高三年級數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)知識點(diǎn)匯編

高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點(diǎn)

第一章-集合

考試內(nèi)容：集合、子集、補(bǔ)集、交集、并集.邏輯聯(lián)結(jié)詞.四種命題.充分條件和必要條件.

考試要求：

〔1〕理解集合、子集、補(bǔ)集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意義；了解屬于、包

含、相等關(guān)系的意義；掌握有關(guān)的術(shù)語和符號，并會用它們正確表示一些簡單的集合.

〔2〕理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或〃、”且〃、“非〃的含義理解四種命題及其相互關(guān)系；掌握充

分條件、必要條件及充要條件的意義.

§01.集合與簡易邏輯知識要點(diǎn)

一、知識構(gòu)造：

本章知識主要分為集合、簡單不等式的解法〔集合化簡〕、簡易邏輯三局部：

二、知識回憶：

（一）集合

1.基本概念：集合、元素；有限集、無限集；空集、全集；符號的使用.

2.集合的表示法：列舉法、描述法、圖形表示法.

集合元素的特征：確定性、互異性、無序性.

集合的性質(zhì)：

①任何一個集合是它本身的子集，記為

②空集是任何集合的子集，記為A；

③空集是任何非空集合的真子集；

如果同時BqA,那么/二區(qū)

如果BcC,那么A=

［注］:①不｛整數(shù)｝〔J〕Z=｛全體整數(shù)｝〔義〕

②集合S中/的補(bǔ)集是一個有限集，則集合A也是有限集.〔X〕〔例：S=N；A=N+,則

GA=｛0｝〕

⑤交集的補(bǔ)集是全集.

④假設(shè)集合東集合8,則取=0,醺=0G〔際=?！沧ⅲ宏?0〕.

3.①｛〔x,y〕|xy=0,xRR,*/?｝坐標(biāo)軸上的點(diǎn)集.

②｛〔x,力\xy<0,xGR,ye/?｝二、四象限的點(diǎn)集.

③｛〔x,y〕|xy>0,xGR,j/G用一、三象限的點(diǎn)集.

[注]：①對方程組解的集合應(yīng)是點(diǎn)集.

例：1x+V=3解的集合｛(2,1)｝.

[2x-3y=1

②點(diǎn)集與數(shù)集的交集是小〔例：A=｛(x,y)|y=司｝B=｛y|y=7+1)則/C8=0〕

4.①〃個元素的子集有2"個.②〃個元素的真子集有2〃一1個.③〃個元素的非空真子

集有2"-2個.

5.⑴①一個命題的否命題為真，它的逆命題一定為真.否命題O逆命題.

②一個命題為真，則它的逆否命題一定為真.原命題O逆否命題.

例：①假設(shè)0+。片5,則aw2或。K3應(yīng)是真命題.

解：逆否：a=2且6=3,則a+6=5,成立，所以此命題為真.

②xw1且y主2,jtry豐3-

解：逆否：x+jz=3=1^x=1或y=2.

.,.無H1且"2**x+yw3,故x+y23是xN1且yR2的既不是充分，又不是必要條件.

⑵小范圍推出大范圍；大范圍推不出小范圍.

3.例：假設(shè)尤>5,=>x?5g￡xY2.

4.集合運(yùn)算：交、并、補(bǔ).

5.主要性質(zhì)和運(yùn)算律

(1)包含關(guān)系：

A=A①=

AcB,BcC^>AcC;ABA,ABB;AA,A'B^B.

(2)等價關(guān)系：A^B^AB=A^AB=B^CUAB=U

(3)集合的運(yùn)算律：

交換律：AC\B=BC\A-,A\JB^B]JA

結(jié)合律：(An3)nC=An(3nC);(AU3)UC=AU(3UC)

分配律:.An(Bijc)=(AnB)u(Anc)；AU(Bnc)=(AUB)n(Auc)

0-1律：①A=O,OA^A,UA^A,UA=U

等鬲律：AP|A=A,AljA=A

求補(bǔ)律：ACCUA=QAUCUA=U,CuU=4)■Cu4)=U

反演律:Cu(AAB)=(CuA)U(CuB)Cu(AUB)=(CuA)D(CuB)

6.有限集的元素個數(shù)

定義：有限集A的元素的個數(shù)叫做集合A的基數(shù)，記為card(A)規(guī)定card(Q)=0.

