2024年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：排列組合12種題型歸納（解析版）

2024年高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)排列組合12種

題型歸納（解析版）

排列組合12種題型歸納

i.排列與組合的概念

名稱定義區(qū)別

排列按照一定的順序排成一列

從n個(gè)不同元素中取出

排列有序，組合無(wú)序

冽（冽W"）個(gè)兀素

組合合成一組

2.排列數(shù)與組合數(shù)

定義計(jì)算公式性質(zhì)聯(lián)系

從n個(gè)不同元素中取出

冽（加〈加）個(gè)元素的所有

排A4=幾(幾—1)5—2),??5—冽+1)

不同排列的個(gè)數(shù),叫做(l)Ag=?l；

列

從〃個(gè)不同元素中取出=——---(幾，m且冽

數(shù)(n~m)!(2)0!=1

旭個(gè)元素的排列數(shù).用符

號(hào)表示

5「tn-—.

m!

從n個(gè)不同元素中取出

⑴

_n(n—1)(〃―2)???(L冽+1)-L

加（加W幾）個(gè)元素的所有。八一

組m!

不同組合的個(gè)數(shù),叫做(2)a,=cp2；

合

從n個(gè)不同元素中取出=----------(n，加￡N*,且加

mI(n-m)!

數(shù)(3)C?+i=Cf±

加個(gè)元素的組合數(shù).用符

號(hào)“or表示

【題型一】人坐座位模型1:捆綁與插空

【典例分析】

1.有四男生，三女生站一排，其中只有倆個(gè)女生相鄰:

2.有四男生，4女生站一排，女生若相鄰，則最多2個(gè)女生相鄰:

【變式演練】

1.在某班進(jìn)行的歌唱比賽中，共有5位選手參加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能連著出場(chǎng),

且女生甲不能排在第一個(gè)，那么出場(chǎng)順序的排法種數(shù)為

A.30B.36C.60D.72

2.某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目、2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的

排法種數(shù)是（）

A.144B.120C.72D.48

3.2021年4月15日，是第六個(gè)全民國(guó)家安全教育日，教育廳組織宣講團(tuán)到某市的六個(gè)不同高校進(jìn)行國(guó)家安

全知識(shí)的宣講，時(shí)間順序要求是：高校甲必須排在第二或第三個(gè)，且高校甲宣講結(jié)束后需立即到高校丁宣

講，高校乙、高校丙的宣講順序不能相鄰，則不同的宣講順序共有（）

A.28種B.32種C.36種D.44種

【題型二】人坐座位模型2:染色（平面）

【典例分析】

如圖為我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽（約3世紀(jì)初）在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏

色給其中5個(gè)小區(qū)涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只能涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，則A、C區(qū)域顏色不相同的概

率是

A.l/7b.2/7c.3/7D.4/7

【變式演練】

1.正方體六個(gè)面上分別標(biāo)有/、B、C、D、E、9六個(gè)字母，現(xiàn)用5種不同的顏色給此正方體六個(gè)面染色,

要求有公共棱的面不能染同一種顏色，則不同的染色方案有（）種.

A.420B.600C.720D.780

2.如圖，某傘廠生產(chǎn)的太陽(yáng)傘的傘篷是由太陽(yáng)光的七種顏色組成，七種顏色分別涂在傘篷的八個(gè)區(qū)域內(nèi)，且

恰有一種顏色涂在相對(duì)區(qū)域內(nèi)，則不同顏色圖案的此類太陽(yáng)傘最多有（）.

A.40320種B.5040種C.20160種D.2520種

3.如圖，用四種不同的顏色給圖中的4,B,C,D,E,F,G七個(gè)點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且圖中

每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂色方法有（）

C.600D.以上答案均不對(duì)

【題型三】人坐座位模型3：染色（空間）：

【典例分析】

如圖所示的幾何體由三棱錐尸-在。與三棱柱/8C-44G組合而成，現(xiàn)用3種不同顏色對(duì)這個(gè)幾何體的表

面涂色（底面44G不涂色），要求相鄰的面均不同色，則不同的涂色方案共有（）

A.6種B.9種

C.12種D.36種

【變式演練】

1.如圖所示，將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可

供使用，則不同的染色方法種數(shù)是（）

A.420B.210C.70D.35

2.在如圖所示的H■^一面體4BCDEFG印中，用3種不同顏色給這個(gè)幾何體各個(gè)頂點(diǎn)染色，每個(gè)頂點(diǎn)染一種顏

色，要求每條棱的兩端點(diǎn)異色，則不同的染色方案種數(shù)為.

3.用五種不同顏色給三棱臺(tái)斯的六個(gè)頂點(diǎn)染色，要求每個(gè)點(diǎn)染一種顏色，且每條棱的兩個(gè)端點(diǎn)染不

同顏色.則不同的染色方法有種.

