高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(新教材新高考)重難點(diǎn)突破02解三角形圖形類問題(十大題型)(原卷版+解析)

重難點(diǎn)突破02解三角形圖形類問題目錄解決三角形圖形類問題的方法：方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問題利用等面積法使得問題轉(zhuǎn)化為更為簡單的問題，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問題的常用思路；方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關(guān)系的不錯選擇；方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運(yùn)算法則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；方法六：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問題更加直觀化.題型一：妙用兩次正弦定理例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四邊形中，，，設(shè).（1）若面積是面積的4倍，求；（2）若，求.例2．（2023·湖北黃岡·高一統(tǒng)考期末）如圖，四邊形中，，，設(shè)．（1）若面積是面積的倍，求;（2）若，求.例3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在①，②，③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并解答.已知在四邊形ABCD中，，，且______.(1)證明：；(2)若，求四邊形ABCD的面積.變式1．（2023·甘肅金昌·高一永昌縣第一高級中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平面四邊形ABCD中，.(1)當(dāng)時，求的面積.(2)當(dāng)時，求.變式2．（2023·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）如圖，在平面四邊形中，．(1)若，求的面積；(2)若，求．變式3．（2023·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在平面四邊形中，，.（1）若，，求的長；（2）若，求的值.變式4．（2023·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期末）在①，②，③的面積這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并完成解答.在中，角、、的對邊分別為、、，已知______.(1)求角；(2)若點(diǎn)在邊上，且，，求.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分變式5．（2023·廣東深圳·深圳市高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）記的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知.(1)求；(2)若點(diǎn)在邊上，且，，求.變式6．（2023·廣東揭陽·高三校考階段練習(xí)）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且.(1)求角；(2)若是內(nèi)一點(diǎn)，，，，，求．題型二：兩角使用余弦定理例4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，四邊形中，，．(1)求；(2)若，求．例5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在梯形ABCD中，，．(1)求證：；(2)若，，求梯形ABCD的面積．例6．（2023·河北·校聯(lián)考一模）在中，，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，連接并延長到點(diǎn)E，使.(1)若，求的余弦值；(2)若，求線段的長.變式7．（2023·全國·模擬預(yù)測）在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.(1)求角；(2)若點(diǎn)在上，，，求的值.變式8．（2023·浙江舟山·高一舟山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在梯形中，，.(1)求證：；(2)若，，求的長度.題型三：張角定理與等面積法例7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知△ABC中，分別為內(nèi)角的對邊，且.(1)求角的大小；(2)設(shè)點(diǎn)為上一點(diǎn)，是的角平分線，且，，求的面積.例8．（2023·貴州黔東南·凱里一中?？既＃┮阎鰽BC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求A的大??；(2)設(shè)點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，AD是△ABC的角平分線，且，，求△ABC的面積．例9．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在中，設(shè)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且．（1）求；（2）若D為上點(diǎn)，平分角A，且，，求．變式9．（2023·安徽淮南·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，且點(diǎn)在線段上．(1)若，求的長；(2)若，，求的面積．變式10．（2023·江西撫州·江西省臨川第二中學(xué)?？级＃┤鐖D，在中，，，點(diǎn)在線段上.（1）若，求的長；（2）若，的面積為，求的值.變式11．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，其圖像上相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)間的距離為．(1)求函數(shù)的解析式；(2)記的內(nèi)角的對邊分別為，，，．若角的平分線交于，求的長．變式12．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知銳角的內(nèi)角的對邊分別為，且．(1)求；(2)若，角的平分線交于點(diǎn)，，求的面積．題型四：角平分線問題例10．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第一二二中學(xué)校校考模擬預(yù)測）在中，已知，的平分線與邊交于點(diǎn)，的平分線與邊交于點(diǎn)，.(1)若，求的面積；(2)若，求.例11．（2023·河北衡水·河北衡水中學(xué)?？寄M預(yù)測）銳角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，(1)求的值及的面積；(2)的平分線與BC交于D，，求a的值．例12．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且.(1)求角C的大?。?2)若的平分線交AB于點(diǎn)D，且，，求的面積.變式13．（2023·河北唐山·唐山市第十中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，角C的平分線交AB于點(diǎn)D，且，.

