高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)五層訓(xùn)練(新高考地區(qū))第48練變量間的相關(guān)關(guān)系(原卷版+解析)

第48練變量間的相關(guān)關(guān)系一、課本變式練1.（人A選擇性必修三P103習(xí)題8.1T1變式）對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得以下散點(diǎn)圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是（

）A． B．C． D．2.（人A選擇性必修三P103習(xí)題8.1T3變式）若一組觀測(cè)值，，…，（）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于同一直線上，則x，y的相關(guān)系數(shù)為______．3.（人A選擇性必修三P120練習(xí)T2變式）某生物興趣小組為研究一種紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x（單位：℃）的關(guān)系.現(xiàn)收集了7組觀測(cè)數(shù)據(jù)得到下面的散點(diǎn)圖：由此散點(diǎn)圖，在20℃至36℃之間，下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為紅鈴蟲產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x的回歸方程類型的是（

）A． B． C． D．4.（人A選擇性必修三P120習(xí)題9.2T4變式）某科技公司研發(fā)了一項(xiàng)新產(chǎn)品，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)研，對(duì)公司1月份至6月份銷售量及銷售單價(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，銷售單價(jià)（千元）和銷售量（千件）之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：月份123456銷售單價(jià)銷售量（1）試根據(jù)1至5月份的數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸直線方程；（2）若由回歸直線方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與剩下的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差不超過千件，則認(rèn)為所得到的回歸直線方程是理想的，試問（1）中所得到的回歸直線方程是否理想？參考公式：回歸直線方程，其中.參考數(shù)據(jù)：，.二、考點(diǎn)分類練(一)相關(guān)性與相關(guān)系數(shù)5.通過抽樣調(diào)研發(fā)現(xiàn)，當(dāng)?shù)氐谌径鹊尼t(yī)院心腦血管疾病的人數(shù)和便利店購買冷飲的人數(shù)的相關(guān)系數(shù)很高，甲認(rèn)為這是巧合，兩者其實(shí)沒有關(guān)系：乙認(rèn)為冷飲的某種攝入成分導(dǎo)致了疾??；丙認(rèn)為病人對(duì)冷飲會(huì)有特別需求：丁認(rèn)為兩者的相關(guān)關(guān)系是存在的，但不能視為因果，請(qǐng)判斷哪位成員的意見最可能成立（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁6.某統(tǒng)計(jì)部門對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析后，獲得如圖所示的散點(diǎn)圖．下面關(guān)于相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是（）A． B． C． D．7.（多選）（2023屆湖湘名校教育聯(lián)合體高三上學(xué)期聯(lián)考）對(duì)兩個(gè)變量y和x進(jìn)行回歸分析，得到一組樣本數(shù)據(jù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則變量y和x之間具有正的線性相關(guān)關(guān)系B．若其經(jīng)驗(yàn)回歸方程必過點(diǎn)，則C．若根據(jù)這組數(shù)據(jù)得到樣本相關(guān)系數(shù)，則說明樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度較強(qiáng)D．若用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸效果，回歸模型1的相關(guān)指數(shù)，回歸模型2的相關(guān)指數(shù)，則模型1的擬合效果更好8.在一組樣本數(shù)據(jù)為，，…，不全相等的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)_______．【答案】【解析】因?yàn)?，所以這兩個(gè)變量成負(fù)相關(guān)，故這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為負(fù)值，又所有樣本點(diǎn)都在直線上，則，所以．(二)回歸直線方程9．2022年6月18日，很多商場(chǎng)都在搞促銷活動(dòng)．重慶市物價(jià)局派人對(duì)5個(gè)商場(chǎng)某商品同一天的銷售量及其價(jià)格進(jìn)行調(diào)查，得到該商品的售價(jià)元和銷售量件之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：價(jià)格9095100105110銷售量1110865用最小二乘法求得關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸直線是，相關(guān)系數(shù)，則下列說法不正確的有（

）A．變量與負(fù)相關(guān)且相關(guān)性較強(qiáng) B．C．當(dāng)時(shí)，的估計(jì)值為13 D．相應(yīng)于點(diǎn)的殘差為10.（多選）已知由樣本數(shù)據(jù)組成的一個(gè)樣本，得到回歸直線方程為，且，去除兩個(gè)歧義點(diǎn)和后，得到新的回歸直線的斜率為3．則下列說法正確的是（

）A．相關(guān)變量x，y具有正相關(guān)關(guān)系B．去除兩個(gè)歧義點(diǎn)后的回歸直線方程為C．去除兩個(gè)歧義點(diǎn)后，樣本（4，8.9）的殘差為D．去除兩個(gè)歧義點(diǎn)后，隨x值增加相關(guān)變量y值增加速度變小11.若某地的財(cái)政收入x與支出y滿足線性回歸方程（單位：億元），其中，，．若今年該地區(qū)財(cái)政收入為10億元，則年支出預(yù)計(jì)不會(huì)超過________億元．12.（20-23屆河南省湘豫名校聯(lián)考高三上學(xué)期期末）隨著電池充電技術(shù)的逐漸成熟，以鋰電池為動(dòng)力的新一代無繩類電動(dòng)工具以其輕巧便攜?工作效率高?環(huán)保?可適應(yīng)多種應(yīng)用場(chǎng)景下的工作等優(yōu)勢(shì)，被廣泛使用.在消費(fèi)者便攜無繩化需求與技術(shù)發(fā)展的雙重驅(qū)動(dòng)下，鋰電類無繩電動(dòng)工具及配套充電器市場(chǎng)有望持續(xù)擴(kuò)大.某公司為適應(yīng)市場(chǎng)并增強(qiáng)市場(chǎng)競爭力，逐年增加研發(fā)人員，使得整體研發(fā)創(chuàng)新能力持續(xù)提升，現(xiàn)對(duì)2017~2021年的研發(fā)人數(shù)作了相關(guān)統(tǒng)計(jì)，如下圖：2017~2021年公司的研發(fā)人數(shù)情況（年份代碼1~5分別對(duì)應(yīng)2017~2021年）(1)根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖中數(shù)據(jù)，計(jì)算該公司研發(fā)人數(shù)與年份代碼的相關(guān)系數(shù)，并由此判斷其相關(guān)性的強(qiáng)弱；(2)試求出關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)2023年該公司的研發(fā)人數(shù).（結(jié)果取整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：，.參考公式：相關(guān)系數(shù).線性回歸方程的斜率，截距.附：相關(guān)性弱一般強(qiáng)13.（2023屆河南省許昌市高三上學(xué)期診斷）隨著人民生活水平的日益提高，汽車普遍進(jìn)入千家萬戶，尤其在近幾年，新能源汽車涌入市場(chǎng)，越來越受到人們喜愛．某新能源汽車銷售企業(yè)在2017年至2021年的銷售量（單位：萬輛）數(shù)據(jù)如下表：年份2017年2018年2019年2020年2021年年份代號(hào)12345銷售量（萬輛）75849398100(1)請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)判斷關(guān)于的線性相關(guān)程度（參考：若，則線性相關(guān)程度一般，若，則線性相關(guān)程度較高，計(jì)算時(shí)精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）；(2)求出關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)計(jì)2022年該新能源汽車企業(yè)的銷售量為多少萬輛？參考數(shù)據(jù)：，，附：相關(guān)系數(shù)，回歸直線方程的斜率，截距(三)曲線型回歸方程14．（2022屆河南豫北高中高三畢業(yè)班考前定位聯(lián)合考試）某高科技公司為加強(qiáng)自主研發(fā)能力，研發(fā)費(fèi)用逐年增加，統(tǒng)計(jì)最近6年的研發(fā)費(fèi)用（單位：元）與年份編號(hào)得到樣本數(shù)據(jù)，令，并將繪制成下面的散點(diǎn)圖．若用方程對(duì)與的關(guān)系進(jìn)行擬合，則（

