預(yù)習(xí)07直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式（八大考點(diǎn)）

預(yù)習(xí)07直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式一、兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)1．兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)已知兩條直線相交，設(shè)這兩條直線的交點(diǎn)為，則點(diǎn)既在直線上，也在直線上．所以點(diǎn)的坐標(biāo)既滿足直線的方程，也滿足直線的方程，即點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組的解，解這個(gè)方程組就可以得到這兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)．2．方程組解的組數(shù)與兩條直線的位置關(guān)系方程組的解一組無數(shù)組無解直線與的位置關(guān)系相交重合平行二、兩點(diǎn)間的距離公式如圖，由點(diǎn)，由此得到兩點(diǎn)間的距離公式，特別地，原點(diǎn)與任一點(diǎn)間的距離三、點(diǎn)到直線的距離公式點(diǎn)到直線的距離，可以驗(yàn)證，當(dāng)A=0，或B=0時(shí)，上述公式仍然成立．注意：點(diǎn)到幾種特殊直線的距離①點(diǎn)到與x軸平行的直線的距離，特別地，點(diǎn)到x軸的距離d=|y0|；②點(diǎn)到與y軸平行的直線的距離，特別地，點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離.四、兩條平行直線間的距離1．兩條平行直線間的距離兩條平行直線間的距離是指夾在這兩條平行直線間的公垂線段的長(zhǎng)．2．兩條平行直線間的距離公式一般地，兩條平行直線間的距離注意：當(dāng)兩直線都與軸(或軸)垂直時(shí)，可利用數(shù)形結(jié)合來解決：①兩直線都與軸垂直時(shí)，則；②兩直線都與軸垂直時(shí)則.考點(diǎn)01 直線的交點(diǎn)問題【方法點(diǎn)撥】若求交點(diǎn)坐標(biāo)，則聯(lián)立兩條直線方程；若已知交點(diǎn)坐標(biāo)求參數(shù)，則將坐標(biāo)代入直線方程【例1】若直線與直線的交點(diǎn)在第一象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，即交點(diǎn)為，因?yàn)榻稽c(diǎn)在第一象限，所以.故選：A【例2】（多選）下列選項(xiàng)中，正確的有（

）A．直線和的交點(diǎn)坐標(biāo)為B．直線和的交點(diǎn)坐標(biāo)為C．直線和交點(diǎn)坐標(biāo)為D．直線和，兩兩相交【答案】AD【詳解】方程組的解為，因此直線和相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為，A正確；方程組有無數(shù)個(gè)解，這表明直線和重合，B錯(cuò)誤；方程組無解，這表明直線和沒有公共點(diǎn)，故，C錯(cuò)誤；方程組的解為方程組的解為方程組的解也為所以，三條直線兩兩相交且交于同一點(diǎn)，D正確.故選：AD【變式11】（多選）已知集合，集合，且，則（

）A． B． C． D．【答案】BD【詳解】由整理可得.因?yàn)榧希?（1）直線過點(diǎn)，則，解得，此時(shí)，直線與直線不平行；（2）若直線與平行，則，解得.綜上所述，或.故選：BD.【變式12】（多選）若三條不同的直線能圍成一個(gè)三角形，則m的取值不可能為（

）A． B． C． D．1【答案】ABC【詳解】由直線，若或重合時(shí)，則滿足，解得；若或重合時(shí)，則滿足，解得；若經(jīng)過直線與的交點(diǎn)時(shí)，此時(shí)三條直線不能圍成一個(gè)三角形，聯(lián)立方程組，解得，即交點(diǎn)，將點(diǎn)代入直線，可得，解得.故選：ABC.【變式13】?jī)芍本€和的交點(diǎn)為．【答案】【詳解】由題意可得，解得，交點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：考點(diǎn)02 三線圍成三角形問題【例3】（多選）已知三條直線，，能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m的取值可能為（