基本公式：

(3)card('uA)=card(U)-card(A)

(-)含絕對值不等式、一元二次不等式的解法及延伸

1.整式不等式的解法

根軸法〔零點(diǎn)分段法〕

①將不等式化為a0(x-xi)(x-xz)…(x-x0>O(<O)形式,并將各因式x的系數(shù)化;(為

了統(tǒng)一方便)

②求根，并在數(shù)軸上表示出來；

③由右上方穿線，經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點(diǎn)〔為什么〕；

④假設(shè)不等式〔x的系數(shù)化"+〃后〕是“>0〃，則找“線〃在x軸上方的區(qū)間；假設(shè)

不等式是“<0",則找“線〃在x軸下方的區(qū)間.

〔自右向左正負(fù)相間〕

/71n2

則不等式他/+a1x-+a2x-+???+%>O(<O)(ao>0)的解可以根據(jù)各區(qū)間的符號

確定.

特例①一元一次不等式ax>b解的討論；

②一元二次不等式ax2+box>0(a>0)解的討論.

A>0A=0A<0

上u

二次函數(shù)■

y=ax2+bx+c

〔a>0〕的圖象

一元二次方程

有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根

ax2+bx+c=Qb

%<12)無實(shí)根

(a>0的根五

ax2+/7x+c>0fb1

〈XXw---->

(Q>0)的解集[2〃JR

2

ax-\-bx+c<0同再<X<X}

20

(Q>0)的解集0

2.分式不等式的解法

〔1〕標(biāo)準(zhǔn)化：移項(xiàng)通分化為國>0(或/區(qū)<0);△?2()(或△?<())的形式,

g(x)g(x)g(x)g(x)

〔2〕轉(zhuǎn)化為整式不等式〔組〕&〉0o/(x)g(x)〉0;3?0of(x)g(x)>0

g(x)g(x)g(x)豐0

3.含絕對值不等式的解法

〔1〕公式法：|ox+4<c,與|ox+4>c(c>0)型的不等式的解法.

〔2〕定義法：用“零點(diǎn)分區(qū)間法〃分類討論.

〔3〕幾何法：根據(jù)絕對值的幾何意義用數(shù)形結(jié)合思想方法解題.

4.一元二次方程根的分布

一兀二次方程ax2+bx+c=0（a手0）

〔1〕根的“零分布〃：根據(jù)判別式和韋達(dá)定理分析列式解之.

〔2〕根的“非零分布〃：作二次函數(shù)圖象，用數(shù)形結(jié)合思想分析列式解之.

〔三〕簡易邏輯

1、命題的定義：可以判斷真假的語句叫做命題。

2、邏輯聯(lián)結(jié)詞、簡單命題與復(fù)合命題：

“或〃、”且〃、”非〃這些詞叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞；不含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題是簡單

命題；由簡單命題和邏輯聯(lián)結(jié)詞”或〃、”且〃、“非〃構(gòu)成的命題是復(fù)合命題。

構(gòu)成復(fù)合命題的形式：P或q（記作“pVq〃）;p且q（記作“pAq〃）;非p（記

作"1q"）o

3、”或〃、"且”、”非〃的真值判斷

逆命題

（1〕“非P"形式復(fù)合命題的真假與F的真假相若q則P

反；

互

〔2〕“p且q〃形式復(fù)合命題當(dāng)P與q同為真時

否

為真，其他情況時為假；

〔3〕“p或q〃形式復(fù)合命題當(dāng)p與q同為假時逆否命題

若iq則IP

為假，其他情況時為真.

4、四種命題的形式：

原命題：假設(shè)P則q；逆命題：假設(shè)q則P;

否命題：假設(shè)rP貝卜!q；逆否命題：假設(shè)Iq貝人Po

（1）交換原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是逆命

（2）同時否認(rèn)原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是

（3）交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時否認(rèn)，所得的命題是逆否命題.

5、四種命題之間的相互關(guān)系：

一個命題的真假與其他三個命題的真假有如下三條關(guān)系：（原命題O逆否命題）

①、原命題為真，它的逆命題不一定為真。

②、原命題為真，它的否命題不一定為真。

③、原命題為真，它的逆否命題一定為真。

6、如果pnq那么我們說，P是q的充分條件，q是P的必要條件。

假設(shè)p=>q且q=>p,則稱P是q的充要條件，記為pOq.