【題型四】書架插書模型

【典例分析】

有12名同學(xué)合影，站成了前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相

對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的種數(shù)是（）

A.168B.260C.840D.560

【變式演練】

1.從B,C,D,a,b,c,d中任選5個(gè)字母排成一排，要求按字母先后順序排列（即按，⑷,2（"C（c）,DS）

先后順序，但大小寫可以交換位置，如或〃5c都可以），這樣的情況有種.（用數(shù)字作答）

2..在一張節(jié)目表上原有6個(gè)節(jié)目，如果保持這些節(jié)目的相對(duì)順序不變，再添加進(jìn)去三個(gè)節(jié)目，求共有多少

種安排方法

3.書架上有排好順序的6本書，如果保持這6本書的相對(duì)順序不變，再放上3本書，則不同的放法共有

（）.

A.210種B.252種C.504種D.505種

【題型五】球放盒子模型1:球不同，盒子也不同

【典例分析】

已知有5個(gè)不同的小球，現(xiàn)將這5個(gè)球全部放入到標(biāo)有編號(hào)1、2、3、4、5的五個(gè)盒子中，若裝有小球的

盒子的編號(hào)之和恰為11,則不同的放球方法種數(shù)為（）

A.150B.240C.390D.1440

【變式演練】

1.將5個(gè)不同的小球放入3個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少1個(gè)球，至多2個(gè)球，則不同的放法種數(shù)有（）

A.30種B.90種C.180種D.270種

2.將編號(hào)分別為1,2,3,4,5的5個(gè)小球分別放入3個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子都不空，則每個(gè)盒子中所

放小球的編號(hào)奇偶性均不相同的概率為

.11-67

A.-B.一C.—D.—

762524

3.將B,C,D四個(gè)小球放入編號(hào)為1,2,3的三個(gè)盒子中，若每個(gè)盒子中至少放一個(gè)球且/，8不能放

入同一個(gè)盒子中，則不同的放法種數(shù)為（)

A.15B.30C.20D.42

【題型六】球放盒子模型2：球相同，盒子不同

【典例分析】

把1995個(gè)不加區(qū)別的小球分別放在10個(gè)不同的盒子里，使得第i個(gè)盒子中至少有i個(gè)球（i=l,2,...,10）,則

不同放法的總數(shù)是

A.Cj?40B.C：940C.C；；49D.C：949

【變式演練】

1.將7個(gè)相同的球放入4個(gè)不同的盒子中，則每個(gè)盒子都有球的放法種數(shù)為（）

A.22B.25C.20D.48

2.把20個(gè)相同的小球裝入編號(hào)分別為①②③④的4個(gè)盒子里，要求①②號(hào)盒每盒至少3個(gè)球，③④號(hào)盒每

盒至少4個(gè)球，共有種方法.

A.C；B./c.團(tuán)D.C^Cf

3.將7個(gè)相同的小球放入A,B,C三個(gè)盒子，每個(gè)盒子至少放一球，共有（）種不同的放法.

A.60種B.36種C.30種D.15種

【題型七】相同元素排列模型1:數(shù)字化法

【典例分析】

如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓才加志愿者活動(dòng)，則

小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為

A.24B.18C.12D.9

【變式演練】

1.一只小蜜蜂位于數(shù)軸上的原點(diǎn)處，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飛行一個(gè)單位或者兩個(gè)單位距離的能

力，且每次飛行至少一個(gè)單位.若小蜜蜂經(jīng)過(guò)5次飛行后，停在數(shù)軸上實(shí)數(shù)3位于的點(diǎn)處，則小蜜蜂不同的

飛行方式有多少種？

A.5B.25C.55D.75

2.跳格游戲：如圖，人從格子外只能進(jìn)入第1個(gè)格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人從格子外

跳到第8個(gè)格子的方法種數(shù)為

加I“小I小卜，

A.8種B.13種C.21種D.34種

3.如圖所示，甲、乙兩人同時(shí)出發(fā)，甲從點(diǎn)A到B,乙從點(diǎn)C到。，且每人每次都只能向上或向右走一格.則

甲、乙的行走路線沒有公共點(diǎn)的概率為（

213

B.D.——

7cA21

DB

A圖3

【題型八】相同元素排列模型2：空車位停車等

【典例分析】

1.某單位有8個(gè)連在一起的車位，現(xiàn)有4輛不同型號(hào)的車需要停放，如果要求剩余的4個(gè)車位中恰好有3個(gè)

連在一起，則不同的停放方法的種數(shù)為（）

A.240B.360C.480D.720

2.馬路上有編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7,8,9的9盞路燈，為節(jié)約用電，可以把其

中的三盞路燈關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的路燈，滿足條件的關(guān)燈辦法有

種

【變式演練】

1.某公共汽車站有6個(gè)候車位排成一排，甲、乙、丙三個(gè)乘客在該汽車站等候228路公交車的到來(lái)，由于市

內(nèi)堵車，228路公交車一直沒到站，三人決定在座位上候車，且每人只能坐一個(gè)位置，則恰好有2個(gè)連續(xù)空

座位的候車方式的種數(shù)是

A.48B.54C.72D.84

2.現(xiàn)有一排10個(gè)位置的空停車場(chǎng)，甲、乙、丙三輛不同的車去停放，要求每輛車左右兩邊都有空車位且甲

車在乙、丙兩車之間的停放方式共有種.

