8.1.2樣本相關(guān)系數(shù)課件-2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊

8.1成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性8.1.2樣本的相關(guān)系數(shù)復(fù)習(xí)回顧1、變量的相關(guān)關(guān)系2、散點(diǎn)圖

兩個變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.

成對樣本數(shù)據(jù)都可用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示出來，由這些點(diǎn)組成了統(tǒng)計圖.我們把這樣的統(tǒng)計圖叫做散點(diǎn)圖.復(fù)習(xí)回顧3、變量相關(guān)關(guān)系的分類正相關(guān)和負(fù)相關(guān)線性相關(guān)和非線性相關(guān)4、兩個變量之間相關(guān)關(guān)系的確定(1)經(jīng)驗作出推斷(2)通過樣本數(shù)據(jù)分析，從數(shù)據(jù)中提取信息，并構(gòu)建適當(dāng)?shù)哪Ｐ停倮媚Ｐ瓦M(jìn)行估計或推斷探究新知通過觀察散點(diǎn)圖中成對樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，我們可以大致推斷兩個變量是否存在相關(guān)關(guān)系、是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)、是線性相關(guān)還是非線性相關(guān)等.但無法確切地反映成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度，也就無法量化兩個變量之間相關(guān)程度的大小.問題：能否引入一個適當(dāng)?shù)摹皵?shù)字特征”，對成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度進(jìn)行定量分析呢？

對于變量x和變量y，設(shè)經(jīng)過隨機(jī)抽樣獲得的成對樣本數(shù)據(jù)為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中將數(shù)據(jù)以

為零點(diǎn)進(jìn)行平移，得到平移后的成對數(shù)據(jù)為…，

并繪制散點(diǎn)圖.探究新知問題：能否引入一個適當(dāng)?shù)摹皵?shù)字特征”，對成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度進(jìn)行定量分析呢？將數(shù)據(jù)以

為零點(diǎn)進(jìn)行平移，得到平移后的成對數(shù)據(jù)為…，

并繪制散點(diǎn)圖.探究新知線性負(fù)相關(guān)線性正相關(guān)無相關(guān)關(guān)系非線性相關(guān)線性負(fù)相關(guān)線性正相關(guān)無相關(guān)關(guān)系非線性相關(guān)數(shù)據(jù)預(yù)處理的常用方法：中心化(零均值化)中心化探究新知如果變量x和變量y負(fù)相關(guān)，那么關(guān)于均值平移后的大多數(shù)點(diǎn)將分布在第二、四象限，對應(yīng)的成對數(shù)據(jù)異號居多.一般地，如果變量x和變量y正相關(guān)，那么均值平移后的大多數(shù)點(diǎn)將分布在第一、三象限，對應(yīng)的成對數(shù)據(jù)同號居多；························探究新知思考1：

根據(jù)上述分析，你能利用正相關(guān)變量和負(fù)相關(guān)變量的成對樣本數(shù)據(jù)平移后呈現(xiàn)的規(guī)律，構(gòu)造一個度量成對樣本數(shù)據(jù)是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)的數(shù)字特征嗎?根據(jù)散點(diǎn)圖特征，初步構(gòu)造統(tǒng)計量.利用散點(diǎn)

的橫、縱坐標(biāo)是否同號，可以構(gòu)造一個量

一般情形下，Lxy>0表明成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；Lxy<0表明成對樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān).探究新知思考2：

你認(rèn)為Lxy的大小一定能度量出成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度嗎?

在研究體重與身高之間的相關(guān)程度時，如果體重的單位不變，把身高單位由米改為厘米，單位的改變不會改變體重與身高之間的相關(guān)程度.=100Lxy>0我們發(fā)現(xiàn)，Lxy的大小與數(shù)據(jù)的度量單位有關(guān)，所以不能直接用它度量成對樣本數(shù)據(jù)相關(guān)程度的大小.探究新知為了消除度量單位的影響，需要對數(shù)據(jù)作進(jìn)一步的“標(biāo)準(zhǔn)化”處理.我們用分別除為簡單起見，把上述“標(biāo)準(zhǔn)化”處理后的成對數(shù)據(jù)分別記為(x′1，y′1)，(x′2，y′2)，…，(x′n，y′n)，仿照Lxy的構(gòu)造，可以得到探究新知為簡單起見，把上述“標(biāo)準(zhǔn)化”處理后的成對數(shù)據(jù)分別記為(x′1，y′1)，(x′2，y′2)，…，(x′n，y′n)，仿照Lxy的構(gòu)造，可以得到概念講解樣本相關(guān)系數(shù)當(dāng)r>0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當(dāng)r<0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)．我們稱r為變量x和變量y的樣本相關(guān)系數(shù).

