2025版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：三角函數(shù)（解析版）

專題04三角函數(shù)

考情概覽

命題解讀考向考查統(tǒng)計

高考對三角函數(shù)的考查，基礎(chǔ)方面是掌2022?新高考I卷，6

握三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)關(guān)系2023?新高考I卷，15

式和誘導(dǎo)公式。重點是三角恒等變換和2024?新高考I卷,7

三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

三角函數(shù)的圖像、周期性、單調(diào)性、奇2022?新高考n卷，9

偶性、對稱性、最值等。三角恒等變換2023?新高考n卷，16

位于三角函數(shù)與數(shù)學(xué)變換的結(jié)合點上，2024?新高考口卷,9

高考會側(cè)重綜合推理能力和運算能力

的考查，體現(xiàn)三角恒等變換的工具性作

2023?新高考I卷，8

用，以及會有一些它們在數(shù)學(xué)中的應(yīng)

2024?新高考I卷,4

用。這需要同學(xué)熟練運用公式，進(jìn)一步

三角恒等變換2022?新高考口卷,6

提高運用聯(lián)系轉(zhuǎn)化的觀點去處理問題

2023?新高考II卷,7

的自覺性，體會一般與特殊的思想、換

2024?新高考n卷，13

元的思想、方程的思想等數(shù)學(xué)思想在三

角恒等變換中的作用。

2024年真題研析

命題分析

2024年高考新高考I卷、n卷都考查到了三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)及三角恒等變換。其中I卷、n卷的三角

恒等變換都結(jié)合了兩角和差的公式，屬于常規(guī)題型，難度一般。I卷在考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)時，結(jié)合

了具體函數(shù)圖像的畫法，II卷則是考查了零點、對稱性、最值、周期性等基本性質(zhì)。三角函數(shù)的考查應(yīng)關(guān)注：

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、和角差角公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、應(yīng)用三角公式進(jìn)行化簡、

求值和恒等變形及恒等證明。預(yù)計2025年高考還是主要考查三角恒等變換中的倍角公式、和差公式、輔助

角公式及圖像與性質(zhì)中的對稱性和零點問題。

試題精講

一、單選題

1.（2024新高考I卷-4）已知85（&+4）=加4211]1211夕=2,則cos（a-尸）=（）

YYlm

A.—3加B.-----C.-D.3TH

33

2.(2024新高考I卷-7)當(dāng)xe[0,2;r]時，曲線y=sinx與y=25M(3工-2]的交點個數(shù)為()

A.3B.4C.6D.8

二、多選題

Jr

3.(2024新高考II卷-9)對于函數(shù)〃M=sin2x和g(x)=sin(2x-]),下列說法正確的有()

A./(x)與g(x)有相同的零點B./(x)與g(x)有相同的最大值

C.，(x)與g(x)有相同的最小正周期D.，(x)與g(x)的圖像有相同的對稱軸

三、填空題

4.(2024新高考II卷?13)已知a為第一象限角，A為第三象限角，tana+tan4=4,tanfztan￡=血+1,

貝I]sin(?+/?)=.

近年真題精選

一、單選題

1.(2022新高考I卷-6)記函數(shù)/'(》)=5,5+力+6(。＞0)的最小正周期為7.若^＜7＜萬，且y=/(x)

的圖象關(guān)于點中心對稱，則()

3A

A.1B.2Cc2D.3

已知sin（a—〃）=g,cosasinQ=g,貝|cos

2.(2023新高考I卷心)（2a+2/）=（）

7

A.-B.1c.」D.——

9999

若sin（a+夕）+cos（a+夕）=2后cos]a+?卜n夕，則()

3.（2022新高考II卷-6）

A.tan（a—夕）=1B.tan（a+夕）=1

C.tan（cr-/7）=-lD.tan（a+/）二-1

已知a為銳角，cosa=匕好，則sin[=

4.（2023新高考II卷-7）=（）.

42

「D.T+.

A.B.-1+V53-75

8844

二、多選題

5.（2022新高考n卷-9）已知函數(shù)/（x）=sin（2x+°）（0＜。＜兀）的圖像關(guān)于點彳,0中心對稱，則（）

A./（x）在區(qū)間單調(diào)遞減

B./⑺在區(qū)間［*，詈）有兩個極值點

7兀

C.直線x=9是曲線y=/（x）的對稱軸

0

D.直線了=2^-x是曲線y=/（x）的切線

三、填空題

6.（2023新高考I卷-15）已知函數(shù)/（x）=cos5-l（0＞O）在區(qū)間［0,2可有且僅有3個零點，則。的取值范

圍是.