）A．2 B． C． D．【答案】AD【詳解】因?yàn)槿龡l直線，，能構(gòu)成三角形，所以直線與，都不平行，且直線不過與的交點(diǎn)，直線與，都不平行時(shí)，，且，聯(lián)立，解得，即直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)為，代入直線中，得，故可知，結(jié)合選項(xiàng)可知實(shí)數(shù)m的取值可以為2或，故選：AD【例4】已知兩點(diǎn)，，直線為線段AB的垂直平分線：直線：，求(1)直線的方程(2)直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)(3)直線，與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）因?yàn)?，的中點(diǎn)為，，所以直線的斜率為，則其方程為，即.（2）聯(lián)立直線與的方程，，解得，所以直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)為，不妨記為.（3）對(duì)于直線，它在軸的截距為；對(duì)于直線：，它在軸的截距分別為；

結(jié)合圖象可知，線，與坐標(biāo)軸所圍成的三角形為，其中，，所以.【變式21】若三條直線與能圍成一個(gè)直角三角形，則．【答案】或1【詳解】顯然，3xy+1=0，x+y+3=0有交點(diǎn)，若與垂直，則；若與垂直，則．所以或1．故答案為：或1【變式22】直線l：y＝x＋1與y軸交于點(diǎn)A，將l繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)15°得到直線l′，求l，l′與x軸圍成三角形的面積.【答案】或.【詳解】∵l的斜率為1，∴傾斜角為45°，且A點(diǎn)坐標(biāo)為(0，1)，①當(dāng)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°時(shí)，l′的傾斜角為15°＋45°＝60°，∴斜率為.l′的方程為y＝x＋1，它與x軸交點(diǎn)為B.l與x軸交點(diǎn)為C(－1，0).此時(shí)，△ABC面積為×1×＝.②當(dāng)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)15°時(shí)，l′的傾斜角為45°－15°＝30°，此時(shí)l′的方程為y＝x＋1.l′與x軸交點(diǎn)B′(－，0)，l與x軸交點(diǎn)C′(－1，0).∴△AB′C′面積為×1×|－＋1|＝.∴所求三角形的面積為或.【變式23】若，直線和直線與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形，則使這個(gè)四邊形面積最小的k值中．【答案】#【詳解】如圖所示，直線，過定點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)，直線過定點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)，由題意知，四邊形的面積等于的面積和梯形的面積之和，所以所求四邊形的面積為：，當(dāng)時(shí)，所求四邊形的面積最小.故答案為：考點(diǎn)03 直線交點(diǎn)系方程及應(yīng)用【方法點(diǎn)撥】先設(shè)出過兩直線交點(diǎn)的直線系方程，再結(jié)合條件利用待定系數(shù)法求出參數(shù)，最后確定直線方程．【例5】已知直線的方程是，則對(duì)任意的實(shí)數(shù)，直線一定經(jīng)過（

