函數(shù)的奇偶性講義 高一上學期數(shù)學人教A版（2019）必修第一冊

3.2.2函數(shù)的奇偶性知識點梳理重點1函數(shù)的奇偶性1.奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義函數(shù)的性質(zhì)定義圖象判定方法函數(shù)的奇偶性如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)=－f(x),那么函數(shù)f(x)叫做奇函數(shù)．（1）利用定義（要先判斷定義域是否關于原點對稱）（2）利用圖象（圖象關于原點對稱）如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)=f(x),那么函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù)．（1）利用定義（要先判斷定義域是否關于原點對稱）（2）利用圖象（圖象關于y軸對稱）函數(shù)奇偶性的運算性質(zhì)設f（x）與g（x）的定義域分別是,在它們的公共定義域上，有下列結論：f（x）g（x）f（x）+g（x）f（x）-g（x）f（x）g（x）偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)f（x）g（x）f（x）+g（x）f（x）-g（x）f（x）g（x）奇函數(shù)偶函數(shù)不能確定不能確定奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)復合函數(shù)的奇偶性復合函數(shù)的奇偶性如下表：f（x）g（x）F（x）偶偶偶偶奇偶奇偶偶奇奇奇（注：在f（g（x））中，g（x）的值域是f（x）定義域的子集.）理解函數(shù)奇偶性的注意點：定義域必須關于原點對稱.無論是奇函數(shù)還是偶函數(shù)定義域一定關于坐標原點對稱，如果不對稱這個函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).例如f（x）是偶函數(shù)且定義域為（a，b），則可以得到a+b=0（或a=-b）滿足定義域關于原點對稱時，可能是奇函數(shù)或偶函數(shù)，也可以既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)（例如f（x）=0，既滿足f（x）=f（-x）又滿足f（-x）=-f（x）），或者是非奇非偶函數(shù)（例如y=2x+1）.奇函數(shù)在原點有定義，則f（0）=0.例1.若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則=__________.答案：5補充練習：已知函數(shù)為奇函數(shù)，則a=____________.重點2奇、偶函數(shù)圖象的特征奇函數(shù)的圖象特征若一個函數(shù)是奇函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以原點位對稱中心的中心對稱圖形；反之也成立.偶函數(shù)的圖象特征若一個函數(shù)是偶函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以y軸為對稱軸的軸對稱圖形；反之也成立.奇偶函數(shù)的單調(diào)性奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性.偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相同的最大（小）值，取最值時的自變量互為相反數(shù)；奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)，取最值時的自變量也互為相反數(shù).例2.已知函數(shù)是偶函數(shù)，其圖象與x軸有4個交點，則的所有實根之和等于____________.答案：0例3.（分段函數(shù)奇偶性的判斷）判斷函數(shù)的奇偶性.例4.（抽象函數(shù)奇偶性的判斷）（1）已知函數(shù),若對于任意實數(shù)a，b，都有.求證：為奇函數(shù).（2）設函數(shù)定義在上，求證：，是奇函數(shù).例5.（利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值）（1）已知，且，則等于__________.解析：令，易知是R上的奇函數(shù)，所以，又，∴，∴∴補充練習：（2）已知，，則________.例6.（利用奇偶性求函數(shù)的解析式）（1）已知函數(shù)，且當時，，則當f（x）____________.答案：補充練習：（2），當，，則析式為_______________.例7.（函數(shù)