）A．， B．，C．， D．，15.以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出回歸方程，設(shè)，其變換后得到線性回歸方程，則______．16.（2022屆河北省石家莊市部分學(xué)校高三下學(xué)期5月模擬）截至2021年12月，中國網(wǎng)民規(guī)模達(dá)10.32億人，隨之電信網(wǎng)絡(luò)詐騙犯罪形勢(shì)也非常嚴(yán)峻．2021年6月，公安部推出國家級(jí)反詐防騙“王炸”系統(tǒng)——“國家反詐中心APP”，這是一款能有效預(yù)防詐騙、快速舉報(bào)詐騙內(nèi)容的軟件，用戶通過學(xué)習(xí)里面的防詐騙知識(shí)可以有效避免各種網(wǎng)絡(luò)詐騙的發(fā)生，減少不必要的財(cái)產(chǎn)損失，某省自“國家反詐中心APP”推出后，持續(xù)采取多措并舉的推廣方式，積極推動(dòng)全省“國家反詐中心APP”安裝注冊(cè)工作．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，省反詐中心發(fā)現(xiàn)全省網(wǎng)絡(luò)詐騙舉報(bào)件數(shù)y（件）與推廣時(shí)間有關(guān)，并記錄了經(jīng)推廣x個(gè)月后舉報(bào)件數(shù)的數(shù)據(jù)：推廣月數(shù)（個(gè)）1234567y（件）891888351220200138112(1)現(xiàn)用作為回歸方程模型，利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程．(2)分析該省一直加大力度推廣下去有可能將網(wǎng)絡(luò)詐騙舉報(bào)件數(shù)降至接近于零嗎？參考數(shù)據(jù)（其中）：15860.370.55參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，．三、最新模擬練17．（2023屆江蘇省G4聯(lián)盟高三上學(xué)期12月聯(lián)考）如圖是近十年來全國城鎮(zhèn)人口、鄉(xiāng)村人口的折線圖（數(shù)據(jù)來自國家統(tǒng)計(jì)局）．根據(jù)該折線圖，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．城鎮(zhèn)人口與年份呈現(xiàn)正相關(guān) B．鄉(xiāng)村人口與年份的相關(guān)系數(shù)接近C．城鎮(zhèn)人口逐年增長率大致相同 D．可預(yù)測(cè)鄉(xiāng)村人口仍呈現(xiàn)下降趨勢(shì)18.（2023屆廣東省廣州市四校高三上學(xué)期第二次模擬）對(duì)兩個(gè)變量和進(jìn)行回歸分析，得到一組樣本數(shù)據(jù)，，…，則下列說法不正確的是（

）A．若變量和之間的相關(guān)系數(shù)為，則變量和之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系B．殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好C．用決定系數(shù)來刻畫回歸效果，越小說明擬合效果越好D．在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布水平帶狀區(qū)域的寬度越窄，則回歸方程的預(yù)報(bào)精確度越高19.（多選）（2022屆湖北省黃岡中學(xué)高三下學(xué)期二模）已知由樣本數(shù)據(jù)，，2，3，，組成的一個(gè)樣本，得到回歸直線方程為，且，去除兩個(gè)樣本點(diǎn)和后，得到新的回歸直線的斜率為3.則下列說法正確的是（

