高三數(shù)學一輪復習五層訓練(新高考地區(qū))第13練函數(shù)模型及應用(原卷版+解析)

第13練函數(shù)模型及應用一、課本變式練1.（人A必修一P95習題3.4T3變式）某市出租車收費標準如下：起步價為8元,起步里程為（不超過按起步價付費）；超過但不超過時,超過部分按每千米2.15元收費；超過時,超過部分按每千米2.85元收費,另每次乘坐需付燃油附加費1元,下列結(jié)論正確的是（

）A．出租車行駛,乘客需付費8元B．出租車行駛,乘客需付費9.6元C．出租車行駛,乘客需付費25.45元D．某人兩次乘出租車均行駛的費用之和超過他乘出租車行駛一次的費用2.（人A必修一P155習題4.5T9變式）浮萍是我國南方常見的一種水生植物,生長速度非常快．最快每30個小時浮萍鋪在水面的面積就可以擴大為原來的2倍．李大爺承包了一塊面積為3畝（1畝≈666.7平方米）的魚塘,為養(yǎng)殖草魚購買了一些浮萍．最初,浮萍鋪在水面上大約有1平方米,如果浮萍始終以最高效繁殖,大約（

）天后,浮萍可以鋪滿整個魚塘．（不考慮草魚對浮萍的損耗．結(jié)果四舍五入到整數(shù),參考數(shù)據(jù)：）A．12 B．14 C．16 D．183.（人A必修一P95習題3.4T4變式）圖（1）是某條公共汽車線路收支差額關于乘客量的圖象.由于目前本條線路虧損,公司有關人員提出了兩種扭虧為盈的建議,如圖（2）（3）所示,請你根據(jù)圖象,說明這兩種建議.圖（2）的建議是________________________.；圖（3）的建議是________________________.

（1）

（2）

（3）4.（人A必修一P155習題4.5T14變式）某地區(qū)的一種特色水果上市時間個月中,預測上市初期和后期會因供不應求使價格呈連續(xù)上漲態(tài)勢,而中期又將出現(xiàn)供大于求使價格連續(xù)下跌,現(xiàn)有三種價格模擬函數(shù):①②③(以上三式中均為非零常數(shù),.)(1)為準確研究其價格走勢,應選哪種價格模擬函數(shù),為什么?(2)若求出所選函數(shù)的解析式(注：函數(shù)的定義域是,其中表示月份,表示月份,,以此類推),為保證果農(nóng)的收益,打算在價格在元以下期間積極拓寬外銷渠道,請你預測該水果在哪幾個月份要采用外銷策略？二、考點分類練(一)用函數(shù)圖象刻畫變化過程5．高為H,滿缸水量為V的魚缸的軸截面如圖所示,其底部破了一個小洞,滿缸水從洞中流出,若魚缸水深為h時水的體積為v,則函數(shù)v＝f(h)的大致圖象是()6．設甲、乙兩地的距離為a(a>0),小王騎自行車勻速從甲地到乙地用了20分鐘,在乙地休息10分鐘后,他又勻速從乙地返回到甲地用了30分鐘,則小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過的路程y和其所用的時間x的函數(shù)圖象為()7.（多選）某醫(yī)藥研究機構(gòu)開發(fā)了一種新藥,據(jù)監(jiān)測,如果患者每次按規(guī)定的劑量注射該藥物,注射后每毫升血液中的含藥量y（微克）與時間t（小時）之間的關系近似滿足如圖所示的曲線．據(jù)進一步測定,當每毫升血液中含藥量不少于0.125微克時,治療該病有效,則（

）A．B．注射一次治療該病的有效時間長度為6小時C．注射該藥物小時后每毫升血液中的含藥量為0.4微克D．注射一次治療該病的有效時間長度為時(二)一次函數(shù)與二次函數(shù)模型8．（多選）某雜志以每冊元的價格發(fā)行時,發(fā)行量為萬冊.經(jīng)過調(diào)查,若單冊價格每提高元,則發(fā)行量就減少冊.要該雜志銷售收入不少于萬元,每冊雜志可以定價為（

）A．元 B．元C．元 D．元9.（多選）（2022屆海南華僑中學高三月考）某單位在國家科研部門的支持下,進行技術(shù)攻關,采用了新工藝,把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為400噸,最多為600噸,月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關系可近似地表示為y=x2-200x+80000,且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價值為100元.以下判斷正確的是（

）A．該單位每月處理量為400噸時,才能使每噸的平均處理成本最低B．該單位每月最低可獲利20000元C．該單位每月不獲利,也不虧損D．每月需要國家至少補貼40000元才能使該單位不虧損(三)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)模型10．（2022屆四川省涼山州高三第三次診斷）某大型露天體育場館為了倡導綠色可循環(huán)的理念,使整個系統(tǒng)的碳排放量接近于0,場館配備了先進的污水、雨水過濾系統(tǒng)．已知過濾過程中廢水的污染排放量N（mg/L）與時間t的關系為（為最初污染物數(shù)量）,如果前3個小時清除了30%的污染物,那么污染物清除至最初的49%還需要（

