專題1.5 數(shù)軸與相反數(shù)（知識梳理與考點分類講解）（人教版）（解析版）

專題1.5數(shù)軸與相反數(shù)（知識梳理與考點分類講解）第一部分【知識點歸納】【知識點一】數(shù)軸定義：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫數(shù)軸；【知識點二】數(shù)軸三要素：原點、正方向、單位長度是數(shù)軸三要素；【知識點三】數(shù)軸和畫法：1、畫一條直線（通常畫成水平直線）；2、在直線上適當(dāng)位置取一點為原點；3、通常規(guī)定直線上從原點向右方向為正方向，用箭頭表示出來；4、根據(jù)需要，選取適當(dāng)長度為單位長度，原點右邊，每一個單位長度取一個點，依次表示1，2，3...;在原點左邊用同樣方法表示-1，-2，-3...【知識點四】有理數(shù)與數(shù)軸上點的關(guān)系：任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示，一般地，設(shè)a為一個正數(shù)，則數(shù)軸上表示數(shù)a的點在原點的右邊，與原點的距離為a個單位長度；表示數(shù)-a的點在原點的左邊，與原點的距離也為a單位長度；【知識點五】相反數(shù)定義：只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，特別的地，0的相反數(shù)是0；【知識點六】相反數(shù)的性質(zhì)：a,b互為相反數(shù)，則a+b=0;反之，若a+b=0，則a,b互為相反數(shù)；一個有理數(shù)有且只有一個相反數(shù)；正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù).【知識點六】相反數(shù)的幾何意義：一般地，在數(shù)軸上，互為相反數(shù)的兩個數(shù)對應(yīng)的點在原點兩側(cè)，并且到原點的距離相等.第二部分【題型展示與方法點撥】【題型1】數(shù)軸的三要素及數(shù)軸上表示有理數(shù)；【例1】（23-24七年級上·廣東肇慶·期中）（1）如圖，寫出數(shù)軸上點，，，表示的數(shù)；

（2）請你自己畫出數(shù)軸并表示下列有理數(shù)：，．【答案】(1)，，，表示的數(shù)分別是：，，，；(2)見解析．【分析】（）根據(jù)數(shù)軸可以直接寫出點，，、表示的數(shù)；（）畫出數(shù)軸，在數(shù)軸上描出題目中兩個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點；此題主要考查了數(shù)軸，點在數(shù)軸上位置確定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握畫數(shù)軸以及在數(shù)軸上表示數(shù)，用數(shù)軸表示數(shù)時要注意畫數(shù)軸有三個基本要素：原點、正方向、單位長度．解：（1）由數(shù)軸可得，點，，，表示的數(shù)分別是：，，，；（2）先畫出數(shù)軸，表示如下圖所示：

【變式1】（23-24七年級上·四川涼山·階段練習(xí)）下面是四名同學(xué)畫的數(shù)軸，其中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查數(shù)軸，熟知規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸是解題的關(guān)鍵．據(jù)此對各選項逐一分析判斷即可．解：A．?dāng)?shù)軸上的點應(yīng)該越向右越大，與位置顛倒，故此選項不符合題意；B．沒有原點，故此選項不符合題意；C．沒有正方向，故此選項不符合題意；D．?dāng)?shù)軸畫法正確，故此選項符合題意．故選：D．【變式2】（2024·福建福州·一模）如圖，數(shù)軸上的三個點中，表示負(fù)數(shù)的是點．

【答案】M【分析】本題考查的是數(shù)軸，正數(shù)和負(fù)數(shù)，根據(jù)數(shù)軸的概念和數(shù)軸上各點的分布即可得出答案．解：由數(shù)軸可知，取右方向為正方向，可得：在原點左側(cè)的各點為負(fù)數(shù)，在原點右側(cè)的各點為正數(shù)，∵M(jìn)點在原點的左側(cè)，N點，P點在原點的右側(cè)，∴表示負(fù)數(shù)的是點M，故答案為：M．【題型2】數(shù)軸與相反數(shù)的理解認(rèn)識；【例2】（23-24七年級上·山東菏澤·期中）在數(shù)軸上表示下列有理數(shù)及其相反數(shù)，再用“＜”把所有表示的數(shù)連接起來：【答案】圖見解析，【分析】本題考查相反數(shù)：“只有符號不同的兩個數(shù)”，用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小，先求出相反數(shù)，在數(shù)軸上表示出各數(shù)，再根據(jù)數(shù)軸上的數(shù)右邊的比左邊的大，進(jìn)行及比較即可．解：的相反數(shù)為分別為，數(shù)軸上表示各數(shù)如圖：