）A．相關(guān)變量，具有正相關(guān)關(guān)系B．去除兩個(gè)樣本點(diǎn)和后，回歸直線方程為C．去除兩個(gè)樣本點(diǎn)和后，隨值增加相關(guān)變量值增加速度變小D．去除兩個(gè)樣本點(diǎn)和后，樣本的殘差為0.120.（2022屆山西省懷仁市高三上學(xué)期期末）某工廠為研究某種產(chǎn)品的產(chǎn)量x（噸）與所需某種原材料y（噸）的相關(guān)性，在生產(chǎn)過程中收集了對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如表所示：3456234根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得出關(guān)于的回歸直線方程為.據(jù)此計(jì)算出在樣本處的殘差為，則表中的值為__________.（注：殘差是實(shí)際觀察值與估計(jì)值之間的差，）21.（2022屆海南省文昌中學(xué)高三4月段考）從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高x（單位：cm）與體重y（單位：kg）數(shù)據(jù)如下表：x165165157170175165155170y4857505464614359若已知y與x的線性回歸方程為，設(shè)殘差記為觀測(cè)值與預(yù)測(cè)值之間的差（即殘差）那么選取的女大學(xué)生身高為175cm時(shí)，相應(yīng)的殘差為___________.22.（2023屆貴州省貴陽市白云區(qū)高三上學(xué)期質(zhì)量監(jiān)測(cè)）下面給出了根據(jù)我國年—2022年水果人均占有量（單位：kg）和年份代碼繪制的散點(diǎn)圖和線性回歸方程的殘差圖（2016年—2022年的年份代碼分別為1~7）.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖分析與之間的相關(guān)關(guān)系；(2)根據(jù)散點(diǎn)圖相應(yīng)數(shù)據(jù)計(jì)算得，，求關(guān)于的線性回歸方程（數(shù)據(jù)精確到）；(3)根據(jù)線性回歸方程的殘差圖，分析線性回歸方程的擬合效果.附：回歸方程中的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為23.（2023屆福建省三明市教研聯(lián)盟校高三上學(xué)期期中）中國在第75屆聯(lián)合國大會(huì)上承諾，將采取更加有力的政策和措施，力爭于2030年之前使二氧化碳的排放達(dá)到峰值，努力爭取2060年之前實(shí)現(xiàn)碳中和（簡稱“雙碳目標(biāo)”），此舉展現(xiàn)了我國應(yīng)對(duì)氣候變化的堅(jiān)定決心，預(yù)示著中國經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)和經(jīng)濟(jì)社會(huì)運(yùn)轉(zhuǎn)方式將產(chǎn)生深刻變革，極大促進(jìn)我國產(chǎn)業(yè)鏈的清潔化和綠色化.新能源汽車?電動(dòng)汽車是重要的戰(zhàn)略新興產(chǎn)業(yè)，對(duì)于實(shí)現(xiàn)“雙碳目標(biāo)”具有重要的作用.為了解某一地區(qū)電動(dòng)汽車銷售情況，一機(jī)構(gòu)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，用最小二乘法得到電動(dòng)汽車銷量（單位：萬臺(tái)）關(guān)于（年份）的線性回歸方程為，且銷量的方差為，年份的方差為.(1)求與的相關(guān)系數(shù)，并據(jù)此判斷電動(dòng)汽車銷量與年份的相關(guān)性強(qiáng)弱；(2)該機(jī)構(gòu)還調(diào)查了該地區(qū)90位購車車主的性別與購車種類情況，得到的數(shù)據(jù)如下表：性別購買非電動(dòng)汽車購買電動(dòng)汽車總計(jì)男性39645女性301545總計(jì)692190依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為購買電動(dòng)汽車與車主性別有關(guān)；(3)在購買電動(dòng)汽車的車主中按照性別進(jìn)行分層抽樣抽取7人，再從這7人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中，男性的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.①參考數(shù)據(jù)：；②參考公式：（i）線性回歸方程：，其中；（ii）相關(guān)系數(shù)：，若，則可判斷與線性相關(guān)較強(qiáng).（iii），其中.附表：四、高考真題練24．（2022高考全國乙卷）某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理,已將荒山改造成了綠水青山．為估計(jì)一林區(qū)某種樹木的總材積量,隨機(jī)選取了10棵這種樹木,測(cè)量每棵樹的根部橫截面積（單位：）和材積量（單位：）,得到如下數(shù)據(jù)：樣本號(hào)ｉ12345678910總和根部橫截面積0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并計(jì)算得．（1）估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；（3）現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積,并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為．已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值．附：相關(guān)系數(shù)．25.(2020高考全國乙卷)某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加．為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物數(shù)量，將其分成面積相近的200個(gè)地塊，從這些地塊中用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動(dòng)物的數(shù)量，并計(jì)算得，，，，．(1)求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值(這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù))；(2)求樣本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相關(guān)系數(shù)(精確到0．01)；(3)根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大．為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)，請(qǐng)給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由．附：相關(guān)系數(shù)r=，≈1．414．26.(2016高考全國丙卷)下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位:億噸)的折線圖.(Ⅰ)由折線圖看出,可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系,請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明;(Ⅱ)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01),預(yù)測(cè)2016年我國生活垃圾無害化處理量.