清單18 相似三角形的10大經(jīng)典模型

清單18相似三角形的10大經(jīng)典模型【知識(shí)導(dǎo)圖】【知識(shí)清單】相似三角形的判定方法：判定定理一：平行于三角形一邊的直線和其兩邊相交（或其兩邊的延長(zhǎng)線相交），所構(gòu)成的三角形和原三角形相似。判定定理二：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似，即：若，則∽判定定理三：兩邊成比例并且夾角相等的兩個(gè)三角形相似。即：若，且∠C＝則∽判定定理四：兩個(gè)角分別相等的兩個(gè)三角形相似。

即：若，,則∽判定定理五：斜邊和直角邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似。即：在中，若或,則相似三角形的性質(zhì)：1）相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等。2）相似三角形對(duì)應(yīng)高，對(duì)應(yīng)中線，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比。3）相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比。4）相似三角形面積比等于相似比的平方。模型圖形結(jié)論A字模型①?ADE~?ABC②AD共邊反A字模型①?ABC~?ACD②AB③AC2=AB?AD剪刀反A字模型①?ABC~?ADE②AB8字模型正8字模型①?AOB~?COD②AO反8字模型①?AOB~?DOC②AO射影定理①?ABC~?ADB~?BDC②AB2=AC?AD,BD2=AD?CDBC2=AC?CD（口訣：公共邊的平方=共線邊的乘積）③AB?BC=BD?AC（面積法）一線三垂直①?ABC~?CDE②AB③當(dāng)點(diǎn)C為BD中點(diǎn)時(shí)，?ABC~?CDE~?ACE一線三等角①?ABC~?CDE②AB③當(dāng)點(diǎn)C為BD中點(diǎn)時(shí)，?ABC~?CDE~?ACEA字形線簇模型①DFEF②DF:FG:EG=BH:HI:CI（右圖）8字形線簇模型①AEBE②AE:EF:BF=DH:HG:CG（右圖）三角形內(nèi)接矩形①?ABC~?ADG②AD③若四邊形DEFG為正方形即DGBC=AMAN則xBC=AN-xAN若已知B三平行模型①1②1手拉手相似模型①?ABD~?ACE【總結(jié)】三角形相似就意味著對(duì)應(yīng)線段的比值相等，所以就能建立等式關(guān)系。因此，題目中只要看到線段比例已知，就要首先考慮構(gòu)建三角形相似來(lái)利用這個(gè)已知條件，為進(jìn)一步完成解題創(chuàng)下基礎(chǔ)?？谠E：線段比例若知道，三角相似解題巧?！続字模型】（含母子型）1．如圖，P為?ABCD的邊AD上的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為PB，PC的中點(diǎn)，△PEF，△PDC，△PAB的面積分別為S，S1，S2．若S=3，則S1

