數(shù)學(xué)競賽講座-多元積分學(xué)

重積分曲線與曲面積分1一、重積分2

1.二重積分⑴二重積分定義⑵二重積分的積分方法①在直角坐標(biāo)下的積分3積分方法:1.將區(qū)域投影至

軸,得區(qū)間2.以將區(qū)域的邊界分割成曲線

此方法稱為先后的積分.則:4

平行可得到另一種積分方法.②在極坐標(biāo)下的積分計算5若則6無論是在直角坐標(biāo)下或是在極坐標(biāo)下,都要注意積分過程中對對稱性的使用.7例

設(shè)積分區(qū)域是以原點為中心,為半徑在第一，第二象限區(qū)域,則

.解由積分中值定理8注意到故有從而有9例

求積分其中是由及所圍成的區(qū)域.解由對稱性,得所以10由此得11注意這種對稱性的使用.⑴函數(shù)滿足⑵積分區(qū)域關(guān)于對稱.條件是:對于三重積分有相似的結(jié)論.12例

將二重積分化為二次積分:其中積分區(qū)域為介于兩圓環(huán)中的部分.解積分區(qū)域如圖:因而將區(qū)域分解成三個型區(qū)域,從而有13用同樣的方法可以得到另一個形式的積分表達(dá)式.本題容易出錯的地方是用大區(qū)域的積分減小區(qū)域的積分.14例

求二重積分其中積分區(qū)域為解此積分應(yīng)先對進(jìn)行積分.此時有1516例

計算積分解其中1718所以19還要注意另一類積分,這類積分只能通過交換積分次加以完成.這類積分主要有等形式.20例

求積分解由于函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù),故不能使用牛頓—萊布尼茲公式,為此先對進(jìn)行積分.21例

求積分其中解本題在直角坐標(biāo)下積分將時比較繁瑣的,將本題化為在極坐標(biāo)下的積分.由此得2223例

求積分其中解此積分為二重反常積分.但在積分過程中仍將其視為常義積分.此時有242526例

計算三重積分其中是由和所圍成的區(qū)域.解27例

求積分其中解對于這類形式的積分,首先考慮用截面法的積分.由對稱性得:此時平面與空間區(qū)域相交的截面為一橢圓,因而相應(yīng)的二重積分為對應(yīng)的面積.從而有28這里表示區(qū)域的面積.故原積分改變?yōu)?9注意這種積分方法以及使用這種方法的條件.30例

求積分其中是由三坐標(biāo)平面及所圍成的區(qū)域.解由對稱性得31另一類對稱性指的是關(guān)于坐標(biāo)平面的對稱性.32例

求積分其中是由所圍成的區(qū)域.解由對稱性得3334所以原積分為35例

求積分其中解因又由對稱性,得36從而有3738例計算積分其中是由曲面所圍成.39例

設(shè)其中為連續(xù)函數(shù),試將上式化為對的積分,并求解首先考慮積分次序此時積分區(qū)域為因而有40從而上述原積分為41由含參變量積分的求導(dǎo)公式,得42例

求積分解該積分直接求解時比較繁瑣的.現(xiàn)將其化為截面積分.此時積分為這里的為平面區(qū)域在該區(qū)域上由極坐標(biāo)的積分得4344例

求積分其中為空間區(qū)域解由對稱性得而45所以原式為46例

設(shè)為區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),其中求解積分區(qū)域為一個圓柱形區(qū)域,因而由柱面坐標(biāo)積分得4748所以49二、積分應(yīng)用50積分的應(yīng)用主要包括有

1.面積的計算

2.質(zhì)量及重心坐標(biāo)的計算

3.轉(zhuǎn)動慣量的計算

4.引力的計算51面積計算公式設(shè)空間有界曲面塊

方程為在

上有連續(xù)偏在

平面上的投影,

導(dǎo),則曲面面積52設(shè)平面薄片,在平面上占有有界閉區(qū)域密度函數(shù)在上連續(xù),則平面薄片對

軸和

軸的質(zhì)心其中,

為平面薄片的質(zhì)量.坐標(biāo)分別為同樣有空間物體質(zhì)心坐標(biāo)計算公式.53

當(dāng)平面薄片的密度函數(shù)為常數(shù),即物體是均勻物體,其中

為平面薄片的面積.相應(yīng)的質(zhì)心坐標(biāo)稱為形心坐標(biāo),計算公式為54同樣得到空間物體的質(zhì)心坐標(biāo)的計算公式:其中