參考數(shù)據(jù):,,,.參考公式:相關(guān)系數(shù)回歸方程中斜率和截距最小二乘估計(jì)公式分別為:,.五、綜合提升練27.已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表：x1234y1mn4參考公式：線性回歸方程，其中，；相關(guān)系數(shù).上表數(shù)據(jù)中y的平均值為2.5，若某同學(xué)對(duì)m賦了三個(gè)值分別為1.5，2，2.5得到三條線性回歸直線方程分別為，，，對(duì)應(yīng)的相關(guān)系數(shù)分別為，，，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．三條回歸直線有共同交點(diǎn) B．相關(guān)系數(shù)中，最大C． D．28.某種機(jī)械設(shè)備隨著使用年限的增加，它的使用功能逐漸減退，使用價(jià)值逐年減少，通常把它使用價(jià)值逐年減少的“量”換算成費(fèi)用，稱之為“失效費(fèi)”.某種機(jī)械設(shè)備的使用年限x（單位：年）與失效費(fèi)y（單位：萬元）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：使用年限x（單位：年）1234567失效費(fèi)y（單位：萬元）2.903.303.604.404.805.205.90由上表數(shù)據(jù)可知，y與x的相關(guān)系數(shù)為______.（精確到0.01，參考公式和數(shù)據(jù)：，，，）29.（2022屆黑龍江省大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三5月模擬）【閱讀材料1】我們?cè)谘芯績蓚€(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系時(shí)，往往先選取若干個(gè)樣本點(diǎn)（），（），……，（），將樣本點(diǎn)畫在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，就得到樣本的散點(diǎn)圖.觀察散點(diǎn)圖，如果所有樣本點(diǎn)都落在某一條直線附近，變量之間就具有線性相關(guān)關(guān)系，如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一非線性函數(shù)圖象附近，變量之間就有非線性相關(guān)關(guān)系.在統(tǒng)計(jì)學(xué)中經(jīng)常選擇線性或非線性（函數(shù)）回歸模型來刻畫相關(guān)關(guān)系，并且可以用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蟪龌貧w模型的方程，還常用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，相關(guān)指數(shù)R2的計(jì)算公式為：當(dāng)R2越大時(shí)，回歸方程的擬合效果越好；當(dāng)R2越小時(shí)，回歸方程的擬合效果越差，R2是常用的選擇模型的指標(biāo)之一，在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)該盡量選擇R2較大的回歸模型.【閱讀材料2】2021年6月17日9時(shí)22分，我國酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心用長征二號(hào)F遙十二運(yùn)載火箭，成功將神舟十二號(hào)載人飛船送入預(yù)定軌道，順利將聶海勝、劉伯明、湯洪胺3名航天員送入太空，發(fā)射取得圓滿成功，這標(biāo)志著中國人首次進(jìn)入自己的空間站.某公司負(fù)責(zé)生產(chǎn)的A型材料是神舟十二號(hào)的重要零件，該材料應(yīng)用前景十分廣泛，該公司為了將A型材料更好地投入商用，擬對(duì)A型材料進(jìn)行應(yīng)用改造，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研與模擬，得到應(yīng)用改造投入x（億元）與產(chǎn)品的直接收益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：序號(hào)123456789101112x2346810132122232425y1522274048546068.56867.56665當(dāng)0<x≤13時(shí)，建立了與的兩個(gè)回歸模型：模型①:；模型②:；當(dāng)x>13時(shí)，確定y與x滿足的線性回歸直線方程為.根據(jù)以上閱讀材料，解答以下問題：(1)根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當(dāng)0<x≤13時(shí)模型①，②的相關(guān)指數(shù)R2的大小，并選擇擬合效果更好的模型.回歸模型模型①模型②回歸方程79.1320.2(2)當(dāng)應(yīng)用改造的投入為20億元時(shí)，以回歸直線方程為預(yù)測(cè)依據(jù)，計(jì)算公司的收益約為多少.附：①若最小二乘法求得回歸直線方程為，則；②③，當(dāng)時(shí)，.30．（2023屆河北省滄州市海興縣高三上學(xué)期12月調(diào)研）某統(tǒng)計(jì)部門依據(jù)《中國統(tǒng)計(jì)年鑒——2017》提供的數(shù)據(jù)，對(duì)我國1997-2016年的國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)研究，作出了兩張散點(diǎn)圖：圖1表示1997-2016年我國的國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP），圖2表示2007-2016年我國的國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）．(1)用表示第i張圖中的年份與GDP的線性相關(guān)系數(shù)，，依據(jù)散點(diǎn)圖的特征分別寫出的結(jié)果；(2)分別用線性回歸模型和指數(shù)回歸模型對(duì)兩張散點(diǎn)圖進(jìn)行回歸擬合，分別計(jì)算出統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)——相關(guān)指數(shù)的數(shù)值，部分結(jié)果如下表所示：年份1997-20162007-2016線性回歸模型0.9306指數(shù)回歸模型0.98990.978①將上表中的數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整（結(jié)果保留3位小數(shù)，直接寫在答題卡上）；②若估計(jì)2017年的GDP，結(jié)合數(shù)據(jù)說明采用哪張圖中的哪種回歸模型會(huì)更精準(zhǔn)一些？若按此回歸模型來估計(jì)，2020年的GDP能否突破100萬億元？事實(shí)上，2020年的GDP剛好突破了100萬億元，估計(jì)與事實(shí)是否吻合？結(jié)合散點(diǎn)圖解釋說明.第48練變量間的相關(guān)關(guān)系一、課本變式練1.