山東省煙臺市牟平區(qū)2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷(五四學(xué)制)(含答案)

2022-2023學(xué)年山東省煙臺市牟平區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷（五四學(xué)制）第I卷（選擇題）一、選擇題（本大題共12小題，共36.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）計算4cos230°的值A(chǔ).3 B.1 C.32 D.已知二次函數(shù)y=2x2-4x-1在0≤x≤a時，y取得的最大值為15，則a的值為A.1 B.2 C.3 D.4將Rt△ABC的各邊長都縮小為原來的14，則銳角A的正弦值(

)A.縮小為原來的14 B.不變

C.擴(kuò)大為原來的4倍 D.縮小為原來的小嘉說：將二次函數(shù)y=x2的圖象平移或翻折后經(jīng)過點(2,0)有4種方法：

①向右平移2個單位長度

②向右平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度

③向下平移4個單位長度

④沿x軸翻折，再向上平移4個單位長度

你認(rèn)為小嘉說的方法中正確的個數(shù)有(

)A.1個 B.2個 C.3個 D.4個用科學(xué)計算器求sin9°7'的值，按鍵順序正確的是(

)A.

B.

C.

D.在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y=x2-(m-1)x+m(m>1)沿y軸向下平移3個單位．則平移后得到的拋物線的頂點一定在A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限如圖，點A，B，C在正方形網(wǎng)格的格點上，則sin∠BAC=(

)

A.26 B.2626 C.2613如圖，坡角為α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大樹AB，當(dāng)太陽光線與水平線成45°角沿斜坡照下時，在斜坡上的樹影BC長為m，則大樹AB的高為(

)A.m(cosα-sinα) B.m(sinα-cosα)

C.m(cosα-tanα) D.m拋物線y=ax2+bx+c上部分點的橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值x-2-101y0466A.拋物線的開口向下

B.拋物線的對稱軸為直線x=12

C.拋物線與x軸的一個交點坐標(biāo)為(2,0)

D.函數(shù)y=a根據(jù)如圖所示的二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象，判斷反比例函數(shù)y=ax與一次函數(shù)y=bx+c的圖象

A. B. C. D.數(shù)學(xué)活動小組到某廣場測量標(biāo)志性建筑AB的高度．如圖，他們在地面上C點測得最高點A的仰角為22°，再向前70m至D點，又測得最高點A的仰角為58°，點C，D，B在同一直線上，則該建筑物AB的高度約為(

)

(精確到1m.參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，tan58°≈1.60)A.28m B.34m C.37m D.46m在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，有下列5個結(jié)論：

①abc<0；②2a-b=0；③9a+3b+c>0；④b2>4ac；A.1個 B.2個 C.3個 D.4個第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）拋物線y=2x2+2(k-1)x-k(k為常數(shù))與x軸交點的個數(shù)是

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點D為AB邊的中點，連接CD，若BC=4，CD=3，則sin∠DCA的值為______．

如圖，某一時刻太陽光從窗戶射入房間內(nèi)，與地面的夾角∠DPC=30°，已知窗戶的高度AF=2m，窗臺的高度CF=1m，窗外水平遮陽篷的寬AD=0.8m，則CP的長度為______(結(jié)果精確到0.1m)．拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象如圖所示，其與x軸的一個交點坐標(biāo)為(-3,0)，對稱軸為直線x=-1，則當(dāng)y<0時，x的取值范圍是______．

如圖，有甲乙兩座建筑物，從甲建筑物A點處測得乙建筑物D點的俯角α為45°，C點的俯角β為58°，BC為兩座建筑物的水平距離．已知乙建筑物的高度CD為6m，則甲建筑物的高度AB為______m.

(sin58°≈0.85,cos58°≈0.53,tan58°≈1.60，結(jié)果保留整數(shù))．

小明在學(xué)習(xí)“二次函數(shù)”內(nèi)容后，進(jìn)行了反思總結(jié)．如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象的一部分與x軸的一個交點坐標(biāo)為(1,0)，對稱軸為直線x=-1，結(jié)合圖象他得出下列結(jié)論：①ab>0且c>0；②a+b+c=0；③關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根分別為-3和1；④若點(-4,y1)，(-2,y2)，(3,y3

三、解答題（本大題共7小題，共66.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）(本小題8.0分)

如圖，在△ABC中，∠B=30°，∠BCA=45°，AC=4，求AB的長．(sin75°=6+(本小題8.0分)

