等差數(shù)列中Sn的最值問題-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考）原卷版

【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）

素養(yǎng)拓展19等差數(shù)列中Sn的最值問題（精講+精練）

一、知識點(diǎn)梳理

一、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式

1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

如果等差數(shù)列｛0“｝的首項(xiàng)為4,公差為d,那么它的通項(xiàng)公式是a“=q+（"-l）d.

2.等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式

設(shè)等差數(shù)列｛??｝的公差為d,其前“項(xiàng)和S,=:/+四建d=.

注：數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列（43為常數(shù)）.

二、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值

1.公差d>0=｛%｝為遞增等差數(shù)列，S,.有最小值；

公差d<0o｛a“｝為遞減等差數(shù)列，S“有最大值；

公差d=0=｛%｝為常數(shù)列.

2.在等差數(shù)列｛%｝中

（1）若4>0,d<0,則滿足,0的項(xiàng)數(shù)機(jī)使得S“取得最大值與；

&+I4。1,

（2）若q<0,d〉0,則滿足°的項(xiàng)數(shù)機(jī)使得S“取得最小值鼠.

也用2o

即若蓑1則S,有最大值（所有正項(xiàng)或非負(fù)項(xiàng)之和）;

若則S“有最小值（所有負(fù)項(xiàng)或非正項(xiàng)之和）.

J>0

二、題型精講精練

【典例1】（2022.全國.統(tǒng)考高考真題）記S“為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和.已知一+〃=2%+1.

n

（1）證明：｛%｝是等差數(shù)列;

(2)若。4,%，%成等比數(shù)列，求S”的最小值.

【答案】⑴證明見解析；

(2)-78.

fS.,M=1

【分析】⑴依題意可得2S.+"2=2W%+W,根據(jù)%=二、°,作差即可得到%從而得

證；

(2)法一：由(1)及等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出外,即可得到｛4｝的通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和，再根據(jù)二次函數(shù)的

性質(zhì)計(jì)算可得.

2s

【詳解】(1)因?yàn)椤?+n=2a+1即2S〃+/=2幾。〃十幾①,

nn9

2

當(dāng)2時，2Sn_i+(n-l)+(n-l)(2),

①一②得，2S"+"-2S〃_］-(〃-1)=2儂〃+,

即2an-^-2n-l=2nan-2｛ji-\^an_x+1,

即2(n—l)4—2(九一1"7=2(〃-1),所以%-〃i=l,幾＞2且〃金N*,

所以｛凡｝是以1為公差的等差數(shù)列.

(2)［方法一］:二次函數(shù)的性質(zhì)

由(1)可得。4=%+3,%=%+6,%=4+8,

又〃4，。7,。9成等比數(shù)列，所以。72=%.〃9，

即(4+6)2=(q+3).(4+8),解得％=_12,

二d、i_12由2cn(n-l)1225\(25丫625

所以4=〃一13,所以S=-12〃H——----=—n2---n=—\n-----------,

〃222212J8

所以，當(dāng)〃=12或幾=13時，0).=一78.

［方法二］:【最優(yōu)解】鄰項(xiàng)變號法

由(1)可得。4=4+3,%=%+6,%=%+8,

又。4，〃7,”9成等比數(shù)列，所以。7=。4，“9,

即(q+6)2=(q+3).(q+8),解得q=_12,

所以?！?〃一13,即有％<%<<%2<°，％3=0?

則當(dāng)〃=12或w=13時，（5,,）^=-78.

【整體點(diǎn)評】（2）法一：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出S”的最小值，適用于可以求出S“的表達(dá)式;

法二：根據(jù)鄰項(xiàng)變號法求最值，計(jì)算量小，是該題的最優(yōu)解.