）.A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【詳解】，，得，定點(diǎn)在第一象限，則直線一定經(jīng)過第一象限故選：A【例6】已知為任意實(shí)數(shù)，當(dāng)變化時(shí)，方程表示什么圖形？圖形有何特點(diǎn)？【答案】直線，過定點(diǎn)【詳解】因?yàn)榉匠袒?jiǎn)得：為任意實(shí)數(shù)，方程表示直線.因?yàn)?，所以?dāng)，直線恒成立，故直線過定點(diǎn).【變式31】平面直角坐標(biāo)系中，過直線與的交點(diǎn)，且在軸上截距為1的直線的方程為．（寫成一般式）【答案】【詳解】由題設(shè)，令直線的方程為，且直線過，所以，故直線的方程為.故答案為：【變式32】經(jīng)過點(diǎn)和兩直線；交點(diǎn)的直線方程為.【答案】【詳解】設(shè)所求直線方程為，點(diǎn)在直線上，，解得，所求直線方程為，即．故答案為：.【變式33】求經(jīng)過直線與的交點(diǎn)，且過點(diǎn)的直線方程.【答案】【詳解】解法一：聯(lián)立直線方程，解方程組得，由兩點(diǎn)式得所求直線的方程為，即.解法二：易知直線不符合所求方程，設(shè)所求直線方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，解得，故所求直線方程為，整理得.考點(diǎn)04 兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用【方法點(diǎn)撥】判斷三角形形狀：利用兩點(diǎn)間的距離公式求三邊長(zhǎng)時(shí)，應(yīng)從邊長(zhǎng)間的關(guān)系入手．如果邊長(zhǎng)相等，則可能是等腰或等邊三角形；如果滿足勾股定理，則是直角三角形．【例7】已知，，則兩點(diǎn)間的距離為.【答案】10【詳解】，，則兩點(diǎn)間的距離為：.故答案為：10.【例8】已知點(diǎn)，在y軸上求一點(diǎn)P，使，并求的值.【答案】【詳解】設(shè)所求點(diǎn)為，則，，由得解得，所以，所求點(diǎn)，.【變式41】已知點(diǎn)，判斷的類型.【答案】等腰三角形【詳解】∵，，，∴，且三邊不滿足勾股定理，∵，∴，∴三點(diǎn)不共線，∴是等腰三角形．【變式42】已知點(diǎn)，且，則直線AB的方程為（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】B【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)，，且，所以，所以，所以，所以，所以，所以直線的方程：．即或．故選：．【變式43】已知三角形的頂點(diǎn)為，，.(1)求直線的方程；(2)若直線l過點(diǎn)B且與直線交于點(diǎn)E，，求直線l的方程.【答案】(1).(2)直線的方程為或.【詳解】（1）因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線的方程為：，即直線的方程為：.（2）因?yàn)辄c(diǎn)E在直線上，直線的方程為：，所以設(shè)的坐標(biāo)為，，，，解得：或，的坐標(biāo)為或，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，，所以，化簡(jiǎn)可得.直線的方程為或.考點(diǎn)05 點(diǎn)到直線的距離公式應(yīng)用【方法點(diǎn)撥】（1）應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式時(shí)，直線方程需是一般式．（2）對(duì)于與坐標(biāo)軸平行(或重合)的直線或，求點(diǎn)到它們的距離時(shí)，可以直接利用或求解．【例9】點(diǎn)到直線的距離為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【詳解】.故選：D.【例10】平面直角坐標(biāo)系中，已知三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為．(1)求邊上的高所在的直線方程；(2)求的面積．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：由題意，可得直線BC的斜率，則BC邊上高所在直線斜率，又由點(diǎn),則邊上的高所在的直線方程為，即．（2）解：由點(diǎn)，可得，所以的方程為，即，則到直線BC的距離，且，所以的面積．【變式51】點(diǎn)到直線的距離最大值是．【答案】【詳解】由題意得，直線過定點(diǎn)，則，如圖所示，當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)到直線的距離最大值，且最大值為.故答案為：.【變式52】已知直線的傾斜角為，，且這條直線經(jīng)過點(diǎn).(1)求直線的方程.(2)直線恒過定點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題可得，，則，，∴直線的斜率，且直線過點(diǎn)，∴由直線的點(diǎn)斜式方程得，即，∴所求直線的方程為；（2）∵直線化簡(jiǎn)得：，∴定點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離，∴到直線的距離為.【變式53】如圖，已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，.(1)求直線CD的方程；(2)求平行四邊形ABCD的面積.【答案】(1)(2)8【詳解】（1）∵平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，∴，∴直線CD的方程為：，整理得直線CD的方程為．（2）點(diǎn)到直線CD的距離，，∴平行四邊形的面積.考點(diǎn)06 已知點(diǎn)到直線的距離求參數(shù)【方法點(diǎn)撥】已知點(diǎn)到直線的距離求參數(shù)或直線方程時(shí)，只需根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式列方程求解參數(shù)即可．【例11】點(diǎn)為y軸上一點(diǎn)，且點(diǎn)到直線的距離等于1，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