為空間物體的質(zhì)量.55空間物體對三坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動慣量為56例

曲面將球體分成兩部分,求這兩部分的表面積比和體積比.解兩曲面的交線為故球面位于平面下的面積為:57此時曲面方程為因而58相應(yīng)的從而5960又整個球面面積為所以上半部分的球面面積為相應(yīng)的面積之比為再計算體積之比.此時位于兩曲面內(nèi)的體積為61從而在球內(nèi)但在拋物面外的體積為由此得到相應(yīng)的體積之比為62例

求位于兩圓內(nèi)的均勻薄片（密度取為）的形心坐標(biāo).解容易得到在兩圓之間的面積為由對稱性知又63即有相應(yīng)的形心坐標(biāo)為64例

證明:由所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的體積對軸的的轉(zhuǎn)動慣量（密度取為）為證旋轉(zhuǎn)曲面方程為因而相應(yīng)的轉(zhuǎn)動慣量為6566對直線的轉(zhuǎn)動慣量,并求此轉(zhuǎn)動慣量的最大和最小值.解設(shè)是區(qū)域內(nèi)任意點,則由距離公式得例

質(zhì)量分布均勻（密度取為）的橢球體67所以相應(yīng)的轉(zhuǎn)動慣量為6869不妨設(shè)則有此時當(dāng)而當(dāng)則有70例

求高為底面半徑為的均勻的正圓錐對其頂點處單位質(zhì)點的引力.解設(shè)曲面方程為則由對稱性,知引力在兩個方向上的分力為0.只需計算在垂直方向上的分力.此時有由柱面坐標(biāo)計算得:717273

本章主要討論各種形式的曲線積分和曲面積分,以及一、第一類曲線積分1.積分形式⑴平面曲線積分三、曲線與曲面積分各類積分的計算方法及相互的關(guān)系.74⑵空間曲線積分2.積分方法⑴平面曲線積分直角坐標(biāo)下:設(shè)曲線則75則參數(shù)方程設(shè)曲線極坐標(biāo)設(shè)曲線

則76⑵空間曲線積分設(shè)曲線則77二、第一類曲面積分1.積分形式積分方法設(shè)曲面方程投影區(qū)域為則78三、第二類曲線積分1.積分形式⑴平面曲線設(shè)有向曲線

函數(shù)連⑵空間曲線設(shè)有向曲線

函數(shù)續(xù),曲線積分為連續(xù),曲線積分為79則2.積分方法⑴平面曲線80⑵空間曲線則,81四、第二類曲面積分1.積分形式2.積分方法設(shè)投影區(qū)域為,則其中:上側(cè)取正,下側(cè)取負(fù).82五、基本公式1.格林公式曲線積分與路徑無關(guān)條件:曲線積分設(shè)

是平面上的有界閉區(qū)域,函數(shù)與路徑無關(guān)在上有連續(xù)偏導(dǎo),則83此時,全微分求積滿足表達(dá)式為全微分且842.高斯公式設(shè)

是空間的有界閉區(qū)域,函數(shù)

在

上有連續(xù)偏導(dǎo),則853.斯托克斯公式設(shè)

為分片光滑曲面,函數(shù)在

上有連續(xù)偏導(dǎo),則86空間曲線積分與路徑的無關(guān)性與路徑無關(guān)設(shè)

是一維單連通區(qū)域,函數(shù)

在

內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo),

為

內(nèi)曲線,則曲線積分其中87例

求解由極坐標(biāo)下的曲線積分公式,88例

求解由積分公式89解曲線質(zhì)量例

求擺線的質(zhì)心對

軸和對

軸的靜矩分別為擺線方程9091即,質(zhì)心坐標(biāo)為所以92解由積分公式例

求93解作由此構(gòu)成封閉曲線,例

求取上半圓周,逆時針方向.則因令94所以95例

求積分解積分曲線如圖所示,則而其中取逆時針.96所以97解2利用對稱性,得再由曲線關(guān)于軸對稱,但方向相反,被積函數(shù)關(guān)于為從而偶函數(shù),則積分為零,即98上述情況的一般結(jié)論是:若積分曲線關(guān)于軸對稱,但上下曲線方向相反,被積函數(shù)滿足:即被積函數(shù)關(guān)于是偶函數(shù),則99質(zhì)點沿曲線例