7.（2023新高考II卷?16）已知函數(shù)〃x）=sin（s+。），如圖/,3是直線y=；與曲線丁=〃無）的兩個交

必備知識速記

一、三角函數(shù)基本概念

1、弧度制

（1）定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號榜"表示，讀作弧度.正角的弧

度數(shù)是一個正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.

（2）角度制和弧度制的互化：180。=萬rad,1°=—rad,lrad=^.

1807i

（3）扇形的弧長公式：/=|a"，扇形的面積公式：S=；/r=Jc“2.

2、任意角的三角函數(shù)

（1）定義：任意角a的終邊與單位圓交于點尸（工,歹）時，則sina=y,cosa=x,tana=—（x^0）.

x

(2)推廣：三角函數(shù)坐標(biāo)法定義中，若取點尸尸(x,y)是角a終邊上異于頂點的任一點，設(shè)點尸到原點。

的距離為尸,則sina=」,cosa=—,tana=—(x0)

rrx

三角函數(shù)的性質(zhì)如下表:

第一象第二象限第三象第四象

三角函數(shù)定義域

限符號符號限符號限符號

sinaR++一一

coscrR+一一+

JI

tana{a\akTi+—,k^Z}+—+—

記憶口訣：三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律：一全正、二正弦、三正切、四余弦.

二、同角三角函數(shù)基本關(guān)系

1、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

(1)平方關(guān)系：sin2a+cos2a=l,

(2)商數(shù)關(guān)系：9山"=tanw'+左萬)；

COS6Z2

三、三角函數(shù)誘導(dǎo)公式

公式一二三四五六

7171

角2ki+a(keZ)7T+a—ccn-a---a--FCt

22

正弦sina-sina-sinasinaCOS6Zcos。

余弦cosa-coscrCOS6Z一cosasina-sina

正切tanatana-tana-tana

口訣函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名改變,符號看象限

【記憶口訣】奇變偶不變，符號看象限，說明：(1)先將誘導(dǎo)三角函數(shù)式中的角統(tǒng)一寫作〃?工±。；(2)

2

無論有多大，一律視為銳角，判斷〃?工土a所處的象限，并判斷題設(shè)三角函數(shù)在該象限的正負(fù)；(3)當(dāng)〃

2

為奇數(shù)是，“奇變”，正變余，余變正；當(dāng)〃為偶數(shù)時，“偶不變”函數(shù)名保持不變即可.

四、兩角和與差的正余弦與正切

①sin(a±4)=sinacosJ3±cosasin/3；

②cos(a±P)=cosacos/?+sinasinP；

③tan(a±￡)=,an。土tanJ

1+tanatan[3

五、二倍角公式

①sin2a=2sinacosa；

②cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-l=l-2sin2a；

2tana

③tan2a=

1-tan2a

六、降次（幕）公式

.1.3.2l-cos2a2l+cos2a

smacosa=—sm2a:sina=-----------;cosa=------------

222

知識點四：半角公式

asina1-cosa

tan—=----------=-----------.

21+cosasina

七、輔助角公式

asincos=Va2+b2sin（a+cp）（其中sin0=—j=，cos<p-.,tan.

，/+?J/+/a

八、正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)（下表中左wZ）

函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx

二

0/!\2

圖象r

2：ns2

冗

定義域RR{x\xeR,xk/i+—}

值域[T，1][-B1]R

周期性2萬27r71

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

遞增區(qū)間\2k7i-%,2k兀+[-7T+2kjr,2k7l]（kn一],左刀■+]）

遞減區(qū)間[2左%+y,2k兀+[2kjr，7i+2k7i]無

71

對稱中心（kjr,0）（版■+「,0）仔,。）

,71

對稱軸方程X=k7V-\——x=k兀無

2

注：正（余）弦曲線相鄰兩條對稱軸之間的距離是上；正（余）弦曲線相鄰兩個對稱中心的距離是上;

22

正(余)弦曲線相鄰兩條對稱軸與對稱中心距離工；

4

九、y=Asin(wx+與y=Acos(wx+0)(4>0,w>0)的圖像與性質(zhì)

(1)最小正周期：T=—.

w

(2)定義域與值域：y=Asin(wx+^)f歹=4cos(wx+°)的定義域為R,值域為[/,A].