3.地面上有并排的七個(gè)汽車位，現(xiàn)有紅、白、黃、黑四輛不同的汽車同時(shí)倒車入庫(kù).當(dāng)停車完畢后，恰有兩

個(gè)連續(xù)的空車位，且紅、白兩車互不相鄰的情況有種.

【題型九】相同元素排列模型3：上樓梯等

【典例分析】

欲登上第10級(jí)樓梯，如果規(guī)定每步只能跨上一級(jí)或兩級(jí)，則不同的走法共有

A.34種B.55種

C.89種D.144種

【變式演練】

1.斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列.因數(shù)學(xué)家列昂納多?斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子

數(shù)列”，指的是這樣一個(gè)數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34..........在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列以如下被

遞推的方法定義：/（1）=1，/（2）=1,/（"）=/（〃-1）+/（〃-2乂”22,"eN*）.這種遞推方法適合研究生活

中很多問(wèn)題.比如：一六八中學(xué)食堂一樓到二樓有15個(gè)臺(tái)階，某同學(xué)一步可以跨一個(gè)或者兩個(gè)臺(tái)階，則他到

二樓就餐有（）種上樓方法.

A.377B.610C.987D.1597

2.從一樓到二樓共有12級(jí)臺(tái)階，可以一步邁一級(jí)也可以一步邁兩級(jí)，要求8步走完，則從一樓到二樓共有

走法.

A.12B.8C.70D.66

3.某人從上一層到二層需跨10級(jí)臺(tái)階.他一步可能跨1級(jí)臺(tái)階，稱為一階步，也可能跨2級(jí)臺(tái)階，稱為二

階步，最多能跨3級(jí)臺(tái)階，稱為三階步.從一層上到二層他總共跨了6步，而且任何相鄰兩步均不同階.則

他從一層到二層可能的不同過(guò)程共有（）種.

A.6B.8C.10D.12

2010年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山東賽區(qū)預(yù)賽試題

【題型十】多事件限制重疊型

【典例分析】

班班會(huì)準(zhǔn)備從含甲、乙、丙的7名學(xué)生中選取4人發(fā)言，要求甲、乙兩人至少有一個(gè)發(fā)言，且甲、乙都發(fā)

言時(shí)丙不能發(fā)言，則甲、乙兩人都發(fā)言且發(fā)言順序不相鄰的概率為

2333

A.—B.—C.—D.—

17162628

【變式演練】

1.某同學(xué)計(jì)劃用他姓名的首字母T,X,身份證的后4位數(shù)字（4位數(shù)字都不同）以及3個(gè)符號(hào)巴由。設(shè)置一

個(gè)六位的密碼.若T,X必選，且符號(hào)不能超過(guò)兩個(gè)，數(shù)字不能放在首位和末位，字母和數(shù)字的相對(duì)順序不

變，則他可設(shè)置的密碼的種數(shù)為（)

A.864B.1009C.1225D.1441

2.2019年11月19日至20日，北京師范大學(xué)出版集團(tuán)攜手北師大版數(shù)學(xué)教材編寫組在廣東省珠海市聯(lián)合舉辦

了以“新課程，我們都是追夢(mèng)人”為主題的北師大版中小學(xué)數(shù)學(xué)教材交流研討會(huì)，會(huì)議期間舉辦了一場(chǎng)“互動(dòng)

沙龍”，要求從6位男嘉賓，2位女嘉賓中隨機(jī)選出4位嘉賓進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)演講，且女嘉賓至少要選中1位，如果

2位女嘉賓同時(shí)被選中，她們的演講順序不能相鄰，那么不同演講順序的種數(shù)是（）

A.1860B.1320C.1140D.1020

3.有2輛不同的紅色車和2輛不同的黑色車要停放在如圖所示的六個(gè)車位中的四個(gè)內(nèi)，要求相同顏色的車不

在同一行也不在同一列，則共有種不同的停放方法.（用數(shù)字作答）

【題型十一】多重限制分類討論

【典例分析】

高一新生小崔第一次進(jìn)入圖書館時(shí)看到了館內(nèi)樓梯（圖1）,她準(zhǔn)備每次走1級(jí)或2級(jí)樓梯去二樓，并在心

中默默計(jì)算這樣走完25級(jí)樓梯大概有多少種不同的走法，可是當(dāng)她走上去后發(fā)現(xiàn)（圖2）原來(lái)在13級(jí)處有

一寬度達(dá)1.5米的平臺(tái)，這樣原來(lái)的走樓梯方案需要調(diào)整，請(qǐng)問(wèn)，對(duì)于剩下的15級(jí)（12+3）樓梯按分2段的

走法與原來(lái)一次性走15級(jí)的走法相比較少了種.

ffl1圖2

【變式演練】

1.市內(nèi)某公共汽車站有7個(gè)候車位（成一排），現(xiàn)有甲，乙，丙，丁，戊5名同學(xué)隨機(jī)坐在某個(gè)座位上候車，則

甲，乙相鄰且丙，丁不相鄰的不同的坐法種數(shù)為;（用數(shù)字作答）3位同學(xué)相鄰，另2位同學(xué)也相鄰,

但5位同學(xué)不能坐在一起的不同的坐法種數(shù)為.（用數(shù)字作答）

2.2021年某地電視臺(tái)春晚的戲曲節(jié)目，準(zhǔn)備了經(jīng)典京劇、豫劇、越劇、粵劇、黃梅戲、評(píng)劇6個(gè)劇種的各

一個(gè)片段.對(duì)這6個(gè)劇種的演出順序有如下要求：京劇必須排在前三，且越劇、粵劇必須排在一起，則該

戲曲節(jié)目演出順序共有（）種.

