2024年中考數(shù)學(xué)重難點復(fù)習：與四邊形有關(guān)的證明與計算（含答案）

2024年中考數(shù)學(xué)重難創(chuàng)新題6與四邊形有關(guān)的證明與計算

注意事項：

創(chuàng)新角度：探索圖形中的數(shù)量關(guān)系、結(jié)合數(shù)學(xué)文化、補全圖形、尺規(guī)作圖、方案選取、回歸教材、糾錯反

思、真實問題情境

一、新考法-探索圖形中的數(shù)量關(guān)系

1.如圖，正方形2BC。，點尸在邊4B上，且4F:FB=1:2,CE1DF,垂足為M,且交2。于點凡AC

與DF交于點N,延長CB至G,使BG=9BC,連接GM,有如下結(jié)論：①DE=4F；②AN=^AB；

③乙4。尸=zGMF；④SAANF：S四邊熟NFB=I*-上述結(jié)論中，正確的個數(shù)是（）

DR-----------------^C

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.如圖，矩形ABCD中，AELBD于點E,CF平分NBCD,交EA的延長線于點F,且BC=4,CD=2,

給出下列結(jié)論：①NBAE=NCAD；②NDBC=30。；③AE=1V5；@AF=2V5,其中正確結(jié)論的

個數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.如圖，正方形ABCD的對角線相交于O點，BE平分NABO交AO于E點，CFJ_BE于F點，交

BO于G點，連接EG、OF,下列四個結(jié)論：①CE=CB；②AE=&OE；@OF=|cG,其中正確的結(jié)

論只有（)

DC

AB

A.①②③B.②③C.①③D.①②

二'新考法-結(jié)合數(shù)學(xué)文化

4.文藝復(fù)興時期，意大利藝術(shù)大師達?芬奇曾研究過圓弧所圍成的許多圖形的面積問題.如圖稱為達?芬

奇的“貓眼”，可看成圓與正方形的各邊均相切，切點分別為A,B,C,D,劣弧BD所在圓的圓心為

點A或點C.若正方形的邊長為2,則圖中陰影部分的面積為（）

A.V2B.2C.K-1D.4一5

5.圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME）的會徽，圖2由其主體圖案中相鄰兩個直角三角形組合

而成.作菱形CDEF,使點D,E,F分別在邊OC,OB,BC上，過點E作EHJ.于點4.當=

BC,ZBOC=30°,DE=2時，EH的長為（）

C.V2D.4

3

6.第二十四屆國際數(shù)學(xué)家大會會徽的設(shè)計基礎(chǔ)是1700多年前中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”.如圖,

在由四個全等的直角三角形（△D4E,AABF,ABCG,△CDH）和中間一個小正方形EFGH拼成的

大正方形4BCD中，N4BF>ABAF,連接BE.設(shè)=a,乙BEF=/?,若正方形EFGH與正方形ABC。

的面積之比為1：n,tana=ta/f,則幾=（）

C.3D.2

7.公元3世紀初，我國學(xué)家趙爽證明勾定理的圖形稱為“弦圖”.1876年類國總統(tǒng)Garfeild用圖1（點C、

點B、點C三點共線）進行了勾股定理的證明.AACB與ABCB是一樣的直角三角板，兩直角邊長為a,

b,斜邊是c.

圖1圖2圖3

ci）請用此圖1證明勾股定理.

（2）擴展應(yīng)用1：

如圖2,以AABC的邊AB和邊AC為邊長分別向外作正方形ABFH和正方形CED,過點F、E

分別作BC的垂線段FM、EN,那么FM、EN、BC的數(shù)量關(guān)系是怎樣?：說明理由.

（3）擴展應(yīng)用2：

如圖3,在兩平行線m、n之間有一正方形ABCD,已知點A和點C分別在直m、n上，過點D

作直線已知1、n之間距離為1,1、m之間距離為2.直接出正方形的面積是.

三、新考法-補全圖形，注重過程性學(xué)習

8.如圖，在梯形ABCD中，AD/7BC,AD=CD,過點A作AE〃DC交BC于點E.

（1）求證：四邊形AECD是菱形.

（2）在（1）的條件下，若NB=30。，AE±AB,以點A為圓心，AE的長為半徑畫弧交BE于點F,

連接AF,在圖中，用尺規(guī)補齊圖形（僅保留作圖痕跡），并證明點F是BE的中點.