）小時．A．9 B．6 C．4 D．311.（2022屆河南省新鄉(xiāng)市高三第三次模擬）中國的5G技術(shù)領先世界,5G技術(shù)的數(shù)學原理之一便是著名的香農(nóng)公式：.它表示,在受噪音干擾的信道中,最大信息傳遞速度C取決于信道帶寬W,信道內(nèi)信號的平均功率S,信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小,其中叫作信噪比.當信噪比比較大時,公式中真數(shù)里面的1可以忽略不計.按照香農(nóng)公式,增加帶寬,提高信號功率和降低噪聲功率都可以提升信息傳遞速度,若在信噪比為1000的基礎上,將帶寬W增大到原來的2倍,信號功率S增大到原來的10倍,噪聲功率N減小到原來的,則信息傳遞速度C大約增加了（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．87% B．123% C．156% D．213%(四)分式函數(shù)與分段函數(shù)模型12.旅行社為某旅游團租飛機旅游,其中旅行社的包機費為15000元．旅游團中每人的飛機票按以下方式與旅行社結(jié)算：若旅游團的人數(shù)不超過35人,則飛機票每張收費800元；若旅游團的人數(shù)多于35人,則給予優(yōu)惠,每多1人,機票每張少收10元,但旅游團的人數(shù)不超過60人．設該旅游團的人數(shù)為人,飛機票總費用為元,旅行社從飛機票中獲得的利潤為元,當旅游團的人數(shù)_____________時,旅行社從飛機票中可獲得最大利潤．13.（2022屆山東省高三12月聯(lián)考）根據(jù)市場調(diào)查,某種商品在最近30天內(nèi)的價格（單位：元/件）?日銷售量單位：件）與時間（單位：天）的關系分別是(1)求該商品的日銷售額（單位：元）與時間之間的函數(shù)關系式；(2)求這種商品的日銷售額的最大值.注：日銷售額=銷售量價格.三、最新模擬練14．（2022屆廣東省華附、省實、廣雅、深中高三四校聯(lián)考）聲強級（單位：）與聲強的函數(shù)關系式為：,若女高音的聲強級是,普通女性的聲強級為,則女高音聲強是普通女性聲強的（

）A．10倍 B．100倍 C．1000倍 D．10000倍15.（2022屆云南省三校高三下學期聯(lián)考）新冠肺炎疫情防控中,核酸檢測是新冠肺炎確診的有效快捷手段．某醫(yī)院在成為新冠肺炎核酸檢測定點醫(yī)院并開展檢測工作的第n天,每個檢測對象從接受檢測到檢測報告生成平均耗時t（n）（單位：小時）大致服從的關系為（,為常數(shù)）．已知第16天檢測過程平均耗時為16小時,第64天（n）和第81天檢測過程平均耗時均為8小時,那么可得到第36天檢測過程平均耗時大致為（

）A．12小時 B．11小時 C．10小時 D．9小時16.（2022屆江西省高三二模）茶文化起源于中國,中國飲茶據(jù)說始于神農(nóng)時代．現(xiàn)代研究結(jié)果顯示,飲茶溫度最好不要超過．一杯茶泡好后置于室內(nèi),1分鐘、2分鐘后測得這杯茶的溫度分別為,,給出三個茶溫T（單位：）關于茶泡好后置于室內(nèi)時間t（單位：分鐘）的函數(shù)模型：①；②；③．根據(jù)生活常識,從這三個函數(shù)模型中選擇一個,模擬茶溫T（單位：）關于茶泡好后置于室內(nèi)時間t（單位：分鐘）的關系,并依此計算該杯茶泡好后到飲用至少需要等待的時間為（參考數(shù)據(jù)）（

）A．2.72分鐘 B．2.82分鐘C．2.92分鐘 D．3.02分鐘17.（多選）（2022屆河北省深州市長江中學高三上學期期中）地震震級根據(jù)地震儀記錄的地震波振幅來測定,一般采用里氏震級標準．里氏震級的計算公式為（其中常數(shù)是距震中100公里處接收到的0級地震的地震波的最大振幅,是指我們關注的這次地震在距震中100公里處接收到的地震波的最大振幅）．地震的能量（單位：焦耳）是指當?shù)卣鸢l(fā)生時,以地震波的形式放出的能量．已知,其中為地震震級．下列說法正確的是（