(1)求的大小；(2)求.變式14．（2023·廣東深圳·?？级＃┯浀膬?nèi)角A?B?C的對邊分別為a?b?c，已知.(1)證明：；(2)若角B的平分線交AC于點(diǎn)D，且，，求的面積.變式15．（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，點(diǎn)M在邊上，是角A的平分線，，．(1)求A；(2)若，求的長．變式16．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在①；②這兩個條件中任選一個作為已知條件，補(bǔ)充在下面的橫線上，并給出解答．注：若選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分．已知中，角的對邊分別為，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，，且________．(1)求a的值；(2)若的平分線交于點(diǎn)E，求的周長．題型五：中線問題例13．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）已知中角、、所對的邊分別為、、，且滿足，．(1)求角A；(2)若，邊上中線，求的面積．例14．（2023·四川內(nèi)江·?？寄M預(yù)測）在△ABC中，D是邊BC上的點(diǎn)，，，AD平分∠BAC，△ABD的面積是△ACD的面積的兩倍．(1)求△ACD的面積；(2)求△ABC的邊BC上的中線AE的長．例15．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考二模）在中，角所對的邊分別為，，．(1)求的值；(2)若，求邊上中線的長．變式17．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）在中，內(nèi)角的對邊分別為，.(1)求；(2)若的面積為，求邊上的中線的長.變式18．（2023·安徽宣城·安徽省宣城中學(xué)?？寄M預(yù)測）中，已知.邊上的中線為.(1)求；(2)從以下三個條件中選擇兩個，使存在且唯一確定，并求和的長度.條件①：；條件②；條件③.變式19．（2023·遼寧沈陽·東北育才雙語學(xué)校?？家荒＃┤鐖D，設(shè)中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，AD為BC邊上的中線，已知且，．(1)求b邊的長度；(2)求的面積；(3)設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊AB，AC上的動點(diǎn)（含端點(diǎn)），線段EF交AD于G，且的面積為面積的，求的取值范圍．變式20．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考三模）在①；②這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并作答.問題：已知中，分別為角所對的邊，__________.(1)求角的大??；(2)已知，若邊上的兩條中線相交于點(diǎn)，求的余弦值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分.題型六：高問題例16．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知的內(nèi)角A，，的對邊分別為，，，，.(1)若，證明：；(2)若邊上的高為，求的周長.例17．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，．(1)求；(2)若，邊上的高線長，求．例18．（2023·四川自貢·統(tǒng)考三模）的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若．(1)求A；(2)若BC上的高，求．變式21．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考一模）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求A；(2)若，且BC邊上的高為，求a．變式22．（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知中，點(diǎn)在邊上，滿足，且，的面積與面積的比為．(1)求的值；(2)若，求邊上的高的值．題型七：重心性質(zhì)及其應(yīng)用例19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求的最小值；(2)若M為的重心，，求．例20．（2023·河南開封·開封高中校考模擬預(yù)測）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知為的重心．(1)若，求的長；(2)若，求的面積．例21．（2023·廣西欽州·高三?？茧A段練習(xí)）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．(1)求角的大小(2)若，點(diǎn)是的重心，且，求內(nèi)切圓的半徑．變式23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)a，b，c分別為的內(nèi)角A，B，C的對邊，AD為BC邊上的中線，c＝1，，．(1)求AD的長度；(2)若E為AB上靠近B的四等分點(diǎn)，G為的重心，連接EG并延長與AC交于點(diǎn)F，求AF的長度．變式24．（2023·四川內(nèi)江·高三威遠(yuǎn)中學(xué)校?？计谥校┑膬?nèi)角A，B，C所對的邊分別為．(1)求A的大??；(2)M為內(nèi)一點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn)D，___________，求的面積．請?jiān)谙旅嫒齻€條件中選擇一個作為已知條件補(bǔ)充在橫線上，使存在，并解決問題．①M(fèi)為的重心，；②M為的內(nèi)心，；③M為的外心，．變式25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在①；②這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并加以解答．