2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 專項(xiàng)訓(xùn)練【原卷版】

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-7.2-空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系-專項(xiàng)訓(xùn)練【原卷版】

1.如圖，aCB=l,A,BQa,C7,且直線/gn/=M,過/,B,C三點(diǎn)的平

面記作y,貝如與￡的交線必通過（)

A.點(diǎn)AB.點(diǎn)B

C.點(diǎn)C但不過點(diǎn)MD.點(diǎn)C和點(diǎn)〃

2.若a//a,b//P，a//P，則a,6的位置關(guān)系是（）

A.平行B.異面

C.相交D.平行或異面或相交

3.已知a,b,c是三條不同的直線，a,￡是兩個(gè)不同的平面，aC0=c,aUa,bU0,

則“a,6相交”是“a,c相交”的（）

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

4.過長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)的平面與這個(gè)長(zhǎng)方體的十二條棱所在的直線成的角都相等，這

樣的平面?zhèn)€數(shù)為（）

A.4B.1

C.0D.無(wú)數(shù)多個(gè)

5.（多選）下列四個(gè)命題中是真命題的為（）

A.兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi)

B.過空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面

C.若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行

D.若直線/u平面a,直線加_L平面a,則〃?_!_/

6.（多選）如圖，點(diǎn)E,F,G,〃分別是正方體/BCD/山iGDi中棱

44i,AB,BC,GDi的中點(diǎn)，貝1J（）

A.GH=2EF

B.GH^2EF

C.直線EV,G8是異面直線

D.直線即，GH是相交直線

7.如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面a上，且4B〃CD,則直線即與

正方體的六個(gè)面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為

8.如圖，已知圓柱的軸截面是正方形，C是圓柱下底面弧48的中點(diǎn)，G是圓

柱上底面弧4S的中點(diǎn)，那么異面直線/G與BC所成角的正切值為

9.在棱長(zhǎng)為4的正方體430/131cbDi中，E,尸分別是8。和QA的中點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)

A,E,廠的平面把正方體截成兩部分，求截面與3CC131的交線段長(zhǎng).

10.已知正方體48CZM山Cd的棱長(zhǎng)為3仍，E,尸分別為BC,CD的中點(diǎn)，尸是線

段48上的動(dòng)點(diǎn)，GP與平面。1成的交點(diǎn)。的軌跡長(zhǎng)為（）

A.3B.V13

C.4D.3也

11.（多選）如圖所示，在正方體48CD-481C1A中，。是為⑦的中點(diǎn)，直線4c交平

面/Bid于點(diǎn)/，則下列結(jié)論正確的是（）

A.A,M,。三點(diǎn)共線B.A,M,O,4共面

C.A,M,C,。共面D.B,Bi,O,M共面

12.空間三條直線a,b,c兩兩異面，則與三條直線都相交的直線有條.

13.如圖，AB,CD是圓錐面的正截面（垂直于軸的截面）上互相垂

直的兩條直徑，過CD和母線EB的中點(diǎn)￡作一截面.已知圓錐側(cè)面展

開圖扇形的中心角為啦兀，求截面與圓錐的軸線所夾的角的大小，并說

明截線是什么曲線.

14.《九章算術(shù)?商功》中劉徽注：“邪解立方得二塹堵，邪解塹堵，其一為陽(yáng)馬，其一

為鱉席."如圖①所示的長(zhǎng)方體用平面4412bB斜切一分為二，得到兩個(gè)一模一樣的三棱柱,

該三棱柱就叫塹堵.如圖②所示的塹堵中，/C=3,BC=4,AB=5,44i=2,M為3c的

中點(diǎn)，則異面直線4c與所成角的余弦值為（）

15.設(shè)a,b是異面直線，點(diǎn)尸陣a,尸建6.問：過點(diǎn)尸是否可作直線/

與。，6都相交？如果可作，能作多少條？如果不可作，請(qǐng)說明理由.

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-7.2-空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系-專項(xiàng)訓(xùn)練【解析版】

1.如圖，an/=/,A,BRa,C^/3,且。用，直線/8n/=M,過/,B,C三點(diǎn)的平

面記作y,貝如與￡的交線必通過（）

C.點(diǎn)C但不過點(diǎn)MD.點(diǎn)。和點(diǎn)M

解析：D'：AB^y,MGAB,XctA^=Z,根據(jù)基本事實(shí)3

可知，”在y與萬(wàn)的交線上.同理可知，點(diǎn)C也在y與4的交線上.

2.若a〃a,b//P，a//P，貝!Ja,6的位置關(guān)系是（）

A.平行B.異面

C.相交D.平行或異面或相交

解析：D如圖①②③所示，a,6的關(guān)系分別是平行、異面、相交.