）．A．若地震震級增加1級,則最大振幅增加到原來的10倍B．若地震震級增加1級,則放出的能量增加到原來的10倍C．若最大振幅增加到原來的100倍,則放出的能量也增加到原來的100倍D．若最大振幅增加到原來的100倍,則放出的能量增加到原來的1000倍18.（2022屆江西省南昌市高三第二次模擬）交通信號燈由紅燈、綠燈、黃燈組成,紅燈表示禁止通行,綠燈表示準許通行,黃燈表示警示,黃燈設置的時長與路口寬度、限定速度、停車距離有關．經(jīng)過安全數(shù)據(jù)統(tǒng)計,駕駛員反應距離（單位：m）關于車速v（單位：）的函數(shù)模型為；剎車距離（單位：m）關于車速v（單位：）的函數(shù)模型為,反應距離與剎車距離之和稱為停車距離,在某個十字路口標示小汽車最大限速（約）,路口寬度為,如果只考慮小車通行安全,黃燈亮的時間是允許最大限速的車輛離停車線距離小于停車距離的汽車通過十字路口,那么信號燈的黃燈至少要亮____________s（保留兩位有效數(shù)字）．19.（2022屆百校聯(lián)盟高三上學期12月聯(lián)考）碳14年代檢測方法是指通過測定被測物中碳14的含量,并通過該含量來推測被測物的大致年齡的方法．已知被測物中碳14的質(zhì)量N隨時間t（單位：年）的衰變規(guī)律滿足（表示碳14原有的質(zhì)量）．2021年3月23日,四川省文物考古研究院聯(lián)合北京大學對三星堆4號坑年代,使用碳14年代檢測方法進行了分析.經(jīng)過測定,被測物中碳14的質(zhì)量約是原來的,據(jù)此推測三星堆4號坑距今約______年（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù),）20.（2022屆北京市育才學校高三12月月考）某生物種群的數(shù)量Q與時間t的關系近似地符合.給出下列四個結(jié)論：①該生物種群的數(shù)量不會超過10；②該生物種群數(shù)量的增長速度先逐漸變大后逐漸變小；③該生物種群數(shù)量的增長速度與種群數(shù)量成正比；④該生物種群數(shù)量的增長速度最大的時間.根據(jù)上述關系式,其中所有正確結(jié)論的序號是__________.21.（2022屆安徽省皖淮市級知名高中高三上學期12月聯(lián)考）新能源汽車是指除汽油、柴油發(fā)動機之外的所有其他能源汽車,被認為能減少空氣污染和緩解能源短缺的壓力．在當今提倡全球環(huán)保的前提下,新能源汽車越來越受到消費者的青睞,新能源汽車產(chǎn)業(yè)也必將成為未來汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展的導向與目標．某企業(yè)計劃引進新能源汽車生產(chǎn)設備,生產(chǎn)某款新能源汽車．生產(chǎn)此款新能源汽車預計全年需投入固定成本4500萬元,每生產(chǎn)x百輛該新能源汽車,需另投入成本萬元,且fx=(1)求生產(chǎn)該新能源汽車的年利潤y（萬元）關于年產(chǎn)量x（百輛）的函數(shù)關系式；(2)當年產(chǎn)量為多少百輛時,該企業(yè)的年利潤最大？最大年利潤是多少萬元？22．（2022屆河南省名校聯(lián)盟高三上學期12月考）某地準備在山谷中建一座橋梁,橋梁及山谷的豎直截面圖如圖所示,谷底為點O,為鉛垂線（在橋梁AB上）．以O為原點建立直角坐標系,左側(cè)山體曲線AO的方程為,右側(cè)山體曲線BO的方程為,其中x,y的單位均為m．現(xiàn)在谷底兩側(cè)建造平行于的橋墩CD和EF,其中C在線段上,E在線段上,且m,．(1)求CE的長；(2)為了增加橋梁的結(jié)構(gòu)強度,要在橋梁上的C,E之間找一點P,修建兩個支撐斜柱DP和FP,當最大時,求CP的長．（結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù)：）四、高考真題練23．(2021全國卷Ⅱ)青少年視力是社會普遍關注的問題,視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù),五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V的滿足．已知某同學視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4．9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為 ()()A．1．5 B．1．2 C．0．8 D．0．624．（2020新高考山東卷）基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù),世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段,可以用指數(shù)模型：描述累計感染病例數(shù)I(t)隨時間t(單位:天)的變化規(guī)律,指數(shù)增長率r與R0,T近似滿足R0=1+rT.有學者基于已有數(shù)據(jù)估計出R0=3.28,T=6.據(jù)此,在新冠肺炎疫情初始階段,累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為(ln2≈0.69)（）A.1.2天 B.1.8天C.2.5天 D.3.5天25.(2020全國卷Ⅰ)某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位：°C)的關系,在20個不同的溫度條件下進行種子發(fā)芽實驗,由實驗數(shù)據(jù)得到下面的散點圖：由此散點圖,在10°C至40°C之間,下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是 ()AB．C．D．26．(2020全國卷Ⅲ卷)Logistic模型是常用數(shù)學模型之一,可應用于流行病學領城．有學者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：,其中K為最大確診病例數(shù)．當I()=0．95K時,標志著已初步遏制疫情,則約為 ()(ln19≈3)A．60 B．63 C．66 D．69五、綜合提升練27.咖啡產(chǎn)品的經(jīng)營和銷售如何在中國開拓市場是星巴克、漫咖啡等歐美品牌一直在探索的內(nèi)容,而2018年至今中國咖啡行業(yè)的發(fā)展實踐證明了以優(yōu)質(zhì)的原材料供應以及大量優(yōu)惠券、買贈活動吸引消費者無疑是開拓中國咖啡市場最有效的方式之一.若某品牌的某種在售咖啡產(chǎn)品價格為30元/杯,其原材料成本為7元/杯,營銷成本為5元/杯,且該品牌門店提供如下4種優(yōu)惠方式：（1）首杯免單,每人限用一次；（2）3.8折優(yōu)惠券,每人限用一次；（3）買2杯送2杯,每人限用兩次；（4）買5杯送5杯,不限使用人數(shù)和使用次數(shù).每位消費者都可以在以上4種優(yōu)惠方式中選擇不多于2種使用.現(xiàn)在某個公司有5位后勤工作人員去該品牌門店幫每位技術(shù)人員購買1杯咖啡,購買杯數(shù)與技術(shù)人員人數(shù)須保持一致；請問,這個公司的技術(shù)人員不少于（