樣本相關(guān)系數(shù)r是一個描述成對樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，它的正負(fù)和絕對值的大小可以反映成對樣本數(shù)據(jù)的變化特征：探究新知思考3：樣本相關(guān)系數(shù)r的大小與成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度有什么內(nèi)在聯(lián)系呢?相關(guān)系數(shù)r的取值范圍是多少呢?

觀察r的結(jié)構(gòu)，聯(lián)想到二維(平面)向量、三維(空間)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，我們將向量的維數(shù)推廣到n維，n維向量

的數(shù)量積仍然定義為

，其中θ為向量

的夾角.

類似于平面或空間向量的坐標(biāo)表示，對于向量

＝(a1，a2，…，an)和

＝(b1，b2，…，bn)，我們有＝a1b1+a2b2+…+anbn.“標(biāo)準(zhǔn)化”處理后的成對數(shù)據(jù)：(x′1，y′1)，(x′2，y′2)，…，(x′n，y′n)探究新知設(shè)其第一分量構(gòu)成n維向量設(shè)其第二分量構(gòu)成n維向量

同理可得探究新知思考3：樣本相關(guān)系數(shù)r的大小與成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)程度有什么內(nèi)在聯(lián)系呢?相關(guān)系數(shù)r的取值范圍是多少呢?樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為[－1，1]＝cosθ∵－1≤cosθ≤1∵∴－1≤r≤1由向量的知識可知，存在實數(shù)λ，使得

，探究新知思考4：

相關(guān)系數(shù)|r|=1時，成對樣本數(shù)據(jù)之間具有怎樣的關(guān)系呢?r＝cosθ這時，成對樣本數(shù)據(jù)的兩個分量之間滿足一種線性關(guān)系.這表明成對樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)都落在直線

上.當(dāng)|r|＝1時，r＝cosθ中的θ＝0或π，向量

共線.概念講解相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：

由此可見，樣本相關(guān)系數(shù)r的取值范圍為[-1，1]，樣本相關(guān)系數(shù)r的絕對值大小可以反映成對樣本數(shù)據(jù)之間線性相關(guān)的程度：①當(dāng)r>0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當(dāng)r<0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān).②

|r|≤1；③當(dāng)|r|越接近1時，成對數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；

當(dāng)|r|越接近0時，成對數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱；特別地，當(dāng)|r|＝0時，成對數(shù)據(jù)的沒有線性相關(guān)關(guān)系(但不排除它們間有其他相關(guān)關(guān)系)；

當(dāng)|r|＝1時，成對數(shù)據(jù)都落在一條直線上.探究新知圖(1)中成對樣本數(shù)據(jù)的正線性相關(guān)程度很強(qiáng).圖(2)中成對樣本數(shù)據(jù)的負(fù)線性相關(guān)程度比較強(qiáng).圖(3)中成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度很弱.圖(4)中成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度極弱.問題：觀察以下散點(diǎn)圖，判斷成對數(shù)據(jù)間的相關(guān)關(guān)系判斷線性相關(guān)程度:散點(diǎn)圖＋r

兩個隨機(jī)變量的相關(guān)性可以通過散點(diǎn)圖對成對樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，而樣本相關(guān)系數(shù)r可以反映兩個隨機(jī)變量之間的線性相關(guān)程度：①r的符號反映相關(guān)關(guān)系的正負(fù)性；②|r|的大小反映兩個變量線性相關(guān)的程度，即散點(diǎn)集中于一條直線的程度.1、為了比較甲、乙、丙三組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性的強(qiáng)弱，小鄭分別計算了甲、乙、丙三組數(shù)據(jù)的樣本線性相關(guān)系數(shù)，其數(shù)值分別為0.939，0.937，0.948，則().隨堂練習(xí)A、甲組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性最強(qiáng)，乙組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性最弱B、乙組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性最強(qiáng)，丙組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性最弱C、丙組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性最強(qiáng)，甲組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性最弱D、丙組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性最強(qiáng)，乙組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性最弱解：因為樣本線性相關(guān)系數(shù)的絕對值越大，則線性相關(guān)性越強(qiáng)，所以丙組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性最強(qiáng)，乙組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性最弱.D1、根據(jù)下表中脂肪含量和年齡的樣本數(shù)據(jù)，推斷兩個變量是否線性相關(guān)，計算樣本相關(guān)系數(shù)，并推斷它們的相關(guān)程度.例題解析年齡2327394145495053545657586061脂肪9.517.821.225.927.526.328.229.630.231.430.833.535.234.6參考數(shù)據(jù):解：先畫出散點(diǎn)圖，如圖所示.觀察散點(diǎn)圖，可以看出樣本點(diǎn)都集中在一條直線附近，由此推斷脂肪含量和年齡線性相關(guān).例題解析參考數(shù)據(jù):根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)的定義，由樣本相關(guān)系數(shù)r≈0.97，可以推斷脂肪含量和年齡這兩個變量正線性相關(guān)，且相關(guān)程度很強(qiáng)。脂肪含量與年齡變化趨勢相同.小結(jié)