7、反證法：從命題結(jié)論的反面出發(fā)〔假設(shè)〕，引出（與、公理、定理…）矛盾，從而否

認(rèn)假設(shè)證明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。

高中數(shù)學(xué)第二章-函數(shù)

考試內(nèi)容：

映射、函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性.

反函數(shù).互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系.

指數(shù)概念的擴(kuò)大.有理指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì).指數(shù)函數(shù).

對數(shù).對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).對數(shù)函數(shù).

函數(shù)的應(yīng)用.

考試要求：

〔1〕了解映射的概念，理解函數(shù)的概念.

〔2〕了解函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的方法.

〔3〕了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系，會求一些簡單函數(shù)的反函數(shù).

〔4〕理解分?jǐn)?shù)指數(shù)懸的概念，掌握有理指數(shù)累的運(yùn)算性質(zhì)，掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖像和

性質(zhì).

〔5〕理解對數(shù)的概念，掌握對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；掌握對數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì).

〔6〕能夠運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡單的實(shí)際問題.

§02.函數(shù)知識要點(diǎn)

一、本章知識網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造：

二、知識回憶：

(-)映射與函數(shù)

1.映射與—映射

2.函數(shù)

函數(shù)三要素是定義域，對應(yīng)法則和值域，而定義域和對應(yīng)法則是起決定作用的要素，因

為這二者確定后，值域也就相應(yīng)得到確定，因此只有定義域和對應(yīng)法則二者完全一樣的函數(shù)

才是同一函數(shù).

3.反函數(shù)

反函數(shù)的定義

設(shè)函數(shù))=/(%)(%GA)的值域是C,根據(jù)這個函數(shù)中x,y的關(guān)系，用y把x表

示出，得到x=0(y).假設(shè)對于y在C中的任何一個值，通過x=0(y),x在A中都有唯

一的值和它對應(yīng)，那么，x=0(y)就表示y是自變量，x是自變量y的函數(shù)，這樣的函數(shù)

x=0(y)(yeC)叫做函數(shù)'=/(%)(%€A)的反函數(shù)，記作％=/"⑶)，習(xí)慣上改

寫成y=/T(%)

〔二〕函數(shù)的性質(zhì)

1.函數(shù)的單調(diào)性

定義：對于函數(shù)f(x)的定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值Xi,XZ

⑴假設(shè)當(dāng)X〈X2時,都有f(xi)<f(xz),則說千(X)在這個區(qū)間上是增函數(shù)；

(2)假設(shè)當(dāng)X<X2時,都有f(x,)>f(X2),則說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).

假設(shè)函數(shù)y=f(X)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，則就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有〔嚴(yán)

格的〕單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.此時也說函數(shù)是這一區(qū)間上的單調(diào)函

數(shù).

2.函數(shù)的奇偶性

7.奇函數(shù)，偶函數(shù)：

⑴偶函數(shù):/(-%)=/(x)

設(shè)〔a,b〕為偶函數(shù)上一點(diǎn)，則〔-。力〕也是圖象上一點(diǎn).

偶函數(shù)的判定：兩個條件同時滿足

①定義域一定要關(guān)于y軸對稱，例如：＞=/+1在口,一1)上不是偶函數(shù).

②滿足/(-X)=/(X),或/(-x)-/(x)=。，假設(shè)/(x)wO時，，⑴、=1.

/(-x)

⑵奇函數(shù)：f(-x)=-f(x)

設(shè)〔。涉〕為奇函數(shù)上一點(diǎn)，則[-a,-6〕也是圖象上一點(diǎn).

奇函數(shù)的判定：兩個條件同時滿足

①定義域一定要關(guān)于原點(diǎn)對稱，例如：y=l在口廠1)上不是奇函數(shù).

②滿足/(-x)=-/(x),或/X-x)+/(x)=O,假設(shè)/(x)wO時，^X\=-1.

8.對稱變換：①"二尸〔X〕＞軸對稱＞y=/(_x)

@y=尸〔*〕X軸對稱>y=_/(x)

③J/=4x〕原點(diǎn)對稱>y=_/(-x)

9.判斷函數(shù)單調(diào)性〔定義〕作差法：對帶根號的一定要分子有理化，例如：

辯界險)=7^-74^=管士("L

10.外層函數(shù)的定義域是內(nèi)層函數(shù)的強(qiáng)新人2+G+人2

X

例如：函數(shù)"X〕=1+—匚的定義域?yàn)?函數(shù)外{X〕]的定義域是8,則集合/與集

1-X

合8之1用軌系是.