小紅看到一處噴水景觀，噴出的水柱呈拋物線形狀，她對此展開研究：測得噴水頭P距地面0.7m，水柱在距噴水頭P水平距離5m處達(dá)到最高，最高點距地面3.2m；建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x-h)2+k，其中x(m)是水柱距噴水頭的水平距離，y(m)是水柱距地面的高度．

(1)求拋物線的表達(dá)式．

(2)爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m.身高1.6m的小紅在水柱下方走動，當(dāng)她的頭頂恰好接觸到水柱時，求她與爸爸的水平距離．

(本小題9.0分)

小華同學(xué)將筆記本電腦水平放置在桌子上，當(dāng)顯示屏的邊緣線OB與底板的邊緣線OA所在水平線的夾角為120°時，感覺最舒適(如圖①).側(cè)面示意圖為圖②；使用時為了散熱，他在底板下面墊入散熱架，如圖③，點B、O、C在同一直線上，OA=OB=24cm，BC⊥AC，∠OAC=30°．

(1)求OC的長；

(2)如圖④，墊入散熱架后，要使顯示屏的邊緣線OB'與水平線的夾角仍保持120°，求點B'到AC的距離．(結(jié)果保留根號)(本小題9.0分)

打油茶是廣西少數(shù)民族特有的一種民俗．某特產(chǎn)公司近期銷售一種盒裝油茶，每盒的成本價為50元，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，該種油茶的月銷售量y(盒)與銷售單價x(元)之間的函數(shù)圖象如圖所示．

(1)求y與x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；

(2)當(dāng)銷售單價定為多少元時，該種油茶的月銷售利潤最大？求出最大利潤．(本小題9.0分)

2022年北京冬奧會的成功舉辦激發(fā)了人們對冰雪運動的熱情．如圖是某滑雪場的橫截面示意圖，雪道分為AB，BC兩部分，小明同學(xué)在C點測得雪道BC的坡度i=1：2.4，在A點測得B點的俯角∠DAB=30°.若雪道AB長為270m，雪道BC長為260m．

(1)求該滑雪場的高度h；

(2)據(jù)了解，該滑雪場要用兩種不同的造雪設(shè)備來滿足對于雪量和雪質(zhì)的不同要求，其中甲設(shè)備每小時造雪量比乙設(shè)備少35m3，且甲設(shè)備造雪150m3所用的時間與乙設(shè)備造雪(本小題10.0分)

如圖，拋物線y=x2+bx+c(b,c是常數(shù))的頂點為C，與x軸交于A，B兩點，A(1,0)，AB=4，點P為線段AB上的動點，過P作PQ/?/BC交AC于點Q．

(1)求該拋物線的解析式；

(2)求△CPQ面積的最大值，并求此時P點坐標(biāo)．

(本小題13.0分)

如圖，在直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C(0,3)，對稱軸為直線x=-1，頂點為點D．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)連接DA，DC，CB，CA，如圖①所示，求證：∠DAC=∠BCO；

(3)如圖②，延長DC交x軸于點M，平移二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象，使頂點D沿著射線DM方向平移到點D1且CD1=2CD，得到新拋物線y1，y1交y軸于點N.如果在y1的對稱軸和y1上分別取點P，Q，使以MN為一邊，點M答案和解析1.【答案】A

【解析】解：4cos230°=4×(32)2

=4×342.【答案】D

【解析】解：∵二次函數(shù)y=2x2-4x-1=2(x-1)2-3，

∴拋物線的對稱軸為x=1，頂點(1,-3)，

∴當(dāng)y=-3時，x=1，

當(dāng)y=15時，2(x-1)2-3=15，

解得x=4或x=-2，

∵當(dāng)0≤x≤a時，y的最大值為15，

∴a=4，

故選：3.【答案】B

【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，設(shè)AC=b，AB=c，BC=a，則sinA=ac．

將Rt△ABC的各邊長都縮小為原來的14后得到△A'B'C'，∠C'=90°，

則A'C'=14b，A'B'=14c，B'C'=14a，

∴sinA'=14a14c=ac4.【答案】D

【解析】解：①向右平移2個單位長度，則平移后的解析式為y=(x-2)2，當(dāng)x=2時，y=0，所以平移后的拋物線過點(2,0)，故①符合題意；

②向右平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度，則平移后的解析式為y=(x-1)2-1，當(dāng)x=2時，y=0，所以平移后的拋物線過點(2,0)，故②符合題意；

