāng)時,單調(diào)遞增;當(dāng)時,單調(diào)遞增.,整理得.故選:B.本題考查導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用,考查不等式成立問題中求解參數(shù)問題,考查學(xué)生分析問題的能力和邏輯推理能力,難度較難.7.C【解析】
函數(shù)的定義域應(yīng)滿足故選C.8.A【解析】
根據(jù)三角函數(shù)伸縮變換特點可得到解析式;利用整體對應(yīng)的方式可判斷出在上單調(diào)遞增,正確;關(guān)于點對稱,錯誤;根據(jù)正弦型函數(shù)最小正周期的求解可知錯誤;根據(jù)正弦型函數(shù)在區(qū)間內(nèi)值域的求解可判斷出最大值無法取得,錯誤.【詳解】將橫坐標(biāo)縮短到原來的得:當(dāng)時,在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增,正確;的最小正周期為:不是的周期,錯誤;當(dāng)時,,關(guān)于點對稱,錯誤;當(dāng)時,此時沒有最大值,錯誤.本題正確選項:本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì),涉及到三角函數(shù)的伸縮變換、正弦型函數(shù)周期性、單調(diào)性和對稱性、正弦型函數(shù)在一段區(qū)間內(nèi)的值域的求解;關(guān)鍵是能夠靈活應(yīng)用整體對應(yīng)的方式,通過正弦函數(shù)的圖象來判斷出所求函數(shù)的性質(zhì).9.A【解析】
由計算出的取值范圍,利用正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的值域.【詳解】,,,因此,函數(shù)的值域為.故選:A.本題考查正弦型函數(shù)在區(qū)間上的值域的求解,解答的關(guān)鍵就是求出對象角的取值范圍,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.10.C【解析】
根據(jù)程序框圖的模擬過程,寫出每執(zhí)行一次的運行結(jié)果,屬于基礎(chǔ)題.【詳解】初始值,第一次循環(huán):,;第二次循環(huán):,;第三次循環(huán):,;第四次循環(huán):,;第五次循環(huán):,;第六次循環(huán):,;第七次循環(huán):,;第九次循環(huán):,;第十次循環(huán):,;所以輸出.故選:C本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的讀取以及運行結(jié)果,屬于基礎(chǔ)題.11.D【解析】
根據(jù)三視圖知,該幾何體是一條垂直于底面的側(cè)棱為2的四棱錐,畫出圖形,結(jié)合圖形求出底面積代入體積公式求它的體積.【詳解】根據(jù)三視圖知,該幾何體是側(cè)棱底面的四棱錐,如圖所示:結(jié)合圖中數(shù)據(jù)知,該四棱錐底面為對角線為2的正方形,高為PA=2,∴四棱錐的體積為.故選:D.本題考查由三視圖求幾何體體積,由三視圖正確復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵,考查空間想象能力.屬于中等題.12.B【解析】因為從有2件正品和2件次品的產(chǎn)品中任選2件得到都是正品的概率為P1=1C42=16,即命題p是錯誤,則?p是正確的;在邊長為4的正方形ABCD內(nèi)任取一點M點睛:本題將古典型概率公式、幾何型概率公式與命題的真假(含或、且、非等連接詞)的命題構(gòu)成的復(fù)合命題的真假的判定有機地整合在一起,旨在考查命題真假的判定及古典概型的特征與計算公式的運用、幾何概型的特征與計算公式的運用等知識與方法的綜合運用,以及分析問題解決問題的能力。二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.753【解析】
根據(jù)物品價格不變,可設(shè)共有x人,列出方程求解即可【詳解】設(shè)共有人,由題意知,解得,可知商品價格為53元.即共有7人,商品價格為53元.本題主要考查了數(shù)學(xué)文化及一元一次方程的應(yīng)用,屬于中檔題.14.13【解析】
由導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用得:設(shè),,所以,,又,所以,即,由二項式定理:令得:,再由,求出,從而得到的值;【詳解】解:設(shè),,所以,,又,所以,即,取得:,又,所以,故,故答案為:13本題考查了導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用、二項式定理,屬于中檔題15.【解析】
易知函數(shù)的定義域為,且,則是上的偶函數(shù).由于在上單調(diào)遞增,而在上也單調(diào)遞增,由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知在上單調(diào)遞增,又在上單調(diào)遞增,故知在上單調(diào)遞增.令,知,則不等式可化為,即,可得,又,是偶函數(shù),可得,由在上單調(diào)遞增,可得,則,解得,故不等式的解集為.16.2【解析】