（人A選擇性必修三P103習(xí)題8.1T1變式）對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得以下散點(diǎn)圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題中的散點(diǎn)圖可以看出，圖1和圖3是正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)大于0，則，，圖2和圖4是負(fù)相關(guān)，相關(guān)系數(shù)小于0，則，，圖3和圖4的點(diǎn)相對(duì)于圖1和圖2更加集中，所以相關(guān)性較強(qiáng)，所以更接近于1，更接近于，由此可得．故選A．2.（人A選擇性必修三P103習(xí)題8.1T3變式）若一組觀測(cè)值，，…，（）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于同一直線上，則x，y的相關(guān)系數(shù)為______．【答案】【解析】由已知條件和相關(guān)系數(shù)的定義得，x，y的相關(guān)系數(shù)為．3.（人A選擇性必修三P120練習(xí)T2變式）某生物興趣小組為研究一種紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x（單位：℃）的關(guān)系.現(xiàn)收集了7組觀測(cè)數(shù)據(jù)得到下面的散點(diǎn)圖：由此散點(diǎn)圖，在20℃至36℃之間，下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為紅鈴蟲產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x的回歸方程類型的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由散點(diǎn)圖可以看出紅鈴蟲產(chǎn)卵數(shù)y隨著溫度x的增長速度越來越快，所以最適宜作為紅鈴蟲產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x的回歸方程類型.故選C4.（人A選擇性必修三P120習(xí)題9.2T4變式）某科技公司研發(fā)了一項(xiàng)新產(chǎn)品，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)研，對(duì)公司1月份至6月份銷售量及銷售單價(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，銷售單價(jià)（千元）和銷售量（千件）之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：月份123456銷售單價(jià)銷售量（1）試根據(jù)1至5月份的數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸直線方程；（2）若由回歸直線方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與剩下的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差不超過千件，則認(rèn)為所得到的回歸直線方程是理想的，試問（1）中所得到的回歸直線方程是否理想？參考公式：回歸直線方程，其中.參考數(shù)據(jù)：，.【解析】（1）因?yàn)?，，所以，得，于是關(guān)于的回歸直線方程為；（2）當(dāng)時(shí)，，則，故可以認(rèn)為所得到的回歸直線方程是理想的.二、考點(diǎn)分類練(一)相關(guān)性與相關(guān)系數(shù)5.通過抽樣調(diào)研發(fā)現(xiàn)，當(dāng)?shù)氐谌径鹊尼t(yī)院心腦血管疾病的人數(shù)和便利店購買冷飲的人數(shù)的相關(guān)系數(shù)很高，甲認(rèn)為這是巧合，兩者其實(shí)沒有關(guān)系：乙認(rèn)為冷飲的某種攝入成分導(dǎo)致了疾??；丙認(rèn)為病人對(duì)冷飲會(huì)有特別需求：丁認(rèn)為兩者的相關(guān)關(guān)系是存在的，但不能視為因果，請(qǐng)判斷哪位成員的意見最可能成立（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【詳解】當(dāng)?shù)氐谌径鹊尼t(yī)院心腦血管疾病的人數(shù)和便利店購買冷飲的人數(shù)的相關(guān)系數(shù)很高，但相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，相關(guān)關(guān)系不等于因果關(guān)系，丁的意見最可能成立.故選D.6.某統(tǒng)計(jì)部門對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析后，獲得如圖所示的散點(diǎn)圖．下面關(guān)于相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由圖可知：所對(duì)應(yīng)的圖中的散點(diǎn)呈現(xiàn)正相關(guān)，而且對(duì)應(yīng)的相關(guān)性比對(duì)應(yīng)的相關(guān)性要強(qiáng)，故，所對(duì)應(yīng)的圖中的散點(diǎn)呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，且根據(jù)散點(diǎn)的分布情況可知,因此，故選C7.（多選）（2023屆湖湘名校教育聯(lián)合體高三上學(xué)期聯(lián)考）對(duì)兩個(gè)變量y和x進(jìn)行回歸分析，得到一組樣本數(shù)據(jù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則變量y和x之間具有正的線性相關(guān)關(guān)系B．若其經(jīng)驗(yàn)回歸方程必過點(diǎn)，則C．若根據(jù)這組數(shù)據(jù)得到樣本相關(guān)系數(shù)，則說明樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度較強(qiáng)D．若用相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸效果，回歸模型1的相關(guān)指數(shù)，回歸模型2的相關(guān)指數(shù)，則模型1的擬合效果更好【答案】AC【解析】在經(jīng)驗(yàn)回歸方程中，則y與x之間具有正的線性相關(guān)關(guān)系．故A正確；在經(jīng)驗(yàn)回歸方程中恒過樣本中心，則，故，故B錯(cuò)誤；，則樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)．故C正確；相關(guān)系數(shù)越大，模型擬合效果越好，故D錯(cuò)誤．故選AC．8.在一組樣本數(shù)據(jù)為，，…，不全相等的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)_______．【答案】【解析】因?yàn)?，所以這兩個(gè)變量成負(fù)相關(guān)，故這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為負(fù)值，又所有樣本點(diǎn)都在直線上，則，所以．(二)回歸直線方程9．2022年6月18日，很多商場(chǎng)都在搞促銷活動(dòng)．重慶市物價(jià)局派人對(duì)5個(gè)商場(chǎng)某商品同一天的銷售量及其價(jià)格進(jìn)行調(diào)查，得到該商品的售價(jià)元和銷售量件之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：價(jià)格9095100105110銷售量1110865用最小二乘法求得關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸直線是，相關(guān)系數(shù)，則下列說法不正確的有（

