備考2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第一章單元質(zhì)量測(cè)試(一)

單元質(zhì)量測(cè)試(一)eq\a\vs4\al()時(shí)間：45分鐘eq\a\vs4\al()滿分：100分一、選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．(2024·廣東湛江愛周中學(xué)高三月考)設(shè)集合A＝{x|x2－2x－3<0}，B＝{x|x>2}，則A∪B＝()A．(－1，2) B．(－1，3)C．(2，3) D．(－1，＋∞)答案D解析由x2－2x－3<0，得－1<x<3，∴A＝{x|－1<x<3}，則A∪B＝{x|x>－1}＝(－1，＋∞)．故選D.2．(2024·山東濰坊昌樂二中高三月考)命題p：“?x∈N*，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)≤eq\f(1,2)”的否定為()A．?x∈N*，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)>eq\f(1,2)B．?x?N*，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)>eq\f(1,2)C．?x?N*，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)>eq\f(1,2)D．?x∈N*，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)>eq\f(1,2)答案D解析由全稱量詞命題?x∈M，p(x)的否定為存在量詞命題?x∈M，?p(x)，可得?p：?x∈N*，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)>eq\f(1,2).故選D.3．若m>n>0，p<q<0，則一定有()A.eq\f(m,q)>eq\f(n,p) B.eq\f(m,q)<eq\f(n,p)C.eq\f(m,p)>eq\f(n,q) D.eq\f(m,p)<eq\f(n,q)答案B解析由m>n>0，p<q<0，可得|m|>|n|>0，|p|>|q|>0，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(n,p)))<eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(m,q)))，而eq\f(m,p)，eq\f(m,q)，eq\f(n,p)，eq\f(n,q)均為負(fù)數(shù)，所以eq\f(n,p)>eq\f(m,q).而eq\f(m,p)與eq\f(n,q)的大小無法比較．故選B.4．已知集合A＝{x||x＋1|＜1}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(x)－2≥0))))，則A∩(?RB)＝()A．(－2，－1) B．(－2，－1]C．(－1，0) D．[－1，0)答案C解析由題意知，A＝{x|－1＜x＋1＜1}＝{x|－2＜x＜0}，B＝{x|2－x≥2}＝{x|x≤－1}，∴?RB＝{x|x＞－1}，∴A∩(?RB)＝{x|－1＜x＜0}＝(－1，0)．故選C.5．若a<0，則關(guān)于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解集是()A．{x|x>5a或x<－a}B．{x|x>－a或x<5a}C．{x|－a<x<5a}D．{x|5a<x<－a}答案B解析依題意x2－4ax－5a2＝(x－5a)(x＋a)>0，由于a<0，故5a<－a，所以原不等式的解集為{x|x>－a或x<5a}．故選B.6．(2024·湖南永州高三一模)“函數(shù)f(x)＝xa在(0，＋∞)上單調(diào)遞減”是“函數(shù)g(x)＝x4－(a＋1)x是偶函數(shù)”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案B解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝xa在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以a<0，由函數(shù)g(x)＝x4－(a＋1)x是偶函數(shù)，得g(x)＝g(－x)，即x4－(a＋1)x＝x4＋(a＋1)x，所以a＝－1，故“函數(shù)f(x)＝xa在(0，＋∞)上單調(diào)遞減”是“函數(shù)g(x)＝x4－(a＋1)x是偶函數(shù)”的必要不充分條件．故選B.7．(2024·湖南常德一中開學(xué)考試)已知0<m<1，0<n<1，且2log4m＝log2(1－n)，則eq\f(1,m)＋eq\f(9,n)的最小值是()A．18 B．16C．10 D．4答案B解析因?yàn)?<m<1，0<n<1，且2log4m＝log2(1－n)，所以log2m＝log2(1－n)，所以m＋n＝1，所以eq\f(1,m)＋eq\f(9,n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(9,n)))(m＋n)＝10＋eq\f(n,m)＋eq\f(9m,n)≥10＋2eq\r(\f(n,m)×\f(9m,n))＝16，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(n,m)＝eq\f(9m,n)，即m＝eq\f(1,4)，n＝eq\f(3,4)時(shí)，等號(hào)成立，所以eq\f(1,m)＋eq\f(9,n)的最小值是16.故選B.8．已知a＞0，b＞0，定義H(a，b)＝maxeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＋22－b，\f(9,a)＋2b))，則H(a，b)的最小值是()A．5 B．6C．8 D．1答案A解析由定義H(a，b)＝maxeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＋22－b，\f(9,a)＋2b))，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(H（a，b）≥a＋22－b，,H（a，b）≥\f(9,a)＋2b，))所以2H(a，b)≥a＋22－b＋eq\f(9,a)＋2b＝a＋eq\f(9,a)＋22－b＋2b≥2eq\r(a·\f(9,a))＋2eq\r(22－b·2b)＝6＋4＝10，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(9,a)，,22－b＝2b，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝1))時(shí)取等號(hào)．所以H(a，b)≥5，即H(a，b)的最小值為5.二、選擇題(本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分)9．(2024·福建莆田錦江中學(xué)高三第一次階段考試)已知關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集為{x|x≤3或x≥4}，則下列結(jié)論中正確的是()A．