9.四邊形ABCD是正方形，AC與BD,相交于點0,點E、F是直線AD上兩動點，且AE=DF,CF

所在直線與對角線BD所在直線交于點G,連接AG,直線AG交BE于點H.

(1)如圖1,當點E、F在線段AD上時，①求證：ZDAG=ZDCG；②猜想AG與BE的位置

關(guān)系，并加以證明；

(2)如圖2,在(1)條件下，連接H0,試說明H0平分NBHG；

(3)當點E、F運動到如圖3所示的位置時，其它條件不變，請將圖形補充完整，并直接寫出NBHO

10.如圖，在△力BC中，Z.BAC=45°,/DJ.BC于點D,BD=6,DC=4,求AD的長.小明同學(xué)利用

翻折，巧妙地解答了此題，

小明的思路：①以AB為對稱軸，畫出AaBD的對稱圖形，點D的對稱點為點E；

②以AC為對稱軸，畫出小人。。的對稱圖形，點。的對稱點為點F；

③延長EB和FC相交于點G；

④設(shè)=龍，建立關(guān)于久的方程模型，從而求出AD的長.

按小明的思路探究并解答下列問題：

(1)補全圖形，判斷四邊形AEGF的形狀，并證明；

(2)求AD的長.

11.如圖，已知，點E在正方形48co的8c邊上(不與點B,C重合)，/C是對角線，過點E作/C

的垂線，垂足為G,連接3G,DG.把線段。G繞著G點順時針旋轉(zhuǎn)，使。點的對應(yīng)點廠點剛好落

在8c延長線上，根據(jù)題意補全圖形.

B￡C

(1)證明：GC=GE；

(2)連接DR用等式表示線段3G與DF的數(shù)量關(guān)系，并證明.

四'新考法-結(jié)合無刻度直尺作圖

12.圖1,圖2都是由邊長為1的小等邊三角形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個小等邊三角形的頂點稱為格點，線

段AB的端點在格點上，分別按要求畫出圖形：

圖1圖2

(1)在圖1中畫出兩個以AB為斜邊的直角三角形ABC,且點C在格點上；

(2)在圖2中畫出一個以AB為對角線的菱形ADBE,且D,E在格點上.

13.圖①、圖②均是4X4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1,小正方形的頂點稱為格點.

用直尺在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖，所畫圖形的頂點均在格點上.

L_5Z__J_._1

圖①圖②

(.1)在圖①中,以線段ZB為一邊畫一個菱形;

(2)在圖②中,以點4為頂點，另外三個頂點也在格點上，畫一個面積最大的正方形.

14.如圖，在方格紙中，點A,B,P都在格點上.請按要求畫出以AB為邊的格點圖形(圖形的每個

端點都在格點上).

(1)在圖甲中畫出一個三角形ABC,使直線BP平分該三角形的面積.

(2)在圖乙中畫出一個至少有一組對邊平行的四邊形ABMN,使直線AP平分該四邊形的面積.

五'新考法-結(jié)合尺規(guī)作圖

15.如圖，在口ABCD中，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交AD于點F,再分別以點B、F為圓心,

大于|BF的相同長為半徑畫弧，兩弧交于點P；連接AP并延長交BC于點E,連接EF,則所得四

邊形ABEF是菱形.

(I)根據(jù)以上尺規(guī)作圖的過程，求證：四邊形ABEF是菱形；

(II)若菱形ABEF的周長為16,AE=4V3,求NC的大小.

數(shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們用尺規(guī)作圖法探究在菱形內(nèi)部作一點到該菱形三個頂點的距離相等.

【動手操作］如圖，已知菱形2BCD,求作點E,使得點E到三個頂點4D,C的距離相等.小紅

同學(xué)設(shè)計如下作圖步驟：

①連接BD；

②分別以點4D為圓心，大于品。的長為半徑分別在2。的上方與下方作?。?)上方兩弧交于點

M,下方兩弧交于點N,作直線MN交BD于點E.

③連接4E,EC,貝同=ED=EC.

(1)根據(jù)小紅同學(xué)設(shè)計的尺規(guī)作圖步驟，在題圖中完成作圖過程(要求：用尺規(guī)作圖并保留作圖痕

跡)

(2)證明：EA=ED=EC.

(3)當乙4BC=72。時，求AEBC與△E4D的面積比.