【題型訓(xùn)練-刷模擬】

一、單選題

1.（2023?四川瀘州?統(tǒng)考三模）記S"為等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和，已知弓=-9,?2+?4=-10,則S“的最小

值為（）

A.-25B.-35C.-45D.-55

2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，/+%+%=3,511=-11,則使S“取

得最大值時n的值為（）

A.4B.5C.6D.7

3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知無窮等差數(shù)列｛?｝的前w項(xiàng)和為S“，公差為d,若4>0,d<0,則不

正確的（）

A.數(shù)列｛%｝單調(diào)遞減B.數(shù)列｛?！埃龥]有最小值

C,數(shù)列｛5.｝單調(diào)遞減D.數(shù)列｛S,,｝有最大值

4.（2023?湖北黃岡?黃岡中學(xué)?？级＃┮阎炔顢?shù)列｛?｝的前〃項(xiàng)和為S“，若/+%>（）,%。+[2<。，則

S“取最大值時”的值為（）

A.10B.11C.12D.13

5.（2023?河南?開封高中?？寄M預(yù)測）已知S.為等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和.若S|2<。，%+%>。，則當(dāng)S“

取最大值時，〃的值為（）

A.3B.4C.5D.6

6.（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列也｝為等差數(shù)列，S,是其前”項(xiàng)和，且55<凡，56=57>工，則下列結(jié)

論不正確的是（）

A.d<0B.%=。C.Sg>S5D.又與S?均為S,的最大值

7.（2023?四川成都?成都外國語學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知等差數(shù)列｛4｝中，|%|=|%4|，且公差d<0,則其前

”項(xiàng)和取得最大值時〃的值為（）

A.8B.9C.10D.11

8.（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)S，,為等差數(shù)列｛氏｝的前〃項(xiàng)和，且V”eN*,都有4-an+l>。，若④+陽=0,

則（）

A.S"的最小值是工7B.S”的最小值是幾

C.S”的最大值是工D.S”的最大值是幾

9.（2023?四川自貢?統(tǒng)考三模）等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，公差為d,若工。<0,品>0,則下列四個

命題正確個數(shù)為（）①與為S”的最小值②必>0③q<0,d>0④$6為S"的最小值

A.1B.2C.3D.4

10.（2023?全國?高三專題練習(xí)）數(shù)列也,｝是遞增的整數(shù)數(shù)列，若422,q+電+…+4,=300,貝I）〃的最大

值為（）

A.25B.22C.24D.23

11.（2023?四川成都?石室中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)S?為等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和，且eN*,都有\(zhòng)<露，

若$5=%，則（）

A.S”的最小值是既B.S”的最小值是小

C.S”的最大值是S9D.S”的最大值是心

12.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在等差數(shù)列｛%｝中，前〃項(xiàng)和為S“，若與>0,九<0,則在｝，%

上中最大的是（）

?15

S,Ss,

A.—B.—sC.—9D.-

13.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知各項(xiàng)為正的等比數(shù)列｛g｝的公比為q,前九項(xiàng)的積為，，且4><>心，

若2=lga"，數(shù)列｛〃｝的前〃項(xiàng)的和為S“，則當(dāng)S”取得最大值時，〃等于（）

A.6B.7C.8D.9

14.（2023?全國?高三專題練習(xí)）等差數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為正數(shù)，其前w項(xiàng)和為S”.現(xiàn)有下列命題，其中是假命

題的有（）

A.若S“有最大值，則數(shù)列｛%｝的公差小于0

B.若&+%3=。，則使5“>。的最大的“為18

C.若%>。，則｛5“｝中Sg最大

D.若%>0，%+[o<。，則數(shù)列幅|｝中的最小項(xiàng)是第9項(xiàng)

15.（2023?全國?高三專題練習(xí)）對于數(shù)列｛4｝,定義4=4+2/++2"a為｛叫的“優(yōu)直,.現(xiàn)已知數(shù)列

n

｛%｝的“優(yōu)值"為=2用，記數(shù)列｛。“-20｝的前〃項(xiàng)和為S“，則下列說法錯誤的是（）

2

A.a“=2〃+2B.Sn=n-19n

C.Ss=S9D.S,的最小值為-72

16.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列｛0｝的前”項(xiàng)和為S“，且S”<S’.若存在實(shí)數(shù)a,b,使得

