2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大題題型歸納：空間向量在立體幾何中的三種考法（原卷）

專題10空間向量在立體幾何中的三種考法

一、空間角的向量求法

I.如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面4BCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，ACCBD=0,且P。1平面ABC。，PO=2,

F,G分別是PB,PD的中點(diǎn)，E是P力上一點(diǎn)，S.AP=3AE.

(1)求證：BD〃平面EFG；

(2)若=求直線P力與平面EFG所成角的余弦值.

2.如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面為正方形，PAABCD,￡為PD的中點(diǎn)，PA=AB=2.

⑴求證：PB//平面/EC；

(2)求平面PAC與平面AEC所成角的余弦值.

3.已知圖1是由等腰直角三角形力BE和菱形BCDE組成的一個(gè)平面圖形，其中菱形邊長(zhǎng)為4,N4=90。/。=

60°.將三角形A8E沿8E折起，使得平面4BE1平面8CDE(如圖2).

A\

圖2

(1)求證：AXC1CD；

(2)求二面角8-ArC-。的正弦值.

4.如圖，四棱錐P—力BCD中，四邊形力BCD為梯形，AB//CD,AD1AB,AB=AP=2DC=4,PB=2AD=

4V2,PD=2瓜M,N分別是尸￡),尸8的中點(diǎn).

(1)求證：直線MN〃平面力BCD；

(2)求平面MCN與平面4BCD夾角的余弦值.

5.如圖，在四棱錐P—4BCD中，底面4BCD為矩形，P4_L平面力BCD,P4=4D=魚(yú)48,點(diǎn)M是PD的中點(diǎn).

(1)證明：AM1PC；

(2)設(shè)4c的中點(diǎn)為。，點(diǎn)N在棱PC上(異于點(diǎn)P,C),且。N=04求直線4V與平面力CM所成角的正弦值.

6.已知三棱臺(tái)AiBiM—力BC,4id1面ABC,4A1B1=AB=AC=4,cos4BAC=-。是線段力中點(diǎn),

(2)請(qǐng)選擇合適的基底向量，求直線/C與A4所成角的余弦值.

7.如圖，在三棱柱力BC—AiBjCi中，AB=BC,ABX=BXC.

(1)證明：AC1BiB；

(2)若AB=BBi=2,AB1=V6,AABC=120°,求二面角4-BB1一C的余弦值.

8.如圖，在四棱錐P-力BCD中，P4_L平面力BCD,AD1CD,ABIICD,PA=AD=CD=1,AB=2,點(diǎn)M

是PB的中點(diǎn).

(1)證明：PB=2CM；

(2)求直線0M與平面力CM所成的角的正弦值.

9.如圖，平行六面體48。。-481的01的體積為6,截面4<7的公的面積為6.

⑴求點(diǎn)B到平面力CC14的距離；

(2)若AB=4。=2,NB4D=60。，力&=逐，求直線與平面。的外。所成角的正弦值.

10.如圖所示，在多面體ABCGFE中，底面BCFE為矩形，S.AE1底面BCFE,AG〃￡T,4G=AE=BE=^EF=

2,BFClCE=0.

AG

(1)證明：4?！ㄆ矫鍳CF.

(2)求平面力B。與平面GCF夾角的余弦值.

11.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面/BCD是矩形，P41平面/5CD,PA^AD^^AB=1,E,M分

別為線段48,PC的中點(diǎn)，連接CE,延長(zhǎng)CE并與94的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)尸，連接PE,PF.

(1)求證：ME〃平面PFD.

(2)求平面APE與平面PEF所成角的正弦值.

12.如圖1,在五邊形4BCDE中，四邊形力BCE為正方形，CD1DE,CD=DE,如圖2,將△力BE沿BE折

起，使得/至4處，且力1B1&D.

圖1圖2

(1)證明：DE1平面&BE；

(2)求二面角C-ArE-。的余弦值.

13.如圖，在斜三棱柱ABC—力iBjCi中，AAi=AB,AB^VA^C,AB1的中點(diǎn)為。，BC的中點(diǎn)為D.

(1)證明：。?！ㄆ矫?CCM1；

(2)若乙4cB=90。，A8i=BiC,AC=28C=4,求平面4。的&與平面ABC所成角的大小.

14.如圖，在底面為正方形的四棱臺(tái)4BCD-4當(dāng)?shù)摹?中，已知AD=2,DDi=1,BD1=夕,N到平面BD/

⑴求分到平面4BCD的距離;

(2)若=亨，求直線CCi與平面4所成角的正弦值.