）A．變量與負(fù)相關(guān)且相關(guān)性較強(qiáng) B．C．當(dāng)時(shí)，的估計(jì)值為13 D．相應(yīng)于點(diǎn)的殘差為【答案】C【解析】對(duì)于A，由回歸直線可得變量線性負(fù)相關(guān)，且由相關(guān)系數(shù)，可知相關(guān)性強(qiáng)，故A正確，對(duì)于B，由表中數(shù)據(jù)可得，﹐，故回歸直線恒過點(diǎn)，故，解得，故B正確，對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，相應(yīng)于點(diǎn)的殘差為，故D正確．故選C.10.（多選）已知由樣本數(shù)據(jù)組成的一個(gè)樣本，得到回歸直線方程為，且，去除兩個(gè)歧義點(diǎn)和后，得到新的回歸直線的斜率為3．則下列說法正確的是（

）A．相關(guān)變量x，y具有正相關(guān)關(guān)系B．去除兩個(gè)歧義點(diǎn)后的回歸直線方程為C．去除兩個(gè)歧義點(diǎn)后，樣本（4，8.9）的殘差為D．去除兩個(gè)歧義點(diǎn)后，隨x值增加相關(guān)變量y值增加速度變小【答案】ABC【解析】對(duì)A，因?yàn)榛貧w直線的斜率大于0，即相關(guān)變量x，y具有正相關(guān)關(guān)系，故A正確；對(duì)B，將代入得，則去掉兩個(gè)歧義點(diǎn)后，得到新的相關(guān)變量的平均值分別為，，此時(shí)的回歸直線方程為，故B正確；對(duì)C，x=4時(shí)，，殘差為8.9-9=-0.1，故C正確；對(duì)D，斜率3>1，此時(shí)隨x值增加相關(guān)變量y值增加速度變大，D錯(cuò)誤.故選ABC.11.若某地的財(cái)政收入x與支出y滿足線性回歸方程（單位：億元），其中，，．若今年該地區(qū)財(cái)政收入為10億元，則年支出預(yù)計(jì)不會(huì)超過________億元．【答案】10【解析】由題意得財(cái)政收入x與支出y滿足線性回歸方程為，其中，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以今年該地區(qū)財(cái)政收入為10億元，則年支出預(yù)計(jì)不會(huì)超過10億元12.（20-23屆河南省湘豫名校聯(lián)考高三上學(xué)期期末）隨著電池充電技術(shù)的逐漸成熟，以鋰電池為動(dòng)力的新一代無繩類電動(dòng)工具以其輕巧便攜?工作效率高?環(huán)保?可適應(yīng)多種應(yīng)用場(chǎng)景下的工作等優(yōu)勢(shì)，被廣泛使用.在消費(fèi)者便攜無繩化需求與技術(shù)發(fā)展的雙重驅(qū)動(dòng)下，鋰電類無繩電動(dòng)工具及配套充電器市場(chǎng)有望持續(xù)擴(kuò)大.某公司為適應(yīng)市場(chǎng)并增強(qiáng)市場(chǎng)競爭力，逐年增加研發(fā)人員，使得整體研發(fā)創(chuàng)新能力持續(xù)提升，現(xiàn)對(duì)2017~2021年的研發(fā)人數(shù)作了相關(guān)統(tǒng)計(jì)，如下圖：2017~2021年公司的研發(fā)人數(shù)情況（年份代碼1~5分別對(duì)應(yīng)2017~2021年）(1)根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖中數(shù)據(jù)，計(jì)算該公司研發(fā)人數(shù)與年份代碼的相關(guān)系數(shù)，并由此判斷其相關(guān)性的強(qiáng)弱；(2)試求出關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)2023年該公司的研發(fā)人數(shù).（結(jié)果取整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：，.參考公式：相關(guān)系數(shù).線性回歸方程的斜率，截距.附：相關(guān)性弱一般強(qiáng)【解析】（1）由條形統(tǒng)計(jì)圖，得，，所以，.所以.因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)，所以與具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，且為正相關(guān).（2），所以，所以.由題意知，2023年對(duì)應(yīng)的年份代碼，當(dāng)時(shí)，，故預(yù)測(cè)2023年該公司的研發(fā)人數(shù)約為613人.13.（2023屆河南省許昌市高三上學(xué)期診斷）隨著人民生活水平的日益提高，汽車普遍進(jìn)入千家萬戶，尤其在近幾年，新能源汽車涌入市場(chǎng)，越來越受到人們喜愛．某新能源汽車銷售企業(yè)在2017年至2021年的銷售量（單位：萬輛）數(shù)據(jù)如下表：年份2017年2018年2019年2020年2021年年份代號(hào)12345銷售量（萬輛）75849398100(1)請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)判斷關(guān)于的線性相關(guān)程度（參考：若，則線性相關(guān)程度一般，若，則線性相關(guān)程度較高，計(jì)算時(shí)精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）；(2)求出關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)計(jì)2022年該新能源汽車企業(yè)的銷售量為多少萬輛？參考數(shù)據(jù)：，，附：相關(guān)系數(shù)，回歸直線方程的斜率，截距【解析】（1）解：由表中數(shù)據(jù)可得，，∴，又，，∴，所以與有很強(qiáng)的線性相關(guān)性；（2）解：由表中數(shù)據(jù)可得，則，∴，又2022年對(duì)應(yīng)的代號(hào)為6，故，由此預(yù)計(jì)2022年該新能源汽車企業(yè)的銷售量為109.2萬輛．(三)曲線型回歸方程14．（2022屆河南豫北高中高三畢業(yè)班考前定位聯(lián)合考試）某高科技公司為加強(qiáng)自主研發(fā)能力，研發(fā)費(fèi)用逐年增加，統(tǒng)計(jì)最近6年的研發(fā)費(fèi)用（單位：元）與年份編號(hào)得到樣本數(shù)據(jù)，令，并將繪制成下面的散點(diǎn)圖．若用方程對(duì)與的關(guān)系進(jìn)行擬合，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】因?yàn)?，令，則與的回歸方程為．根據(jù)散點(diǎn)圖可知與正相關(guān)，所以．從回歸直線圖象，可知回歸直線的縱截距大于0，即，所以．故選A15.以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出回歸方程，設(shè)，其變換后得到線性回歸方程，則______．【答案】【解析】，即，∴，．16.（2022屆河北省石家莊市部分學(xué)校高三下學(xué)期5月模擬）截至2021年12月，中國網(wǎng)民規(guī)模達(dá)10.32億人，隨之電信網(wǎng)絡(luò)詐騙犯罪形勢(shì)也非常嚴(yán)峻．2021年6月，公安部推出國家級(jí)反詐防騙“王炸”系統(tǒng)——“國家反詐中心APP”，這是一款能有效預(yù)防詐騙、快速舉報(bào)詐騙內(nèi)容的軟件，用戶通過學(xué)習(xí)里面的防詐騙知識(shí)可以有效避免各種網(wǎng)絡(luò)詐騙的發(fā)生，減少不必要的財(cái)產(chǎn)損失，某省自“國家反詐中心APP”推出后，持續(xù)采取多措并舉的推廣方式，積極推動(dòng)全省“國家反詐中心APP”安裝注冊(cè)工作．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，省反詐中心發(fā)現(xiàn)全省網(wǎng)絡(luò)詐騙舉報(bào)件數(shù)y（件）與推廣時(shí)間有關(guān)，并記錄了經(jīng)推廣x個(gè)月后舉報(bào)件數(shù)的數(shù)據(jù)：推廣月數(shù)（個(gè)）1234567y（件）891888351220200138112(1)現(xiàn)用作為回歸方程模型，利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程．(2)分析該省一直加大力度推廣下去有可能將網(wǎng)絡(luò)詐騙舉報(bào)件數(shù)降至接近于零嗎？參考數(shù)據(jù)（其中）：15860.370.55參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，．【解析】（1）由題意．