17.如圖，已知△ABC.

A

⑴請用尺規(guī)作圖作出NBAC的平分線交BC于點D；

⑵請用尺規(guī)作圖作出線段4。的垂直平分線交AB于點E,交/C于點尸；

⑶連接DE和。F,直接寫出四邊形AEDF的形狀.

六'新考法-方案選取

18.一塊直角三角形木板的條直角邊AB長為1.5m,面積為1.5m2.工人師傅要把它加工成一個面積

最大的正方形桌面，請甲、乙兩名同學(xué)設(shè)計加工方案.甲設(shè)計方案如圖①，乙設(shè)計方案如圖②.你

認為哪名同學(xué)設(shè)計的方案較好？試說明理由(加工損耗忽略不計，計算結(jié)果可保留分數(shù)).

C.

①②

19.如圖所示，在半徑為5、圓心角為60°的扇形AOB內(nèi)部作一個正方形CDEF.有以下兩種方案：方

案一為點D,E在OB上，點C在OA上，點尸在扇形的弧上；方案二為點。在OB上，點C在OA上，

點E,F在扇形的弧上.問：哪種方案的正方形CDEF的面積更大?請說明理由.

A

20.用一張長12cm寬5cm的矩形紙片折出一個菱形.小穎同學(xué)按照取兩組對邊中點的方法折出菱形

EFGH(方案一)，小豐同學(xué)沿矩形的對角線AC折出NCAE=NCAD,NACF=NACB的方法得到菱

形AECF(方案二).誰折出的菱形面積更大？請你通過計算說明.

21.為了充分利用四邊形余料，小明設(shè)計了不同的方案裁剪正方形，裁剪方案與數(shù)據(jù)如表:

方案設(shè)計方案1方案2

LC

D

F

G/

裁剪方案示意圖M

ANB

AA

說明圖中的正方形AEFG和正方形MNPO四個頂點都在原四邊形的邊上

測量數(shù)據(jù)AD=9dm,CD=2dm,AB=14dm,NA=ND=90。；

(1)任務(wù)1：探尋邊角填空：BC=dm；sinB=；

(2)任務(wù)2：比較面積計算或推理：正方形AEFG和正方形MNP邊長之比；

(3)任務(wù)3：應(yīng)用實踐若在ABEF余料上再截取一個最大正方形，正方形的邊長為dm.

22.為了充分利用四邊形余料，小明設(shè)計了不同的方案裁剪正方形，裁剪方案與數(shù)據(jù)如下表:

方案設(shè)計方案1方案2

)CL

G

裁剪方案示意圖人W

AEBANB

說明圖中的正方形ZEFG和正方形MNPQ四個頂點都在原四邊形的邊上

測量數(shù)據(jù)AD=9dm,CD=2dm,AB=14dm,Z.X=乙D=90°；

任務(wù)1:探尋邊角填空：BC=______▲______dm,sinB=______▲______；

任務(wù)2：比較面積計算或推理：正方形AEFG和正方形MNPQ邊長之比；

任務(wù)3：應(yīng)用實踐若在△BEF余料上再截取一個最大正方形，正方形的邊長為▲

dm.

23.【問題背景】

如圖1,數(shù)學(xué)實踐課上，學(xué)習小組進行探究活動，老師要求大家對矩形2BC。進行如下操作：①分

別以點B,C為圓心，以大于*BC的長度為半徑作弧，兩弧相交于點E,F,作直線EF交BC于點。，連

接40;②將AZB。沿40翻折，點B的對應(yīng)點落在點P處，作射線4P交CD于點Q.

【問題提出】

在矩形4BCC中，4）=5,AB=3,求線段CQ的長.

【問題解決】

經(jīng)過小組合作、探究、展示，其中的兩個方案如下：

方案一：連接0Q,如圖2.經(jīng)過推理、計算可求出線段CQ的長；

方案二：將A/B。繞點。旋轉(zhuǎn)180。至△RC。處，如圖3.經(jīng)過推理、計算可求出線段CQ的長.

請你任選其中一種方案求線段CQ的長.