③向下平移4個單位長度，則平移后的解析式為y=x2-4，當(dāng)x=2時，y=0，所以平移后的拋物線過點(2,0)，故③符合題意；

④沿x軸翻折，再向上平移4個單位長度，則平移后的解析式為y=-x2+4，當(dāng)x=2時，y=0，所以平移后的拋物線過點(2,0)，故④符合題意；

故選：5.【答案】B

【解析】解：根據(jù)科學(xué)計算器的按鍵順序可知，正確的按鍵順序是B選項．

故選：B．

根據(jù)科學(xué)計算器按鍵順序計算即可．

本題考查計算器的按鍵順序，掌握計算器的按鍵順序是解題的關(guān)鍵．

6.【答案】D

【解析】解：∵y=x2-(m-1)x+m=(x-m-12)2+m-(m-1)24，

∴該拋物線頂點坐標(biāo)是(m-12,m-(m-1)24)，

∴將其沿y軸向下平移3個單位后得到的拋物線的頂點坐標(biāo)是(m-12,m-(m-1)247.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查了勾股定理，三角形的面積，銳角三角函數(shù)的定義等知識，根據(jù)網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形和利用三角形的面積求出BD是解決問題的關(guān)鍵．

過B作BD⊥AC于D，根據(jù)勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面積求出BD，最后在直角△ABD中根據(jù)銳角三角函數(shù)的意義求解．

【解答】

解：如圖，過B作BD⊥AC于D，

由勾股定理得，AB=32+22=13，AC=32+32=32，

∵S△ABC=18.【答案】A

【解析】解：過點C作水平地面的平行線，交AB的延長線于D，

則∠BCD=α，

在Rt△BCD中，BC=m，∠BCD=α，

則BD=BC?sin∠BCD=msinα，CD=BC?cos∠BCD=mcosα，

在Rt△ACD中，∠ACD=45°，

則AD=CD=mcosα，

∴AB=AD-BD=mcosα-msinα=m(cosα-sinα)，

故選：A．

過點C作水平地面的平行線，交AB的延長線于D，根據(jù)正弦的定義求出BD，根據(jù)余弦的定義求出CD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AD，計算即可．9.【答案】C

【解析】解：把(-2,0)，(-1,4)，(0,6)分別代入y=ax2+bx+c得4a-2b+c=0a-b+c=4c=6，

解得a=-1b=1c=6，

∴拋物線解析式為y=-x2+x+6，

∵a=-1，

∴拋物線開口向下，所以A選項不符合題意；

∵y=-x2+x+6=-(x-12)2+254，

∴拋物線的對稱軸為直線x=12，所以B選項不符合題意；

當(dāng)x=12時，y有最大值254，所以D選項不符合題意；

當(dāng)y=0時，-x2+x+6=0，解得x1=-2，x2=3，

∴拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為(-2,0)，(3,0)，所以C選項符合題意．

故選：C．

先利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式為y=-x10.【答案】A

【解析】解：由二次函數(shù)圖象可知a>0，c<0，

由對稱軸x=-b2a>0，可知b<0，

所以反比例函數(shù)y=ax的圖象在一、三象限，一次函數(shù)y=bx+c經(jīng)過二、三、四象限．

故選：A．

先根據(jù)二次函數(shù)的圖象，確定a、b、c的符號，再根據(jù)a、b、c的符號判斷反比例函數(shù)y=ax與一次函數(shù)y=bx+c的圖象經(jīng)過的象限即可．

本題主要考查二次函數(shù)圖象的性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象的性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，關(guān)鍵在于通過二次函數(shù)圖象推出11.【答案】C

【解析】解：由題意可知：AB⊥BC，

在Rt△ADB中，∠B=90°，∠ADB=58°，

∵tan∠ADB=tan58°=ABBD，

∴BD=ABtan58°≈AB1.60(m)，

在Rt△ACB中，∠B=90°，∠C=22°，

∵CD=70m，

∴BC=CD+BD=(70+AB1.60)m，

∴AB=BC×tanC≈(70+AB1.60)×0.40，

解得：12.【答案】C

【解析】解：∵圖象開口向下，

∴a<0，

∵對稱軸為直線x=-b2a=1，

∴b=-2a>0，

∵圖象與y軸的交點在x軸的上方，

∴c>0，

∴abc<0，

∴①說法正確，

∵-b2a=1，

∴2a=-b，

∴2a+b=0，

∴②說法錯誤，

∵由圖象可知x=-1時，y<0，根據(jù)對稱性x=3時，y<0，

∴9a+3b+c<0，

∴③說法錯誤，

∵拋物線與x軸有兩個交點，

∴b2-4ac>0，

∴b2>4ac，

∴④說法正確；

當(dāng)x=-1時，y<0，

∴a-b+c<0，

∴a+c<b，13.【答案】2

【解析】【分析】

根據(jù)拋物線與一元二次方程的關(guān)系及根的判別式可以求得拋物線y=2x2+2(k-1)x-k(k為常數(shù))與x軸交點的個數(shù)，本題得以解決．