由圖可知：．【變式1】（2024·甘肅隴南·三模）如圖，數(shù)軸上點A的相反數(shù)是（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)軸可知點A表示的數(shù)是2，再根據(jù)相反數(shù)的定義，即可得到答案．本題考查了數(shù)軸，相反數(shù)，掌握相反數(shù)的定義是解題關(guān)鍵．解：由數(shù)軸可知，點A表示的數(shù)是2，2的相反數(shù)是，故選：A．【變式2】（23-24七年級上·浙江·期末）如圖，數(shù)軸的單位長度為1，如果點A與點B互為相反數(shù)，那么點C表示的數(shù)是．【答案】5【分析】本題考查了數(shù)軸，相反數(shù)，絕對值等知識點，關(guān)鍵是理解相反數(shù)在數(shù)軸上表示的意義，即在數(shù)軸上，互為相反數(shù)的兩個點到原點的距離相等，且在原點的兩旁．根據(jù)在數(shù)軸上，互為相反數(shù)的兩個點到原點的距離相等，且在原點的兩旁，得出點A表示的數(shù)是，點表示的數(shù)是1，進(jìn)而得出答案．解：數(shù)軸的單位長度為，點A與點B互為相反數(shù)，點A表示的數(shù)是，點表示的數(shù)是1，∴點C表示的數(shù)是5．故答案為：5．【題型3】利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大??；【例3】（23-24七年級上·四川內(nèi)江·期中）（1）畫出數(shù)軸，并用數(shù)軸上的點表示下列各數(shù)：，，，，．（2）用“”號把各數(shù)從小到大連起來：（3）請找出其中的一對相反數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）；（2）和互為相反數(shù)【分析】本題主要考查了用數(shù)軸表示有理數(shù)，利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小，相反數(shù)的定義，正確在數(shù)軸上表示出各數(shù)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)有理數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，在數(shù)軸上表示出各數(shù)即可；（2）根據(jù)數(shù)軸上左邊的數(shù)小于右邊的數(shù)用小于號將各數(shù)連接起來即可；（3）根據(jù)只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)進(jìn)行求解即可．解：（1）如圖所示，即為所求；（2）由數(shù)軸可知，；（3）由題意得，和互為相反數(shù)．【變式1】（2024·北京順義·一模）實數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查的是數(shù)軸與實數(shù)的大小比較等相關(guān)內(nèi)容，會利用數(shù)軸比較實數(shù)的大小是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)數(shù)軸上的點的特征即可判斷．解：A：點在的左邊，，故該選項不符合題意；B：點在的左邊，，故該選項不符合題意；C：，，又，，故該選項不符合題意；D：，，又，，故該選項符合題意；故選：D．【變式2】（23-24七年級上·河北唐山·期中）數(shù)m，n在數(shù)軸上的位置如圖所示，用“”把m，，n，連接起來為．

【答案】【分析】本題主要考查了數(shù)軸上點的特點，解題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)軸上點越向右越大．解：由數(shù)軸可知，，且，故．故答案為：．【題型4】相反數(shù)意義及符號簡化；【例4】（23-24七年級上·全國·課后作業(yè)）（1）化簡下列各數(shù)：①；

②；③；④；（2）化簡過程中發(fā)現(xiàn)：化簡結(jié)果的符號與原式中“”的個數(shù)有著密切聯(lián)系，當(dāng)“”的個數(shù)是奇數(shù)時，最后結(jié)果為_________數(shù)；當(dāng)“”的個數(shù)是偶數(shù)時，最后結(jié)果為_________數(shù)．【答案】（1）1，8，-a，a；（2）負(fù)，正【分析】利用相反數(shù)的定義以及多重符號法則求解即可．解：（1）①；