15.如圖，多面體力—4BCD中，四邊形力BCD是菱形，AABC=60°,AB//ArBr,AB=2A1B1=4,

AD//A1D1,AD=2A1D1,4A11平面48CD,ArC1AB

⑴求A4;

(2)求二面角%-C&一。的正弦值.

二、已知空間角求其他量

16.如圖，在三棱錐P-2BC中，P41底面ABC,ABAC=90。.點(diǎn)。、E、N分別為棱P4、PC、BC的中點(diǎn)，M

是線段力。的中點(diǎn)，PA=AC=4,AB=2.

⑴求證：MN//平面BDE；

(2)已知點(diǎn)H在棱P力上，且直線NH與直線BE所成角的余弦值為券，求線段4H的長(zhǎng).

17.已知正方體力點(diǎn)E為4中點(diǎn)，直線邑的交平面CDE于點(diǎn)F.

⑴證明：點(diǎn)尸為/Cl的中點(diǎn)；

⑵若點(diǎn)M為棱上一點(diǎn)，且直線MF與平面CDE所成角的正弦值為竽，求普的值.

2541%

18.在三棱柱力BC—&8也1中，平面41B1BA1平面力BC,側(cè)面AiBiBA為菱形，AABB^=/ABX1AC,AB=

HC=2,￡是/C的中點(diǎn).

(1)求證:A1B1平面ZB/

(2)確定在線段4E上是否存在一點(diǎn)P,使得/尸與平面力道速所成角為，若存在，求出署的值;若不存，說(shuō)

明理由.

19.如圖，在四棱錐P-力BCD中，側(cè)棱PA1平面/2C。，底面四邊形是矩形，P4=AD=4,點(diǎn)

N分別為棱P8,尸。的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱40上，AD-3AE.

p

(1)求證：直線AM〃平面AVE；

(2)從下面①②兩個(gè)條件中選取一個(gè)作為已知，證明另外一個(gè)成立.

①平面PAB與平面PCD的交線/與直線BE所成角的余弦值為嚶;

②二面角N一BE-。的余弦值為書(shū).

注：若選擇不同的組合分別作答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.

20.在底面/BCD為梯形的多面體中.力B〃CD,BCLCD,AB=2CD=2a,ZCBD=45°,BC=AE=DE,

且四邊形BDBN為矩形.

(1)求證：BDLAE；

⑵線段EN上是否存在點(diǎn)0,使得直線AE與平面04D所成的角為60。？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.若存在,

確定點(diǎn)。的位置并加以證明.

21.如圖1所示，在四邊形2BCD中，BC1CD,E為BC上一點(diǎn)，AE=BE=AD=2CD=2,CE=V3,將

四邊形2ECD沿2E折起，使得8。=再，得到如圖2所示的四棱錐.

EB

(1)若平面BCDCl平面ABE=Z,證明：CD//I；

(2)點(diǎn)F是棱BE上一動(dòng)點(diǎn)，且直線8。與平面/DF所成角的正弦值為孚，求告

11CD

22.如圖，是圓。的直徑，點(diǎn)C是圓。上異于4B的點(diǎn)，PC1平面ABC,AC=^3,PC=2BC=2,E,F

分別為P4PC的中點(diǎn)，平面BEF與平面ABC的交線為BD,。在圓。上.

(1)在圖中作出交線BD(說(shuō)明畫(huà)法，不必證明)，并求三棱錐D-4CE的體積；

(2)若點(diǎn)M滿足前=逆+ABP(AeR),且CM與平面PBD所成角的正弦值為平，求4的值.

23.如圖，已知直角梯形ABCD與力DEF,2DE=2BC=AD=AB=AF=2,ADLAF,ED//AF,ADVAB,

BC//AD,G是線段BF上一點(diǎn).

(1)平面ABCD工平面ABF

(2)若平面4BCD，平面力DEF,設(shè)平面CEG與平面4BF所成角為仇是否存在點(diǎn)G,使得cos。=普，若存在

確定G點(diǎn)位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

24.如圖，在正方體ABCD-中，E是棱CCi上的點(diǎn)(點(diǎn)E與點(diǎn)C,的不重合).

⑴在圖中作出平面與平面N5CD的交線，并說(shuō)明理由；

(2)若正方體的棱長(zhǎng)為1,平面力。止與平面ABCD所成銳二面角的余弦值為等，求線段CE的長(zhǎng).

25.如圖，在四棱錐P-A8CD中，底面48CD為平行四邊形，側(cè)面PHD是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面24。1

平面ABC。，AB1PD.

(1)求證：平行四邊形4BCD為矩形；

(2)若E為側(cè)棱PD的中點(diǎn)，且平面ACE與平面4BP所成角的余弦值為乎，求點(diǎn)B到平面力CE的距離.