）人時,無論5位后勤人員采用什么樣的優(yōu)惠方式購買咖啡,這筆訂單該品牌門店都能保證盈利.A．28 B．29 C．30 D．3128.（2022屆北京市第二十二中學高三月考）長江流域水庫群的修建和聯(lián)合調(diào)度,極大地降低了洪澇災害風險,發(fā)揮了重要的防洪減災效益．每年洪水來臨之際,為保證防洪需要、降低防洪風險,水利部門需要在原有蓄水量的基礎上聯(lián)合調(diào)度,統(tǒng)一蓄水,用蓄滿指數(shù)（蓄滿指數(shù)=（水庫實際蓄水量）÷（水庫總蓄水量）×100）來衡量每座水庫的水位情況．假設某次聯(lián)合調(diào)度要求如下：（?。┱{(diào)度后每座水庫的蓄滿指數(shù)仍屬于區(qū)間；（ⅱ）調(diào)度后每座水庫的蓄滿指數(shù)都不能降低；（ⅲ）調(diào)度前后,各水庫之間的蓄滿指數(shù)排名不變．記x為調(diào)度前某水庫的蓄滿指數(shù),y為調(diào)度后該水庫的蓄滿指數(shù),給出下面四個y關于x的函數(shù)解析式：①；②；③；④．則滿足此次聯(lián)合調(diào)度要求的函數(shù)解析式的序號是__________．29.（2022屆安徽省亳州市高三上學期期末）如圖所示,兩村莊和相距,現(xiàn)計劃在兩村莊外以為直徑的半圓弧上選擇一點建造自來水廠,并沿線段和鋪設引水管道.根據(jù)調(diào)研分析,段的引水管道造價為萬元,段的引水管道造價為萬元,設,鋪設引水管道的總造價為萬元,且已知當自來水廠建在半圓弧的中點時,.(1)求的值,并將表示為的函數(shù)；(2)分析是否存在最大值,若存在,求出最大值,若不存在,請說明理由.30.（2022屆上海市進才中學高三3月月考）某企業(yè)參加項目生產(chǎn)的工人為人,平均每人每年創(chuàng)造利潤萬元.根據(jù)現(xiàn)實的需要,從項目中調(diào)出人參與項目的售后服務工作,每人每年可以創(chuàng)造利潤萬元（）,項目余下的工人每人每年創(chuàng)造利圖需要提高（1）若要保證項目余下的工人創(chuàng)造的年總利潤不低于原來名工人創(chuàng)造的年總利潤,則最多調(diào)出多少人參加項目從事售后服務工作？（2）在（1）的條件下,當從項目調(diào)出的人數(shù)不能超過總?cè)藬?shù)的時,才能使得項目中留崗工人創(chuàng)造的年總利潤始終不低于調(diào)出的工人所創(chuàng)造的年總利潤,求實數(shù)的取值范圍.第13練函數(shù)模型及應用一、課本變式練1.（人A必修一P95習題3.4T3變式）某市出租車收費標準如下：起步價為8元,起步里程為（不超過按起步價付費）；超過但不超過時,超過部分按每千米2.15元收費；超過時,超過部分按每千米2.85元收費,另每次乘坐需付燃油附加費1元,下列結(jié)論正確的是（

）A．出租車行駛,乘客需付費8元B．出租車行駛,乘客需付費9.6元C．出租車行駛,乘客需付費25.45元D．某人兩次乘出租車均行駛的費用之和超過他乘出租車行駛一次的費用【答案】CD【解析】對于A：出租車行駛,乘客需付起步價8元和燃油附加費1元,共9元,故A錯誤；對于B：出租車行駛,乘客需付費8+2.15+1=11.15元,故B錯誤；對于C：出租車行駛,乘客需付費元,故C正確；對于D：某人兩次乘出租車均行駛的費用之和為元,一次行駛的費用為25.45元,,故D正確.故選CD2.（人A必修一P155習題4.5T9變式）浮萍是我國南方常見的一種水生植物,生長速度非常快．最快每30個小時浮萍鋪在水面的面積就可以擴大為原來的2倍．李大爺承包了一塊面積為3畝（1畝≈666.7平方米）的魚塘,為養(yǎng)殖草魚購買了一些浮萍．最初,浮萍鋪在水面上大約有1平方米,如果浮萍始終以最高效繁殖,大約（