在中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，已知______．(1)求角A的大??；(2)若為銳角三角形，且其面積為，點(diǎn)G為重心，點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段上，且，線段與線段相交于點(diǎn)P，求的取值范圍．注：如果選擇多個方案分別解答，按第一個方案解答計(jì)分．題型八：外心及外接圓問題例22．（2023·湖南長沙·長沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考二模）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a，b，c是公差為2的等差數(shù)列.(1)若，求的面積.(2)是否存在正整數(shù)b，使得的外心在的外部?若存在，求b的取值集合；若不存在，請說明理由.例23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在ABC中，三內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，a＝6．(1)求bcosC＋ccosB的值；(2)若O是ABC的外心，且，求ABC外接圓的半徑．例24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c；，.（1）求的值；（2）若的外心在其外部，，求外接圓的面積.變式26．（2023·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在中，角，，對應(yīng)的三邊分別為，，，，，，為的外心，連接，，．（1）求的面積；（2）過作邊的垂線交于點(diǎn)，連接，試求的值．題型九：兩邊夾問題例25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，角所對的邊分別為，若，則的值是（

）A． B． C． D．例26．（2023·河北唐山·高三?？茧A段練習(xí)）在中，、、分別是、、所對邊的邊長.若，則的值是（

）.A．1 B． C． D．2例27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，已知邊所對的角分別為，若，則_________________變式27．（2023·江蘇蘇州·吳江中學(xué)模擬預(yù)測）在中，已知邊所對的角分別為，若，則_____．變式28．（2023·湖南長沙·高二長沙一中?？奸_學(xué)考試）在中，已知邊、、所對的角分別為、、，若，，則的面積______.變式29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，若，則角__．變式30．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(shè)S是△ABC的面積，若﹣，則角A的值為_______．題型十：內(nèi)心及內(nèi)切圓問題例28．（2023·福建泉州·高三福建省泉州第一中學(xué)?？计谥校┰凇鰽BC中，角A，B，C的對邊分別為，I為△ABC的內(nèi)心，延長線段AI交BC于點(diǎn)D，此時(1)求；(2)若∠ADB=，求.例29．（2023·山西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，,.(1)求；(2)若，M為的內(nèi)心，求的面積.例30．（2023·廣東佛山·華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中校考模擬預(yù)測）在中，角，，所對的邊分別為，，．已知．(1)求的值；(2)若的內(nèi)切圓半徑為，，求．變式31．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在中，角、、所對的邊分別為、、，已知.(1)求；(2)若，的內(nèi)切圓半徑為，求的周長.變式32．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知在中，其角、、所對邊分別為、、，且滿足．(1)若，求的外接圓半徑；(2)若，且，求的內(nèi)切圓半徑變式33．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，，，內(nèi)切圓半徑，則________.

重難點(diǎn)突破02解三角形圖形類問題目錄解決三角形圖形類問題的方法：方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問題利用等面積法使得問題轉(zhuǎn)化為更為簡單的問題，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問題的常用思路；方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關(guān)系的不錯選擇；方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運(yùn)算法則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；方法六：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問題更加直觀化.題型一：妙用兩次正弦定理例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四邊形中，，，設(shè).（1）若面積是面積的4倍，求；（2）若，求.【解析】（1）設(shè)，則，，，由題意，則，所以.（2）由正弦定理，中，，即①中，，即②①÷②得：，化簡得，所以.例2．（2023·湖北黃岡·高一統(tǒng)考期末）如圖，四邊形中，，，設(shè)．（1）若面積是面積的倍，求;（2）若，求.【解析】（1）設(shè)，則，，，由題意，則，所以.（2）由正弦定理，在中，，即①在中，，即②②÷①得：，，化簡得，所以.例3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在①，②，③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并解答.