七'新考法-回歸教材，注重定理的證明

24.【溫故知新】在證明“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”時，小明結(jié)合圖1給

出如下證明思路：作CFII力。交DE的延長線于點F,再證A4DEmACFE,再證四邊形。BCF是平行四

邊形，即可證明定理。

圖1圖2圖3圖4

（1）【新知體驗】小明思考后發(fā)現(xiàn)：作平行線可以構(gòu)成全等三角形或平行四邊形，以達到解決問題

的目的.如圖2,在四邊形/BCD中，AD||BC,AC1BD,若2C=3,BD=4,AD=1,則BC的值為一

(2)【靈活運用】如圖3,在矩形ZBCD和nZBEF中，連接DF、AE交于點G,連接DB。若AE=DF=DB,

求ZFGE的度數(shù)；

(3)【拓展延伸】如圖4在第(2)題的條件下，連接BF,若AB=AD=4加,求△BEF的面積

【定理證明】請根據(jù)教材內(nèi)容，結(jié)合圖①，寫出證明過程.

(1)如圖②，四邊形ABCD中，AD=BC,E、F、G分別是AB、DC、AC的中點，若

ZACB=80°,ZDAC=20°,直接寫出LEFG的度數(shù).

(2)如圖③，在矩形ABCD中，點E,F分別是邊AB,BC的中點，連接EC,FD,點G,H分

別是EC,FD的中點，連接GH,若AB=6,BC=10,直接寫出GH的長度.

26.【教材呈現(xiàn)】下圖是華師版九年級上冊數(shù)學(xué)教材第77頁的部分內(nèi)容.

猜想

如圖23.4.2,在△ABC中，點D、E分別是AB與AC的中點.根據(jù)畫出的圖形，可以猜想：

DE||BC,且DE=±BC.

對此，我們可以用演繹推理給出證明.

圖23.4.2

E

【定理證明】

(1)請根據(jù)教材提示，結(jié)合圖①，寫出完整的證明過程.

(2)如圖②，在四邊形ABCD中，AB=CD,ABLAC,點P、M、N分別是AC、AD、BC的

中點，連結(jié)PM、PN、MN.若N4CD=40。，則ZPMN的大小為；

(3)如圖③，在△ABC中，點D在AB上，且BD=AC,點M、N分別是AD、BC的中點，連

結(jié)NM并延長，交CA延長線于點E,則NB2C與NE的數(shù)量關(guān)系為.

27.課本再現(xiàn)

思考

我們知道，菱形的對角線互相垂直.反過來，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形嗎？

可以發(fā)現(xiàn)并證明菱形的一個判定定理：

對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

圖①圖②

(1)【定理證明】為了證明該定理，小明同學(xué)畫出了圖形(如圖①)，并寫出了“已知”和“求證”，請

你完成證明過程.

已知：在U4BCD中，對角線BDL2C,垂足為0.

求證：EL4BCD是菱形.

(2)【知識應(yīng)用】如圖②，在□力BCD中，對角線AC和BD相交于點。，AD=5,4C=8,BD=6.

①求證：MBCQ是菱形；

②延長BC至點E,連接OE交CD于點F,若NE=彳乙4CD,求霧的值.

28.【教材呈現(xiàn)】下圖是華師版八年級下冊數(shù)學(xué)教材第83頁和84頁的部分內(nèi)容.

平行四邊形的判定定理2一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

我們可以用演繹推理證明這一結(jié)論.

已知：如圖，在四邊形ZBCD中，ABIICD且ZB=CD.

求證：四邊形2BC。是平行四邊形.

證明：連接力C.

（1）請根據(jù)教材提示，結(jié)合圖，寫出完整的證明過程.

（2）【知識應(yīng)用】如圖①，在口ABCC中，延長BC到點凡使BC=CF,連接47、DF.求證：四

邊形4CFD是平行四邊形.

圖①

（3）【拓展提升】在【知識應(yīng)用】的條件下，若四邊形4CF。的面積為7,直接寫出四邊形2BCD

的面積.

八'新考法-糾錯反思

29.【題目】如圖①，在矩形ABCD中，AD=2AB,F是AB延長線上一點，且BF=AB,連結(jié)DF,

交BC于點E,連結(jié)AE.試判斷線段AE與DF的位置關(guān)系.

【探究展示】小明發(fā)現(xiàn)，AE1DF,并展示了如下的證明方法:

證明：'：BF=AB,

：.AF=2AB.

'：AD=2AB,

：.AD=AF.

?.?四邊形ABCD是矩形，

：.AD||BC.

.BF_EF

"AB~DE-

'：BF=AB,

-DE=1-

：.DE=EF.