A.120B.156C.188D.240

3.甲、乙、丙、丁等六名退休老黨員相約去觀看黨史舞臺(tái)劇《星火》.《星火》的票價(jià)為50元/人，每人限購(gòu)

一張票.甲、乙、丙三人各帶了一張50元鈔，其余三人各帶了一張100元鈔.他們六人排成一列到售票處

買票，而售票處一開始沒有準(zhǔn)備50元零錢，那么他們六人共有多少種不同排隊(duì)順序能使購(gòu)票時(shí)售票處不出

現(xiàn)找不出錢的狀態(tài).（）

A.720B.360C.180D.90

【題型十二】綜合應(yīng)用

【典例分析】

設(shè)十人各拿一只水桶，同到水龍頭前打水，設(shè)水龍頭注滿第甲=1,2,…，10）個(gè)人的水桶需0分鐘，假設(shè)

方各不相同，當(dāng)水龍頭只有一個(gè)可用時(shí)，應(yīng)如何安排他（她）們的接水次序，使他（她）們的總的花費(fèi)時(shí)間（包括

等待時(shí)間和自己接水所花費(fèi)的時(shí)間）最少（）

A.從乃中最大的開始，按由大到小的順序排隊(duì)

B.從我中最小的開始，按由小到大的順序排隊(duì)

C.從靠近方平均數(shù)的一個(gè)開始，依次按取一個(gè)小的取一個(gè)大的的擺動(dòng)順序排隊(duì)

D.任意順序排隊(duì)接水的總時(shí)間都不變

【變式演練】

1.由1,2,3,4,5組成的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，從中任意抽取一個(gè)，則其恰好為“前3個(gè)數(shù)字保持遞減,

后3個(gè)數(shù)字保持遞增”（如五位數(shù)“43125”，前3個(gè)數(shù)字“431”保持遞減，后3個(gè)數(shù)字“125”保持遞增）的概率

是（）

2.設(shè)N是集合｛123,4,5,6,7,8,9,10｝的子集，只含有3個(gè)元素，且不含相鄰的整數(shù)，則這種子集/的個(gè)數(shù)為（）

A.32B.56C.72D.84

3.為迎接第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，某校安排甲、乙、丙、丁、戊共五名學(xué)生擔(dān)任冰球、冰壺和短道速滑三個(gè)

項(xiàng)目的志愿者，每個(gè)比賽項(xiàng)目至少安排1人.則學(xué)生甲不會(huì)被安排到冰球比賽項(xiàng)目做志愿者的概率為（）

【經(jīng)典題專練】

1.如圖為我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽（約3世紀(jì)初）在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏

色給其中5個(gè)小區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，則4c區(qū)域涂色不相同的概

率為（）

2.將一個(gè)四棱錐S-/B8的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色,并使同一條棱的兩端異色,如果只有5種顏色可供使用,

則不同的染色方法的總數(shù)是

A.540B.480C.420D.360

3.清明節(jié)前夕，某校團(tuán)委決定舉辦“緬懷革命先烈，致敬時(shí)代英雄”主題演講比賽，經(jīng)過(guò)初賽，共有10人進(jìn)

入決賽，其中高一年級(jí)3人，高二年級(jí)3人，高三年級(jí)4人，現(xiàn)采用抽簽方式?jīng)Q定演講順序，則在高二年

級(jí)3人相鄰的前提下，高一年級(jí)3人不相鄰的概率為（）

4.10名同學(xué)合影，站成前排4人后排6人，現(xiàn)攝影師要從后排6人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對(duì)

順序不變，則不同調(diào)整方法的總數(shù)是（）

A.C混B.C次C.C法D-CX

5.將編號(hào)為1、2、3、4、5、6的小球放入編號(hào)為1、2、3,4、5、6的六個(gè)盒子中，每盒放一球，若有

且只有兩個(gè)盒子的編號(hào)與放入的小球的編號(hào)相同，則不同的放法種數(shù)為（）

A.90B.135C.270D.360

6.現(xiàn)有9個(gè)相同的球要放到3個(gè)不同的盒子里，每個(gè)盒子至少一個(gè)球，各盒子中球的個(gè)數(shù)互不相同，則不同

放法的種數(shù)是（）

A.28B.24C.18D.16

7.某單位有7個(gè)連在一起的車位，現(xiàn)有3輛不同型號(hào)的車需停放，如果要求剩余的4個(gè)車位中恰好有3個(gè)連

在一起，則不同的停放方法的種數(shù)為

A.16B.18C.32D.72

8.校園某處并排連續(xù)有6個(gè)停車位，現(xiàn)有3輛汽車需要停放，為了方便司機(jī)上下車，規(guī)定：當(dāng)有汽車相鄰?fù)?/p>