已知在四邊形ABCD中，，，且______.(1)證明：；(2)若，求四邊形ABCD的面積.【解析】（1）方案一：選條件①.在中，由正弦定理得，，在中，由正弦定理得，，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?因?yàn)?，，所以，即，所以，所?方案二：選條件②.在中，由正弦定理得，，在中，由正弦定理得，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?因?yàn)椋?因?yàn)?，，，所以，即，所以，所?方案三：選條件③.因?yàn)?，，且，，所以在中，由正弦定理得，，在中，由正弦定理得，，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，所以，即，所以，所?（2）選擇①②③，答案均相同，由（1）可設(shè)，則，在中，由余弦定理得，，在中，由余弦定理得，，因?yàn)?，所以，解得或（舍去），所以，所以，所以四邊形ABCD的面積.變式1．（2023·甘肅金昌·高一永昌縣第一高級中學(xué)校考期中）如圖，在平面四邊形ABCD中，.(1)當(dāng)時，求的面積.(2)當(dāng)時，求.【解析】（1）當(dāng)時，在中，，由余弦定理得，即，解得，所以，因?yàn)椋瑒t，又，所以的面積是.（2）在中，由正弦定理得，即，在中，由正弦定理得，即，則，整理得，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所?變式2．（2023·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）如圖，在平面四邊形中，．(1)若，求的面積；(2)若，求．【解析】（1）因?yàn)?，由余弦定理得，即，由余弦定理得，所以，所以的面積（2）在中，由正弦定理得，即①，在中，由正弦定理得，即②，①②聯(lián)立可得，因?yàn)椋宰兪?．（2023·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在平面四邊形中，，.（1）若，，求的長；（2）若，求的值.【解析】（1）在中，因?yàn)椋?，在中，，在中，由余弦定理得，所?（2）設(shè)，在中，，因?yàn)?，所以，于是，因?yàn)?，所以，，在中，由正弦定理得，所以，于是，即，所以，因?yàn)?，所?變式4．（2023·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期末）在①，②，③的面積這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并完成解答.在中，角、、的對邊分別為、、，已知______.(1)求角；(2)若點(diǎn)在邊上，且，，求.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分【解析】（1）若選擇①：因?yàn)?，結(jié)合余弦定理，得，即，由正弦定理可得，所以，又，所以，所以，即，又，所以；若選擇②：因?yàn)椋Y(jié)合正弦定理可得，即，，即，又，，故，即，所以，即，因?yàn)?，，所以，得；若選擇③：條件即，又，，所以，即，所以，又因?yàn)?，則，所以，又因?yàn)?，所?（2）設(shè)，則.

因?yàn)?，，故，所以，在中，由正弦定理可得，即，在中，同理可得，，因?yàn)椋?，即，整理得，?變式5．（2023·廣東深圳·深圳市高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）記的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知.(1)求；(2)若點(diǎn)在邊上，且，，求.【解析】（1）因?yàn)?，由余弦定理可得，化簡可得，由余弦定理可得，因?yàn)?，所以?（2）因?yàn)?，則為銳角，所以，，因?yàn)?，所以，，所以，，設(shè)，則，在和中，由正弦定理得，，因?yàn)椋厦鎯蓚€等式相除可得，得，即，所以，.變式6．（2023·廣東揭陽·高三?？茧A段練習(xí)）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且.(1)求角；(2)若是內(nèi)一點(diǎn)，，，，，求．【解析】（1）因?yàn)?，所以由正弦定理得；，，，則；（2），，；在中，由正弦定理得：；在中，由正弦定理得：；，即，題型二：兩角使用余弦定理例4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，四邊形中，，．(1)求；(2)若，求．【解析】（1）中，設(shè)，則，解得，；（2）設(shè)，則設(shè)，，中，中，，，可得，化簡得，即又，，即，解得例5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在梯形ABCD中，，．(1)求證：；(2)若，，求梯形ABCD的面積．【解析】（1）連接BD．因?yàn)?，所以．在中，由正弦定理得，①在中，由正弦定理得，②由，，結(jié)合①②可得．（2）由（1）知，，，又，所以，則．連接BD，在中，由余弦定理得；在中，由余弦定理得，所以，解得或．當(dāng)時，連接AC，在中，由余弦定理，得，所以，而此時，故不滿足題意，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，此時梯形ABCD的高，當(dāng)時，梯形ABCD的面積；所以梯形ABCD的面積為．例6．（2023·河北·校聯(lián)考一模）在中，，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，連接并延長到點(diǎn)E，使.(1)若，求的余弦值；(2)若，求線段的長.【解析】（1）因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，設(shè)，則，即，解得，所以，在中，由余弦定理知，.（2）在中，由余弦定理知，，所以，化簡得，解得，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，在中，由余弦定理知，，所以，因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理知，，連接，在中，由余弦定理知，，所以.