）天后,浮萍可以鋪滿整個魚塘．（不考慮草魚對浮萍的損耗．結(jié)果四舍五入到整數(shù),參考數(shù)據(jù)：）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】B【解析】由題,魚塘面積共平方米,浮萍天后在水面上的面積大約有平方米,故浮萍鋪滿整個魚塘的天數(shù)滿足,兩邊取對數(shù)化簡有,解得,故大約14天后,浮萍可以鋪滿整個魚塘,故選B3.（人A必修一P95習題3.4T4變式）圖（1）是某條公共汽車線路收支差額關于乘客量的圖象.由于目前本條線路虧損,公司有關人員提出了兩種扭虧為盈的建議,如圖（2）（3）所示,請你根據(jù)圖象,說明這兩種建議.圖（2）的建議是________________________.；圖（3）的建議是________________________.

（1）

（2）

（3）【答案】

壓縮公共汽車線路運營成本

提高乘客的乘車費用【解析】圖（2）知：直線向上平移,故此方案是通過壓縮公共汽車線路運營成本減少虧損；圖（3）知：直線的斜率變大,故此方案是通過提高乘客的乘車費用減少虧損.故答案為：壓縮公共汽車線路運營成本,提高乘客的乘車費用.4.（人A必修一P155習題4.5T14變式）某地區(qū)的一種特色水果上市時間個月中,預測上市初期和后期會因供不應求使價格呈連續(xù)上漲態(tài)勢,而中期又將出現(xiàn)供大于求使價格連續(xù)下跌,現(xiàn)有三種價格模擬函數(shù):①②③(以上三式中均為非零常數(shù),.)(1)為準確研究其價格走勢,應選哪種價格模擬函數(shù),為什么?(2)若求出所選函數(shù)的解析式(注：函數(shù)的定義域是,其中表示月份,表示月份,,以此類推),為保證果農(nóng)的收益,打算在價格在元以下期間積極拓寬外銷渠道,請你預測該水果在哪幾個月份要采用外銷策略？【解析】(1)對于①,函數(shù)是單調(diào)函數(shù),不符合題意,對于②,二次函數(shù)的圖象不具備先上升,后下降,再上升的特點,不符合題意,對于③,當時,函數(shù)在上的圖象是上升的,在上的圖象是下降的,在上的圖象是上升的,滿足題設條件,應選③.(2)依題意,,解得,則,由,即,而,解得,所以該水果在第月份應該采取外銷策略.二、考點分類練(一)用函數(shù)圖象刻畫變化過程5．高為H,滿缸水量為V的魚缸的軸截面如圖所示,其底部破了一個小洞,滿缸水從洞中流出,若魚缸水深為h時水的體積為v,則函數(shù)v＝f(h)的大致圖象是()【答案】B【解析】v＝f(h)是增函數(shù),且曲線的斜率應該是先變大后變小,故選B.6．設甲、乙兩地的距離為a(a>0),小王騎自行車勻速從甲地到乙地用了20分鐘,在乙地休息10分鐘后,他又勻速從乙地返回到甲地用了30分鐘,則小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過的路程y和其所用的時間x的函數(shù)圖象為()【答案】D【解析】y為“小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過的路程”而不是位移,故排除A,C.又因為小王在乙地休息10分鐘,故排除B,故選D.7.（多選）某醫(yī)藥研究機構(gòu)開發(fā)了一種新藥,據(jù)監(jiān)測,如果患者每次按規(guī)定的劑量注射該藥物,注射后每毫升血液中的含藥量y（微克）與時間t（小時）之間的關系近似滿足如圖所示的曲線．據(jù)進一步測定,當每毫升血液中含藥量不少于0.125微克時,治療該病有效,則（

）A．B．注射一次治療該病的有效時間長度為6小時C．注射該藥物小時后每毫升血液中的含藥量為0.4微克D．注射一次治療該病的有效時間長度為時【答案】AD【解析】由函數(shù)圖象可知,當時,,即,解得,,故正確,藥物剛好起效的時間,當,即,藥物剛好失效的時間,解得,故藥物有效時長為小時,藥物的有效時間不到6個小時,故錯誤,正確；注射該藥物小時后每毫升血液含藥量為微克,故錯誤,故選．(二)一次函數(shù)與二次函數(shù)模型8．（多選）某雜志以每冊元的價格發(fā)行時,發(fā)行量為萬冊.經(jīng)過調(diào)查,若單冊價格每提高元,則發(fā)行量就減少冊.要該雜志銷售收入不少于萬元,每冊雜志可以定價為（

）A．元 B．元C．元 D．元【答案】BC【解析】【分析】依題意可知,要使該雜志銷售收入不少于萬元,只能提高銷售價,設每冊雜志定價為元,則發(fā)行量為萬冊,則該雜志銷售收入為萬元,所以,化簡得,解得,故選BC9.（多選）（2022屆海南華僑中學高三月考）某單位在國家科研部門的支持下,進行技術(shù)攻關,采用了新工藝,把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為400噸,最多為600噸,月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關系可近似地表示為y=x2-200x+80000,且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價值為100元.以下判斷正確的是（