②；③；

④；（2）通過（1）中化簡過程中發(fā)現(xiàn)，化簡結(jié)果的符號與原式中“”的個數(shù)有著密切聯(lián)系，當(dāng)“”的個數(shù)是奇數(shù)時，最后結(jié)果為負(fù)數(shù)；當(dāng)“”的個數(shù)是偶數(shù)時，最后結(jié)果為正數(shù)．故答案為：負(fù)，正．【點撥】本題考查相反數(shù)的定義以及多重符號法則，熟練掌握多重符號法則“奇負(fù)偶正”是解答的關(guān)鍵．【變式1】（23-24七年級上·河南南陽·階段練習(xí)）下列說法中，錯誤的是（

）A．在一個數(shù)前面添加一個“”號，就變成原數(shù)的相反數(shù)B．與互為相反數(shù)C．若兩個數(shù)互為相反數(shù)，則它們的相反數(shù)也互為相反數(shù)D．的相反數(shù)是【答案】D【分析】本題考查了相反數(shù)的意義．注意掌握只有符號不同的數(shù)為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0．根據(jù)相反數(shù)的意義，只有符號不同的數(shù)為相反數(shù)．解：A．在一個數(shù)前面添加一個“”號，就變成原數(shù)的相反數(shù)，說法正確，故本選項不合題意；B．與2.2互為相反數(shù)，說法正確，故本選項不合題意；C．如果兩個數(shù)互為相反數(shù)，則它們的相反數(shù)也互為相反數(shù)，說法正確，故本選項不合題意；D．的相反數(shù)是，所以原說法錯誤，故本選項符合題意．故選：D．【變式2】給出下列各對數(shù)：與，與，與，與，與中，互為相反數(shù)的有【答案】與，與【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義，逐個化簡，再分析.解：=-3與不是互為相反數(shù)，=-與=-2不是互為相反數(shù)，與互為相反數(shù)，=-3與=-3不是互為相反數(shù)，與互為相反數(shù)故答案為與，與【點撥】考核知識點：相反數(shù).理解相反數(shù)的定義是關(guān)鍵.【題型5】數(shù)軸上距離問題【例5】（23-24七年級上·山東德州·階段練習(xí)）閱讀理解：數(shù)軸上線段的長度可以用線段端點表示的數(shù)進(jìn)行減法運算得到，如圖，線段；線段．問題：（1）數(shù)軸上點M、N代表的數(shù)分別為和3，則線段_______；（2）數(shù)軸上點E、F代表的數(shù)分別為和，則線段_______；（3）數(shù)軸上的兩個點之間的距離為5，其中一個點表示的數(shù)為，求另一個點表示的數(shù)．【答案】(1)7；(2)4；(3)另一個點表示的數(shù)為2或【分析】本題考查了數(shù)軸上兩點間的距離，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．（1）直接根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離求解即可；（2）直接根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離求解即可；（3）分兩種情況討論，當(dāng)另一個點在右側(cè)或當(dāng)另一個點在左側(cè)，再根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離求解即可．解：（1）數(shù)軸上點M、N代表的數(shù)分別為和3，則線段，故答案為：7；（2）數(shù)軸上點E、F代表的數(shù)分別為和，則線段，故答案為：4；（3）由題可得：①當(dāng)另一個點在右側(cè)時，；②當(dāng)另一個點在左側(cè)時，，綜上，另一個點表示的數(shù)為2或．【變式1】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知A，B，C是數(shù)軸上的三個點，且C在B的左側(cè)．點A，B表示的數(shù)分別是1，3，如圖所示．若，則點C表示的數(shù)是．【答案】【分析】本題考查了數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是熟知數(shù)軸的特點．先利用點A、B表示的數(shù)計算出，再計算出，然后計算點C到原點的距離即可得到C點表示的數(shù)．解：∵點A，B表示的數(shù)分別是1，3，∴，∵，∴，∵C在B的左側(cè)，∴點C表示的數(shù)是．故答案為：．【變式2】（23-24七年級上·浙江杭州·階段練習(xí)）如圖，一條數(shù)軸上有點A、B、C，其中點A、B表示的數(shù)分別是，10，現(xiàn)以點C為折點，將數(shù)軸向右對折，若點A落在射線上且到點B的距離為6，則C點表示的數(shù)是（）A．1 B． C．1或 D．1或【答案】C【分析】本題考查了數(shù)軸，分類討論思想是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)兩點間的距離公式求出點A落在對應(yīng)點表示的數(shù)，在利用中點公式求出C點表示的數(shù)．解：設(shè)是點的對應(yīng)點，由題意可知點是和的中點當(dāng)點在的右側(cè)，，表示的數(shù)為，那么C表示的數(shù)為：，當(dāng)點在的左側(cè)，，表示的數(shù)為，那么C表示的數(shù)為：，故選：C．【題型6】數(shù)軸上的動點問題【例6】（23-24七年級上·全國·課后作業(yè)）有理數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示．