變式7．（2023·全國·模擬預(yù)測）在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.(1)求角；(2)若點(diǎn)在上，，，求的值.【解析】（1）因?yàn)椋?，解得或（舍去），所以，即，因?yàn)椋?（2）如圖，因?yàn)椋?，設(shè)，，

在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，因?yàn)?，所以，即，所以，所以，因?yàn)?，所以，所?變式8．（2023·浙江舟山·高一舟山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在梯形中，，.(1)求證：；(2)若，，求的長度.【解析】（1）證明：在中，由正弦定理得，即，因?yàn)?，所以，所以，在中，由正弦定理得，即，所?又，所以，即.（2）由（1）知.在中，由余弦定理得，故.所以.在中，由余弦定理得，即，整理可得，解得或.又因?yàn)闉樘菪?，所?題型三：張角定理與等面積法例7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知△ABC中，分別為內(nèi)角的對邊，且.(1)求角的大??；(2)設(shè)點(diǎn)為上一點(diǎn)，是的角平分線，且，，求的面積.【解析】（1）在△ABC中，由正弦定理及得：，..由余弦定理得，又，所以（2）是的角平分線，，由可得因?yàn)椋?，即有，，故?．（2023·貴州黔東南·凱里一中?？既＃┮阎鰽BC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求A的大小；(2)設(shè)點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，AD是△ABC的角平分線，且，，求△ABC的面積．【解析】（1）因?yàn)樗愿鶕?jù)正弦定理得：即由余弦定理得：故又所以．（2）因?yàn)锳D是△ABC的角平分線，由，得：，所以故．例9．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在中，設(shè)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且．（1）求；（2）若D為上點(diǎn)，平分角A，且，，求．【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理，可得，又因?yàn)?，可得．?）因?yàn)镈為上點(diǎn)，平分角，則，又由，可得，又因?yàn)?，可得，解得，因?yàn)?，所以．變?．（2023·安徽淮南·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，且點(diǎn)在線段上．(1)若，求的長；(2)若，，求的面積．【解析】（1）由，可得，所以或（舍去），所以，因?yàn)?，所以，由正弦定理可得：，所以．?）由，得，所以，因?yàn)?，，所以，由余弦定理得，即，，可得或（舍去），所以，所以．變?0．（2023·江西撫州·江西省臨川第二中學(xué)?？级＃┤鐖D，在中，，，點(diǎn)在線段上.（1）若，求的長；（2）若，的面積為，求的值.【解析】（1）∵，∴，又∵，∴.在中，，∴.（2）∵，∴，，又，∴，∵，∴，∵，，，∴，在中，由余弦定理得.∴，∴.變式11．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，其圖像上相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)間的距離為．(1)求函數(shù)的解析式；(2)記的內(nèi)角的對邊分別為，，，．若角的平分線交于，求的長．【解析】（1）因?yàn)椋O(shè)函數(shù)的周期為，由題意，即，解得，所以.（2）由得：，即，解得，因?yàn)?，所以，因?yàn)榈钠椒志€交于，所以，即，可得，由余弦定理得：，，而，得，因此.變式12．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知銳角的內(nèi)角的對邊分別為，且．(1)求；(2)若，角的平分線交于點(diǎn)，，求的面積．【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理得，整理得，又由余弦定理得．因?yàn)?，所以．?）如圖所示，因?yàn)?，所以．又因?yàn)?，所以．由余弦定理得，?lián)立方程組，可得，即，解得或（舍去），所以．題型四：角平分線問題例10．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第一二二中學(xué)校?？寄M預(yù)測）在中，已知，的平分線與邊交于點(diǎn)，的平分線與邊交于點(diǎn)，.(1)若，求的面積；(2)若，求.【解析】（1）因?yàn)?，所以，則，則.設(shè)，則，在中，由余弦定理得，即，即，又，所以，所以的面積.（2）因?yàn)?，，所以，，因?yàn)?，所以，在中，由正弦定理得，即，所?例11．（2023·河北衡水·河北衡水中學(xué)?？寄M預(yù)測）銳角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，(1)求的值及的面積；(2)的平分線與BC交于D，，求a的值．【解析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合正弦定理邊角互化得，即，因?yàn)锽，，所以，，所以，因?yàn)樵阡J角中，，所以．所以，因?yàn)?，所以，解得，所以的面積.（2）因?yàn)榈钠椒志€與BC交于D，，所以，即，所以，由于，所以，所以，所以．例12．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且.(1)求角C的大??；(2)若的平分線交AB于點(diǎn)D，且，，求的面積.【解析】（1）由已知可得，,整理得，，因?yàn)?，所以，所以，即，因?yàn)?，所?（2）由題意得，,即，所以.法一：在中，，所以.在中，，所以，即，將代入整理得，解得或.若，則，，,，所以在中，得,同理可得,即和都為鈍角，不符合題意，排除.所以，，.法二：因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所以，所?變式13．（2023·河北唐山·唐山市第十中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，角C的平分線交AB于點(diǎn)D，且，.