本題考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用根的判別式解答．

【解答】

解：∵拋物線y=2x2+2(k-1)x-k(k為常數(shù))，

∴當(dāng)y=0時，0=2x2+2(k-1)x-k，

∴△=[2(k-1)]2-4×2×(-k)=4k2+4>0，

14.【答案】23【解析】解：∵∠ACB=90°，點D為AB的中點，

∴CD=12AB=AD，

∴AB=2CD=6，∠DCA=∠A，

∴sin∠DCA=sinA=BCAB=46=2315.【答案】4.4m

【解析】解：根據(jù)圖形可知AD/?/CP．

∵AD/?/CP，∠DPC=30°，

在Rt△ABD中，∠ADB=30°，AD=0.8m，

∴AB=AD×tan∠ADB=0.8×33≈0.46m．

∵AB=0.46m，AF=2m，CF=1m，

∴BC=2.54m，

在Rt△BCP中，∠BPC=30°，BC=2.54m，

∴CP=BCtan∠BPC=2.54tan3016.【答案】-3<x<1

【解析】【分析】

本題考查了拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是得到拋物線與x軸的另一個交點．根據(jù)拋物線與x軸的一個交點坐標(biāo)和對稱軸，由拋物線的對稱性可求拋物線與x軸的另一個交點，再根據(jù)拋物線的圖象可知當(dāng)y<0時，x的取值范圍．

【解答】

解：∵拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸的一個交點坐標(biāo)為(-3,0)，對稱軸為直線x=-1，

∴拋物線與x軸的另一個交點為(1,0)，

由圖象可知，當(dāng)y<0時，x的取值范圍是-3<x<1．

故答案為：17.【答案】16

【解析】解：過點D作DE⊥AB于點E，如圖．

則BE=CD=6m，∠ADE=45°，∠ACB=58°，

在Rt△ADE中，∠ADE=45°，

設(shè)AE=x?m，則DE=x?m，

∴BC=x?m，AB=AE+BE=(6+x)m，

在Rt△ABC中，

tan∠ACB=tan58°=ABBC=6+xx≈1.60，

解得x=10，

∴AB=16m．

故答案為：16．

過點D作DE⊥AB于點E，則BE=CD=6m，∠ADE=45°，∠ACB=58°，在Rt△ADE中，∠ADE=45°，設(shè)AE=x?m，則DE=x?m，BC=xm，AB=AE+BE=(6+x)m，在Rt△ABC中，tan∠ACB=tan58°=18.【答案】①②③

【解析】解：∵拋物線的對稱軸在y軸的左側(cè)，

∴ab>0，

∵拋物線與y軸交點在x軸上方，

∴c>0，①正確；

∵拋物線經(jīng)過(1,0)，

∴a+b+c=0，②正確．

∵拋物線與x軸的一個交點坐標(biāo)為(1,0)，對稱軸為直線x=-1，

∴另一個交點為(-3,0)，

∴關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根分別為-3和1，③正確；

∵-1-(-2)<-1-(-4)<3-(-1)，拋物線開口向下，

∴y2>y1>y3，④錯誤．

∵拋物線與x軸的一個交點坐標(biāo)為(1,0)，

∴a+b+c=0，

∵-b2a=-1，

∴b=2a，

∴3a+c=0，⑤錯誤．

故答案為：①②③．

由拋物線的對稱軸的位置以及與y軸的交點可判斷①；由拋物線過點(1,0)，即可判斷②；由拋物線的對稱性可判斷③19.【答案】解：如圖，過點C作CD⊥AB，交BA的延長線于D．