'：AD=AF,

：.AE1DF.（依據(jù)）

（1）【反思交流】上述證明過程中的“依據(jù)”是.

（2）小穎受到小明的啟發(fā)，繼續(xù)進行探究，如圖②，連結(jié)圖①中的CF,將CF繞著點C順時針旋

轉(zhuǎn)90。得到CG,連結(jié)EG.求證：點G在線段BC的垂直平分線上.

（3）【拓展應(yīng)用】如圖③，將圖①中的CF繞著點F順時針旋轉(zhuǎn)90。得到FH.分別以點B、C為圓心,

以血長為半徑作弧，兩弧交于點M,連結(jié)MH.若MH=AB=1,直接寫出小的值.

九'新考法-真實問題情景

30.綜合與實踐：

問題情境：數(shù)學(xué)課上，小廣和小都兩位同學(xué)利用三角板操作探究圖形的旋轉(zhuǎn)問題.

（1）操作探究1：小廣將兩塊全等的含45。角的直角三角板按如圖①方式在平面內(nèi)放置，其中兩

銳角頂點重合于點4AB1AD,已知長8cm,則點B、E之間的距離為.

（2）操作探究2：小都將兩塊全等的含30。角的直角三角板按如圖②方式在平面內(nèi)放置.

其中兩個60。角頂點重合于點4AD與4C重合，已知AB長8cm,請你幫小都同學(xué)求出此時點B、E

之間的距離；

（3）操作探究3：隨后，小E將圖②中的AADE換成了含45。角的三角板，同相是頂點重合于點4

與4c重合，已知直角邊AB與4。長均為8cm,他還想求點B,E之間距離，小廣提出，如果把三角

板ABC也換成了含45。角的三角板，并利用旋轉(zhuǎn)的知識，結(jié)論將更容易得到，你能求出此時點B,E

之間的距離嗎？

答案解析部分

L【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】(1)解：..?點C、點B、點B'三點共線，ZC=NC'=90。.?.四邊形/CC'B'是直角梯形,

VAACB與小BC'B'，是一樣的直角三角板，

*'?Rt△ACB=Rt△BCB,

???乙CAB=Z-CBB,AB=BB,

???UBA+乙C'BB'=90°

.?.△ABB’是等腰直角三角形,

所以S梯形ZCC'B'=(AC+B'Cj?CC'+2=書登,

11

ab,S=2

SACB--QAC-BC=~^ab,SBC'B'=2ABB2c

所以(ay)2=+^-c2,

a2+2ab+b2=ab+ab+c2.

???a2+b』c2；

(2)

拓展1.過A作AP±BC于點P,

H

?.*NABF=90°,

???ZBFM+ZMBF=ZMBF+ZABP,

???NBFM=NABP,

在△BMF和aABP中，

'Z-BFM=乙ABP

-^BMF=Z.APB=90°f

、BF=AB

：.ABMF△ABP(AAS),

AFM=BP,

同理，EN=CP,

???FM+EN=BP+CP,

即FM+EN=BC,

故答案為：FM+EN=BC；

(3)5

8.【答案】證明：(1)VAD/7BC,AE〃DC,

???四邊形AECD是平行四邊形，

?;AD=CD,

???四邊形AECD是菱形.

(2)補齊圖形：

證明：VZB=30°,AE±AB,

???ZAEB=60°,

?.?AE=AF,

???△AEF是等邊三角形，

???AF=EF,ZEAF=60°,

???NBAF=90。-ZEAF=30°,

???NBAF=NB,

???AF=BF,

???BF=EF,

即點F是BE的中點.

D

B

9.【答案】(1)①證明：?.?四邊形ABCD為正方形,

，DA=DC,ZADB=ZCDB=45°,

在4ADG和4CDG中

'ADXD

-ZADG=ZCDG>

.DG=DG

/.AADG^ACDG(SAS),

二ZDAG=ZDCG；

②解：AG±BE.理由如下：

?.?四邊形ABCD為正方形，

.,.AB=DC,ZBAD=ZCDA=90°,

在4ABE和4DCF中

'AB=DC

<NBAE=NCDF，

,AE=DF

.二△ABE絲ADCF(SAS),

/.ZABE=ZDCF,

ZDAG=ZDCG,

；.NDAG=NABE,

ZDAG+ZBAG=90°,

ZABE+ZBAG=90°,

/.ZAHB=90°,

.\AG±BE；

(2)解：由(1)可知AGLBE.