解：f(x)的值域是/(/(x))的定義域B,f(x)的值域eR,故8eR,而4={x|xW1},故Bn4.

11.常用變換：

①f(x+y)=f(x)f(y)of(x-y)=.

f(.y)

證：f(x-y)=of(x)=f[(x-y)+j]=f(x-y)f(y)

f(x)

②/(二)=/(x)-/(y)of(x-y)=/(x)+/(y)

y

證：f(x)=/(--y)=/(—)+f(y)

yy

12.⑴熟悉常用函數(shù)圖象：

例:y=2mT|x|關(guān)于v軸對稱.y

y=|2x2+2x-l|T|y|關(guān)于為軸對稱.

⑵熟悉分式圖象：

例："弁=2+2n定

值域{y|yw2,yeR}T值域二x前的系數(shù)之比.

〔三〕指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)

a>10<a<1

對數(shù)運(yùn)算:

〔以上MAO,N?O,aAO,awl,b?O,bwl,c?0,c。1聲1聲2…an>。且wl〕

V，

圖/

象O\X

〔1〕定義域：〔0,+8〕

性

〔2〕值域R

質(zhì)

〔3〕過點(diǎn)〔1,0〕,即當(dāng)x=1時，y=0

a>10<a<1

y/

y=logax------*

圖

象o

〔1〕定義域：〔0,+8〕

性

〔2〕值域R

質(zhì)

〔3〕過點(diǎn)〔1,0〕,即當(dāng)x=1時，y=0

a>10<a<1

y

圖/

象o]\X

*=3

〔1〕定義域：〔0,+8〕

性

〔2〕值域R

質(zhì)

〔3〕過點(diǎn)〔1,0〕，即當(dāng)x=1時，y=0

a>10<a<1

V，

圖Z

象O

〔1〕定義域：〔0,+8〕

性

〔2〕值域R

質(zhì)

〔3〕過點(diǎn)〔1,0〕，即當(dāng)x=1時，y=0

a>10<a<1

y/

圖/

象o\X

1*=3

〔1〕定義域：〔0,+8〕

性

〔2〕值域R

質(zhì)

〔3〕過點(diǎn)〔1,0〕,即當(dāng)x=1時，y=0

a>10<a<1

y/

圖Z

象o'，一、

性〔1〕定義域：〔0,+8〕

質(zhì)〔2〕值域R

〔3〕過點(diǎn)〔1,0〕,即當(dāng)x=1時，y=0

a>10<a<1

v'

圖

7Z

象o

〔1〕定義域：〔0,+8〕

性

〔2〕值域R

質(zhì)

〔3〕過點(diǎn)〔1,0〕，即當(dāng)x=1時，y=0

a>10<a<1

y，

圖z

象

〔1〕定義域：〔0,+8〕

性

〔2〕值域R

質(zhì)

〔3〕過點(diǎn)〔1,0〕,即當(dāng)x=1時，y=0

a>10<a<1

y/

y=logaxa>1______-

圖z

象o:

*―1

性〔1〕定義域：〔0,+8〕

質(zhì)〔2〕值域：R

〔3〕過點(diǎn)［1,0］，即當(dāng)x=1時，y=0

a>10<a<1

y

圖

o

象

「一

x-Q

〔1〕定義域：〔0,+8〕

〔2〕值域：R

〔3〕過點(diǎn)〔1,0〕，即當(dāng)x=1時，y=0

性

〔4〕X￡(O,1)時y<0X￡(O,1)時y>0

質(zhì)

xe(l,+oo)時y>0xG(l,+oo)時y<。

〔5〕在〔0,+8〕上是增函數(shù)在〔0,+8〕上是減函數(shù)

注⑴:當(dāng)a,bYO時，log(a-b)=log(-a)+log(-Z?).

(2)：當(dāng)"AO時，取,當(dāng)〃是偶數(shù)時且MYO時，M,O,而MYO,故取“一〃.

例如：10gax2w210gaX：(210gaX中x>0而log.尤2中xGR〕.

⑵y=a'［a>O,a^l〕與y=logax互為反函數(shù).

當(dāng)時，y=log〃x的°值越大，越靠近x軸；當(dāng)OYOYI時，則相反.