(3)最值

假設(shè)A>0,w>0.

①對于y=4sin(wx+0)，

當(dāng)wx+^=—+2版■(左€Z)時，函數(shù)取得最大值4;

<一

■7T

當(dāng)wx+。=——+2k兀也eZ)時，函數(shù)取得最小值-A;

、2

②對于歹=4cos(wx+。),

]當(dāng)wx+，=2版■(左￡Z)時，函數(shù)取得最大值4;

1當(dāng)wx+。=2k兀+7i(kGZ)時,函數(shù)取得最小值-A;

(4)對稱軸與對稱中心.

假設(shè)A>0,w>0.

①對于y=4sin(wx+0)，

JI

當(dāng)Ma。+/=左乃+耳(左￡Z),即sin(wx0+0)

<=±1時，y=sin(ua+0)的對稱軸為x=%o

當(dāng)w/+0=kji(keZ),即sin(wx0+0)=0

時，y=sin(wx+。)的對稱中心為(公,0).

②對于y=4cos(wx+。)，

當(dāng)Ma。+(/)=ki(kGZ),BPcos(wx0+°)=±1

時，y=cos(wx+0)的對稱軸為x=%o

<、?

當(dāng)WXo+0=左萬+萬(左￡Z),即cos(wx0+0)

=0時,y=cos(wx+。)的對稱中心為(％,0).

正、余弦曲線的對稱軸是相應(yīng)函數(shù)取最大(小)值的位置.正、余弦的對稱中心是相應(yīng)函數(shù)與x軸交點的位

置.

(5)單調(diào)性.

假設(shè)A>0,w>0.

①對于〉=Zsin(wx+。)，

rrrr.

wx+，w[-----F2左肛一+2左%](左wZ)=>增區(qū)間；

<——

wx+G[―+2^,—+lk7i}(k￡Z)=減區(qū)間.

、22

②對于歹=4cos(wx+。),

Jwx+?！闧~7T+2左肛2左%](左￡Z)=增區(qū)間；

[wx+G[2左肛2k兀+%](k￡Z)=>減區(qū)間.

(6)平移與伸縮

由函數(shù)y=sinx的圖像變換為函數(shù)y=2sin(2x+?)+3的圖像的步驟;

方法一：(x-x+^f2x+g).先相位變換，后周期變換，再振幅變換，不妨采用諧音記憶：我nr想欺負(fù)”

(相一期一幅)三角函數(shù)圖像，使之變形.

所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉砻?/p>

,,Eg向左平移g個單位JI

y=sinx的圖像------------->>=sin(x+§)的圖像縱坐標(biāo)不變

y=sin(2x+g)的圖像所有點的紫晶1來的？倍＞y=2sin(2x+g)的圖像

向上平移3個單位＞了=2sin(2x+1)+3

方法二：(x^x+j^2x+1).先周期變換，后相位變換，再振幅變換.

,,?,所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?心向左平移X個單位

y:sinx的圖/像/2------雁標(biāo)襦一jy=sin2x的圖像------------＞

y=sin2(x+芻=sin(2x+g)的圖像所有點的分款原來,＞

62

y=2sin(2x+?)的圖像向上平松各單位＞=2sin(2x+?)+3

注：在進(jìn)行圖像變換時，提倡先平移后伸縮(先相位后周期，即“想欺負(fù)”)，但先伸縮后平移(先周期后相

位)在題目中也經(jīng)常出現(xiàn)，所以必須熟練掌握，無論哪種變化，切記每一個變換總是對變量x而言的，即圖

像變換要看“變量x”發(fā)生多大變化，而不是“角wx+?！弊兓嗌?

【三角函數(shù)常用結(jié)論】

1、利用siYtz+cos2a=1可以實現(xiàn)角a的正弦、余弦的互化，利用型里=tana可以實現(xiàn)角口的弦切互

cosa

化.

2、“sina+cosa,sinacosa，sina-cosa''方程思想知一求二.