如答圖1所示，過點0作OM_LBE于點M,ONLAG于點N,則四邊形OMHN為矩形.

_4E_Q

ZMON=90°,

XVOAXOB,

?.ZAON=ZBOM.

,?ZAON+ZOAN=90°,ZBOM+ZOBM=90°,

ZOAN=ZOBM.

在△AON與△BOM中，

2OAN=NOBM

<OA=OB

AON=/BOM

/.△AON^ABOM(AAS).

.,.OM=ON,

矩形OMHN為正方形，

，HO平分NBHG.

(3)將圖形補充完整，如答圖2示，ZBHO=45°.

與（1）同理，可以證明AGLBE.

過點O作OMJ_BE于點M,ONLAG于點N,

與（2）同理，可以證明△AON04BOM,

可得OMHN為正方形，所以HO平分NBHG,

.?.ZBHO=45°.

10.【答案】（1）解：補全圖形如解圖，四邊形AEGF是正方形;

證明：由題意可得△ABE=△ABD,△ACF=△ACD,

:?乙EAB=LDAB,AE=AD,/.FAC

=^DAC,AF=AD.

???2LBAC=45°,

:.Z-EAF=90°.

又???AD1BC,

???乙E=Z.ADB=90°,ZF=Z.ADC=90°,

???四邊形AEGF是矩形.

AE—AD,AF-AD^

：.AE=AF,

???四邊形AEGF是正方形.

(2)AD=12

11.【答案】(1)證明：補全圖形如圖所示,

?.?四邊形ABCD是正方形，AC是對角線，

.,.ZACB=45°,

VEGXAC,ZEGC=90°

ZGEC=ZACB=45°

；.GC=GE；

(2)解：DF=V2BG,理由如下：

證明：,??△EGC是等腰直角三角形，

，EG=GC,ZGEC=ZACB=45°,

/.ZBEG=ZGCF=135°,

由旋轉(zhuǎn)得：DG=GF,

正方形ABCD中，AB=AD,ZBCA=ZDCA=45°,CG=CG

/.△CBG^ACDG(SAS),

/.ZCGB=ZCGD,BG=DG,

.\BG=GFAZGBC=ZGFB

又/BEG=NGCF

.".△BEG^AFCG(AAS),

.\ZBGE=ZCGF,

Z.ZCGB-ZBGE=ZCGD-ZCGF,

即NEGC=NDGF=90。，

...△DGF是等腰直角三角形，

DF=y/DG2+GF2

=VBG2+BG2

=J2BG2

=&BG

即DF=V2BG.

12.【答案】(1)解：點C、C'即為所求

（2）解：菱形ADBE即為所求.

13.【答案】（1）解：如圖①，菱形4BEF即為所求.

圖①

（2）解：如圖②，正方形4GHK即為所求.

G

（2）解：如圖,

AB=AF

BE=FE,

AE=AE

AAAEB^AAEF,

???NEAB=NEAF,

?.?AD〃BC,

???NEAF=NAEB=NEAB,

???BE=AB=AF.

VAF/7BE,

???四邊形ABEF是平行四邊形，

VAB=BE,

???四邊形ABEF是菱形；

(II)如圖，連結(jié)BF,交AE于G.

???菱形ABEF的周長為16,AE=4V3,

/.AB=BE=EF=AF=4,AG=1AE=2V3,ZBAF=2ZBAE,AE±BF.

在直角AABG中，---ZAGB=90°,

.\cosZBAG=弟=學(xué)=’,

Ab42

???ZBAG=30°,

???NBAF=2NBAE=60。.

???四邊形ABCD是平行四邊形，

???NC=NBAF=600.