設(shè)平面力場的大小與作用點到原點的距離成正比,移到點時,場力做的功.解先求力的表達(dá)式.由條件得相應(yīng)的同向的單位向量為方向為作用點的向徑方向按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角,試求從點按逆時針方向100從而與力同向的單位向量為101從而相應(yīng)的功為曲線的參數(shù)方程為所以102103例

求則解令取逆時針方向.104作橢圓周xy取順時針方向,則105解令則例

求曲線,取逆時針.其中為任一不過原點的106即:從而若曲線不包含原點時,則由格林公式,并取順時針方向,這使得曲線為所圍區(qū)域的正xy積分為零;若曲線包含原點時,作曲線向邊界.再一次使用格林公式,得107不妨設(shè)在

的內(nèi)部,則又因其中

為橢圓所圍的面積.由面積公式,為求108令則109所以110則例

設(shè)是連點證

的方程的直線段,證明111即

112由此得到,對一多邊形區(qū)域的正向邊界,頂點依次為事實上,若區(qū)域的邊界由線段則相應(yīng)的面積為組成,則113解令例

已知在右半平面存在函數(shù)試求常數(shù)

及函數(shù)使得114令115則116例

設(shè)的切向量順時針旋轉(zhuǎn)所得到的法量,求解在任意點處的切向量為故所以為117118則，法向量的方向余弦為證設(shè)曲線

上點處的切向量的方向余弦為例

設(shè)為閉曲線

的外法向量,

為

圍成的閉區(qū)域,函數(shù)在

上有連續(xù)二階偏導(dǎo),則119120例

如果函數(shù)在區(qū)域內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo),且滿足稱是

內(nèi)的調(diào)和函數(shù).設(shè)函數(shù)是單連通區(qū)域中的調(diào)和函數(shù),有向曲線⑴證明曲線積分在內(nèi)與路徑無關(guān);⑵記則也是內(nèi)的調(diào)和函數(shù).弧為的切向量順時針旋轉(zhuǎn)所得到的法向量,121所以曲線積分與路徑無關(guān).證1.由條件所設(shè),為在

內(nèi)從

到的任一條曲線,為從

到

的曲線,由于

是單連通區(qū)域,再設(shè)

所包含的區(qū)域為

則1222.記切向量與法向量分別為故123所以124例

求所圍成區(qū)域的整個邊界.解積分區(qū)域如圖.則注意到在平面上的投影區(qū)域其中為圓柱面及和為單位圓,從而125將分成前后兩張曲面,并投影到平面上,得投影則前半曲面的積分為區(qū)域126后半曲面的積分為127所以,原積分為128解2將積分區(qū)域向平面作投影,投影區(qū)域為再由對稱性,知積分為前半曲面積分的二倍.所以129由此可見,不同的積分方法對計算過程有很大的影響.130解由對稱性.曲面面積為例

求均勻半球面動慣量和的質(zhì)心及轉(zhuǎn)131靜矩由此得到:重心坐標(biāo)132轉(zhuǎn)動慣量133由前面的計算,得所以134例

求其中為錐面取下側(cè).解為使用高斯公式,增加平面

1,取上側(cè),135又136例

求取前側(cè).解1137138解2添加平面及注意到139140同理,在其它幾個平面塊上的積分也為零.例

為平面被三坐標(biāo)平面截下部分,取上側(cè).解為使用Gauss公式,添加三坐標(biāo)平面,設(shè)為o上在第一象限的三角形區(qū)域,則141所以142例半球面取上側(cè).解作平面其中為下取下側(cè),則所以143144145所以146曲面截下部分,取下側(cè),取上側(cè).例

求向量流向下側(cè)的流量.xyzoz=z0

1

2解設(shè)為給定曲面,和分別為平面被流過曲面147故所求流量為148故,流量為又149例

求意閉曲面,為外側(cè)的單位法向量.設(shè)解設(shè)法向量為其中為不經(jīng)過原點的任則則15