26.如圖1,菱形4BCD的邊長(zhǎng)為2?乙ABC=*將小力BD沿BD向上翻折，得到如圖2所示得三棱錐4-BCD.

(1)證明：AC1BD-,

(2)若A'C=3,在線段8。上是否存在點(diǎn)G,使得平面力'CG與平面BCD所成角的余弦值為苧？若存在，求出BG；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

27.如圖，在四棱錐P—4BCD中，AB||CD,CP1CD,CD=2AB=2,APACAD.

P

(1)證明：平面PBC_L平面PCD；

(2)已知CP=V^BC=2,DQ=WP,4e[0,1].若平面力BP與平面4CQ夾角的余弦值為半，求4的值.

6

28.已知在直三棱柱A8C—A181cl中，其中44=2AC=4,AB=8C,尸為的中點(diǎn)，點(diǎn)E是＜7的上靠近的

的四等分點(diǎn)，4尸與底面4BC所成角的余弦值為苧.

(1)求證：平面AFC1平面4EF；

(2)在線段&F上是否存在一點(diǎn)N,使得平面4FC與平面NBiCi所成的銳二面角的余弦值為若存在，確定

點(diǎn)N的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

29.直三棱柱ABC—力iBiQ中，AC=BC=CCi=2,。為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在A4i上，AD1DCr.

(1)證明：BC1平面人力D；

⑵若二面角力1-DE-的大小為30。，求以力i，E,D,Ci為頂點(diǎn)的四面體體積.

30.如圖1,在AABC中，AB=4C=2,NB4C=g,E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為4B上一點(diǎn)，且EF14B.將△BEF沿EF

翻折到△B'EF的位置，如圖2.

B'

A

圖1圖2

(1)當(dāng)AB'=加時(shí)，證明：平面BNE1平面ABC；

(2)已知二面角B'-EF-4的大小為:，棱4C上是否存在點(diǎn)M,使得直線B'E與平面B'MF所成角的正弦值為

*？若存在，確定M的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

三、空間距離的向量求法

31.如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，AABC=60°,四邊形P4CQ為矩形，PA=1,從下列三個(gè)條件

中任選一個(gè)作為已知條件，并解答問(wèn)題(如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分).

①BP,DP與平面4BCD所成角相等；②三棱錐P—力BD體積為?；③cosNBP4

⑴平面P4CQ1平面4BCD；

(2)求二面角B-PQ-。的大小;

⑶求點(diǎn)C到平面BPQ的距離.

32.如圖所示，在四棱錐P—4BCD中，側(cè)面△PAD是正三角形，且與底面4BCD垂直，BC〃平面PAD,BC=

^AD=1,E是棱PD上的動(dòng)點(diǎn).

p

E

B

(1)當(dāng)E是棱PD的中點(diǎn)時(shí)，求證：CE〃平面PAB；

(2)若48=1,ABLAD,求點(diǎn)8到平面2CE距離的范圍.

33.在如圖所示的圓錐中，已知P為圓錐的頂點(diǎn)，。為底面的圓心，其母線長(zhǎng)為6,邊長(zhǎng)為3百的等邊△力BC

內(nèi)接于圓錐底面，赤=4而且26停,11

(1)證明：平面DBC1平面ZM。；

(2)若E為中點(diǎn)，射線。E與底面圓周交于點(diǎn)M,當(dāng)二面角4-DB-C的余弦值為得時(shí)，求點(diǎn)M到平面BCD

的距離.

34.在多面體ABCCi&Bi中，四邊形BBiCiC是邊長(zhǎng)為4的正方形，AB1B±B,zUBC是正三角形.

廣

⑴若公為的中點(diǎn)，求證：直線4C//平面48的；

⑵若點(diǎn)為在棱上且力公=24/1，求點(diǎn)。到平面&BC1的距離.

35.如圖,該幾何體是由等高的半個(gè)圓柱和1個(gè)圓柱拼接而成，點(diǎn)G為弧CD的中點(diǎn)、，且C,￡0,G四點(diǎn)共面.

G

(1)證明：平面BDF1平面BCG；

(2)若平面BDF與平面力BG所成二面角的余弦值為V，且線段長(zhǎng)度為2,求點(diǎn)G到直線DF的距離.

36.如圖，在三棱錐4一BCD中，平面平面BCD,ABVAD,AB=AD,。為3。的中點(diǎn).

A

(1)證明：OA_LCD.

⑵若△BCD是等腰直角三角形,NBDC=90。,CD=2,點(diǎn)E在棱4D上(與/，。不重合)，若二面角E-