2024-2025學年新教材高中數學課時檢測8平面向量數乘運算的坐標表示含解析新人教A版必修第二冊

PAGEPAGE5平面對量數乘運算的坐標表示[A級基礎鞏固]1．設向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，2(a－c)，d的有向線段首尾相連能構成四邊形，則向量d＝()A．(2，6) B．(－2，6)C．(2，－6) D．(－2，－6)解析：選D由題意，得4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，則d＝－4a－4b＋2c－2(a－c)＝－6a－4b＋4c＝(－2，－6)．2．已知點O(0，0)，A(－1，3)，B(2，－4)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋meq\o(AB,\s\up6(→)).若點P在y軸上，則實數m的值為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,5) D.eq\f(1,6)解析：選A由題，可得eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－1，3)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，－7)，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋meq\o(AB,\s\up6(→))＝(3m－1，3－7m)．又點P在y軸上，所以3m－1＝0，得m＝eq\f(1,3)，故選A.3．(多選)已知向量a＝(x，3)，b＝(－3，x)，則下列敘述中不正確的是()A．存在實數x，使a∥bB．存在實數x，使(a＋b)∥aC．存在實數x，m，使(ma＋b)∥aD．存在實數x，m，使(ma＋b)∥b解析：選ABC只有D正確，可令m＝0，則ma＋b＝b，無論x為何值，都有b∥b.4．若向量a＝(eq\r(3)，1)，b＝(0，－2)，則與a＋2b共線的向量可以是()A．(eq\r(3)，－1) B．(－1，－eq\r(3))C．(－eq\r(3)，－1) D．(－1，eq\r(3))解析：選D法一：∵a＋2b＝(eq\r(3)，－3)，∴eq\r(3)×eq\r(3)－(－1)×(－3)＝0，∴(－1，eq\r(3))與a＋2b是共線向量．故選D.法二：∵a＋2b＝(eq\r(3)，－3)＝－eq\r(3)(－1，eq\r(3))，∴向量a＋2b與(－1，eq\r(3))是共線向量．故選D.5．已知A(－3，0)，B(0，2)，O為坐標原點，點C在△AOB內，且∠AOC＝45°，設eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→))(λ∈R)，則λ的值為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,5) D.eq\f(2,3)解析：選C如圖所示，由題意，設C(x，－x)，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝(x，－x)．又因為A(－3，0)，B(0，2)，所以λeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－3λ，2－2λ)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3λ，,－x＝2－2λ，))解得λ＝eq\f(2,5).6．設向量a＝(1，2)，b＝(－3，5)，c＝(4，x)，若a＋b＝λc(λ∈R)，則λ＋x＝________．解析：由已知，可得(1，2)＋(－3，5)＝λ(4，x)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4λ＝－2，,xλ＝7，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(1,2)，,x＝－14，))所以λ＋x＝－eq\f(29,2).答案：－eq\f(29,2)7．若點A(－2，0)，B(3，4)，C(2，a)共線，則a＝________．解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＝(5，4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(4，a)，因為A，B，C三點共線，所以eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，故5a－16＝0，所以a＝eq\f(16,5).答案：eq\f(16,5)8．設點A(2，0)，B(4，2)，若點P在直線AB上，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AP,\s\up6(→))|，則點P的坐標為________．解析：∵A(2，0)，B(4，2)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，2)．∵點P在直線AB上，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AP,\s\up6(→))|，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(AP,\s\up6(→))或eq\o(AB,\s\up6(→))＝－2eq\o(AP,\s\up6(→))，故eq\o(AP,\s\up6(→))＝(1，1)或eq\o(AP,\s\up6(→))＝(－1，－1)，故點P的坐標為(3，1)或(1，－1)．答案：(3，1)或(1，－1)9．已知A，B，C三點的坐標分別為(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，并且eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，求證：eq\o(EF,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→)).證明：設E(x1，y1)，F(x2，y2)，依題意有eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2，2)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－2，3)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4，－1)．∵eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))，∵eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1)).∵eq\o(AE,\s\up6(→))＝(x1＋1，y1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))，∴x1＝－eq\f(1,3)，y1＝eq\f(2,3)，∴Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(2,3))).∵eq\o(BF,\s\up6(→))＝(x2－3，y2＋1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1))，∴x2＝eq\f(7,3)，y2＝0，∴Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，0))，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，－\f(2,3)))又∵4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－eq\f(8,3)×(－1)＝0，∴eq\o(EF,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→)).10．設A，B，C，D為平面內的四點，且A(1，3)，B(2，－2)，C(4，1)．(1)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，求D點的坐標；(2)設向量a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(BC,\s\up6(→))，若ka－b與a＋3b平行，求實數k的值．解：(1)設D(x，y)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，－5)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(x－4，y－1)．∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，∴(1，－5)＝(x－4，y－1)，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＝x－4，,－5＝y(tǒng)－1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝－4，))∴D點的坐標為(5，－4)．(2)由題意得a＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，－5)，b＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2，3)，∴ka－b＝(k－2，－5k－3)，a＋3b＝(7，4)．∵(ka－b)∥(a＋3b)，∴4(k－2)＝7(－5k－3)，解得k＝－eq\f(1,3).[B級綜合運用]11．已知三點A(－1，1)，B(0，2)，C(2，0)，若eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(CD,\s\up6(→))是相反向量，則D點坐標是()A．(1，0) B．(－1，0)C．(1，－1) D．(－1，1)解析：選C∵eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))是相反向量，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(CD,\s\up6(→)).又eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，1)，∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－1，－1)．設D(x，y)，則eq\o(CD,\s\up6(→))＝(x－2，y)＝(－1，－1)．從而x＝1，y＝－1，即D(1，－1)．故選C.12．(多選)已知點A(2，1)，B(0，2)，C(－2，1)，O(0，0)，給出下面四個結論，其中正確的有()A.eq\o(OC,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))平行 B.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))C.eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→)) D.eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))解析：選ACDeq\o(BA,\s\up6(→))＝(2，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－2，1)，又2×1－(－1)×(－2)＝0，所以eq\o(OC,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))平行，A正確.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))≠eq\o(CA,\s\up6(→))，所以B不正確.eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝(0，2)＝eq\o(OB,\s\up6(→))，所以C正確.eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－4，0)，eq\o(OB,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))＝(0，2)－(4，2)＝(－4，0)，所以D正確．13．已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若(ma＋nb)∥(a－2b)，則eq\f(m,n)＝________．解析：由題意，得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．由(ma＋nb)∥(a－2b)，得－(2m－n)－4(3m＋2n)＝0，可得eq\f(m,n)＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)14．已知點A(x，0)，B(2x，1)，C(2，x)，D(6，2x)．(1)求實數x的值，使向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線；(2)當向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))共線時，點A，B，C，D是否在一條直線上？解：(1)∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x，1)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(4，x)．由eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，得x2＝4，x＝±2.(2)由已知得eq\o(BC,\s\up6(→))＝(2－2x，x－1)，當x＝2時，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－2，1)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，1)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(BC,\s\up6(→))不平行，此時A，B，C，D不在一條直線上；當x＝－2時，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(6，－3)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2，1)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))，此時A，B，C三點共線．又eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，∴A，B，C，D四點在一條直線上．[C級拓展探究]15．已知點A(3，1)，B(－1，3)，O是坐標原點，點C滿意eq\o(OC