〔四〕方法總結(jié)

⑴.一樣函數(shù)的判定方法：定義域一樣且對應(yīng)法則一樣.

⑴對數(shù)運(yùn)算：

〔以上M>O,N>~O,axO,awl,bAO,bwl,cA0,cl,a1,a2...an>。且w1〕

注⑴:當(dāng)a,6Y0時,log(a-b)=log(—a)+log(-Z>).

(2):當(dāng)時，取“+〃，當(dāng)〃是偶數(shù)時且MYO時，而MYO,故取“一〃.

例如:Rjga^xZlogaX■，⑵OgM中X>0而logaX2中XGR〕.

(2)y=a”[a>-0,a1〕與y=logflx互為反函數(shù).

當(dāng)aMl時，y=log“尤的"值越大，越靠近x軸；當(dāng)0Y4Y1時，則相反.

⑵.函數(shù)表達(dá)式的求法：①定義法；②換元法；③待定系數(shù)法.

⑶.反函數(shù)的求法：先解X,互換x、y,注明反函數(shù)的定義域(即原函數(shù)的值域).

(4).函數(shù)的定義域的求法：布列使函數(shù)有意義的自變量的不等關(guān)系式，求解即可求得函數(shù)

的定義域.常涉及到的依據(jù)為①分母不為0；②偶次根式中被開方數(shù)不小于0；③對數(shù)的真數(shù)

大于0,底數(shù)大于零且不等于1;④零指數(shù)導(dǎo)的底數(shù)不等于零；⑤實(shí)際問題要考慮實(shí)際意義

等.

(5).函數(shù)值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法〃；③反函數(shù)法；④換元法；

⑤不等式法；⑥函數(shù)的單調(diào)性法.

⑹.單調(diào)性的判定法:①設(shè)X],X2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且X|VX2；②判定f(X1)

與f(X2)的大??；③作差比較或作商比較.

(7).奇偶性的判定法：首先考察定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，再計算f(-x)與f(x)之間的關(guān)

系：①f(-X)=f(x)為偶函數(shù);f(-x)=-f(x)為奇函數(shù)；②f(-X)-f(x)=0為偶；f(x)+f(-X)=0

為奇；③f(-x)/f(x)=1是偶；f(x)+f(-x)=-1為奇函數(shù).

⑻.圖象的作法與平移：①據(jù)函數(shù)表達(dá)式，列表、描點(diǎn)、連光滑曲線；②利用熟知函數(shù)的

圖象的平移、翻轉(zhuǎn)、伸縮變換；③利用反函數(shù)的圖象與對稱性描繪函數(shù)圖象.

高中數(shù)學(xué)第三章數(shù)列

考試內(nèi)容：

數(shù)列.

等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式.

等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式.

考試要求：

〔1〕理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并

能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng).

〔2〕理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能解決簡單的實(shí)

際問題.

〔3〕理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，井能解決簡單的實(shí)

際問題.

§03.數(shù)列知識要點(diǎn)

前〃項(xiàng)、

c_n,，

S〃=耳(。1+?！?naq=1)

和S"=\a"-#_a「a“q

n(n-l)-iq—乙)

Sn=nai+2d[\-q\-q

重要性

質(zhì)

am+an=ap+aq(m,n,p,q^N^,61m.e1n=ap-aq(m,n,p,qeN*,m+n=p+q)

m+n=p+q)

1.⑴等差、等比數(shù)歹I]:

等差數(shù)列等比數(shù)列

定義

{%}為-a”=d(常數(shù))｛%｝為G-P。*巴=如常數(shù)）

an

通項(xiàng)公a—aqn~1—ciqn~k

?！ǘ?〔n-1〕d=ak+〔n-k〕n{k

式

d-dn+a]-d

求和公〃(〃]+〃〃)n(n-l)7

nax(q-1)

式S"=2=叫+2d

S”=<q")=%一(中]

=g/+(%-g)〃

.i-qi-q

中項(xiàng)公Aa+b22

A-2推廣：2%-%,G=ab.推廣：a,,=an_mxan+m

式

性1

質(zhì)假設(shè)m+n=p+q則am+an=ap+aq假設(shè)m+n=p+q,則aman=apaq,,

2

假設(shè)伙”｝成A.P[其中繪eN〕則假設(shè)伙"成等比數(shù)列〔其中

｛ak｝也為A.Po%,eN〕，則｛軟｝成等比數(shù)列。

3

■sn,s2n-sn,s3n-s2n成等差數(shù)列。S”/2"~Sn,S3n一$2“成等比數(shù)列。

4

a—a,a—aqn-}=%,qn-m=工

d='—L=」—工(mwn)

n-1m—n%品

(mwri)

5

⑵看數(shù)列是不是等差數(shù)列有以下三種方法:

①an-a”7=d（n>2,d為常數(shù)）

②2an=an+l+an_l（n>2）

③a”=kn+b（n,k為常數(shù)）.