∵∠B=30°，∠BCA=45°，

∴∠CAD=∠B+∠BCA=75°．

在Rt△ACD中，AC=4，∠CAD=75°，

∴AD=AC?cos∠CAD=4cos75°=4×6-24=6-2，

CD=AC?sin∠CAD=4sin75°=4×【解析】過點C作CD⊥AB，交BA的延長線于D，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出∠CAD=∠B+∠BCA=75°.解Rt△ACD，求出AD，CD，解Rt△BCD，求出BD，那么AB=BD-AD，即可解題．

本題考查了解直角三角形，特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)條件作出輔助線構(gòu)造直角三角形，求出BD與AD的長是解題的關(guān)鍵．

20.【答案】解：(1)由題意知，拋物線頂點為(5,3.2)，

設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x-5)2+3.2，將(0,0.7)代入得：

0.7=25a+3.2，

解得a=-110，

∴y=-110(x-5)2+3.2=-110x2+x+710，

答：拋物線的表達(dá)式為y=-110x2+x+710；【解析】(1)由拋物線頂點(5,3.2)，設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x-5)2+3.2，用待定系數(shù)法可得拋物線的表達(dá)式為y=-110x2+x+710；

(2)當(dāng)y=1.6時，-121.【答案】解：(1)如圖③，在Rt△AOC中，OA=24，∠OAC=30°．

∴OC=12OA=12×24=12cm；

(2)如圖④，過點B'作B'D⊥AC，垂足為D，過點O作OE⊥B'D，垂足為E，

由題意得，OA=OB'=24，

當(dāng)顯示屏的邊緣線OB'與水平線的夾角仍保持120°，看可得，∠AOB'=150°

∴∠B'OE=60°，

∵∠ACO=∠B'EO=90°，

∴在Rt△△B'OE中，B'E=OB'×sin60°=123，

又∵OC=DE=12，

∴B'D=B'E+DE=12+123，

即：點【解析】(1)解Rt△AOC即可求出OC的長；

(2)求出∠B'OE=60°，在Rt△△B'OE中求出B'E，進(jìn)而求出B'D．

本題考查解直角三角形，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提，構(gòu)造直角三角形是常用的方法．

22.【答案】解：(1)設(shè)函數(shù)解析式為y=kx+b，由題意得：

60k+b=20080k+b=100，

解得：k=-5b=500，

∴y=-5x+500，

當(dāng)y=0時，-5x+500=0，

∴x=100，

∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-5x+500(50<x<100)；

(2)設(shè)銷售利潤為w元，

w=(x-50)(-5x+500)=-5x2+750x-25000=-5(x-75)2+3125，

∵拋物線開口向下，

∴50<x<100，

∴當(dāng)x=75時，w有最大值，是3125，【解析】(1)可用待定系數(shù)法來確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)圖象可得x的取值范圍即可；

(2)根據(jù)利潤=銷售量×單件的利潤，然后將(1)中的函數(shù)式代入其中，求出利潤和銷售單件之間的關(guān)系式，然后根據(jù)其性質(zhì)來判斷出最大利潤．

本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值問題，在本題中，還需注意的是自變量的取值范圍．

23.【答案】解：(1)過B作BF/?/AD，過A過AF⊥AD，兩直線交于F，過B作BE垂直地面交地面于E，如圖：

根據(jù)題知∠ABF=∠DAB=30°，

∴AF=12AB=135m，

∵BC的坡度i=1：2.4，

∴BE：CE=1：2.4，

設(shè)BE=t?m，則CE=2.4t?m，

∵BE2+CE2=BC2，

∴t2+(2.4t)2=2602，

解得t=100，(負(fù)值已舍去)，

∴h=AF+BE=235

m，

答：該滑雪場的高度h為235m；

(2)設(shè)甲種設(shè)備每小時的造雪量是xm3，則乙種設(shè)備每小時的造雪量是(x+35)m3【解析】(1)過B作BF/?/AD，過A過AF⊥AD，兩直線交于F，過B作BE垂直地面交地面于E，根據(jù)題知∠ABF=∠DAB=30°，可得AF=12AB=135m，由BC的坡度i=1：2.4，設(shè)BE=t?m，則CE=2.4tm，可得t2+(2.4t)2=2602，即可得h=AF+BE=235?m；

(2)設(shè)甲種設(shè)備每小時的造雪量是xm24.【答案】(1)∵拋物線y=x2+bx+c(b,c是常數(shù))的頂點為C，與x軸交于A，B兩點，A(1,0)，AB=4，

∴B(-3,0)，

∴1+b+c=09-3b+c=0，

解得b=2c=-3，

∴拋物線的解析式