16.【答案】（1）解：根據(jù)小紅同學(xué)設(shè)計，作圖如下:

(2)證明：在菱形ZBCD中，乙ADE=LCDE,AD=DC,

,:DE=DE,

：.AADE=ACDE(SAS),

：.AE=EC,

???”可垂直平分4。，

：.AE=DE,

：.AE=DE=EC；

(3)解：,在菱形ABCD中,(ABC=72。,

：.Z.ABD=^DBC=36°9

AD||BC,

"ADB=乙DBC=36°,4DAB=180一乙ABC=108°,

9：AE=DE,

J.^EAD=^ADB=36°,

：./.EAD=^ABD=36°,

VzXZ)￡=4BDA,

△ADEBDA,

?嚼=器即4。2=孫。工

\UZ.BAE=A.BAD-^LEAD=72°,4BEA=LEAD+￡.ADE=72°,

：.^BAE=^BEA,

：.BE=AB,

T^AB=X=BE,DE=a(其中尤,a>0),則20=%，BD=BE+DE=x+a,

x2—(x+a)-a,

x2—ax—a2=0,解得久=居怖1a或尢='2若a(舍去)，

?AB1+V5

"'DE=^2~，

?SAEBC=SAABE=BE=AB=西+1

S

,'S^EDC^ADEDEDE2

17.【答案】解:(1)如圖,

平分ZBAC；

(2)如上圖，EF垂直平分4。；

(3)四邊形4EDF是菱形.

2

18.【答案】由AB=1.5m,SAABc=1.5m,可得BC=2m.

由圖①，設(shè)甲設(shè)計的正方形桌面邊長為x(m),由DE〃AB,得Rt^CDEsRtZ\CBA,

?xBC-x日門Ux2—x府4日6

??加=k'即5父=丁'解得x=7

由圖②，過點B作RtaABC斜邊AC上的高線BH,交DE于點P,交AC于點H.

由AB=1。5m,BC=2m,得ACfAB2+BC2=Jl.52+22=2.5(m).

由ACBH=AB-BC,得BH=^^=與咨=1.2(m).設(shè)乙設(shè)計的桌面的邊長為y(m),

/ICZ.D

：DE〃AC,ARtABDE^RtABAC,:.盥=照,即^=具，解得y埸

Dti/1Cl.ZZ.33/

?.}＞翁..?.甲同學(xué)設(shè)計的方案較好.

19.【答案】解：如圖甲所示，連結(jié)OF.

甲

設(shè)方案一中正方形邊長為a,

則0Z）=字＜1,二（字a+a）2+a2=25＞

721—o

：.遮）a2=25.

如圖乙所示，作。HIEF交CD于點M,連結(jié)0E.

設(shè)方案二中正方形邊長為m,EH=OM=^m,

V31

???(-2-m+m)7+『?=25,

(2+V3)m2=25,

72

可+WV3<2+V3,a?〉.

即方案一的正方形的面積大

20.【答案】解：方案一：

11

S菱形=*EGF//=于<12*5=30(cm?),

方案二：設(shè)AE=EC=「則BE=12-X

在RtAABE中，AB2+BE2=AE2，

52+(12—%)2=解得jv,

S5-35.21(cm2)

答：小豐折出的菱形面積更大.

21.【答案】(1)15；|

⑵解:設(shè)GF與CH相交于點I,正方形AEFG的邊長為adm,則F)=(a-2)dm,CI=(9-a)dm,

DC

：GF〃AB,

.*.ZB=ZCFL

在RtAFIC中，tanNCFI=tanB與==j,

Fla—24

解得a=6；

設(shè)正方形MNPQ邊長為bdm,

JNB=NMNA,

在RtAPBN中，sinB嘿=境產(chǎn)|,

則BN=|b,

在RtAMAN中，

AN_AN_4

cosZ-MNA—MN='V=5'

則AN=1b

4q

?審+部=14,

解得b=娉，

637

正方形AEFG和正方形MNPQ邊長之比為布=35：

(3)與

22.【答案】解：任務(wù)1：15；|；比較面積，

設(shè)GF與相交于點I,正方形4EFG的邊長為a,

2

VsinB—引

.34

tanB=丁cosB=耳,

在Rt△F/C中，tanz_CF/=tanB=彳，F(xiàn)I=a-2,CI=9—a,

?CI_9—CL_3

,,可=口=不

解得a=6；

在RtAF/C中,sinB=^=磊=|,則BN=|b,

.AMA]\fA4

在收△MAN中t，cos乙MNA=毀=寫=三,則⑷V=,b,

4q

?審+部=14,

解得b=鑼,

637

正方形4EFG和正方形MNPQ邊長之比為前=35；

任務(wù)3：竽

連接0Q,如圖2.