(sina+cosa)2=sin2a+cos2a+2sinacosa=1+sin2a

(sina-cosa)2=sin2a+cos2a—2sinacosa=1—sin2。

(sina+cosa)2+(sina-cosa)2=2

3、兩角和與差正切公式變形

tana±tanP=tan(a±/7)(1+tanatan；

tana+tanptana-tan(3

tana?tan，=1一------------------=----------------------1.

tan(cr+P)tan(a-/3)

4、降暴公式與升幕公式

.l-cos2a21+cos2a.1,

sin2a=------------；cosa--------------；sinacosa=—sm2a；

222

1+cos2a=2cos2a；l—cos2a=2sin2a；1+sin2a-(sina+cosa)2；1-sinla=(sina-cosa)2.

5、其他常用變式

.c2sinacosa2tanacos26Z-sin2<71-tan2aasina1-cosa

sm2a=——--------------=---------5；cos2a=——5----------5=---------5;tan—=-----------=-；

sina+cosa1+tanasina+cosa1+tana21+cosasina

zy1

6、拆分角問題：①a=2?§；a=(a+P\0,,@a=a)；③a=j［(a+分)+(a-尸)］;

④尸=：［(a+6)一(［一/)］；⑤f+a=f—(￡—二)?

2424

注意：特殊的角也看成已知角，如二=工-（生-a）.

44

7、關(guān)于三角函數(shù)對稱的幾個重要結(jié)論

77-

（1）函數(shù)）=sinx的對稱軸為％=左萬+5（左EZ）,對稱中心為（左乃.0）（左￡Z）；

（2）函數(shù)y=cosx的對稱軸為％=上1（左eZ）,對稱中心為（左萬+$0）（左￡Z）；

（3）函數(shù)y=tanx函數(shù)無對稱軸，對稱中心為（與,0）（EeZ）；

（4）求函數(shù)尸?3+"）+620）的對稱軸的方法；令…W+MZ）,得

x=-................（keZ）；對稱中心的求取方法;令wx+，=族"（左eZ），得x=*―,即對稱中心為（*b）.

WWW

71.

----FK77T—(p

(5)求函數(shù)y=/cos(wx+e)+6(ww0)的對稱軸的方法；令ua+。=版■(左eZ)得x=2------------,即對稱中

71.

——\-K77i-q)

心為(2-----------,b)(keZ)

W

一、單選題

1.（2024?江蘇南通?三模）已知cos]--e)=3cos[8+1J,則sin26=(:

、4y

3434

A.—B.一C.——D.——

5555

2.（2024?山東濟(jì)南?三模）若sina-cosa二:行，貝!|tana=()

A.1B.-1C.2D.-2

3.(2024?重慶?三模)已知且2sin2a=4cosa-3cos%,則cos2a=()

ABC

-I-1-iD-當(dāng)

4.(2024?浙江?三模)若sin(a-p)+cos(a-/7)二2①in|a-￡卜in/7,則()

A.tan(a-0=-lB.tan(a-夕)=1

C.tan(cr+/?)=-1D.tan(a+夕)=1

3onecy

5.(2024?河北保定?二模)已知tana=--------,則cos2a=()

smcr+11

7777

A.——B.-C.-D.——

8899

7

6.（2024?湖北荊州?三模）已知sin8+cos6=—,則sinO-cos。的值為（）

177177

A.—B.—C.土—D.土—

13131313

7.（2024?山東青島?三模）為了得到>=sin2x+cos2x的圖象，只要把y=V^cos2x的圖象上所有的點

（）

A.向右平行移動?個單位長度B.向左平行移動?個單位長度

OO

1TTT

C.向右平行移動:個單位長度D.向左平行移動y個單位長度

44

8.（2024?天津濱海新?三模）已知函數(shù)/（x）=sin0x-2j,關(guān)于該函數(shù)有下列四個說法:

（1）函數(shù)〃無）的圖象關(guān)于點[石■,oj中心對稱

（2）函數(shù)/'（x）的圖象關(guān)于直線x=-g對稱

O

（3）函數(shù)〃X）在區(qū)間（-兀,無）內(nèi)有4個零點

TT

（4）函數(shù)〃x）在區(qū)間-5,0上單調(diào)遞增

以上四個說法中，正確的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

9.(2024?河北石家莊?三模)已知角滿足tana=g,2sin/7=cos(cr+/?)sina,則tan4=()

1

A.B.一cD.2

6-I

［7171］

10.（2024?重慶?三模）已知函數(shù)/（x）=/sin（@x+e“N>O,0>O,-E<e<Ej的部分圖像如圖所示，若

貝1」/(26+個=()

11.(2024?安徽合肥?三模)已知2sina=l+2j§cosa,則sin2。a——兀

6

273

A.B.C.