(1)求的大小；(2)求.【解析】（1）由正弦定理得，即，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)椋?，所?（2）已知角C的平分線交AB于點(diǎn)D，且，.在中，由正弦定理得,在中，由正弦定理得,因?yàn)?，，所以，所?設(shè)，由余弦定理得，即，解得，因?yàn)?，所?解得.變式14．（2023·廣東深圳·?？级＃┯浀膬?nèi)角A?B?C的對邊分別為a?b?c，已知.(1)證明：；(2)若角B的平分線交AC于點(diǎn)D，且，，求的面積.【解析】（1）由正弦定理得：所以可化為,因?yàn)?，所以所以，所以，即，所以；（2）角B的平分線交AC于點(diǎn)D，且，,由角平分線定理可得，,,又，由余弦定理得：，，在中，由余弦定理得：，所以.所以.變式15．（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，點(diǎn)M在邊上，是角A的平分線，，．(1)求A；(2)若，求的長．【解析】（1）在中，由及正弦定理得，又，所以，又，所以．（2）已知是角A的平分線，,，則，所以，所以，如圖，過M作交于點(diǎn)D，易知為正三角形，所以，，．在中，由余弦定理得，．變式16．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在①；②這兩個條件中任選一個作為已知條件，補(bǔ)充在下面的橫線上，并給出解答．注：若選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分．已知中，角的對邊分別為，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，，且________．(1)求a的值；(2)若的平分線交于點(diǎn)E，求的周長．【解析】（1）若選①：由可得,又,故,而，故，又，所以；設(shè)，則，

在中，由余弦定理得,即，在中，由余弦定理得,即，和聯(lián)立解得，則；若選②：，設(shè)，則，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，因?yàn)?，所以，即，解得，?（2）由（1）可知，選①可得；選②可得，則，故由，可得，解得，故在中，，即,故的周長為.題型五：中線問題例13．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）已知中角、、所對的邊分別為、、，且滿足，．(1)求角A；(2)若，邊上中線，求的面積．【解析】（1），所以由正弦定理得，，，即，，，，；（2），則，即，而，邊上中線，故，解得，．例14．（2023·四川內(nèi)江·校考模擬預(yù)測）在△ABC中，D是邊BC上的點(diǎn)，，，AD平分∠BAC，△ABD的面積是△ACD的面積的兩倍．(1)求△ACD的面積；(2)求△ABC的邊BC上的中線AE的長．【解析】（1）由已知及正弦定理可得：，化簡得：．又因?yàn)椋?，所以，所以，所以△ACD的面積為．（2）由（1）可知，因?yàn)锳E是△ABC的邊BC上的中線，所以，所以，所以△ABC的邊BC上的中線AE的長為．例15．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考二模）在中，角所對的邊分別為，，．(1)求的值；(2)若，求邊上中線的長．【解析】（1）由正弦定理得：，，，，，又，，解得：.（2），，由余弦定理得：，，，，即邊上中線的長為.變式17．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）在中，內(nèi)角的對邊分別為，.(1)求；(2)若的面積為，求邊上的中線的長.【解析】（1）因?yàn)椋?，所以，即，所以，由余弦定理及得：，又，所以，即，所以，所?（2）由，所以，由（1），所以，因?yàn)闉檫吷系闹芯€，所以，所以，所以，所以邊上的中線的長為：.變式18．（2023·安徽宣城·安徽省宣城中學(xué)?？寄M預(yù)測）中，已知.邊上的中線為.(1)求；(2)從以下三個條件中選擇兩個，使存在且唯一確定，并求和的長度.條件①：；條件②；條件③.【解析】（1）因?yàn)?，則，，又，解得：，故.（2）由（1）得，又余弦定理得：，所以，而條件①中，所以，顯然不符合題意，即條件①錯誤，由條件②，條件③，解得，由余弦定理可得，所以.在中，由正弦定理可得，解得，又，所以，因?yàn)闉檫吷系闹芯€，所以，在中，由余弦定理可得，解得.故.變式19．（2023·遼寧沈陽·東北育才雙語學(xué)校校考一模）如圖，設(shè)中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，AD為BC邊上的中線，已知且，．(1)求b邊的長度；(2)求的面積；(3)設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊AB，AC上的動點(diǎn)（含端點(diǎn)），線段EF交AD于G，且的面積為面積的，求的取值范圍．【解析】（1）由已知條件可知：在中，由正弦定理得在中，由余弦定理得，又（2）設(shè)為BC邊上中線則①或由①，得（3）設(shè)，，（），根據(jù)三點(diǎn)共線公式，得（，為∠BAC）變式20．