人教版初中八年級數(shù)學上冊同步講義-乘法公式（原卷版）

第03講乘法公式

學習目標

課程標準學習目標

1,能推導(dǎo)平方差公式，了解平方差公式的幾何意義，掌

握平方差公式的特點，熟練的對平方差公式進行應(yīng)用。

①平方差公式

2,能推導(dǎo)完全平方公式，了解完全平方公式的幾何意

②完全平方公式

義，掌握完全平方公式的特點，熟練的對完全平方公式

進行應(yīng)用。

思維導(dǎo)圖

知識清單

知識點01平方差公式

1.平方差公式的內(nèi)容：

兩個數(shù)的和乘以兩個數(shù)的差等于這兩個數(shù)的差。即(a+b1a-b)=0

注意：可以是兩個相等的數(shù)，也可以是兩個相同的式子。用符號相同項的平方減去符號相反項的平方。

2.式子特點分析：

(a+b^-b)=a2-b2：兩個二項式相乘，若其中一項，另一項,則等于

他們項的平方減去項的平方。

3.平方差公式的幾何背景:

圖②

22

如圖：將圖①的藍色部分移到圖②的位置。圖①的面積為：(a+bla-b)；圖②的面積為：a-b.

圖①與圖②的面積相等。所以(a+b)(a—乃=。2—匕2

題型考點：①平方差公式的計算。②利用平方差公式求值。③平方差公式的幾何背景應(yīng)用。④利用平

方差公式簡便計算。

【即學即練1】

1.下列各式中不能用平方差公式計算的是()

A.(-^-a+2b)(,ya-2b)B.(-2x+3y)(-3y-2無)

C.(-2x+y)(-2x-y)D.(x-l)(-x+l)

【即學即練2】

2.計算：

⑴(a+b)(a-2)；(2)6蔣)(*蔣)；

(3)(m+n)(m-〃)；(4)(0.1-x)(0.1+x)；(5)(%+y)(-y+x).

【即學即練3】

3.若x-y=2,f_y2=6,貝|jX+y=.

【即學即練4】

4.已知m-n—1,貝ljm2-n2-2n的值為()

A.1B.-1C.0D.2

【即學即練5】

5.如圖(1),在邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形(”>b),把余下的部分拼成一個長方

形，如圖(2),此過程可以驗證()

A.(a+b)2=a2+2ab+b2

B.(〃-/?)2=a2-lab+b1

C.di2-b2=(〃+Z?)(a-b)

D.(Q+Z?)2=(〃-/?)2+4^Z?

【即學即練6】

6.20142-2013X2015的計算結(jié)果是

知識點02完全平方公式

1.完全平方公式的內(nèi)容：

①完全平方和公式：

兩個數(shù)的和的平方，等于這兩個數(shù)的的和這兩個數(shù)乘積的兩倍。

即：(。+為2=。可以是兩個數(shù)，也可以是兩個式子。

②完全平方差公式：

兩個數(shù)的差的平方，等于這兩個數(shù)的的和這兩個數(shù)的乘積的兩倍。

即：(a-bf=o可以是兩個數(shù)，也可以是兩個式子。

2.式子特點分析：

(a+bf=a2±2ab+b2：一個二項式的平方，等于這個二項式的兩項的加上這兩項

的。注意每一項都包含前面的符號。

巧記：首平方加尾平方，首位兩倍放中央。

3.完全平方公式的幾何背景：

圖1中面積的整體表示為：年+。2丁|

用各部分面積之和表示為：a2+2ab+b2〃

所以(a+bf=/+2ab+b2——「

用同樣的方法表示圖2的面積即可得到：」“■

(a—為2=/一2"+修。圖1圖2

4.完全平方和公式與完全平方差公式的轉(zhuǎn)化：

(a+Z?)2=a2+2ab+b2,(a-Z?)2=a2-2ab+b2

+2ab+b1—4-cib=a2-2ab+b?

(a+Z?)2-4ab=(a-Z?)2

題型考點：①完全平方公式的計算。②利用完全平方公式求值。③完全平方公式的幾何背景。

【即學即練1】

7.運用完全平方公式計算：

2222

(1)(4m+n)；(2)(y-i-)；(3)(-?-/?)；(4)(-a+b').