令，設(shè)y關(guān)于t的線性回歸方程為直線則

則，

∴，又，∴y關(guān)于x的回歸方程為.（2）僅從現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)所得回歸方程，可發(fā)現(xiàn)當(dāng)推廣時(shí)間越來越長時(shí)，即x越來越大時(shí)，y的值會(huì)逐漸降至接近于30，可知該省一直加大力度推廣下去，網(wǎng)絡(luò)詐騙舉報(bào)件數(shù)大概會(huì)逐漸降至30件．

但在使用經(jīng)驗(yàn)回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，方程只適用于所研究的樣本總體，一般具有時(shí)效性，不能期望回歸方程得到的預(yù)報(bào)值就是響應(yīng)變量的精確值，所以若加大力度一直推廣下去，并隨著國家對(duì)網(wǎng)絡(luò)詐騙的嚴(yán)厲打擊和科技發(fā)展，再加上相關(guān)部門對(duì)個(gè)人信息防護(hù)手段的加強(qiáng)，人們對(duì)網(wǎng)絡(luò)詐騙犯罪的防范意識(shí)逐步提高，網(wǎng)絡(luò)詐騙舉報(bào)件數(shù)是有可能降至接近于零的．三、最新模擬練17．（2023屆江蘇省G4聯(lián)盟高三上學(xué)期12月聯(lián)考）如圖是近十年來全國城鎮(zhèn)人口、鄉(xiāng)村人口的折線圖（數(shù)據(jù)來自國家統(tǒng)計(jì)局）．根據(jù)該折線圖，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．城鎮(zhèn)人口與年份呈現(xiàn)正相關(guān) B．鄉(xiāng)村人口與年份的相關(guān)系數(shù)接近C．城鎮(zhèn)人口逐年增長率大致相同 D．可預(yù)測(cè)鄉(xiāng)村人口仍呈現(xiàn)下降趨勢(shì)【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，由折線圖可知，城鎮(zhèn)人口與年份呈現(xiàn)正相關(guān)，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)猷l(xiāng)村人口與年份呈負(fù)線性相關(guān)關(guān)系，且線性相關(guān)性很強(qiáng)，所以接近，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，城鎮(zhèn)人口與年份呈現(xiàn)正相關(guān)，且線性相關(guān)性很強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)接近，故城鎮(zhèn)人口逐年增長率大致相同，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，由折線圖可知，鄉(xiāng)村人口與年份呈負(fù)線性相關(guān)關(guān)系，可預(yù)測(cè)鄉(xiāng)村人口仍呈現(xiàn)下降趨勢(shì)，D對(duì).故選B.18.（2023屆廣東省廣州市四校高三上學(xué)期第二次模擬）對(duì)兩個(gè)變量和進(jìn)行回歸分析，得到一組樣本數(shù)據(jù)，，…，則下列說法不正確的是（

）A．若變量和之間的相關(guān)系數(shù)為，則變量和之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系B．殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好C．用決定系數(shù)來刻畫回歸效果，越小說明擬合效果越好D．在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布水平帶狀區(qū)域的寬度越窄，則回歸方程的預(yù)報(bào)精確度越高【答案】C【解析】變量和之間的相關(guān)系數(shù)為越大，則變量和之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，故A正確；殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好，故B正確；用決定系數(shù)來刻畫回歸效果，越大說明擬合效果越好，故C錯(cuò)誤；在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布水平帶狀區(qū)域的寬度越窄，則回歸方程的預(yù)報(bào)精確度越高，故D正確.故選C.19.（多選）（2022屆湖北省黃岡中學(xué)高三下學(xué)期二模）已知由樣本數(shù)據(jù)，，2，3，，組成的一個(gè)樣本，得到回歸直線方程為，且，去除兩個(gè)樣本點(diǎn)和后，得到新的回歸直線的斜率為3.則下列說法正確的是（