（1）在數(shù)軸上分別用，兩點表示，；（2）若數(shù)與表示的點相距20個單位長度，則與表示的數(shù)分別是什么？（3）在（2）的條件下，若數(shù)表示的點與數(shù)的相反數(shù)表示的點相距5個單位長度，則與表示的數(shù)是多少？【答案】(1)見解析；(2)表示的數(shù)是，表示的數(shù)是10；(3)表示的數(shù)是5，表示的數(shù)是【分析】（1）根據(jù)題意作圖即可；（2）互為相反數(shù)的兩個數(shù)到原點的距離相等，據(jù)此求出表示的點到原點的距離為，結(jié)合數(shù)軸即可作答；（3）結(jié)合（1）的圖形，可得，先求出表示的點到原點的距離為，問題隨之得解．解：（1）如圖，

（2）數(shù)與其相反數(shù)相距20個單位長度，則表示的點到原點的距離為，∴結(jié)合數(shù)軸，表示的數(shù)是，即表示的數(shù)是；（3）如圖，

即有，∵表示的點到原點的距離為10，而數(shù)表示的點與數(shù)的相反數(shù)表示的點相距5個單位長度，∴表示的點到原點的距離為，∴表示的數(shù)是5，表示的數(shù)是．【點撥】本題考查的是相反數(shù)的定義等知識，熟知以上知識是解答此題的關(guān)鍵．【變式1】（23-24七年級上·湖北武漢·期中）一個點在數(shù)軸上表示，該點在數(shù)軸上移動3個單位長度后所表示的數(shù)是（）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】本題考查了數(shù)軸上的動點問題，；利用分類討論的思想解決問題是解題關(guān)鍵．解：在數(shù)軸上向左移動3個單位長度后所表示的數(shù)是；在數(shù)軸上向右移動3個單位長度后所表示的數(shù)是；即該點在數(shù)軸上移動3個單位長度后所表示的數(shù)是或，故選：C．【變式2】（23-24七年級上·河南新鄉(xiāng)·期末）如圖，在數(shù)軸上，點A表示的數(shù)是10，點B表示的數(shù)為50，點P是數(shù)軸上的動點．點P沿數(shù)軸的負(fù)方向運動，在運動過程中，當(dāng)線段和的大小關(guān)系滿足時，點P表示的數(shù)是．【答案】26或/或26【分析】本題考查了數(shù)軸上的動點問題，數(shù)軸上兩點間的距離，根據(jù)題意可得該問題可分為兩種情況，即可得到等式，求解即可得到結(jié)果，根據(jù)數(shù)軸得到兩點間的距離是解題的關(guān)鍵．解：在點P運動過程中，，即，分兩種情況：①當(dāng)點P運動到點A右側(cè)時，，此時點P表示的數(shù)是；②當(dāng)點P運動到點A左側(cè)時，設(shè)，則，∵，∴，則，，∴點P表示的數(shù)是，綜上所述，點P表示的數(shù)是26或，故答案為：26或．【題型7】數(shù)軸上點的符號判斷式子符號【例6】（20-21七年級上·福建龍巖·階段練習(xí)）點A，B在數(shù)軸上的位置如圖所示：

（1）點A表示的數(shù)______，點B表示的數(shù)是______（2）在原圖中分別標(biāo)出表示的點C、表示的點D；（3）比較的大小，井用“”連接．【答案】(1)，；(2)見詳解；(3)【分析】（1）直接利用數(shù)軸得出各點表示的數(shù)；（2）利用相反數(shù)的定義，在數(shù)軸表示出，點位置；（3）利用數(shù)軸上點的特征得出答案．（1）解：點A表示的數(shù)是：，點表示的數(shù)是：3，故答案為：，；（2）解：如圖所示：點，即為所求；