放時(shí)，車頭必須同向；當(dāng)車沒有相鄰時(shí)，車頭朝向不限，則不同的停車方法共有種.（用數(shù)學(xué)作

答）

9.如圖，在某城市中，兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中4、4、4、4是道路網(wǎng)中位于一條對(duì)角

線上的4個(gè)交匯處.今在道路網(wǎng)N處的甲、乙兩人分別要到N、M處，他們分別隨機(jī)地選擇一條沿街的最

短路徑，以相同的速度同時(shí)出發(fā)，直到到達(dá)處為止.則下列說(shuō)法正確的是（）

A.甲從M到達(dá)N處的方法有120種

B.甲從M必須經(jīng)過(guò)4到達(dá)N處的方法有64種

Q1

c.甲、乙兩人在4處相遇的概率為K

400

D.甲、乙兩人相遇的概率為3

10.有一道樓梯共10階，小王同學(xué)要登上這道樓梯，登樓梯時(shí)每步隨機(jī)選擇一步一階或一步兩階，小王同學(xué)

7步登完樓梯的概率為.

11,2020年疫情期間，某縣中心醫(yī)院分三批共派出6位年齡互不相同的醫(yī)務(wù)人員支援武漢六個(gè)不同的方艙醫(yī)

院，每個(gè)方艙醫(yī)院分配一人.第一批派出一名醫(yī)務(wù)人員的年齡為耳，第二批派出兩名醫(yī)務(wù)人員的年齡最大者

為6,第三批派出三名醫(yī)務(wù)人員的年齡最大者為4,則滿足4<￡<A的分配方案的概率為（）

12.如圖，在某海岸尸的附近有三個(gè)島嶼。，R,S,計(jì)劃建立三座獨(dú)立大橋，將這四個(gè)地方連起來(lái)，每座橋

只連接兩個(gè)地方，且不出現(xiàn)立體交叉形式，則不同的連接方式有（）.

P

A.24種B.20種C.16種D.12種

13.現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加2022年杭州亞運(yùn)會(huì)志愿者服務(wù)活動(dòng)，有翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司

機(jī)四項(xiàng)工作可以安排，以下說(shuō)法正確的是（）

A.每人都安排一項(xiàng)工作的不同方法數(shù)為54

B.每人都安排一項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至少有一人參加，則不同的方法數(shù)為

C.如果司機(jī)工作不安排，其余三項(xiàng)工作至少安排一人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為

（c；c；+c；c；）W

D.每人都安排一項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至少有一人參加，甲、乙不會(huì)開車但能從事其他三項(xiàng)工作，丙、丁、戊

都能勝任四項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是

14.羅馬數(shù)字是歐洲在阿拉伯?dāng)?shù)字傳入之前使用的一種數(shù)碼，它的產(chǎn)生標(biāo)志著一種古代文明的進(jìn)步.羅馬數(shù)字

的表示法如下:

數(shù)字123456789

形式IIIIIIIVVVIVIIVIIIIX

其中“I”需要1根火柴，"V”與“X”需要2根火柴，若為0,則用空位表示.（如123表示為

405表示為IVV）如果把6根火柴以適當(dāng)?shù)姆绞饺糠湃胂旅娴谋砀裰校敲纯梢员硎镜牟煌?/p>

的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

B.95C.100D.103

15.如圖為3x3的網(wǎng)格圖，甲、乙兩人均從A出發(fā)去5地，每次只能向上或向右走一格，并且乙到達(dá)任何一

個(gè)位置（網(wǎng)格交點(diǎn)處）時(shí)向右走過(guò)的格數(shù)不少于向上走過(guò)的格數(shù)，記甲、乙兩人所走路徑的條數(shù)分別為M、

N,則M—N的值為（）

A.10B.14C.15D.16

排列組合12種題型歸納

1.排列與組合的概念

名稱定義區(qū)別

排列按照一定的順序排成一列

從n個(gè)不同元素中取出

排列有序，組合無(wú)序

冽（冽W幾）個(gè)兀素

組合合成一組

2.排列數(shù)與組合數(shù)

定義計(jì)算公式性質(zhì)聯(lián)系

從n個(gè)不同元素中取出

個(gè)元素的所有

排-1)(〃-2)…-冽+1)

不同排列的個(gè)數(shù),叫做(l)Ag=?l；

列

從〃個(gè)不同元素中取出=——---(幾，m且冽

數(shù)(n~m)!(2)0!=1

旭個(gè)元素的排列數(shù).用符

號(hào)表示

5「tn-—.

m!

從n個(gè)不同元素中取出

⑴

_n(n—1)(〃―2)???(L冽+1)-L

個(gè)元素的所有。八一

組m!