）A．相關(guān)變量，具有正相關(guān)關(guān)系B．去除兩個(gè)樣本點(diǎn)和后，回歸直線方程為C．去除兩個(gè)樣本點(diǎn)和后，隨值增加相關(guān)變量值增加速度變小D．去除兩個(gè)樣本點(diǎn)和后，樣本的殘差為0.1【答案】AB【解析】對(duì)于A，，則相關(guān)變量，具有正相關(guān)關(guān)系，故A正確；對(duì)于B，求出，故去除樣本點(diǎn)后的回歸直線方程為，故B正確；對(duì)于C，由于斜率為，隨值增加相關(guān)變量值增加速度變大，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,樣本的殘差為，故D錯(cuò)誤.20.（2022屆山西省懷仁市高三上學(xué)期期末）某工廠為研究某種產(chǎn)品的產(chǎn)量x（噸）與所需某種原材料y（噸）的相關(guān)性，在生產(chǎn)過程中收集了對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如表所示：3456234根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得出關(guān)于的回歸直線方程為.據(jù)此計(jì)算出在樣本處的殘差為，則表中的值為__________.（注：殘差是實(shí)際觀察值與估計(jì)值之間的差，）【答案】【解析】根據(jù)樣本處的殘差為，即，可得，即回歸直線方程為，又由樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，得，解得.21.（2022屆海南省文昌中學(xué)高三4月段考）從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高x（單位：cm）與體重y（單位：kg）數(shù)據(jù)如下表：x165165157170175165155170y4857505464614359若已知y與x的線性回歸方程為，設(shè)殘差記為觀測(cè)值與預(yù)測(cè)值之間的差（即殘差）那么選取的女大學(xué)生身高為175cm時(shí)，相應(yīng)的殘差為___________.【答案】4【解析】已知y與x的線性同歸方程為當(dāng)時(shí)：，相應(yīng)的殘差為：22.（2023屆貴州省貴陽市白云區(qū)高三上學(xué)期質(zhì)量監(jiān)測(cè)）下面給出了根據(jù)我國年—2022年水果人均占有量（單位：kg）和年份代碼繪制的散點(diǎn)圖和線性回歸方程的殘差圖（2016年—2022年的年份代碼分別為1~7）.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖分析與之間的相關(guān)關(guān)系；(2)根據(jù)散點(diǎn)圖相應(yīng)數(shù)據(jù)計(jì)算得，，求關(guān)于的線性回歸方程（數(shù)據(jù)精確到）；(3)根據(jù)線性回歸方程的殘差圖，分析線性回歸方程的擬合效果.附：回歸方程中的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為【解析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖可知，散點(diǎn)均勻的分布在一條直線附近，且隨著的增大，增大，故與成線性相關(guān)，且為正相關(guān)；（2）解：依題意，，，，，，所以關(guān)于的線性回歸方程為：；（3）解：由殘差圖可以看出，殘差對(duì)應(yīng)點(diǎn)分布在水平帶狀區(qū)域內(nèi)，且寬度較窄，說明擬合效果較好，回歸方程的預(yù)報(bào)精度較高．23.（2023屆福建省三明市教研聯(lián)盟校高三上學(xué)期期中）中國在第75屆聯(lián)合國大會(huì)上承諾，將采取更加有力的政策和措施，力爭于2030年之前使二氧化碳的排放達(dá)到峰值，努力爭取2060年之前實(shí)現(xiàn)碳中和（簡稱“雙碳目標(biāo)”），此舉展現(xiàn)了我國應(yīng)對(duì)氣候變化的堅(jiān)定決心，預(yù)示著中國經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)和經(jīng)濟(jì)社會(huì)運(yùn)轉(zhuǎn)方式將產(chǎn)生深刻變革，極大促進(jìn)我國產(chǎn)業(yè)鏈的清潔化和綠色化.新能源汽車?電動(dòng)汽車是重要的戰(zhàn)略新興產(chǎn)業(yè)，對(duì)于實(shí)現(xiàn)“雙碳目標(biāo)”具有重要的作用.為了解某一地區(qū)電動(dòng)汽車銷售情況，一機(jī)構(gòu)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，用最小二乘法得到電動(dòng)汽車銷量（單位：萬臺(tái)）關(guān)于（年份）的線性回歸方程為，且銷量的方差為，年份的方差為.(1)求與的相關(guān)系數(shù)，并據(jù)此判斷電動(dòng)汽車銷量與年份的相關(guān)性強(qiáng)弱；(2)該機(jī)構(gòu)還調(diào)查了該地區(qū)90位購車車主的性別與購車種類情況，得到的數(shù)據(jù)如下表：性別購買非電動(dòng)汽車購買電動(dòng)汽車總計(jì)男性39645女性301545總計(jì)692190依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為購買電動(dòng)汽車與車主性別有關(guān)；(3)在購買電動(dòng)汽車的車主中按照性別進(jìn)行分層抽樣抽取7人，再從這7人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中，男性的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.①參考數(shù)據(jù)：；②參考公式：（i）線性回歸方程：，其中；（ii）相關(guān)系數(shù)：，若，則可判斷與線性相關(guān)較強(qiáng).（iii），其中.附表：【解析】（1）相關(guān)系數(shù)為故與線性相關(guān)較強(qiáng).（2）零假設(shè)為：購買電動(dòng)汽車與車主性別相互獨(dú)立，即購買電動(dòng)汽車與車主性別無關(guān).所以依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為購買電動(dòng)汽車與車主性別有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于.（3）抽樣比，男性車主選取2人，女性車主選取5人，則的可能取值為故,,故的分布列為：012四、高考真題練24．（2022高考全國乙卷）某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理,已將荒山改造成了綠水青山．為估計(jì)一林區(qū)某種樹木的總材積量,隨機(jī)選取了10棵這種樹木,測(cè)量每棵樹的根部橫截面積（單位：）和材積量（單位：）,得到如下數(shù)據(jù)：樣本號(hào)ｉ12345678910總和根部橫截面積0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并計(jì)算得．（1）估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；（2）求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；（3）現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積,并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為．已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值．附：相關(guān)系數(shù)．【解析】（1）樣本中10棵這種樹木的根部橫截面積的平均值樣本中10棵這種樹木的材積量的平均值據(jù)此可估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為,平均一棵的材積量為（2）由表中的數(shù)據(jù)和附注中的參考數(shù)據(jù)得,,,=0.2474=0.0134,所以相關(guān)系數(shù)r≈≈0.97.（3）樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比,比例系數(shù),所以該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值為（）.25.(2020高考全國乙卷)某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加．為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物數(shù)量，將其分成面積相近的200個(gè)地塊，從這些地塊中用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動(dòng)物的數(shù)量，并計(jì)算得，，，，．(1)求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值(這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù))；(2)求樣本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相關(guān)系數(shù)(精確到0．01)；(3)根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大．為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)，請(qǐng)給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由．附：相關(guān)系數(shù)r=，≈1．414．【解析】（1）樣區(qū)野生動(dòng)物平均數(shù)為，地塊數(shù)為200，該地區(qū)這種野生動(dòng)物的估計(jì)值為（2）樣本(i=1，2，…，20)的相關(guān)系數(shù)為（3）由（2）知各樣區(qū)的這種野生動(dòng)物的數(shù)量與植物覆蓋面積有很強(qiáng)的正相關(guān)性，由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從俄各地塊間這種野生動(dòng)物的數(shù)量差異很大，采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)得以執(zhí)行，提高了樣本的代表性，從而可以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)．26.(2016高考全國丙卷)下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位:億噸)的折線圖.(Ⅰ)由折線圖看出,可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系,請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明;(Ⅱ)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01),預(yù)測(cè)2016年我國生活垃圾無害化處理量.參考數(shù)據(jù):,,,.參考公式:相關(guān)系數(shù)回歸方程中斜率和截距最小二乘估計(jì)公式分別為:,.【解析】(Ⅰ)由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得,,,,.因?yàn)榕c的相關(guān)系數(shù)近似為0.99,說明與的線性相關(guān)程度相當(dāng)高從而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系.(Ⅱ)由及(Ⅰ)得,.所以,關(guān)于的回歸方程為:.將2016年對(duì)應(yīng)的代入回歸方程得:.所以預(yù)測(cè)2016年我國生活垃圾無害化處理量將約1.82億噸.五、綜合提升練27.已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表：x1234y1mn4參考公式：線性回歸方程，其中，；相關(guān)系數(shù).上表數(shù)據(jù)中y的平均值為2.5，若某同學(xué)對(duì)m賦了三個(gè)值分別為1.5，2，2.5得到三條線性回歸直線方程分別為，，，對(duì)應(yīng)的相關(guān)系數(shù)分別為，，，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．三條回歸直線有共同交點(diǎn) B．相關(guān)系數(shù)中，最大C． D．【答案】D【解析】由題意，，即．若，則，此時(shí)，．，，．則，，；若，則，此時(shí)，．，，．，，；若，則，此時(shí)，．，，，．由樣本點(diǎn)的中心相同，故A正確；由以上計(jì)算可得，相關(guān)系數(shù)中，最大，，，故B，C正確，D錯(cuò)誤．故選D．28.某種機(jī)械設(shè)備隨著使用年限的增加，它的使用功能逐漸減退，使用價(jià)值逐年減少，通常把它使用價(jià)值逐年減少的“量”換算成費(fèi)用，稱之為“失效費(fèi)”.某種機(jī)械設(shè)備的使用年限x（單位：年）與失效費(fèi)y（單位：萬元）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：使用年限x（單位：年）1234567失效費(fèi)y（單位：萬元）2.903.303.604.404.805.205.90由上表數(shù)據(jù)可知，y與x的相關(guān)系數(shù)為______.（精確到0.01