【即學即練2】

8.計算：

(1)(x-6)2(2)(-2x-y)2

(3)(-p+3q)2(4)[(2m+n)(2m-n)J2.

【即學即練3】

9.已知孫=9,x-y—-3,則f+3xy+y2的值為（）

A.27B.9C.54D.18

【即學即練4】

10.己知：a+b—5,ab—3,求：

⑴/+廬；⑵（a-b）2.

【即學即練5】

11.如圖所示分割正方形，各圖形面積之間的關(guān)系，驗證了一個等式，這個等式是（）

B.(y+x)2=y2+2xy+x2

D.(y+x)2-(y-x)2=4xy

【即學即練6】

12.如圖1,將一個長為4”，寬為26的長方形，沿圖中虛線均勻分成4個小長方形，然后按圖2形狀拼成

一個正方形.

（1）圖2的空白部分的邊長是多少？（用含a、b的式子表示）

（2）若2a+b=I,且必=3,求圖2中的空白正方形的面積.

（3）觀察圖2,用等式表示出（2a-b）2,湖和（2a+b）?的數(shù)量關(guān)系.

知識點03完全平萬式

1.完全平方式的定義：

若一個整式A,可以寫成另一個整式B的平方的形式，即A=臺2,則我們稱整式A是一個完全平方式。

2.式子特點分析：

a2+2ab+b2=（a+bf：一個三項式，其中兩項可以寫成的形式，第三項是平方兩項底數(shù)

乘積的,則可以寫成或的平方。若第三項與平方兩項的符號相同，則

是底數(shù)的平方，若第三項與平方兩項的符號相反，則是底數(shù)的平方。

題型考點：①平方式寫成平方的運算。②根據(jù)完全平方式的特點求值。

【即學即練1】

13.下列各式中，運算結(jié)果為1-2移2+fy4的是（）

A.（-1+xy2）2B.（-1-孫2）2

C.（-l+x2y2）2D.（-1-x2/）2

【即學即練2】

14.己知^+5+64y2是一個完全平方式，則上的值是（）

A.8B.±8C.16D.±16

【即學即練3】

15.已知多項式d+6x+機是一個關(guān)于x的完全平方式，則機的值是（）

A.9B.-9C.36D.-36

知識點04乘法公式的拓展應(yīng)用

1.平方差公式的拓展：

兩個三項式相乘，若他們的項中只存在的項和的項，則可以用平方差公式計

算。它等于的平方減去的平方。把相等項或相反數(shù)項存在兩項的看成一個整體。

即：[a+b+c^a+b-c)=[a+b^'-c2o

2.完全平方公式的拓展：

一個三項式的平方，可以把前兩項看成首項或后兩項看成尾項，然后利用完全平方公式的計算方法計

算。把其中兩項看成一個整體。

即：(a+b+cf=(a+/?)2+2c(a+b)+c2=a2+2a(b+c)+(Z?+c)2

題型考點：①拓展應(yīng)用。

【即學即練1】

16.在下列等式中，A和8應(yīng)表示什么式子？

(1)(〃+Z?+c)(a-C+c)—(A+B)(A_B)；

(2)(x+y-z)(x-y+z)=(A+B)(A-B).

【即學即練2】

17.(a+b-c)(a-b+c)=

【即學即練3】

18.計算：(m+2n-p)2.

【即學即練4】

19.計算題：

(1)(a-2b-3c)2(2)(x+2y-z)(x-2y-z)-(x+y-z)2

題型精講

題型01平方差公式與完全平方公式的計算

【典例1】

利用乘法公式計算:

(1)(2x-3y)2-(y+3x)(3x-y)(2)(a-2b+3)(a+2b-3).

【典例2】

計算下列各題：

(1)(a-26)2-(2a+Z?)(b-2a)-4a(a-b)

(2)(2x+3y)2-(4x-9y)(4x+9y)+(3x-2y)2

【典例3】

計算：

(1)(-^-x+2y)2+?尤-2y)2；(2)(a-b+c)2

【典例4】

求(2-1)(2+1)(22+l)(24+l)(28+l)…(232+l)+1的個位數(shù)字.

題型02利用乘法公式簡便運算

【典例1】

利用乘法公式簡便計算.

(1)2020X2022-20212.(2)3.6722+6.3282+6.328X7.344.