不同組合的個(gè)數(shù),叫做(2)a,=cp?i；

合

從n個(gè)不同元素中取出=----------(n,冽￡N*,且

m!(n-m)!

數(shù)Gg=駕土

加個(gè)元素的組合數(shù).用符

mWn)

號(hào)“or表示

【題型一】人坐座位模型1:捆綁與插空

【典例分析】

1.有四男生，三女生站一排，其中只有倆個(gè)女生相鄰：

2.有四男生，4女生站一排，女生若相鄰，則最多2個(gè)女生相鄰:

解答（1）：先捆綁倆女生，再排列捆綁女生，然后排列四個(gè)男生，兩個(gè)“女生”插孔即可,

(1)都不相鄰：A"；;(2)兩隊(duì)各自相鄰:上工出國(guó)用；(3)一對(duì)兩人相鄰：C：團(tuán)

(2)分類討論2!

【方法技巧】

人坐座位模型：

特征：1.一人一位；2、有順序；3、座位可能空；4、人是否都來(lái)坐，來(lái)的是誰(shuí)；5、必要時(shí)，座位拆遷，

剩余座位隨人排列。主要典型題：1.捆綁法;2.插空法；3.染色。出現(xiàn)兩個(gè)實(shí)踐重疊，必要時(shí)候，可以使用容

斥原理來(lái)等價(jià)處理：容斥原理〃"(/)+〃(3)_〃(/c3)

【變式演練】

1.在某班進(jìn)行的歌唱比賽中，共有5位選手參加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能連著出場(chǎng)，

且女生甲不能排在第一個(gè)，那么出場(chǎng)順序的排法種數(shù)為

A.30B.36C.60D.72

【答案】C

【分析】記事件/：2位男生連著出場(chǎng)，事件從女生甲排在第一個(gè)，利用容斥原理可知所求出場(chǎng)順序的排法

種數(shù)為,。)+〃?卜"JcB)],再利用排列組合可求出答案.

【詳解】

記事件N：2位男生連著出場(chǎng)，即將2位男生捆綁，與其他3位女生形成4個(gè)元素，所以，事件A的排法種數(shù)

為〃(4)=$<=48,

記事件8:女生甲排在第一個(gè)，即將甲排在第一個(gè)，其他四個(gè)任意排列，所以，事件8的排法種數(shù)為

〃⑶=/：=24,

事件Nc8:女生甲排在第一位，且2位男生連著，那么只需考慮其他四個(gè)人，將2位男生與其他2個(gè)女生形

成三個(gè)元素，所以，事件/口8的排法種數(shù)為￡/；=12種，

因此，出場(chǎng)順序的排法種數(shù)用-["(/)+〃?)-〃0cBl

=120—(48+24-12)=60種，故選C.

2.某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目、2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的

排法種數(shù)是()

A.144B.120C.72D.48

【答案】B

【分析】先求出只有3個(gè)歌舞類節(jié)目不相鄰的方法，然后求出3個(gè)歌舞類節(jié)目不相鄰且2個(gè)小品類節(jié)目相

鄰的排法，相減可得.

【詳解】

先考慮只有3個(gè)歌舞類節(jié)目不相鄰，排法有耳耳=144種，

再考慮3個(gè)歌舞類節(jié)目不相鄰，2個(gè)小品類節(jié)目相鄰的排法有：444=24,

因此同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是144-24=120.

故選：B.

3.2021年4月15日，是第六個(gè)全民國(guó)家安全教育日，教育廳組織宣講團(tuán)到某市的六個(gè)不同高校進(jìn)行國(guó)家安

全知識(shí)的宣講，時(shí)間順序要求是：高校甲必須排在第二或第三個(gè)，且高校甲宣講結(jié)束后需立即到高校丁宣

講，高校乙、高校丙的宣講順序不能相鄰，則不同的宣講順序共有（）

A.28種B.32種C.36種D.44種

【答案】B

【分析】由題意，對(duì)高校甲排在第二或第三個(gè)進(jìn)行分類討論，接著考慮乙和丙的排法，最后考慮其他兩所

高校的排法，綜合利用分類和分步計(jì)數(shù)原理進(jìn)行分析即可.

【詳解】

根據(jù)題意：分成以下兩種情況進(jìn)行分類討論

高校甲排在第二個(gè)時(shí)，高校丁必排在第三個(gè)，當(dāng)乙或丙排在第一個(gè)時(shí)共有=12種排法，當(dāng)乙或丙不排

在第一個(gè)時(shí)，乙和丙只能排在第四個(gè)和第六個(gè)，此時(shí)共有省用=4種排法，所以高校甲排在第二個(gè)時(shí)共有

16種排法；

高校甲排在第三個(gè)時(shí)，高校丁必排在第四個(gè)，乙或丙只能一個(gè)排在第一二個(gè)，一個(gè)排在第五六個(gè)，則共有

=16種排法；

綜上：共有32種排法滿足題意.

故選：B.