<7+6=3,且e""-1W17Wln（。—2A+1）,當(dāng)〃=%時，S”取得最大值，則左+2a—6的值為（）

A.12或13B.11或12

C.10或11D.9或10

二、多選題

17.（2023?福建泉州?泉州五中?？寄M預(yù)測）已知等差數(shù)列｛q｝的公差為d,前n項(xiàng)和為S“，且dw0,q嗎，/

成等比數(shù)列，則（）

A.59=0B.?9=0

C.當(dāng)d<0時，Sg是S"的最大值D.當(dāng)4>0時，5。是S”的最小值

18.（2023春?河南?高三階段練習(xí)）等差數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S",公差為4,若％3+%7>。，53*。，則（）

A.d>0B.d<0

C.當(dāng)〃=15時，S,取得最大值D.當(dāng)w=16時，s,取得最大值

19.（2023?湖北武漢?華中師大一附中校聯(lián)考模擬預(yù)測）數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，58=10,則下列說法正確的

是（）

A.%+。6為定值B.若4=萬，貝1J幾=5時S〃最大

C.若d=；，使S,為負(fù)值的〃值有3個D.若$4=6,貝1］耳2=12

20.（2023春?安徽亳州?高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為S.,若與<S9<S10,則下列結(jié)論

正確的是（）

A.數(shù)列｛4“｝是遞減數(shù)列B.?io+?n<0

C.當(dāng)”>19時，5?<0D.516-S4>0

21.（2023秋?山東濟(jì)南?高三統(tǒng)考期中）已知等差數(shù)列｛%｝,前〃項(xiàng)和為S.嗎>0,&空<-1,則下列結(jié)論正

“2022

確的是（）

A.“2022>°B.S”的最大值為S2023

C.同的最小值為。2022D.S4044<0

22.（2023?江蘇鹽城?校考模擬預(yù)測）等差數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和為S“，公差為d,若（S9-S5）（EO-S5）<O,

則下列結(jié)論正確的是（）

A.若d<0,則Ac。B.若d>0,則$8最小

C.D.姆>。6。9

23.（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)S“是等差數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和，若邑=幾，且（〃+l）S”>7￡“M（〃eN*）,

則下列選項(xiàng)中正確的是（）

A.an>an+iB.%和S”均為S“的最大值

C.存在正整數(shù)%,使得又=。D.存在正整數(shù)機(jī)，使得5^=53.

三、填空題

24.（2023秋?遼寧?高三校聯(lián)考期末）已知數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式為%=2n-10,S"為何｝前幾項(xiàng)和，則S“最

小值時，”=.

25.（2023春?河南信陽?高三信陽高中?？茧A段練習(xí)）已知Sn為等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和.若S16>0,a7+a9<0,

則當(dāng)S“取最小值時，〃的值為.

26.（2023?全國?高三專題練習(xí)）S”是數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)和，當(dāng)〃=7時，S“取得最小值，寫出一個符合條件

的數(shù)列｛%,｝的通項(xiàng)公式，an=.

27.（2023?全國?高三專題練習(xí)）首項(xiàng)為正數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列｛q｝,其前〃項(xiàng)和為S”，現(xiàn)有下列4

個命題：

①若S.vSg,則風(fēng)<$;

②若S]]=0,則+a\Q=。；

③若%>。，兀<0,則⑸｝中$7最大；

④若S2=Sl0,則使5?>0的〃的最大值為11.

其中所有真命題的序號是.

28.（2023春?江西宜春?高三校考開學(xué)考試）設(shè)等差數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S”嗎>。且巴=白，當(dāng)S“取最大

〃4I1

值時，"的值為.

29.（2023?福建泉州?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知S“是等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，若僅當(dāng)〃=5時5“取到最小值,

且I?51>14I,則滿足S">0的〃的最小值為.

30.（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列｛%｝的前w項(xiàng)和為5,，且為>