884

12.(2024?江西九江?三模)若2sin[a+mJ=cos|a-：則tan

A.-4-V3B.-4+V3C.4-V3

jr

13.（2024?江蘇宿遷?三模）已知函數(shù)"x）=cosx+cos（x-1）+l,則下列結(jié)論正確的是（）

A.［蘭康是的一個單調(diào)增區(qū)間

B.1一號0）是的一個對稱中心

C.f（x）在［-與期上值域為「翡］

D.將/（x）的圖象向右平移5多7r個單位，再向下平移一個單位后所得圖象的函數(shù)解析式為>=6cosx

14.（2024?黑龍江?三模）已知函數(shù)/（x）=cos~x-"（0>O）在區(qū)間［0,2兀］內(nèi)恰有3條對稱軸，則。的取

值范圍是（）

7155951320

A.B.C.D.

8?T8588?T.8'8J

15.（2024?河北?三模）已知函數(shù)/（x）=sins-COSGX（0>0,XGR）在區(qū)間與聲內(nèi)沒有零點，則/⑺周

期的最小值是（）

1271

A.12兀B.2兀D.4兀

二、多選題

16.（2024?山東威海?二模）已知函數(shù)/（x）=sin&+J則（）

A./（X）在（0,1）上單調(diào)遞減

B.將》=/（》）圖象上的所有點向左平移|個單位長度后得到的曲線關(guān)于y軸對稱

C.“X）在（-1,2）上有兩個零點

20241

D.S/（0=7

i=0乙

17.（2024?云南昆明三模）已知函數(shù)/3=5也（8+。（。>0）的最小正周期大于?若曲線y=〃x）關(guān)于點

中心對稱，則下列說法正確的是（）

A.=一告B.7=/（工+2］是偶函數(shù)

C.》=合是函數(shù)的一個極值點D.在單調(diào)遞增

18.（2024,湖南長沙,三模）已知函數(shù)/（x）=/sin（0x+］）0>O,則下列說法正確的是（）

A.的最大值為2

B.函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于直線無桁+2］（左eZ）對稱

CD\O）

/、3（2kji（6左+1）兀\/、

C.不等式/X的解集為——J,）住eZ

21①5CDJ

D.若“X）在區(qū)間>上單調(diào)遞增，則0的取值范圍是

19.（2024?湖南衡陽三模）己知函數(shù)/■（刈=加211（3+。）［0>0,忸|<|^的部分圖象如圖所示，則下列說法

正確的是（）

L

5兀7兀X

TT

jr

A.函數(shù)/（x）的最小正周期為：

B.sin（p=^-

C.函數(shù)/（x）在上單調(diào)遞增

D.方程/■（無）=疝1[2尤+5（04讓71）的解為華，?

20.（2024?河南?三模）已知函數(shù)〃x）=cos20x-&sin2Ox+l（o>O）的最小正周期為兀，則下列說法正確

的有（）

A./（x）的圖象可由y=2cos4x的圖象平移得到

B.“X）在上單調(diào)遞增

3o

c.“X）圖象的一個對稱中心為『1，。]

D.〃x）圖象的一條對稱軸為直線》=三

21.（2024?廣西欽州?三模）已知函數(shù)/（x）=sin（x+l）,則下列命題正確的是（）

A.的最小正周期為2兀

B.的圖象關(guān)于直線x=-1對稱

C.若/（X。）=1,則/（2x0）=2

D.將/（x）的圖象往右平移1個單位長度后可以得到函數(shù)V=siiu的圖象

22.（2024?河北秦皇島?三模）已知函數(shù)〃無）=2而，眄，則（）

A.是偶函數(shù)；B.〃尤）是周期為兀的周期函數(shù)；

C.“X）在兀,苧上單調(diào)遞增；D.〃x）的最小值為1.