⑶看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法:

①an=an_xq(ji>2,q為常數(shù)，且w0)

②d=冊+1(”22,冊冊+ia-iwO)?

注①：i.b=g是a,b、c成等比的雙非條件，即b=b、c等比數(shù)列.

ii.b=4ac〔ac>0〕-?為a,b、c等比數(shù)列的充分不必要.

iii.b=±&ii:T為a、b、c等比數(shù)列的必要不充分.

iv.b=±〃京且ac〉0T為a,b、c等比數(shù)列的充要.

注意：任意兩數(shù)a,c不一定有等比中項(xiàng)，除非有ac>0,則等比中項(xiàng)一定有兩個.

③冊=eg"(c,q為非零常數(shù)).

④正數(shù)列｛冊｝成等比的充要條件是數(shù)列｛logxan｝〔xxl〕成等比數(shù)列.

S]=%("=1)

⑷數(shù)列｛。.｝的前〃項(xiàng)和5“與通項(xiàng)。"的關(guān)系：an-\

[注]:①為=%+(〃-l)d="d+(a=d)〔d可為零也可不為零一為等差數(shù)列充要條件〔即常

數(shù)列也是等差數(shù)列〕T假設(shè)d不為0,則是等差數(shù)列充分條件〕.

②等差｛"“｝前"項(xiàng)和S〃=A"2+8〃=[j|/+■可以為零也可不為零—為等差的

充要條件T假設(shè)d為零，則是等差數(shù)列的充分條件；假設(shè)d不為零，則是等差數(shù)列的充分條

件.

③非零常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列.〔不是非零，即不可能有等比數(shù)列〕

2.①等差數(shù)列依次每4項(xiàng)的和仍成等差數(shù)列，其公差為原公差的妙倍

Sk，S2k-Sk，S3k—S2k…；

,'ccjS奇_a”

②假設(shè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2〃weN+,則3偶一3奇=nd,----一,

。偶an+\

③假設(shè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2”-l("eN+),則S2“T=(2〃-1以，且S奇-S偶=?！?，/=3

s偶

=>代入打到2〃-1得到所求項(xiàng)數(shù).

3.常用公式：①1+2+3…+〃

2

②仔+22+32+...〃2=m+:2"+1)

6

③13+23+33…/=必手)

［注］:熟悉常用通項(xiàng)：9,99,999,…na〃=10"-1；5,55,555,-^a?=|(10n-l).

4.等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式的常見應(yīng)用題:

⑴生產(chǎn)部門中有增長率的總產(chǎn)量問題.例如，第一年產(chǎn)量為0,年增長率為r,則每年的產(chǎn)

量成等比數(shù)列，公比為1+r.其中第〃年產(chǎn)量為a（l+r）"T,且過〃年后總產(chǎn)量為：

⑵銀行部門中按復(fù)利計算問題.例如：一年中每月初到銀行存。元，利息為「，每月利息按

復(fù)利計算，則每月的。元過幾個月后便成為。（1+廠廠元.因此，第二年年初可存款：

12

"2xiixio_^(l+r)[l—(1+r)]

a(l+r)+Q(]+r)4-Q(]+F)+...+Q(1+Fx)----------------------

l-(l+r)

⑶分期付款應(yīng)用題：“為分期付款方式貸款為a元；〃為w個月將款全部付清；r為年利率.

5.數(shù)列常見的幾種形式：

⑴“二夕限+的〔小q為二階常數(shù)〕-用特證根方法求解.

