人教A版（2019）必修第二冊6.4.1正余弦定理(學案)(原卷版+解析)

6.4.1正余弦定理（學案）知識自測知識自測一．解三角形的概念一般地，三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.余弦定理定義：三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍2.公式：a2＝，b2＝，c2＝3.公式變形：cosA＝，cosB＝，cosC＝4.使用條件：①兩邊一角求邊②三邊求角（三邊一角）三．正弦定理（大邊對大角）1.定義在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等2.公式：（該比值為該三角形外接圓的直徑.）3.使用條件：①兩角一邊求邊或角②兩邊一對應角求角4.正弦定理的變形形式設三角形的三邊長分別為a，b，c，外接圓半徑為R，正弦定理有如下變形：(1)a＝，b＝，c＝（邊化角）(2)sinA＝，sinB＝，sinC＝.（角化邊）(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.(4)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)=2R四．三角形的面積公式1.在△ABC中，邊BC，CA，AB上的高分別記為ha，hb，hc，則①S＝eq\f(1,2)aha＝eq\f(1,2)bhb＝eq\f(1,2)chc；②S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA.知識簡用知識簡用題型一余弦定理【例1-1】（2022·廣東）在中，角，，所對的邊分別為，，，若，，，則等于【例1-2】（2022·河北）在中，若，則__________．【例1-3】（2022·江西）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則等于（

）A． B． C． D．【例1-4】（2022·上海）在中，角??所對邊分別是??，若，則_____.【例1-5】（2022·湖南）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若，則_________．題型二正弦定理【例2-1】（2022·青海）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則（

）．A． B． C． D．【例2-2】（2020·河北）在中，已知，則（

）A．或 B． C． D．或【例2-3】（2022·湖北）在中，若，，，則角的值是（

）A． B． C． D．或【例2-4】．（2022·黑龍江）在中，，則外接圓的半徑為（

）A． B． C．2 D．4題型三面積公式【例3-1】（2022·上海崇明）在中，，，，那么的面積等于______．【例3-2】．（2022·重慶）在中，三個內(nèi)角的對邊分別是，若，，，則此三角形的面積為___．【例3-3】（2022·湖南）在中，分別為的對邊，，這個三角形的面積為，則【例3-4】（2022·霍邱縣）在中，已知，，若的面積，則的外接圓直徑為題型四邊角互換【例4-1】（2022·山東）在中，，，分別為內(nèi)角，，的對邊，若，則【例4-2】（2022·廣東）在中角A、、的對邊分別為、、，且滿足，角=__【例4-3】（2022·北京）已知銳角的內(nèi)角的對邊分別為，若，則_____.【例4-4】（2022·山東東營）在中，，則角是【例4-5】（2022·江蘇）在中，內(nèi)角的對邊分別為，若，則角的大小為___________.【例4-6】（2022新疆）已知a、b、c分別為的內(nèi)角A、B、C所對的邊，若滿足，則角C的大小為【例4-7】（2022·全國·高一課時練習）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則B的值為6.4.1正余弦定理（學案）知識自測知識自測一．解三角形的概念一般地，三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.余弦定理定義：三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍2.公式：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.3.公式變形：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).4.使用條件：①兩邊一角求邊②三邊求角（三邊一角）三．正弦定理（大邊對大角）1.定義在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等2.公式：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)=2R（該比值為該三角形外接圓的直徑.）3.使用條件：①兩角一邊求邊或角②兩邊一對應角求角4.正弦定理的變形形式設三角形的三邊長分別為a，b，c，外接圓半徑為R，正弦定理有如下變形：(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC（邊化角）(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R).（角化邊）(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.(4)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)=2R四．三角形的面積公式1.在△ABC中，邊BC，CA，AB上的高分別記為ha，hb，hc，則①S＝eq\f(1,2)aha＝eq\f(1,2)bhb＝eq\f(1,2)chc；②S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA.知識簡用知識簡用題型一余弦定理【例1-1】（2022·廣東）在中，角，，所對的邊分別為，，，若，，，則等于【答案】3【解析】根據(jù)余弦定理得，即，亦即，解得或（舍去）【例1-2】（2022·河北）在中，若，則__________．【答案】3或【解析】因為C是三角形的內(nèi)角，且，所以．當時，由余弦定理得

=9，則同理，當時，得故答案為:或．【例1-3】（2022·江西）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以．故選：B【例1-4】（2022·上海）在中，角??所對邊分別是??，若，則_____.【答案】【解析】，，，.故答案為：.【例1-5】（2022·湖南）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若，則_________．【答案】5【解析】由題知，由余弦定理，可得：，則．故答案為：5.題型二正弦定理【例2-1】（2022·青海）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，，，由正弦定理得.故選：B.【例2-2】（2020·河北）在中，已知，則（

）A．或 B． C． D．或【答案】C【解析】因為在中，，由正弦定理有：，所以，解得或，又因為可得所以不符合題意，舍去.可得，故A，B，D錯誤.故選：.【例2-3】（2022·湖北）在中，若，，，則角的值是（

）A． B． C． D．或【答案】D【解析】，，，，，或，或.故選：D【例2-4】．（2022·黑龍江）在中，，則外接圓的半徑為（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【解析】因為，可得，由正弦定理得外接圓的半徑．故選：C.題型三面積公式【例3-1】（2022·上海崇明）在中，，，，那么的面積等于______．【答案】【解析】由三角形面積公式得.故答案為：【例3-2】．（2022·重慶）在中，三個內(nèi)角的對邊分別是，若，，，則此三角形的面積為___．【答案】【解析】因為，，且可得,所以，故答案為：【例3-3】（2022·湖南）在中，分別為的對邊，，這個三角形的面積為，則【答案】【解析】依題意，解得，由余弦定理得.【例3-4】（2022·霍邱縣）在中，已知，，若的面積，則的外接圓直徑為【答案】【解析】，，，，得；所以由余弦定理可得，則；因此，由正弦定理可得，的外接圓直徑為.題型四邊角互換【例4-1】（2022·山東）在中，，，分別為內(nèi)角，，的對邊，若，則【答案】【解析】由正弦定理可得，則，，又，則.【例4-2】（2022·廣東）在中角A、、的對邊分別為、、，且滿足，角=__【答案】【解析】由，可得,因為，故，,則，故答案為：【例4-3】（2022·北京）已知銳角的內(nèi)角的對邊分別為，若，則_____.【答案】【解析】在銳角中，因為，所以由正弦定理可得，因為，所以，因為，所以，故答案為：.【例4-4】（2022·山東東營）在中，，則角是【答案】【解析】由，根據(jù)正弦定理得即化簡得即【例4-5】（2022·江蘇）在中，內(nèi)角的對邊分別為，若