）A．該單位每月處理量為400噸時,才能使每噸的平均處理成本最低B．該單位每月最低可獲利20000元C．該單位每月不獲利,也不虧損D．每月需要國家至少補貼40000元才能使該單位不虧損【答案】AD【解析】由題意可知,二氧化碳每噸的平均處理成本為,當且僅當,即時等號成立,故該單位每月處理量為400噸時,才能使每噸的平均處理成本最低,最低成本為200元,故A正確；設該單位每月獲利為S元,則,因為,所以.故該單位每月不獲利,需要國家每月至少補貼40000元才能不虧損,故D正確,BC錯誤,故選AD(三)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)模型10．（2022屆四川省涼山州高三第三次診斷）某大型露天體育場館為了倡導綠色可循環(huán)的理念,使整個系統(tǒng)的碳排放量接近于0,場館配備了先進的污水、雨水過濾系統(tǒng)．已知過濾過程中廢水的污染排放量N（mg/L）與時間t的關系為（為最初污染物數(shù)量）,如果前3個小時清除了30%的污染物,那么污染物清除至最初的49%還需要（

）小時．A．9 B．6 C．4 D．3【答案】D【解析】由題意可得,即,設,則,所以,所以污染物清除至最初的49%還需要3小時,故選D11.（2022屆河南省新鄉(xiāng)市高三第三次模擬）中國的5G技術(shù)領先世界,5G技術(shù)的數(shù)學原理之一便是著名的香農(nóng)公式：.它表示,在受噪音干擾的信道中,最大信息傳遞速度C取決于信道帶寬W,信道內(nèi)信號的平均功率S,信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小,其中叫作信噪比.當信噪比比較大時,公式中真數(shù)里面的1可以忽略不計.按照香農(nóng)公式,增加帶寬,提高信號功率和降低噪聲功率都可以提升信息傳遞速度,若在信噪比為1000的基礎上,將帶寬W增大到原來的2倍,信號功率S增大到原來的10倍,噪聲功率N減小到原來的,則信息傳遞速度C大約增加了（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．87% B．123% C．156% D．213%【答案】D【解析】提升前的信息傳遞速度,提升后的信息傳遞速度,所以信息傳遞速度C大約增加了.故選D(四)分式函數(shù)與分段函數(shù)模型12.旅行社為某旅游團租飛機旅游,其中旅行社的包機費為15000元．旅游團中每人的飛機票按以下方式與旅行社結(jié)算：若旅游團的人數(shù)不超過35人,則飛機票每張收費800元；若旅游團的人數(shù)多于35人,則給予優(yōu)惠,每多1人,機票每張少收10元,但旅游團的人數(shù)不超過60人．設該旅游團的人數(shù)為人,飛機票總費用為元,旅行社從飛機票中獲得的利潤為元,當旅游團的人數(shù)_____________時,旅行社從飛機票中可獲得最大利潤．【答案】或【解析】依題意,得則旅行社的利潤當且時,；當且時,,當或時,最大,最大為18060．綜上,當或時,旅行社可獲最大利潤．13.（2022屆山東省高三12月聯(lián)考）根據(jù)市場調(diào)查,某種商品在最近30天內(nèi)的價格（單位：元/件）?日銷售量單位：件）與時間（單位：天）的關系分別是(1)求該商品的日銷售額（單位：元）與時間之間的函數(shù)關系式；(2)求這種商品的日銷售額的最大值.注：日銷售額=銷售量價格.【解析】(1).(2)令.當且時,,故當時,取得最大值,即；當且時,,因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,又當且時,,所以.因為,因此,這種商品的日銷售額的最大值為2100元.三、最新模擬練14．（2022屆廣東省華附、省實、廣雅、深中高三四校聯(lián)考）聲強級（單位：）與聲強的函數(shù)關系式為：,若女高音的聲強級是,普通女性的聲強級為,則女高音聲強是普通女性聲強的（

）A．10倍 B．100倍 C．1000倍 D．10000倍【答案】C【解析】設女高音聲強為,普通女性聲強為,則,所以①,,所以②,則①÷②得：,故女高音聲強是普通女性聲強的1000倍.故選C15.（2022屆云南省三校高三下學期聯(lián)考）新冠肺炎疫情防控中,核酸檢測是新冠肺炎確診的有效快捷手段．某醫(yī)院在成為新冠肺炎核酸檢測定點醫(yī)院并開展檢測工作的第n天,每個檢測對象從接受檢測到檢測報告生成平均耗時t（n）（單位：小時）大致服從的關系為（,為常數(shù)）．已知第16天檢測過程平均耗時為16小時,第64天（n）和第81天檢測過程平均耗時均為8小時,那么可得到第36天檢測過程平均耗時大致為（