（3）解：由（2）中數(shù)軸上的點從左到右依次增大，得．【點撥】此題主要考查了相反數(shù)的定義，數(shù)軸上點的特征，正確掌握數(shù)軸上點的特征是解題的關(guān)鍵．【變式1】（23-24九年級下·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，O、A、B、C為數(shù)軸上四點，其中O為原點，且，，若C點所表示的數(shù)為x，則B點所表示的數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】此題主要考查了在數(shù)軸上表示數(shù)的方法，以及數(shù)軸的特征和應(yīng)用，熟練掌握數(shù)軸的特性是解題的關(guān)鍵；根據(jù)，C點所表示的數(shù)為x，求出A表示的數(shù)是多少，然后根據(jù)，求出B點所表示的數(shù)是多少即可．解：點表示的數(shù)為x，表示的數(shù)是，點和點A表示的數(shù)互為相反數(shù)，點所表示的數(shù)是，故選：．【變式2】（22-23七年級下·廣東惠州·階段練習(xí)）點，在數(shù)軸上的位置如圖，則，

【答案】【分析】根據(jù)數(shù)軸上點的位置判斷出與的正負(fù)即可．解：根據(jù)數(shù)軸上點的位置得：，且，則，，故答案為：；．【點撥】本題主要考查了數(shù)軸，弄清數(shù)軸上點的位置是解本題的關(guān)鍵．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2023湖北黃石）實數(shù)a與b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則它們的大小關(guān)系是（

）

A． B． C． D．無法確定【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)軸上右邊的數(shù)總大于左邊的數(shù)求解即可．解：由圖可知，，故選：C．【點撥】本題考查利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小，熟知數(shù)軸上右邊的數(shù)總大于左邊的數(shù)是解答的關(guān)鍵．【例2】（2023四川自貢）如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)是2023，，則點B表示的數(shù)是（

）A．2023 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)軸的定義求解即可．解；∵數(shù)軸上點A表示的數(shù)是2023，，∴，∴點B表示的數(shù)是，故選：B．【點撥】本題考查數(shù)軸上點表示有理數(shù)，熟練掌握數(shù)軸上點的特征是解題的關(guān)鍵．2、拓展延伸【例1】（23-24七年級上·河南周口·階段練習(xí)）李老師善于通過知識遷移，對問題進(jìn)行拓展探究，培養(yǎng)同學(xué)們用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界的能力．下面李老師在“數(shù)軸的實際應(yīng)用”主題下設(shè)計的問題，請你解答．（1）知識回顧如圖1，數(shù)軸上有一個表示數(shù)a的點M，已知點M在數(shù)軸上向右移動3個單位長度后表示的數(shù)是5，那么a的值是；

（2）探究遷移如圖2，有一根木尺放置在數(shù)軸上，它的兩端P，Q分別落在A、B兩點處．將木尺在數(shù)軸上水平移動，當(dāng)點P移動到點B時，點Q所對應(yīng)的數(shù)為24；當(dāng)點Q移動到點A時，點P所對應(yīng)的數(shù)為6（單位：cm）．利用所學(xué)知識求出點A、點B所表示的數(shù)及木尺的長；

（3）拓展應(yīng)用一天，小明去問爺爺?shù)哪挲g．爺爺說：“我若是你現(xiàn)在這么大，你還要40年才出生呢；你若是我現(xiàn)在這么大，我已經(jīng)是116歲了！”請你利用（2）的方法，請直接寫出小明和爺爺?shù)哪挲g．【答案】(1)2；(2)A點表示的數(shù)為12，B點表示的數(shù)，18，；(3)小明12歲，爺爺64歲【分析】本題考查了數(shù)軸上的動點，兩點間的距離，理解題意，數(shù)形結(jié)合分析問題是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)右加左減的規(guī)律求解即可；（2）由題意可知，B點到24的距離、的距離、A點到6的距離相等，由線段圖可求的長；（3）仿照（2）畫出圖，可知爺爺和小明的年齡差為：歲進(jìn)而可求出小明和爺爺?shù)哪挲g．解：（1）∵點M在數(shù)軸上向右移動3個單位長度后表示的數(shù)是5，∴．故答案為：2；（2）由題意可知，B點到24的距離、的距離、A點到6的距離相等，∴，∴A點表示