【題型二】人坐座位模型2：染色（平面）

【典例分析】

如圖為我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽（約3世紀(jì)初）在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)驗(yàn)證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏

色給其中5個(gè)小區(qū)涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只能涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，則A、C區(qū)域顏色不相同的概

率是

A.l/7b.2/7C.3/7D.4/7

答案：D

涂色法：（1）用了幾種顏色；（2）盡量先圖相鄰多的“三角形”：本題先把ABE作為“三角形”

1、用了5色：Ag-------/與C不相同

2、用了4色：⑴先涂ABE:A：;（2）C用第4色：C；（不相同）；（3）D用第4種：（相同）

3、用了3色：先涂ABE:A：—結(jié)束。/與C相同

歸入A；+A；xC；_240_4

A；+A：x2C；+A：4207

【方法技巧】

染色問(wèn)題：

1.用了幾種顏色

2.盡量先從公共相鄰區(qū)域開始。

【變式演練】

1.正方體六個(gè)面上分別標(biāo)有/、B、C、D、E、尸六個(gè)字母,現(xiàn)用5種不同的顏色給此正方體六個(gè)面染色，

要求有公共棱的面不能染同一種顏色，則不同的染色方案有（）種.

A.420B.600C.720D.780

【答案】D

【解析】【分析】

根據(jù)對(duì)面的顏色是否相同，分①三對(duì)面染相同的顏色、②兩對(duì)面染相同顏色，另一對(duì)面染不同顏色、③一

對(duì)面染相同顏色，另兩對(duì)面染不同顏色，分別求出不同的染色方案，最后加總即可.

【詳解】

分三類：

1、若三對(duì)面染相同的顏色，則有W=6。種；

2、若兩對(duì)面染相同顏色，另一對(duì)面染不同顏色，則有WC；C；=360種；

3、若一對(duì)面染相同顏色，另兩對(duì)面染不同顏色，則有WCM=360種；

共有60+360+360=780種.

故選：D

2.如圖，某傘廠生產(chǎn)的太陽(yáng)傘的傘篷是由太陽(yáng)光的七種顏色組成，七種顏色分別涂在傘篷的八個(gè)區(qū)域內(nèi)，且

恰有一種顏色涂在相對(duì)區(qū)域內(nèi)，則不同顏色圖案的此類太陽(yáng)傘最多有（）.

A.40320種B.5040種C.20160種D.2520種

【答案】D

【解析】【分析】

先從7種顏色中任意選擇一種，涂在相對(duì)的區(qū)域內(nèi)，再將剩余的6種顏色全部涂在剩余的6個(gè)區(qū)域內(nèi)，結(jié)

合圖形的對(duì)稱性，即可求解.

【詳解】

先從7種顏色中任意選擇一種，涂在相對(duì)的區(qū)域內(nèi)，有C；=7種方法，

再將剩余的6種顏色全部涂在剩余的6個(gè)區(qū)域內(nèi)，共有￡種方法，

由于圖形是軸對(duì)稱圖形，所以上述方法正好重復(fù)一次，

所以不同的涂色方法，共有上a=2520種不同的涂法.

2

故選：D.

3.如圖，用四種不同的顏色給圖中的4,B,C,D,E,F,G七個(gè)點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且圖中

每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂色方法有（）

C.600D.以上答案均不對(duì)

【答案】C

【解析】【分析】

根據(jù)題意，結(jié)合計(jì)數(shù)原理，先排￡,F,G,然后根據(jù)4B,C,。的情況討論.

【詳解】

解：E,F,G分別有4,3,2種方法，

①當(dāng)4與尸相同時(shí)，N有1種方法，此時(shí)3有2種，

⑴C若與F相同有。有1種方法，同時(shí)。有3種方法,

（2）若C與尸不同，則此時(shí)。有2種方法，

故此時(shí)共有：4x3x2xlx2x（lx3+lx2）=240種方法；

②當(dāng)N與G相同時(shí)，/有1種方法，此時(shí)3有3種方法,

（1）若C與尸相同，C有1種方法，同時(shí)D有2種方法，

（2）若C與尸不同，則。有1種方法，

故此時(shí)共有：4乂3*2*良3*”2+卜1）=216種方法；

③當(dāng)4既不同于尸又不同于G時(shí)，N有1種方法,

⑴若2與尸相同，則C必須與/相同，同時(shí)。有2種方法；

（2）若8不同于尸，則8有1種方法，

（I）若C與尸相同則。有1種方法同時(shí)。有2種方法；

（n）若C與尸不同則必與/相同，。有1種方法，同時(shí)。有2種方法；

故此時(shí)共有：4x3x2xlx[lxlx2+lx（l><2+lx2]=144種方法；

綜上共有240+216+144=600種方法.

故選：C.

【題型三】人坐座位模型3：染色（空間）：

【典例分析】

如圖所示的幾何體由三棱錐尸-N8C與三棱柱NBC-431G組合而成，現(xiàn)用3種不同顏色對(duì)這個(gè)幾何體的表

面涂色（底面4片G不涂色），要求相鄰的面均不同色，則不同的涂色方案共有（）

A.6種B.9種

C.12種D.36種

【答案】C

【解析】三棱錐尸-48。三個(gè)側(cè)面的顏色各不相同，先進(jìn)行染色，然后再給三棱柱的側(cè)面染色,

保證組合體中相鄰的側(cè)面顏色不同即可.