圖①圖②圖③

3.已知a,b,c是三條不同的直線，a,￡是兩個(gè)不同的平面，aC￡=c,aUa,bu§,

則“a,b相交”是“a,c相交”的（）

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

解析：C若a,6相交，aUa,bU0,則其交點(diǎn)在交線c上，故a,c相交；若a,c

相交，可能a,6為相交直線或異面直線.綜上所述：a,6相交是a,c相交的充分不必要

條件.故選C.

4.過長(zhǎng)方體的1?個(gè)頂點(diǎn)的平面與這個(gè)長(zhǎng)方體的十二條棱所在的直線成的角都相等，這

樣的平面?zhèn)€數(shù)為（）

A.4B.1

C.0D.無(wú)數(shù)多個(gè)

解析：A由題意，題目中的長(zhǎng)方體與正方體，所作的平面?zhèn)€數(shù)相同，所以用正方體代

替長(zhǎng)方體來求解.

法一：在正方體43cz）-/iSCiDi中，三棱錐443。是正三棱錐，直線48,AD,AA\

與平面4AD所成角都相等，過頂點(diǎn)/作平面a〃平面小2。，則直線48,AD,441與平面a

所成角都相等，同理，過頂點(diǎn)/分別作平面a與平面CL8D、平面3/C,平面D/C平行,

直線/夙AD,N4與平面a形成的角都相等，因此符合條件的平面可作4個(gè)，故選A.

法二：只要與體對(duì)角線垂直的平面都和正方體的所有棱所成的角相等，因?yàn)橛兴臈l體對(duì)

角線，所以，可以做4個(gè)平面.故選A.

5.（多選）下列四個(gè)命題中是真命題的為（）

A.兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi)

B.過空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面

C.若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行

D.若直線/U平面a,直線加J_平面a,則加_!_/

解析：AD對(duì)于A,可設(shè)/i與心相交，這兩條直線確定的平面/

為a；若人與/i相交，則交點(diǎn)工在平面a內(nèi)，同理，乙與心的交點(diǎn)2

也在平面a內(nèi)，所以，AB^a,即/Ua,A為真命題；

對(duì)于B,若三點(diǎn)共線，則過這三個(gè)點(diǎn)的平面有無(wú)數(shù)個(gè)，故B為假命題；

對(duì)于C,兩條直線有可能平行也有可能異面，故C為假命題；

對(duì)于D,若直線加，平面a,則加垂直于平面a內(nèi)所有直線，因?yàn)橹本€/U平面a,所以

直線加，直線/,D為真命題.

6.（多選）如圖，點(diǎn)E,F,G,"分別是正方體N3CD-/山Cid中棱

44i,AB,BC,GD1的中點(diǎn)，貝1］（）

A.GH=2EF

B.GH^IEF

C.直線EF,GX是異面直線

D.直線E凡GH是相交直線

解析：BD如圖，取棱CCi的中點(diǎn)N,小功的中點(diǎn)連接EM,

MH,HN,NG,FG,AC,A\C\,在正方體48czM121aoi中，'：MH

//A1C1//AC//FG,：.M,H,F,G四點(diǎn)共面，同理可得E,M,G,N

四點(diǎn)共面，E,F,H,N四點(diǎn)共面，M,H,N,G,尸六點(diǎn)共面，

均在平面EFGNW內(nèi)，'SEF//HN,HNCHG=H,HN,HG,EFU平面EFGNHM,：.EF

與是相交直線.由正方體的結(jié)構(gòu)特征及中位線定理可得￡尸=訓(xùn)=柘=/6=￡〃=必7,

:.也EF=GH,即G77W2EF.故選B、D.

7.如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面a上，且48〃CO,則直線M與

正方體的六個(gè)面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為.

解析：因?yàn)?B〃CD,由圖可以看出￡F平行于正方體左右兩個(gè)側(cè)面，與另外四個(gè)側(cè)面

相交.

答案：4

8.如圖，已知圓柱的軸截面488Ml是正方形，。是圓柱下底面弧A8的中點(diǎn)，G是圓

柱上底面弧N/1的中點(diǎn)，那么異面直線/Ci與所成角的正切值為_______.

解析：如圖，取圓柱下底面弧的另一中點(diǎn)。，連接Ci。，AD,因?yàn)椤Ｊ菆A柱下底

面弧AB的中點(diǎn)，所以4D〃3C,

所以直線/G與ND所成角等于異面直線/Ci與3c所成角.因?yàn)镚是圓柱上底面弧

as的中點(diǎn)，所以圓柱下底面，所以CxDLAD,因?yàn)閳A柱的軸截面是正方形，

所以CiD=\bAD,所以直線/Ci與40所成角的正切值為也，所以異面直線/G與所

成角的正切值為也.