）A． B．C．或 D．或.【答案】C【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為軸上一點(diǎn)，可設(shè)點(diǎn)，又因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離等于1，可得，整理得，即，解得或，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或.故選：C.【例12】已知，兩點(diǎn)到直線的距離相等，求a的值（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離相等，所以，即，化簡(jiǎn)得，解得或.故選：C.【變式61】若點(diǎn)到直線的距離為4，則（

）A．2 B．3 C．5 D．7【答案】D【詳解】點(diǎn)到直線的距離為4，可得，解得.故選：D.【變式62】已知過點(diǎn)的直線，且點(diǎn)與點(diǎn)到直線l的距離相等，則直線的方程為（）A． B．C．或 D．或【答案】C【詳解】解：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，與點(diǎn)到的距離為1，符合題意，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)為，則可設(shè)直線方程為：，即，由于點(diǎn)與點(diǎn)到直線的距離相等，則，解得，故直線的方程為，即，綜上所述，直線的方程為或．故選：C．【變式63】到直線的距離不超過，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【詳解】因?yàn)榈街本€的距離不超過，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：考點(diǎn)07 求兩條平行線間的距離【方法點(diǎn)撥】求兩條平行直線間的距離的兩種思路：（1）利用“化歸”思想將兩條平行直線間的距離轉(zhuǎn)化為求其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離．由于這種求法與點(diǎn)的選擇無關(guān)，因此，選點(diǎn)時(shí)常選取一個(gè)特殊點(diǎn)，如直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等，以便于運(yùn)算；（2）利用兩條平行直線間的距離公式求解．【例13】?jī)善叫兄本€和之間的距離為（

）A． B．2 C． D．3【答案】A【詳解】平行直線和之間的距離.故選：A【例14】已知直線與直線互相平行，則它們之間的距離是.【答案】【詳解】由直線與直線互相平行，得，則直線與直線的距離為：.故答案為：【變式71】直線與之間的距離相等，則直線的方程是.【答案】【詳解】顯然直線平行，所以要求的直線也與平行，設(shè)直線的方程為，則由平行線間的距離公式得，解得，所以直線的方程為.故答案為：.【變式72】若直線與直線平行，則直線與的距離為.【答案】/【詳解】由于與平行，則，即，解得或，當(dāng)時(shí)，兩直線方程分別為，此時(shí)兩直線重合，不符合題意；當(dāng)時(shí)，兩直線方程分別為，此時(shí)兩直線平行，符合題意；綜上所述：，兩直線方程分別為，所以直線與的距離為.故答案為：.【變式73】（多選）到直線的距離等于的直線方程可能為（）A． B．C． D．【答案】CD【詳解】因?yàn)樗笾本€與直線的距離為，則所求直線與已知直線平行.設(shè)所求直線方程為，則，解得或，故所求直線方程為或.故選：CD考點(diǎn)08 對(duì)稱問題【方法點(diǎn)撥】若點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為，則．【例15】已知直線，點(diǎn)．求：(1)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線的方程；(3)直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線的方程．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）設(shè)，由得，則，解得，故.（2）在直線上取一點(diǎn)，如，則關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)必在上，設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即，設(shè)與的交點(diǎn)為，則由，解得，即，又經(jīng)過點(diǎn)，故，所以直線的方程為，即.（3）設(shè)為上任意一點(diǎn)，則關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，因?yàn)樵谥本€上，所以，即直線的方程為.