【詳解】

先涂三棱錐尸的三個(gè)側(cè)面，有C；C；C；=6種情況，然后涂三棱柱的三個(gè)側(cè)面，有C；C；C：=2種情況，

共有6*2=12種不同的涂法.

故選：C.

【方法技巧】

空間幾何體，可以"拍扁"，轉(zhuǎn)化為平面圖形

【變式演練】

1.如圖所示，將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可

供使用，則不同的染色方法種數(shù)是（）

A.420B.210C.70D.35

【答案】A

【解析】【分析】

將不同的染色方案分為：/C相同和NC不同兩種情況，相加得到答案.

【詳解】

按照"8CD的順序：

當(dāng)NC相同時(shí)：染色方案為5x4x3x1x3=180

當(dāng)ZC不同時(shí)：染色方案為5x4x3x2x2=240

不同的染色方案為：420種

故答案為A

2.在如圖所示的H--面體48CDE■尸G8Z中，用3種不同顏色給這個(gè)幾何體各個(gè)頂點(diǎn)染色，每個(gè)頂點(diǎn)染一種顏

色，要求每條棱的兩端點(diǎn)異色，則不同的染色方案種數(shù)為.

【答案】6

【解析】【詳解】

分析：首先分析幾何體的空間結(jié)構(gòu)，然后結(jié)合排列組合計(jì)算公式整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.

詳解：空間幾何體由11個(gè)頂點(diǎn)確定，首先考慮一種涂色方法：

假設(shè)/點(diǎn)涂色為顏色C4,3點(diǎn)涂色為顏色C2,C點(diǎn)涂色為顏色CC,

由AC的顏色可知D需要涂顏色CB,

由AB的顏色可知E需要涂顏色CC,

由BC的顏色可知F需要涂顏色CA,

由DE的顏色可知G需要涂顏色CA,

由DF的顏色可知/需要涂顏色CC,

由G/的顏色可知〃需要涂顏色CB,

據(jù)此可知，當(dāng)A48C三個(gè)頂點(diǎn)的顏色確定之后，其余點(diǎn)的顏色均為確定的，

用三種顏色給A48C的三個(gè)頂點(diǎn)涂色的方法有⑷=6種，

故給題中的幾何體染色的不同的染色方案種數(shù)為6.

3.用五種不同顏色給三棱臺(tái)/3C-QE尸的六個(gè)頂點(diǎn)染色，要求每個(gè)點(diǎn)染一種顏色，且每條棱的兩個(gè)端點(diǎn)染不

同顏色.則不同的染色方法有種.

【答案】1920.

【解析】【詳解】

分析：分兩步來(lái)進(jìn)行，先涂48,C,再涂尸，然后分若5種顏色都用上、若5種顏色只用4種、若5

種顏色只用3種這三種情況，分別求得結(jié)果，再相加，即可得結(jié)果.

詳解：分兩步來(lái)進(jìn)行，先涂4SC,再涂尸.

第一類：若5種顏色都用上，先涂4B,C,方法有百種，再涂2瓦廠中的兩個(gè)點(diǎn)，方法有團(tuán)種，最后剩余

的一個(gè)點(diǎn)只有2種涂法，故此時(shí)方法共有H?團(tuán)?=720種；

第二類：若5種顏色只用4種，首先選出4種顏色，方法有種；

先涂4SC,方法有彳種，再涂2旦尸中的一個(gè)點(diǎn)，方法有3種，最后剩余的兩個(gè)點(diǎn)只有3種涂法，故此

時(shí)方法共有C；??3?3=1080種；

第三類：若5種顏色只用3種，首先選出3種顏色，方法有C；種；

先涂48,C,方法有H種，再涂D,E,F,方法有2種，故此時(shí)方法共有C；-Wx2=120種；

綜上可得，不同涂色方案共有720+1080+120=1920種，

故答案是1920.

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)排列組合的綜合題，在解題的過(guò)程中，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有分步計(jì)數(shù)乘法原理和分

類計(jì)數(shù)加法原理，要認(rèn)真分析題的條件，列式求得結(jié)果.

【題型四】書架插書模型

【典例分析】

有12名同學(xué)合影，站成了前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相

對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的種數(shù)是（）

A.168B.260C.840D.560

【答案】C

【分析】先從后排8人中抽2人，把抽出的2人插入前排保證前排人順序不變可用倍縮法，再由分步乘法

計(jì)數(shù)原理即可求解.

【詳解】

解：從后排8人中抽2人有C；種方法；

將抽出的2人調(diào)整到前排，前排4人的相對(duì)順序不變有有種，

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得：共有C；?冬=28x6x5=840種，

A4

故選：C.

【方法技巧】

（1）書架上原有書的順序不變；（2）新書要一本一本插；

【變式演練】

1從A,B,C,a,"c,d中任選5個(gè)字母排成一排,要求按字母先后順序排列（即按4。）,8（6）,C（c）,。⑷

先后順序，但大小寫可以交換位置，如或都