a(chǎn)>0B．不等式bx＋c<0的解集為{x|x<－4}C．不等式cx2－bx＋a<0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<－\f(1,4)或x>\f(1,3)))))D．a(chǎn)＋b＋c>0答案AD解析對(duì)于A，D，由ax2＋bx＋c≥0的解集為{x|x≤3或x≥4}，得ax2＋bx＋c＝a(x－3)·(x－4)＝a(x2－7x＋12)，故a>0，b＝－7a，c＝12a，a＋b＋c＝6a>0，故A，D正確；對(duì)于B，bx＋c<0，解得x>eq\f(12,7)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，cx2－bx＋a<0即12ax2＋7ax＋a<0，解得－eq\f(1,3)<x<－eq\f(1,4)，故C錯(cuò)誤．故選AD.10．(2023·河北滄縣中學(xué)模擬)在△ABC中，三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且abc＝2，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)2b＜2＋ab2 B．a(chǎn)b＋a＋b＞2eq\r(2)C．a(chǎn)＋b2＋c2≥4 D．a(chǎn)＋b＋c≤2eq\r(2)答案ABC解析對(duì)于A，a2b＜2＋ab2，即a2b－ab2＜2，也就是ab(a－b)＜2＝abc，在△ABC中，ab＞0，a－b＜c，則ab(a－b)＜abc成立，故A正確；對(duì)于B，ab＋a＋b＞ab＋c≥2eq\r(abc)＝2eq\r(2)，故B正確；對(duì)于C，a＋b2＋c2≥a＋2bc≥2eq\r(2abc)＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2，b＝c＝1時(shí)取等號(hào)，故C正確；對(duì)于D，邊長(zhǎng)為1，eq\r(2)，eq\r(2)的三角形，滿足abc＝2，但a＋b＋c＝1＋2eq\r(2)＞2eq\r(2)，故D錯(cuò)誤．11．已知a，b為正實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是()A．若a2－b2＝1，則a－b＜1B．若eq\f(1,b)－eq\f(1,a)＝1，則a－b＜1C．若ea－eb＝1，則a－b＜1D．若lna－lnb＝1，則a－b＜1答案AC解析當(dāng)a2－b2＝1時(shí)，(a－b)(a＋b)＝1，∵a＞0，b＞0，∴0＜a－b＜a＋b，∴a－b＝eq\f(1,a＋b)＜1，故A正確；當(dāng)eq\f(1,b)－eq\f(1,a)＝1時(shí)，不妨取a＝3，b＝eq\f(3,4)滿足條件，則a－b＝eq\f(9,4)＞1，故B錯(cuò)誤；由ea－eb＝1，可得ea－b＋b－eb＝eb(ea－b－1)＝1，∵b＞0，∴eb＞1，∴ea－b－1＜1，即ea－b＜2，∴a－b＜ln2＜lne＝1，故C正確；不妨取a＝e2，b＝e滿足條件，則a－b＝e2－e＞1，故D錯(cuò)誤．故選AC.三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分)12．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈N\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＜x＜4))))，B＝{x|ax－1≥0}，若A∪B＝B，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．答案[1，＋∞)解析∵A∪B＝B，∴A?B，當(dāng)a＝0時(shí)，B＝?，不滿足A?B，舍去；當(dāng)a＞0時(shí)，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,a)))))，要使A?B，則eq\f(1,a)≤1，解得a≥1；當(dāng)a＜0時(shí)，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≤\f(1,a)))))，此時(shí)eq\f(1,a)＜0，不滿足A?B，舍去．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，＋∞)．13．(2023·北京西城區(qū)期末)已知三個(gè)不等式：①ab>0；②eq\f(c,a)>eq\f(d,b)；③bc>ad.若以其中的兩個(gè)作為條件，余下的一個(gè)作為結(jié)論，則可以組成________個(gè)正確命題．答案3解析將不等式②等價(jià)變形，eq\f(c,a)>eq\f(d,b)?eq\f(bc－ad,ab)>0.由ab>0，bc>ad，可得②成立，即①③?②；若ab>0，eq\f(bc－ad,ab)>0，則bc>ad，故①②?③；若bc>ad，eq\f(bc－ad,ab)>0，則ab>0，故②③?①.所以可以組成3個(gè)正確命題．14．(2023·山東師范大學(xué)附中模擬)已知隨機(jī)變量X～N(4，σ2)，且P(X≤3)＝P(X≥a＋1)，則eq\f(1,x)＋eq\f(4,a－x)(0＜x＜a)的最小值為________．答案eq\f(9,4)解析由正態(tài)分布的對(duì)稱性可知3＋a＋1＝2×4，解得a＝4，因?yàn)?＜x＜4，所以4－x＞0，由基本不等式得eq\f(1,x)＋eq\f(4,4－x)＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,4－x)))·[x＋(4－x)]＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4－x,x)＋\f(4x,4－x)＋4))≥eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(4－x,x)·\f(4x,4－x))))＝eq\f(9,4)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(4－x,x)＝eq\f(4x,4－x)，即x＝eq\f(4,3)時(shí)等號(hào)成立，所以原不等式的最小值為eq\f(9,4).四、解答題(本題共2小題，共27分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15．(本小題滿分13分)已知a＞1，b＞1，M＝eq\f(a2,a－1)＋eq\f(b2,b－1)，N＝eq\f(b2,a－1)＋eq\f(a2,b－1).(1)試比較M與N的大??；(2)分別求M，N的最小值．解(1)M－N＝eq\f(a2,a－1)－eq\f(b2,a－1)＋eq\f(b2,b－1)－eq\f(a2,b－1)＝－eq\f(（a－b）2（a＋b）,（a－1）（b－1）)，因?yàn)閍＞1，b＞1，所以a＋b＞0，a－1＞0，b－1＞0，(a－b)2≥0，所以－eq\f(（a－b）2（a＋b）,（a－1）（b－1）)≤0，所以M≤N.(2)因?yàn)镸＝eq\f(a2,a－1)＋eq\f(b2,b－1)＝eq\f