【例16】唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在的位置為，若將軍從山腳下的點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A． B．3 C． D．5【答案】C【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則有，所以“將軍飲馬”的最短總路程為，故選：C【變式81】已知直線與直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2 B．6 C． D．【答案】A【詳解】由于直線與直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以兩直線平行，故，則，由于點(diǎn)在直線上，關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，故在上，代入可得，故，故選：A【變式82】已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則的值為．【答案】【詳解】因?yàn)椤?，所以的中點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以的中點(diǎn)在此直線上，所以，即，故答案為：【變式83】已知點(diǎn)在直線上，點(diǎn)，則當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.【答案】【詳解】解：因?yàn)闉槎ㄖ?，所以?dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)取得最小值時(shí)，即取得最小，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，連接交直線于點(diǎn)，此時(shí)取得最小，如圖所示：則，解得，得，因?yàn)辄c(diǎn)，故所求點(diǎn).故答案為：一、單選題1．已知點(diǎn)，則的面積為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意，所以，即，所以的面積為.故選：A.2．已知點(diǎn)及直線上一點(diǎn)，則的值不可能是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【詳解】易知點(diǎn)到直線的距離為，所以，因此的值不可能是1.故選：A3．經(jīng)過兩條直線和的交點(diǎn)，且垂直于直線的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題知：，解得：，交點(diǎn).直線的斜率為，所求直線斜率為.所求直線為：，即.故選：B.4．點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，直線的方程為（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由直線的方程整理可得：，可得直線恒過定點(diǎn)，所以，當(dāng)時(shí)，到直線的距離最大，可得直線的斜率為，即，所以直線的方程為，即．故選：．5．設(shè)直線：，一束光線從原點(diǎn)出發(fā)沿射線向直線射出，經(jīng)反射后與軸交于點(diǎn)，再次經(jīng)軸反射后與軸交于點(diǎn)．若，則的值為（

）A． B． C． D．2【答案】B【詳解】如圖，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則得，即，由題意知與直線不平行，故，由，得，即，故直線的斜率為，直線的直線方程為：，令得，故，令得，故由對(duì)稱性可得，由得，即，解得，得或，若，則第二次反射后光線不會(huì)與軸相交，故不符合條件．故，故選：B二、多選題6．點(diǎn)、，過、的直線為，下列說法正確的有（

）A．若，則直線的方程為B．若，則直線的傾斜角為C．任意實(shí)數(shù)，都有D．存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)，能使直線在、軸上的截距互為相反數(shù)【答案】ABD【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，又因?yàn)辄c(diǎn)，則，此時(shí)，直線的方程為，即，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，若，則，又因?yàn)辄c(diǎn)，，設(shè)直線的傾斜角為，則，且，則，即直線的傾斜角為，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，若直線過原點(diǎn)，則直線的斜率為，此時(shí)，直線的方程為，即，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，則，解得，若直線不經(jīng)過原點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，則，此時(shí)，直線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，則，解得.綜上所述，存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)，能使直線在、軸上的截距互為相反數(shù)，D對(duì).故選：ABD.7．已知平行四邊形的三條邊所在直線的方程分別是，的交點(diǎn)為的交點(diǎn)為，且平行四邊形的面積為5，則（

）A．的坐標(biāo)為B．的坐標(biāo)為C．平行四邊形第四條邊所在直線的方程可能為D．平行四邊形第四條邊所在直線的方程可能為【答案】BCD【詳解】由,解得，所以,由,解得，所以,故A錯(cuò)誤，B正確，由于，故，且之間的距離為，根據(jù)平行四邊形的面積為5，所以,故，設(shè)：，則，在上，所以，又，解得或，所以直線方程可能為，和，CD正確，故選：BCD三、填空題8．若直線過直線和的交點(diǎn)，且在軸的截距是軸截距的2倍，則直線的方程是.【答案】或【詳解】聯(lián)立，解得，故交點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)在軸的截距與在軸的截距為0時(shí)，設(shè)直線方程為，將代入得，解得，故直線的方程為；當(dāng)在軸的截距與在軸的截距不為0時(shí)，設(shè)直線方程為，將代入得，解得，故直線方程為，即，所以直線的方程為或.故答案為：或9．平面直角坐標(biāo)系上有兩點(diǎn)，直線的方程為，直線上有一點(diǎn)P，最短，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為.【答案】【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，則，線段中點(diǎn)在直線l上，所以，整理得，解得，即.因?yàn)辄c(diǎn)在一條直線上時(shí)最短，所