）A．12小時 B．11小時 C．10小時 D．9小時【答案】B【解析】由第64天和第81天檢測過程平均耗時均為8小時知,,所以,得,又由得,所以當時,,故選B．16.（2022屆江西省高三二模）茶文化起源于中國,中國飲茶據(jù)說始于神農(nóng)時代．現(xiàn)代研究結(jié)果顯示,飲茶溫度最好不要超過．一杯茶泡好后置于室內(nèi),1分鐘、2分鐘后測得這杯茶的溫度分別為,,給出三個茶溫T（單位：）關于茶泡好后置于室內(nèi)時間t（單位：分鐘）的函數(shù)模型：①；②；③．根據(jù)生活常識,從這三個函數(shù)模型中選擇一個,模擬茶溫T（單位：）關于茶泡好后置于室內(nèi)時間t（單位：分鐘）的關系,并依此計算該杯茶泡好后到飲用至少需要等待的時間為（參考數(shù)據(jù)）（

）A．2.72分鐘 B．2.82分鐘C．2.92分鐘 D．3.02分鐘【答案】B【解析】依據(jù)生活常識,茶溫一般不會低于室內(nèi)溫度,因此選擇模型③,得到解得因此．故選B17.（多選）（2022屆河北省深州市長江中學高三上學期期中）地震震級根據(jù)地震儀記錄的地震波振幅來測定,一般采用里氏震級標準．里氏震級的計算公式為（其中常數(shù)是距震中100公里處接收到的0級地震的地震波的最大振幅,是指我們關注的這次地震在距震中100公里處接收到的地震波的最大振幅）．地震的能量（單位：焦耳）是指當?shù)卣鸢l(fā)生時,以地震波的形式放出的能量．已知,其中為地震震級．下列說法正確的是（