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考三模）在①；②這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并作答.問題：已知中，分別為角所對的邊，__________.(1)求角的大??；(2)已知，若邊上的兩條中線相交于點(diǎn)，求的余弦值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分.【解析】（1）若選①，，由正弦定理得，又，則，又，即，又，則；若選②，由正弦定理得，又，則，即，則，又，則；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，過點(diǎn)垂直于的直線為軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，易得，由可得，則，則，則.題型六：高問題例16．（2023·海南海口·海南華僑中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知的內(nèi)角A，，的對邊分別為，，，，.(1)若，證明：；(2)若邊上的高為，求的周長.【解析】（1）由已知可得，由正弦定理可得，，所以有.又，所以，.又，所以.，，.又，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則.（2）由題意得的面積.又，則.由余弦定理，得，所以，.所以，的周長為.例17．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，．(1)求；(2)若，邊上的高線長，求．【解析】（1）由已知得；（2），，，，，，，，，又，，，，，.例18．（2023·四川自貢·統(tǒng)考三模）的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若．(1)求A；(2)若BC上的高，求．【解析】（1）由題意得：，則由余弦定理得，因?yàn)?所以．（2）由，則，所以，則由正弦定理得，則，又，即，則．變式21．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考一模）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求A；(2)若，且BC邊上的高為，求a．【解析】（1）因?yàn)?，所以由余弦定理得，由正弦定理得，由于，整理得．又因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，即．?）由得，又，所以，，由余弦定理知，解得.變式22．（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知中，點(diǎn)在邊上，滿足，且，的面積與面積的比為．(1)求的值；(2)若，求邊上的高的值．【解析】（1）∵，∴為的平分線，在與中，根據(jù)正弦定理可得：兩式相比可得：又的面積與面積的比為，∴，即，且，由得，∴且為銳角，∴．故答案為：（2）由（1）知為銳角，且，因此，又，所以在中由余弦定理得，解得：，∵∴．故答案為：題型七：重心性質(zhì)及其應(yīng)用例19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求的最小值；(2)若M為的重心，，求．【解析】（1）因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.（2）記邊的中點(diǎn)為，邊的中點(diǎn)為，邊的中點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)為的重心，所以，在中，，為邊的中點(diǎn)，所以，所以，設(shè)，則，在中，，即，在中，，即，在中，，即，消去x，y得，又，所以，從而解得，即，在中，，所以，在中，，所以，所以.例20．（2023·河南開封·開封高中?？寄M預(yù)測）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知為的重心．(1)若，求的長；(2)若，求的面積．【解析】（1）因?yàn)椋裕?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，整理得，解得，所以?）由（1）知，記邊的中點(diǎn)為因?yàn)闉榈闹匦?，，所以，邊上的中線長為，即，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)為銳角時，，則由得，解得或，不滿足題意，舍去；當(dāng)為鈍角時，，則由得，解得或，所以，當(dāng)，的面積為當(dāng)，的面積為.例21．（2023·廣西欽州·高三?？茧A段練習(xí)）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．(1)求角的大小(2)若，點(diǎn)是的重心，且，求內(nèi)切圓的半徑．【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，即，又，所以，所以，即，又，所以，所以，解得?）