具體步驟：①寫出特征方程，=0%+夕〔％2對應(yīng)〃〃+2，X對應(yīng)a.〕,并設(shè)二根％1，工2②假

設(shè)九2可設(shè)。九=。/；+。212/取設(shè)％1=%2可設(shè)。=（。1+。2“）*1；③由初始值。],。2確。1，。2,

⑵冊=尸程一1+一〔2一為常數(shù)〕一用①轉(zhuǎn)化等差，等比數(shù)列；②逐項(xiàng)選代；③消去常數(shù)n

轉(zhuǎn)化為?！?2=P〃〃+i+q冊的形式，再用特征根方法求。〃；④?！?。1+。2尸"一1〔公式法〕，q，Q

由上1，〃2確定.

車專寺福亨比：UY^~X—P（t2+X）—^^+\=Pd~^~Px—X=>X=----.

n+nnnP—1

1

②選代法：Q〃==P（Rz八_2+r）+/=…=>〃〃=-----日尸"----^=（。1+九）尸"九

r—1i—l

nin2

=P~ax+P~-r+???+Pr+r.

a=Pa+廠I

③用特征方程求解："、相減，na”+i-a”=Pa”-Pa”_]=>a”+i=（尸+1）?！甘??！币籡.

an=Pan-i+r]

④由選代法推導(dǎo)結(jié)果：C1=」一，。2=。1+<，生,=。2尸"7+。1=（“1+'一）Pn~l+-.

\—pp—\尸一11—P

6.幾種常見的數(shù)列的思想方法：

⑴等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和為S“，在dYO時，有最大值.若何確定使5“取最大值時的“值，有

兩種方法：

一是求使冊20,冊+1Y0,成立的力值；二是由S”=[〃2+（4-!）〃利用二次函數(shù)的性質(zhì)求〃

的值.

⑵如果數(shù)列可以看作是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)乘積，求此數(shù)列前"項(xiàng)和可依

照等比數(shù)列前〃項(xiàng)和的推倒導(dǎo)方法：錯位相減求和.例如：」,3匕..@-1）上,…

242"

⑶兩個等差數(shù)列的一樣項(xiàng)亦組成一個新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項(xiàng)就是原兩個數(shù)列的第

一個一樣項(xiàng)，公差是兩個數(shù)列公差必，必的最小公倍數(shù).

2.判斷和證明數(shù)列是等差〔等比〕數(shù)列常有三種方法：（1）定義法:對于n》2的任意自然數(shù)，

驗(yàn)證an-ani(&)為同一常數(shù)。⑵通項(xiàng)公式法。(3)中項(xiàng)公式法：驗(yàn)證

「a

2%+i=an+an_2=*%+2)"eN都成立。

a>0

3.在等差數(shù)列｛%｝中，有關(guān)權(quán)的最值問題：⑴當(dāng)〃i>O,d〈O時，滿足〈m根的項(xiàng)數(shù)

I?m+1W0

a<0

m使得％取最大值.(2)當(dāng)〃i<0,d>0時，滿足〈m的項(xiàng)數(shù)m使得與取最小值。在解

&+1N0

含絕對值的數(shù)列最值問題時,注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。

〔三〕、數(shù)列求和的常用方法

1.公式法:適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列。

2.裂項(xiàng)相消法:適用于」一其中｛明｝是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；局

部無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。

3.錯位相減法:適用于｛//“｝其中｛%｝是等差數(shù)列，物J是各項(xiàng)不為0的等比數(shù)列。

4.倒序相加法：類似于等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法.

5.常用結(jié)論

、n(n+1)

1]:1+2+3+...+n=—----

2

2]1+3+5+..+(2n-1)=n2

「]]2

3〕I3+23H----Fn3=—n｛n+1)

4〕I2+22+32+---+n2=-n(n+l)(2?+l)

6

、1111111

5〕-------二-----------------二一(Z---------)

n｛n+1)nn+1n(n+2)2n〃+2

6〕—=-----(------)(P<G

pqq-ppq

高中數(shù)學(xué)第四章-三角函數(shù)

考試內(nèi)容：

角的概念的推廣.弧度制.

任意角的三角函數(shù).單位圓中的三角函數(shù)線.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.正弦、余弦的

誘導(dǎo)公式.

兩角和與差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì).周期函數(shù).函數(shù)y=Asin（3x+/）的圖像.正切函數(shù)的

圖像和性質(zhì).三角函數(shù)值求角.

正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.

考試要求：

〔1〕理解任意角的概念、弧度的意義能正確地進(jìn)展弧度與角度的換算.

〔2〕掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義；了解余切、正割、余割的定義；掌握同角三

角函數(shù)的基本關(guān)系式；掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式；了解周期函數(shù)與最小正周期的意義.