答案:也

9.在棱長(zhǎng)為4的正方體A8CD-43C1O1中，E,尸分別是和的中點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)

A,E,尸的平面把正方體/BCD-/1SGA截成兩部分，求截面與3CG21的交線段長(zhǎng).

解：如圖，連接NE并延長(zhǎng)交DC的延長(zhǎng)線于連接W交CG于G,連接EG并延

長(zhǎng)交SG的延長(zhǎng)線于N,連接NF并延長(zhǎng)交由Di于〃，連接則五邊形/EGFH為經(jīng)過

點(diǎn)N,E,歹的正方體的截面，

因?yàn)椤隇?C的中點(diǎn)，所以C￡=13C=2,

因?yàn)镃E〃N￡>,所以AMCEs/\MDA,

所以絲=絲=1,所以CM=CD=4,

DMAD2

因?yàn)閆W〃Ci￡>i,所以△MCGs/X/CiG,

所以空=C"=2,所以CG=2X4=￡

C\GC\F33

所以EG=YC￡2+CG2=：22+02=T，

所以截面與BCCIBT的交線段長(zhǎng)為

3

10.已知正方體的棱長(zhǎng)為3/，E,尸分別為2C,CD的中點(diǎn)，P是線

段/山上的動(dòng)點(diǎn)，GP與平面Di斯的交點(diǎn)。的軌跡長(zhǎng)為（）

A.3B.而

C.4D.3/

解析：B如圖所示，連接AiB,連接/Ci,Bid交于點(diǎn)M,

連接8i￡,8G交于點(diǎn)N,連接肱V,由EF〃修。1,得E,F,Bi,Di

共面，由P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P重合于小或5時(shí)，CiAi,CiB

與平面Di￡F的交點(diǎn)分別為M,N,即。的軌跡為由棱長(zhǎng)為3亞，L__\W

AD

得CiM=1/iCj=3,則8cl=6,又^^=豌=1,則NG=2BCI=4,由48=3G=/CI,

2SiCiNCi23

得/4C/=60°,則MN=yjMa+NC^-2MCi-NCi-cosZAiCiB=^J9+16-2X3X4x1=

V13.

11.（多選）如圖所示，在正方體力BCO-N/iGDi中，。是21A的中點(diǎn)，直線/C交平

面481A于點(diǎn)則下列結(jié)論正確的是（）

A.A,M,。三點(diǎn)共線B.A,M,O,小共面

C.A,M,C,。共面D.B,Bi，O,M共面

解析：ABC：Me/iC,4Cu平面/MCG,平面/MCG,又we平面451A,

在平面與平面/MCG的交線/。上，即aM,。三點(diǎn)共線，：.A,M,O,Ax

共面且4M,C,。共面，:.平面ABiDiDC平面二又在平面AB01。外，

即2,Bi,O,M不共面，故選A、B、C.

12.空間三條直線a,6,c兩兩異面，則與三條直線都相交的直線有條.

解析：取a,6,c為一正方體三條兩兩異面的棱40,CCi,AxBx,在/。上任取一點(diǎn)

在8C上取點(diǎn)N,使得BN〃4M,設(shè)直線BiN與CG交于點(diǎn)尸，即與a,b,c都相交,

由于"是任取的，故滿足條件的直線有無(wú)數(shù)條.

答案：無(wú)數(shù)

13.如圖，AB,CD是圓錐面的正截面（垂直于軸的截面）上互相垂

直的兩條直徑，過CD和母線g的中點(diǎn)E作一截面.已知圓錐側(cè)面展

開圖扇形的中心角為啦兀，求截面與圓錐的軸線所夾的角的大小，并說

明截線是什么曲線.

解：如圖，設(shè)。。的半徑為此母線EB=/,則圓錐側(cè)面展開圖的中

心角為等='年?,

：.sinZBVO=^

2

???圓錐的母線與軸的夾角匹.

4

連接。及;。，￡分別是45,9的中點(diǎn),

：.OE//VA.

JT

：.ZVOE=ZAVO=ZBVO=-,

4

：.ZVEO=-,即摩_LOE.

2

又：/8_1處VO±CD,ABdVO=O,

.?.CD_L平面VAB.

平面VAB,

：.VELCD.

又?.,0EnCD=。，OE,CDU平面CZ>￡,

二rE_L平面CDE.

是截面與軸線的夾角，

二截面的軸線夾角大小為匹.

4

由圓錐的半頂角與截面與軸線的夾角相等，知截面CDE與圓錐面的截線為一拋物線.

14.《九章算術(shù)?商功》中劉徽注：“邪解立方得二塹堵，邪解塹堵，其一為陽(yáng)馬，其一

為鱉席."如圖①所示的長(zhǎng)方體用