：.AB=CD=3,AD=BC=5,

1

由作圖知B。=0C=*BC=2.5,

由翻折的不變性，知4P==3,OP=0B=2.5,乙APO=zB=90°,

：.0P=0C=2.5,AQPO=ZC=90°,又OQ=OQ,

：.△QPO=△QCO(HL),

：.PQ=CQ,

設(shè)PQ=CQ—x,則/IQ=3+K，DQ—3—x,

在RtAZDQ中，AD2+QD2=AQ2,即52+(3—%>=(3+支?，

解得x=患，

線段”的長為裳

方案二：將AABO繞點。旋轉(zhuǎn)180。至ARC。處，如圖3.

?..四邊形ABCD是矩形，

：.AB=CD=3,AD=BC=5,

由作圖知3。=0C=^BC=2.5,

由旋轉(zhuǎn)的不變性，知CR==3,Z.BAO=乙R,乙B=乙OCR90°,

則NOCR+ZOCD=90°+90°=180°,

?MC、R共線，

由翻折的不變性，知NB4。=AOAQ,

J.Z-OAQ=Z-R,

：.QA=QR,

設(shè)CQ=x,貝!JQ4=QR=3+%,DQ=3—%,

在中，AD2+QD2=AQ2,BP52+(3-X)2=(3+%)2,

角牟得％=患，

線段CQ的長為裳

24.【答案】(1)4

(2)解:連結(jié)AC、CE,如圖3,

圖3

?.?矩形4BCD,4BEF為平行四邊形，

ADC||AB||EFSLDC=AB=EF,

.?.DFEC為平行四邊形，：.DF=CE,

?XBCD為矩形，：.AC=DB,

'：AE=DF=DB,：.AE=CE=AC

即AACE是一個等邊三角形，：.^AEC=60°,

VDF||CE,J.^FGE=^AEC=60°

(3)解：設(shè)4C與BD相交于點Q,如圖4,

圖4

?.?四邊形4BCD是矩形，且23=4。，

二四邊形4BCD是正方形，.?./<?與BO互相垂直平分，

?：AB=4V2,.XQ=BQ喉=4

.'.AE=BD—AC—2AQ=8

?：EA=EC,BA=BC,是線段ZC的中垂線，

又???BD也是線段4C的中垂線，...E、B、。三點共線，

在RM4EQ中，/.AQE=90°,QE=A/82-42=4V3

:.BE=4b—4,'：AF||BE,AQ1BE,；.△BEF的BE邊上的高等于AQ=4

,，S&BEF=2x4x（4A/3^—4）=8A/3^—8.

25.【答案】（1）【定理證明】證明：\?點D、E分別是AB、AC的中點，

.AD_AE_1

?W蔗一2'

又：NA=NA,

.,.△ADE^AABC,

.,.ZADE=ZABC,器=喋=/

；.DE〃BC,且DE=；BC.

解：（1）?.?點E、G分別是AB、AC的中點，

；.EG〃BC,且EG=|BC,

.,.ZEGC+ZACB=180°,

VZACB=80°,

/.ZEGC=100°；

?.?點G、F分別是AC、DC的中點，

同理可得：FG=1z。，F(xiàn)G〃AD,

.,.ZFGC=ZDAC=20°,

.?.ZEGF=120°,EG=FG,

/.ZEFG=(180°-120°)+2=300□

(2)解：GH=」|三

連接AC,取AC的中點O,連接OG,取CD的中點M,連接OM,

?.?點E是AB的中點，

AE=-AB=X6=3,

??,點O是AC的中點，點G是CE的中點，

.?.OG〃AE,且OG4AE=4X3=/

.?.ZGOC=ZEAC,

又YM是CD的中點，

...OM〃AD,且OM=|an=*BC=**10=5,

...ZCOM=ZDAC,

AZGOH=ZGOC+ZCOM=ZEAC+ZDAC=90°,

：AD〃BC,

；.OM〃BC,

AOM經(jīng)過DF的中點，

??,點H是DF的中點，

.?.點H在OM上，

.\MH=lcF=JxifiC=1x10=|,

.\OH=OOH=M-MH=|,

在Rt^GOH中：GH=JOG2+OH2=J(獷+多)2=孚。

26.【答案】（1）解：?.?點D、E分別是AB與AC的中點,

.AD_AE_1

UUAB~AC~T

VZX=ZX,

???AADE^AABC.

.??乙4ADE乜一—乙Z-AABBCC,__—_DE___1

，DE〃BC,且DE