）．A．若地震震級增加1級,則最大振幅增加到原來的10倍B．若地震震級增加1級,則放出的能量增加到原來的10倍C．若最大振幅增加到原來的100倍,則放出的能量也增加到原來的100倍D．若最大振幅增加到原來的100倍,則放出的能量增加到原來的1000倍【答案】AD【解析】因為,所以,故A正確；因為,所以B錯誤；因為,,所以C錯誤,D正確．故選AD18.（2022屆江西省南昌市高三第二次模擬）交通信號燈由紅燈、綠燈、黃燈組成,紅燈表示禁止通行,綠燈表示準許通行,黃燈表示警示,黃燈設置的時長與路口寬度、限定速度、停車距離有關．經(jīng)過安全數(shù)據(jù)統(tǒng)計,駕駛員反應距離（單位：m）關于車速v（單位：）的函數(shù)模型為；剎車距離（單位：m）關于車速v（單位：）的函數(shù)模型為,反應距離與剎車距離之和稱為停車距離,在某個十字路口標示小汽車最大限速（約）,路口寬度為,如果只考慮小車通行安全,黃燈亮的時間是允許最大限速的車輛離停車線距離小于停車距離的汽車通過十字路口,那么信號燈的黃燈至少要亮____________s（保留兩位有效數(shù)字）．【答案】【解析】依題意當小汽車最大限速（約）時,反應距離,剎車距離,所以停車距離為,又路口寬度為,所以,所以時間19.（2022屆百校聯(lián)盟高三上學期12月聯(lián)考）碳14年代檢測方法是指通過測定被測物中碳14的含量,并通過該含量來推測被測物的大致年齡的方法．已知被測物中碳14的質(zhì)量N隨時間t（單位：年）的衰變規(guī)律滿足（表示碳14原有的質(zhì)量）．2021年3月23日,四川省文物考古研究院聯(lián)合北京大學對三星堆4號坑年代,使用碳14年代檢測方法進行了分析.經(jīng)過測定,被測物中碳14的質(zhì)量約是原來的,據(jù)此推測三星堆4號坑距今約______年（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù),）【答案】3094【解析】根據(jù)題意,,故可得,則又,故（年）.20.（2022屆北京市育才學校高三12月月考）某生物種群的數(shù)量Q與時間t的關系近似地符合.給出下列四個結(jié)論：①該生物種群的數(shù)量不會超過10；②該生物種群數(shù)量的增長速度先逐漸變大后逐漸變??；③該生物種群數(shù)量的增長速度與種群數(shù)量成正比；④該生物種群數(shù)量的增長速度最大的時間.根據(jù)上述關系式,其中所有正確結(jié)論的序號是__________.【答案】①②④【解析】,因為,故,,故該生物種群的數(shù)量不會超過10,①正確；由,顯然該生物種群數(shù)量的增長速度與種群數(shù)量不成正比,③錯；因為為對勾函數(shù)模型,故,當且僅當時取到等號,故整體先增加后減小,當時,最大,故②④正確,綜上所述,①②④正確21.（2022屆安徽省皖淮市級知名高中高三上學期12月聯(lián)考）新能源汽車是指除汽油、柴油發(fā)動機之外的所有其他能源汽車,被認為能減少空氣污染和緩解能源短缺的壓力．在當今提倡全球環(huán)保的前提下,新能源汽車越來越受到消費者的青睞,新能源汽車產(chǎn)業(yè)也必將成為未來汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展的導向與目標．某企業(yè)計劃引進新能源汽車生產(chǎn)設備,生產(chǎn)某款新能源汽車．生產(chǎn)此款新能源汽車預計全年需投入固定成本4500萬元,每生產(chǎn)x百輛該新能源汽車,需另投入成本萬元,且fx=(1)求生產(chǎn)該新能源汽車的年利潤y（萬元）關于年產(chǎn)量x（百輛）的函數(shù)關系式；(2)當年產(chǎn)量為多少百輛時,該企業(yè)的年利潤最大？最大年利潤是多少萬元？【解析】(1)當時,生產(chǎn)該新能源汽車的年利潤；當時,生產(chǎn)該新能源汽車的年利潤．綜上,生產(chǎn)該新能源汽車的年利潤；(2)當時,,則當時,（萬元）；當時,,當且僅當,即時,（萬元）．因為,所以當年產(chǎn)量為200百輛時,該企業(yè)的年利潤最大,最大年利潤是1600萬元．22．（2022屆河南省名校聯(lián)盟高三上學期12月考）某地準備在山谷中建一座橋梁,橋梁及山谷的豎直截面圖如圖所示,谷底為點O,為鉛垂線（在橋梁AB上）．以O為原點建立直角坐標系,左側(cè)山體曲線AO的方程為,右側(cè)山體曲線BO的方程為,其中x,y的單位均為m．現(xiàn)在谷底兩側(cè)建造平行于的橋墩CD和EF,其中C在線段上,E在線段上,且m,．(1)求CE的長；(2)為了增加橋梁的結(jié)構(gòu)強度,要在橋梁上的C,E之間找一點P,修建兩個支撐斜柱DP和FP,當最大時,求CP的長．（結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù)：）【解析】(1)對于曲線OA,令得,對于曲線OB,令,得所以AB所在直線的方程為．所以點,設,因為,所以,解得或（舍去）,所以,即CE長50m．(2)由（1）可知,,,設,則,所以．令,則,當且僅當,即時取等號,此時,即當最大時,CP的長約為9.4m．四、高考真題練23．(2021全國卷Ⅱ)青少年視力是社會普遍關注的問題,視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù),五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V的滿足．已知某同學視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4．9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為 ()()A．1．5 B．1．2 C．0．8 D．0．6【答案】C【解析】由,當時,,則．故選C．24．（2020新高考山東卷）基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù),世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段,可以用指數(shù)模型：描述累計感染病例數(shù)I(t)隨時間t(單位:天)的變化規(guī)律,指數(shù)增長率r與R0,T近似滿足R0=1+rT.有學者基于已有數(shù)據(jù)估計出R0=3.28,T=6.據(jù)此,在新冠肺炎疫情初始階段,累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為(ln2≈0.69)（）A.1.2天 B.1.8天C.2.5天 D.3.5天【答案】B【解析】因,,,所以,所以,設在新冠肺炎疫情初始階段,累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間為天,則,所以,所以,所以天.故選B.25.(2020全國卷Ⅰ)某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位：°C)的關系,在20個不同的溫度條件下進行種子發(fā)芽實驗,由實驗數(shù)據(jù)得到下面的散點圖：由此散點圖,在10°C至40°C之間,下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是 ()AB．C．D．【答案】D【解析】由散點圖分布可知,散點圖分布在一個對數(shù)函數(shù)的圖象附近,因此,最適合作為發(fā)芽率和溫度的回歸方程類型的是．故選D．26．(2020全國卷Ⅲ卷)Logistic模型是常用數(shù)學模型之一,可應用于流行病學領城．有學者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：,其中K為最大確診病例數(shù)．當I()=0．95K時,標志著已初步遏制疫情,則約為 ()(ln19≈3)A．60 B．63 C．66 D．69【答案】C【解析】,所以,則,所以,,解得．故選C．五、綜合提升練27.咖啡產(chǎn)品的經(jīng)營和銷售如何在中國開拓市場是星巴克、漫咖啡等歐美品牌一直在探索的內(nèi)容,而2018年至今中國咖啡行業(yè)的發(fā)展實踐證明了以優(yōu)質(zhì)的原材料供應以及大量優(yōu)惠券、買贈活動吸引消費者無疑是開拓中國咖啡市場最有效的方式之一.若某品牌的某種在售咖啡產(chǎn)品價格為30元/杯,其原材料成本為7元/杯,營銷成本為5元/杯,且該品牌門店提供如下4種優(yōu)惠方式：（1）首杯免單,每人限用一次；（2）3.8折優(yōu)惠券,每人限用一次；（3）買2杯送2杯,每人限用兩次；（4）買5杯送5杯,不限使用人數(shù)和使用次數(shù).每位消費者都可以在以上4種優(yōu)惠方式中選擇不多于2種使用.現(xiàn)在某個公司有5位后勤工作人員去該品牌門店幫每位技術(shù)人員購買1杯咖啡,購買杯數(shù)與技術(shù)人員人數(shù)須保持一致；請問,這個公司的技術(shù)人員不少于（

）人時,無論5位后勤人員采用什么樣的優(yōu)惠方式購買咖啡,這筆訂單該品牌門店都能保證盈利.A．28 B．29 C．3