【典例2】

計算：

(1)20232-2022X2024；(2)ll2+13X66+392.

【典例3】

利用乘法公式計算：

(1)3252-2752；(2)295X305-2982.

【典例4】

用因式分解的相關(guān)方法，進行簡便計算：

(1)20232-20222.(2)9992+2X999+l2.

題型03利用乘法公式求值

【典例1】

已知X2-y=-1,x+y=A.,貝U%-y=.

2

【典例2】

若/-廬=2,°+6=工，則a-b的值為（）

32

A.」B.4C.—D.2

232

【典例3】

已知x+y=8,盯=12,則/-孫+/的值為（）

A.42B.28C.54D.66

【典例4】

若有理數(shù)。、6滿足/+廬=5,（。+匕）2=%則-4"的值為（)

A.2B.-2C.8D.-8

【典例5】

已知〃+Z?=3,ab=-10.求：

（1）/+房的值；(2)(a-b)2的值.

【典例6】

已知：x+y=5,孫=3.

求：@x1+5xy+y2；②/+,4.

題型04乘法公式與幾何

【典例1】

圖①是一個長為2m,寬為In的長方形，沿圖中虛線用剪刀分成四塊小長方形，然后按圖②的形狀拼成一

個正方形.

（1）請用兩種不同的方法求圖②中陰影部分的面積.

方法1：;方法2：；

（2）觀察圖②請你寫出下列三個代數(shù)式；（〃?+”）2,（優(yōu)-〃）2,之間的等量關(guān)系;

（3）根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問題:

①已知：a-b=3,ab=-2,求：（。+6）2的值；

②已知：。上=1,求：（aj）2的值.

aa

圖1圖2

【典例2】

如圖1是一個長為4a、寬為6的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形

拼成的一個“回形”正方形（如圖2）.

①圖2中的陰影部分的邊長為；

②觀察圖2請你寫出3b）2、（a-b）2、油之間的等量關(guān)系是；

③根據(jù)（2）中的結(jié)論，若x+y=5,尤?y=4,貝！I（x-y）?=；

④實際上通過計算圖形的面積可以探求相應(yīng)的等式.如圖3,你發(fā)現(xiàn)的等式是.

【典例3】

如圖，大小兩個正方形邊長分別為a、b.

(1)用含4、人的代數(shù)式表示陰影部分的面積S；

(2)如果〃+/?=8,ab=14,求陰影部分的面積.

強化訓練

1.下列各式中，可以用平方差公式進行計算的是()

A.(。-2b)(2〃-b)B.(-a+2b)(-a-2b)

C.(a+2b)(-2a+b)D.(2a-b)(-2a+b)

2.已知"z+〃=3,m-n=4,則%？-層的值為()

A.12B.-12C.25D.-25

3.若多項式x?+(k-3)孫+4廿是完全平方式，則上的值為()

A.±7B.7或-1C.7D.-1

4.王大爺家有一塊邊長為用米的正方形菜地，現(xiàn)需將其進行改造，具體措施為：南北向增加2米，東西向

減少2米.則改造后的菜地與原來的菜地相比()

A.面積相等B.面積增加了4平方米

C.面積減少了4平方米D.無法確定

5.如圖，兩個正方形邊長分別為a,b,已知a+6=7,ab=9,則陰影部分的面積為()

A.10B.11C.12D.13

6.有兩個正方形A、B,將A,8并列放置后構(gòu)造新的圖形，分別得到長方形圖甲與正方形圖乙.若圖甲、

圖乙中陰影的面積分別為14與36,則正方形B的面積為()

圖甲圖乙

A.3B.4C.5D.6

7.當x=l時，ax+b+1的值為-2,則Qa+b-1)(\-a-b)的值為()

A.16B.8C.-8D.-16

8.計算(2+1)(22+l)(24+l)(28+l)...(264+l),結(jié)果是()

9.已知(a2+/J2+3)(icr+b2-3)=7,ab=3,貝！ICa+b)2=.

10.如圖，C是線段AB上的一點，以AC,BC為邊在AB的兩側(cè)作正方形，設(shè)AB=8,兩個正方形的面積

和為40,即SI+S2=40,則圖中陰影部分的面積為

2r4y17「5產(chǎn)18

11.若a=2018,^=2017x2019—2018?,