因?yàn)辄c(diǎn)是的重心，所以，所以，即，解得或舍．由余弦定理得，解得．設(shè)內(nèi)切圓的圓心，半徑為，則即，即，解得，即內(nèi)切圓的半徑為．變式23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)a，b，c分別為的內(nèi)角A，B，C的對邊，AD為BC邊上的中線，c＝1，，．(1)求AD的長度；(2)若E為AB上靠近B的四等分點(diǎn)，G為的重心，連接EG并延長與AC交于點(diǎn)F，求AF的長度．【解析】（1）依據(jù)題意，由可得，則，，，，解得，，解得AD為（2）G為的重心，，，，，，，，變式24．（2023·四川內(nèi)江·高三威遠(yuǎn)中學(xué)校校考期中）的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為．(1)求A的大?。?2)M為內(nèi)一點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn)D，___________，求的面積．請?jiān)谙旅嫒齻€條件中選擇一個作為已知條件補(bǔ)充在橫線上，使存在，并解決問題．①M(fèi)為的重心，；②M為的內(nèi)心，；③M為的外心，．【解析】（1）∵，∴，即由正弦定理得，，即，∵，∴，∴，又，∴，∴（2）設(shè)外接圓半徑為，則根據(jù)正弦定理得，，若選①：∵M(jìn)為該三角形的重心，則D為線段的中點(diǎn)且，又，∴，即，又由余弦定理得，即，解得，∴；若選②：∵M(jìn)為的內(nèi)心，∴，由得，∵，∴，即，由余弦定理可得，即，∴，即，∵，∴，∴．若選③：M為的外心，則為外接圓半徑，，與所給條件矛盾，故不能選③.變式25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在①；②這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并加以解答．在中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，已知______．(1)求角A的大??；(2)若為銳角三角形，且其面積為，點(diǎn)G為重心，點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段上，且，線段與線段相交于點(diǎn)P，求的取值范圍．注：如果選擇多個方案分別解答，按第一個方案解答計(jì)分．【解析】（1）若選①，由正弦定理可得即，又，所以，即，因?yàn)?，所以；若選②，即，即，所以，即，所以，即，因?yàn)椋?；?）依題意，，所以，因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，故設(shè)，同理、、三點(diǎn)共線，故設(shè)，所以，解得，所以，則，因?yàn)?，所以，又為銳角三角形，當(dāng)為銳角，則，即，即，即，即，所以，當(dāng)為銳角，則，即，即，即，即，即，所以，綜上可得，又，則因?yàn)椋?，而在上單調(diào)遞減，所以，即，即，所以，則.題型八：外心及外接圓問題例22．（2023·湖南長沙·長沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┰谥?，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a，b，c是公差為2的等差數(shù)列.(1)若，求的面積.(2)是否存在正整數(shù)b，使得的外心在的外部?若存在，求b的取值集合；若不存在，請說明理由.【解析】（1），由正弦定理得，a，b，c是公差為2的等差數(shù)列，，，，，，，，，且，，故的面積為.（2）假設(shè)存在正整數(shù)b，使得的外心在的外部，則為鈍角三角形，依題意可知，則C為鈍角，則，所以，解得，，，，存在正整數(shù)b，使得的外心在的外部，此時整數(shù)b的取值集合為.例23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在ABC中，三內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，a＝6．(1)求bcosC＋ccosB的值；(2)若O是ABC的外心，且，求ABC外接圓的半徑．【解析】（1）.（2）設(shè)ABC外接圓的半徑是R．因此例24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c；，.（1）求的值；（2）若的外心在其外部，，求外接圓的面積.【解析】（1）依題意，由余弦定理得，，，，所以或.當(dāng)時，.當(dāng)時，.（2）若的外心在其外部，則不符合題意.當(dāng)時，，為鈍角，符合題意.，設(shè)三角形外接圓的半徑為，由正弦定理得，所以外接圓的面積為.變式26．（2023·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在中，角，，對應(yīng)的三邊分別為，，，，，，為的外心，連接，，．（1）求的面積；（2）過作邊的垂線交于點(diǎn)，連接，試求的值．【解析】（1）

在中，，則，，(是到的距離）（2）又題型九