〔3〕掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.

〔4〕能正確運(yùn)用三角公式，進(jìn)展簡單三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式證明.

〔5〕理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，會用“五點(diǎn)法〃畫正弦函數(shù)、余

弦函數(shù)和函數(shù)y=Asin（3x+0）的簡圖,理解A.3、Q的物理意義.

〔6〕會由三角函數(shù)值求角，并會用符號arcsinx\arc-cosx\arctanx表示.

〔7〕掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運(yùn)用它們解斜三角形.

〔8〕“同角三角函數(shù)基本關(guān)系式：sin2a+cos2a=1,sina/cosa=tana,tana?cosa

=1〃.

§04.三角函數(shù)知識要點(diǎn)

1.①與a〔0°Wa<360。］終邊一樣的角的集合〔角a與角￡的終邊重合〕：

\/31P=A：x360°+a,kezj

②終邊在x軸上的角的集合：{/3\^=kxl8O0,kez}

③終邊在"軸上的角的集合：MN=Axl800+90°,%ez}

④終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合：如夕=%x90。入z}

⑤終邊在*x軸上的角的集合：物|夕=%x180°+45°,我z}

1、2^3、4表示第一、二、三、

四象限一半所在區(qū)域

⑥終邊在y=-x軸上的角的集合：物|尸=0180。-45。,丘2}

⑦假設(shè)角a與角6的終邊關(guān)于x軸對稱，則角a與角￡的關(guān)系：a=360。"夕

⑧假設(shè)角。與角6的終邊關(guān)于"軸對稱，則角a與角￡的關(guān)系：a=360Y+180。-6

⑨假設(shè)角“與角6的終邊在一條直線上，則角a與角￡的關(guān)系：a=180。發(fā)+力

⑩角a與角￡的終邊互相垂直，則角a與角￡的關(guān)系：a=360%+^±90°

2.角度與弧度的互換關(guān)系：360°=2〃180°=〃1°=0.017451=57.30°=57°18'

注意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零.

、弧度與角度互換公式：1rad=>80°757.30°=57°18'.10=2七0.01745

7t180

rad〕

3、弧長公式：/=|團(tuán)/.扇形面積公式：s扇形=g0=g|a|"2

4、三角函數(shù)：設(shè)a是一個任意角，在a的終邊上任取〔異于

原點(diǎn)的〕一點(diǎn)P〔X,y〕P與原點(diǎn)的距離為r,貝I]sina=2；

r

X.y.%,r.r

cosa=—'tana=—‘cotcr=—?seca=—?-csca=—?

rxyxy

5、三角函數(shù)在各象限的符號：〔一全二正弦，三切四余弦〕

6、三角函數(shù)線

正弦線：MP;余弦線：0M;正切線：AT.

7.三角函數(shù)的定義域：

三角函數(shù)定義域

/(x)=sinx{x|XG7?)

f(x)=cosx{x|XG7?}

/(x)=tanx

x\xeR且XW左￡Z

f(x)=cotx{x|XGR且xwk/r,k^z}

f(x)=secxx\xER且xwATT+；萬，左wZ

f(x)=cscx{X\XGR且XWk7T,左￡z}

8、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：l^=tan?cosa-cot?

cosasina

9、誘導(dǎo)公式：

“奇變偶不變，符號看象限〃

三角函數(shù)的公式：〔一〕基本關(guān)系

公式組二公式組三

公式組四公式組五公式組六

〔二〕角與角之間的互換

公式組一公式組二

公式組三公式組甲公式組五

l廣sinacos/7=—Lin(筑+￡)+sin(a-/7)]「「

Sin5=cos75°=近變，sin750=cos15°tanl50=cot75=2-73,tan750=cotl50=2+73

4]4

10,正弦、余弦、正切:黑溫船薄亶斛I盛那"外

y=Asin(cux+(p)

y=sin%=-卜少Q(mào)由畫+cos(a一創(chuàng)y=cotx

(AxCD>0〕

siRsin

定義域Ra0打多屆(級生￡叫6R且Xw左〃■，上金z}R

值域[-1,+1][-1,+1]RR[—A,A]

周期性2冗27171n2TT

co

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)當(dāng)9wO,非奇非偶

當(dāng)夕=0,奇函數(shù)

[（2k-1）匹.（71,