散點(diǎn)圖可以從直觀上判斷成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)性，通過樣本相關(guān)系數(shù)則可以從定量的角度刻畫成對樣本數(shù)據(jù)相關(guān)的正負(fù)性和線性相關(guān)程度.2、有人收集了某城市居民收入(所有居民在一年內(nèi)收入的總和)與A商品銷售額的10年數(shù)據(jù)，如下表所示.例題解析第n年12345678910居民年收入/億元32.231.132.935.837.138.039.043.044.646.0A商品銷售額/萬元25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0畫出散點(diǎn)圖，判斷成對樣本數(shù)據(jù)是否線性相關(guān)，并通過樣本相關(guān)系數(shù)推斷居民年收入與A商品銷售額的相關(guān)程度和變化趨勢的異同.解:從散點(diǎn)圖看，A商品銷售額與居民年收入的樣本數(shù)據(jù)呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系.居民年收入/億元504540352030253035404550·······55A商品銷售額/萬元···2、有人收集了某城市居民收入(所有居民在一年內(nèi)收入的總和)與A商品銷售額的10年數(shù)據(jù)，如下表所示.例題解析第n年12345678910居民年收入/億元32.231.132.935.837.138.039.043.044.646.0A商品銷售額/萬元25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0畫出散點(diǎn)圖，判斷成對樣本數(shù)據(jù)是否線性相關(guān)，并通過樣本相關(guān)系數(shù)推斷居民年收入與A商品銷售額的相關(guān)程度和變化趨勢的異同.解:r≈0.95由此可以推斷，A商品銷售額與居民年收入正線性相關(guān)，即A商品銷售額與居民年收入有相同的變化趨勢，且相關(guān)程度很強(qiáng).3、在某校高一年級中隨機(jī)抽取25名男生，測得他們的身高、體重、臂展等數(shù)據(jù)，如下表所示.例題解析體重與身高、臂展與身高分別具有怎樣的相關(guān)性?解：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫出體重與身高、臂展與身高的散點(diǎn)圖，分別如圖(1)和(2)所示，兩個散點(diǎn)圖都呈現(xiàn)出線性相關(guān)的特征.3、在某校高一年級中隨機(jī)抽取25名男生，測得他們的身高、體重、臂展等數(shù)據(jù)，如下表所示.例題解析體重與身高、臂展與身高分別具有怎樣的相關(guān)性?解：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)畫出體重與身高、臂展與身高的散點(diǎn)圖，分別如圖(1)和(2)所示，兩個散點(diǎn)圖都呈現(xiàn)出線性相關(guān)的特征.通過計算得到體重與身高、臂展與身高的樣本相關(guān)系數(shù)分別約為0.34和0.78,都為正相關(guān).其中，臂展與身高的相關(guān)程度更高.2、對四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計，獲得以下散點(diǎn)圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)比較，正確的是()隨堂練習(xí)AA、r2<r4<0<r3<r1B、r4<r2<0<r1<r3C、r4<r2<0<r3<r1D、r2<r4<0<r1<r33、根據(jù)統(tǒng)計，某蔬菜基地西紅柿畝產(chǎn)量的增加量y(百千克)與某種液體肥料每畝使用量x(千克)之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，如圖所示．隨堂練習(xí)02468345x(千克)y(百千克)5·····依據(jù)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出，y與x之間有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.請計算樣本相關(guān)系數(shù)r并加以說明(若|r|＞0.75，則