23.（2024?安徽蕪湖?三模）已知g（x）=2sin（0x+^|}os]0x+^|k0>O）,下面結(jié)論正確的是（）

A.O=1時，g（x）在-2,弓上單調(diào)遞增

o4

B.若g（xJ=l,g（Xz）=T,且匡-引的最小值為無，則0=1

C.若g（x）在［0,2兀］上恰有7個零點，則。的取值范圍是［曾，營］

|_幺4）

D.存在。e（l,3）,使得g（x）的圖象向右平移￡個單位長度后得到的圖象關(guān)于了軸對稱

6

三、填空題

24.（2024?全國?二模）已知tana=6cos幺,則cos2a=_____.

7-sincr

25.（2024?安徽合肥?三模）已知夕e（0,l］,tan［+：］=-gtan〃，則tan20=.

26.（2023?黑龍江佳木斯?三模）已知sin/+：j=：,貝i］cos6?=.

27.（2024?黑龍江?三模）已知cos（a-夕）=g,sinasin〃=；,貝ljcos（2a+2?）=.

rrjrCCS9A

28.（2024?江西宜春?三模）已知0＜。＜一,且tan20-tan（0+—）=4,則-------=

441-sin20

29.（2024?北京?三模）已知函數(shù)/。）=$山（0m+夕）（0＞0,0＜。＜兀），若/（x）是偶函數(shù)，貝1］。=；

若圓面/+/＜2恰好覆蓋Ax）圖象的最高點或最低點共3個，則。的取值范圍是.

30.（2024?河北衡水?三模）已知x=，■是函數(shù)/（x）=sin（37uc+9）（0＜。＜3的一條對稱軸，仆）在區(qū)間

內(nèi)恰好存在3個對稱中心，貝〃的取值范圍為.

31.（2024?安徽合肥?三模）已知函數(shù)/'（x）=6sinoxcosox+cos2＜yx+g（。＞0）在區(qū)間［0,句上只有一個零點

和兩個最大值點，則0的取值范圍是.

32.（2024?江西九江?三模）己知函數(shù)〃耳=5山（3-：［（。＞0）在區(qū)間（0,71）上有且僅有三個零點，則。的

取值范圍是.

冗3

33.（2024?湖北荊州?三模）設(shè)0＜々＜￡＜,，tana=mtanjB,cos（a-^）=-,若滿足條件的。與/存在

且唯一，貝"加=,tan＜7tan.

專題04三角函數(shù)

考情概覽

命題解讀考向考查統(tǒng)計

高考對三角函數(shù)的考查，基礎(chǔ)方面是掌2022?新高考I卷，6

握三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)關(guān)系2023?新高考I卷，15

式和誘導(dǎo)公式。重點是三角恒等變換和2024?新高考I卷,7

三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

三角函數(shù)的圖像、周期性、單調(diào)性、奇2022?新高考n卷，9

偶性、對稱性、最值等。三角恒等變換2023?新高考n卷，16

位于三角函數(shù)與數(shù)學(xué)變換的結(jié)合點上，2024?新高考口卷,9

高考會側(cè)重綜合推理能力和運算能力

的考查，體現(xiàn)三角恒等變換的工具性作

2023?新高考I卷，8

用，以及會有一些它們在數(shù)學(xué)中的應(yīng)

2024?新高考I卷,4

用。這需要同學(xué)熟練運用公式，進(jìn)一步

三角恒等變換2022?新高考口卷,6

提高運用聯(lián)系轉(zhuǎn)化的觀點去處理問題

2023?新高考II卷,7

的自覺性，體會一般與特殊的思想、換

2024?新高考n卷，13

元的思想、方程的思想等數(shù)學(xué)思想在三

角恒等變換中的作用。

2024年真題研析

命題分析

2024年高考新高考I卷、n卷都考查到了三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)及三角恒等變換。其中I卷、n卷的三角

恒等變換都結(jié)合了兩角和差的公式，屬于常規(guī)題型，難度一般。I卷在考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)時，結(jié)合

了具體函數(shù)圖像的畫法，II卷則是考查了零點、對稱性、最值、周期性等基本性質(zhì)。三角函數(shù)的考查應(yīng)關(guān)注：

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、和角差角公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、應(yīng)用三角公式進(jìn)行化簡、

求值和恒等變形及恒等證明。預(yù)計2025年高考還是主要考查三角恒等變換中的倍角公式、和差公式、輔助

角公式及圖像與性質(zhì)中的對稱性和零點問題。

試題精講

一、單選題

1.（2024新高考I卷-4）已知85（&+4）=加4211]1211夕=2,則cos（a-尸）=（）

YYlm

A.-3加B.C.-D.3TH

33

【答案】A

【分析】根據(jù)兩角和的余弦可求cosacos￡,sincsin尸的關(guān)系，結(jié)合tanetan〃的值可求前者，故可求

cos(。-夕)的值.