將已知數(shù)列分組為(1),,共個組.設(shè)在第組,,則有,即.注意到,解得.所以,.因此,.故.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)曲線表示的是焦點為,準(zhǔn)線為的拋物線;(2)8.【解析】試題分析:(1)將曲線的極坐標(biāo)方程為兩邊同時乘以,利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的關(guān)系即可得出其直角坐標(biāo)方程;(2)由直線經(jīng)過點,可得的值,再將直線的參數(shù)方程代入曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,由直線參數(shù)方程的幾何意義可得直線被曲線截得的線段的長.試題解析:(1)由可得,即,∴曲線表示的是焦點為,準(zhǔn)線為的拋物線.(2)將代入,得,∴,∵,∴,∴直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).將直線的參數(shù)方程代入得,由直線參數(shù)方程的幾何意義可知,.18.(1)的增區(qū)間為,減區(qū)間為;(2).【解析】
(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由于參數(shù)的范圍對導(dǎo)數(shù)的符號有影響,對參數(shù)分類,再研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)由(1)的結(jié)論,求出的表達式,由于恒成立,故求出的最大值,即得實數(shù)的取值范圍的左端點.【詳解】解:(1)解:,當(dāng)時,,解得的增區(qū)間為,解得的減區(qū)間為.(2)解:若,由得,由得,所以函數(shù)的減區(qū)間為,增區(qū)間為;,因為,所以,,令,則恒成立,由于,當(dāng)時,,故函數(shù)在上是減函數(shù),所以成立;當(dāng)時,若則,故函數(shù)在上是增函數(shù),即對時,,與題意不符;綜上,為所求.本題考查導(dǎo)數(shù)在最大值與最小值問題中的應(yīng)用,求解本題關(guān)鍵是根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性,由最值的定義得出函數(shù)的最值,本題中第一小題是求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,第二小題是一個求函數(shù)的最值的問題,此類題運算量較大,轉(zhuǎn)化靈活,解題時極易因為變形與運算出錯,故做題時要認(rèn)真仔細.19.(1);(2)【解析】
(1)通過正弦定理和內(nèi)角和定理化簡,再通過二倍角公式即可求出;(2)通過三角形面積公式和三角形的周長為8,求出b的表達式后即可求出b的值.【詳解】(1)由三角形內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式,得,結(jié)合正弦定理,得,由及二倍角公式,得,即,故;(2)由題設(shè),得,從而,由余弦定理,得,即,又,所以,解得.本題綜合考查了正余弦定理,倍角公式,三角形面積公式,屬于基礎(chǔ)題.20.詳見解析【解析】
選擇①,利用正弦定理求得,利用余弦定理求得,再計算邊上的高.選擇②,利用正弦定理得出,由余弦定理求出,再求邊上的高.選擇③,利用余弦定理列方程求出,再計算邊上的高.【詳解】選擇①,在中,由正弦定理得,即,解得;由余弦定理得,即,化簡得,解得或(舍去);所以邊上的高為.選擇②,在中,由正弦定理得,又因為,所以,即;由余弦定理得,即,化簡得,解得或(舍去);所以邊上的高為.選擇③,在中,由,得;由余弦定理得,即,化簡得,解得或(舍去);所以邊上的高為.本小題主要考查真閑的了、余弦定理解三角形,屬于中檔題.21.(1)(2)22.5(3)見解析,【解析】
(1)根據(jù)頻數(shù)計算頻率,得出概率;(2)根據(jù)優(yōu)惠標(biāo)準(zhǔn)計算平均利潤;(3)求出各種情況對應(yīng)的的值和概率,得出分布列,從而計算出數(shù)學(xué)期望.【詳解】解:(1)估計1位會員至少消費兩次的概率;(2)第1次消費利潤;第2次消費利潤;第3次消費利潤;第4次消費利潤;這4次消費獲得的平均利潤:(3)1次消費利潤是27,概率是;2次消費利潤是,概率是;3次消費利潤是,概率是;4次消費利潤是,概率是;由題意:故分布列為:0期望為:本題考查概率、平均利潤、離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法,考查古典概型、相互獨立事件概率
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