【詳解】因為cos(a+/?)=加，所以cosecos尸-sinasin￡=加,

而tanatan/?=2,所以sinasin/?=2cosacos/7,

故cosacos-2cosacos/?二加即cosacos0=-m,

從而sinasin/?=-2m,故cos（a一夕）=-3m,

故選：A.

2.(2024新高考I卷.7)當(dāng)xG[0,2汨時，曲線ysinx與y=2sin13%-工的交點個數(shù)為(

A.3B.4C.6D.8

【答案】C

【分析】畫出兩函數(shù)在[0,2句上的圖象，根據(jù)圖象即可求解

【詳解】因為函數(shù))，=sinx的的最小正周期為7=2%，

函數(shù)y=2sin(3x-胃的最小正周期為7=半，

所以在xe[0,2兀]上函數(shù)y=2sin(3x-《)有三個周期的圖象,

在坐標(biāo)系中結(jié)合五點法畫出兩函數(shù)圖象，如圖所示：

由圖可知，兩函數(shù)圖象有6個交點.

故選：C

二、多選題

冗

3.(2024新高考II卷-9)對于函數(shù)“M=sin2x和ga)=sin(2x-R,下列說法正確的有()

A./(x)與g(x)有相同的零點B./(x)與g(x)有相同的最大值

C.，(幻與g(x)有相同的最小正周期D.，(x)與g(x)的圖像有相同的對稱軸

【答案】BC

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的零點，最值，周期公式，對稱軸方程逐一分析每個選項即可.

【詳解】A選項，令/(x)=sin2x=0,解得工二萬,左eZ,即為/(x)零點，

令g(x)=sin(2x-?)=0,解得x="+/eZ,即為g(x)零點，

428

顯然/(x),g(x)零點不同，A選項錯誤；

B選項，顯然/(XL"=g(x)1MA=1,B選項正確；

2冗

C選項，根據(jù)周期公式，〃x),g(x)的周期均為三=n,C選項正確；

D選項，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)/⑴的對稱軸滿足2x=E+5ox=g+：KeZ,

g(x)的對稱軸滿足2x-「=E+：ox="+空后eZ,

4228

顯然/'(x),g(x)圖像的對稱軸不同，D選項錯誤.

故選：BC

三、填空題

4.(2024新高考II卷-13)已知a為第一象限角，尸為第三象限角，tana+tan￡=4,tanatan=V2+1,

則sin(a+￡)=.

【答案】-迪

3

【分析】法一：根據(jù)兩角和與差的正切公式得tan(a+4)=-2近，再縮小a+4的范圍，最后結(jié)合同角的平

方和關(guān)系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.

【詳解】法一：由題意得tan/+⑶=：；2tM==_2..

因為a￡12標(biāo),2kn+-1-j,/7ef2機(jī)兀+匹2機(jī)兀+371j,k,meZ,

2

貝1|a+￡（（2機(jī)+2左）兀+兀,（2m+2左）兀+2兀）,k,meZf

又因為tan（a+/?）=-2^2<0,

貝(Ja+4￡](2m+2左)兀+技，(2m+2左)兀+2兀)，

k,meZ,貝（jsin（a+/）<0,

則::;：*=一2億聯(lián)立sin2(a+/)+cos2(a+m=l,解得$也(I+m=-孚.

法二：因為〃為第一象限角，"為第三象限角，貝!Jcosa>0,cos4<0,

cosa]cosp-1

cosP=

cosa=222

Jsin?a+cos」aVl+tan2a7siny0+cos/?^/1+tanp

貝(|sin(cr+/?)=sinacos/3+cosasm(3=cosacos尸(tana+tan/J)

________-4