A．24 B．12 C．6 D．102．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，∠ADE=∠C，如果AD=3，△ADE的面積為9，四邊形BDEC的面積為16，則AC的長(zhǎng)為．3．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，D是AB上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，連接CD，AE交于點(diǎn)F，若∠CFE=45°，4．雯雯和笑笑想利用皮尺和所學(xué)的幾何知識(shí)測(cè)量學(xué)校操場(chǎng)上旗桿的高度，他們的測(cè)量方案如下：當(dāng)雯雯站在旗桿正前方地面上的點(diǎn)D處時(shí)，笑笑在地面上找到一點(diǎn)G，使得點(diǎn)G、雯雯的頭頂C以及旗桿的頂部A三點(diǎn)在同一直線上，并測(cè)得DG＝2.8m；然后雯雯向前移動(dòng)1.5m到達(dá)點(diǎn)F處，笑笑同樣在地面上找到一點(diǎn)H，使得點(diǎn)H、雯雯的頭頂E以及旗桿的頂部A三點(diǎn)在同一直線上，并測(cè)得GH＝1.7m，已知圖中的所有點(diǎn)均在同一平面內(nèi)，AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，雯雯的身高CD＝EF＝1.6m．請(qǐng)你根據(jù)以上測(cè)量數(shù)據(jù)，求該校旗桿的高度AB．5．定義：如圖，若點(diǎn)P在三角形的一條邊上，且滿足∠1=∠2，則稱點(diǎn)P為這個(gè)三角形的“理想點(diǎn)”．(1)如圖①，若點(diǎn)D是△ABC的邊AB的中點(diǎn)，AC=22，AB=4，試判斷點(diǎn)D是不是△ABC的“理想點(diǎn)”(2)如圖②，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，若點(diǎn)D是△ABC的“理想點(diǎn)”，求CD6．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E、點(diǎn)F在邊AC上，且DE∥BC，AFFE（1）求證：DF∥BE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝63．求證△ADE∽△AEB．【8字模型】1．如圖，AD與BC交于O點(diǎn)，∠A=∠C，BO=4，DO=2，AB=3，求CD的長(zhǎng)．2．已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，在邊AB的延長(zhǎng)線上截取BE＝AB，點(diǎn)F在AE的延長(zhǎng)線上，CE和DF交于點(diǎn)M，BC和DF交于點(diǎn)N，聯(lián)結(jié)BD．（1）求證：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB?AF，求證：CM?AB＝DM?CN．3．如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD上一點(diǎn)（不與C，D兩點(diǎn)重合），連接BE，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BE于點(diǎn)F，交對(duì)角線BD于點(diǎn)G，交AD邊于點(diǎn)H，連接GE．（1）求證：DH＝CE；（2）如圖2，若點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，當(dāng)BE＝8時(shí)，求線段GH的長(zhǎng)；（3）設(shè)正方形ABCD的面積為S1，四邊形DEGH的面積為S2，當(dāng)CEDE=43時(shí)，S1S2【射影定理】1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，已知AD＝95,BD=45，那么2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AB上，且ADAC＝AC（1）求證△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長(zhǎng)．3．△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，且有AF=CF，過(guò)F點(diǎn)作FH⊥AC于點(diǎn)H．（1）求證：△ADE∽△CDB；（2）求證：AE=（3）若FH=3，求【一線三垂直/一線三等角】1．如圖，在邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC中，D是邊BC上一點(diǎn)，將△ABC沿EF折疊使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，若BD:DE=2:3，則CF=．2．如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠D=120°，AB=6、AD=4，點(diǎn)E、F分別在線段AD、DC上（點(diǎn)E與點(diǎn)A、D不重合），若∠BEF=120°，AE=x、DF=y，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為3．（1）如圖1，∠ABC=90°，分別過(guò)A，C兩點(diǎn)作經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線的垂線，垂足分別為E、F，AE=4，BE=2，BF=3，求CF的長(zhǎng)度為．（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，點(diǎn)E、F、M分別在AB、BC、AD上，∠EMF=90°，AM=2，當(dāng)（3）如圖3，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=15，BC=20，點(diǎn)E、F分別在邊AB、BC上，∠CEF=α且tanα=344．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，∠ABC=α，將邊AC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段CE，在射線BC上取點(diǎn)D，使得∠CDE=α．請(qǐng)求出線段BC與DE的數(shù)量關(guān)系；（2）類比探究：如圖2，若α=90°，作∠ACE=90°，且CE=12AC，其他條件不變，則線段BC與DE（3）拓展延伸：如圖3，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E是邊AD上一點(diǎn)，且AE=2，把線段CE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EF，連接BF，直接寫出線段BF的長(zhǎng)．

5．（1）問(wèn)題如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，當(dāng)∠DPC=∠A=∠B=90°時(shí)，求證：AD?BC=AP?BP．（2）探究若將90°角改為銳角（如圖2），其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？說(shuō)明理由．（3）應(yīng)用如圖3，在△ABC中，AB=22，∠B=45°，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)作等腰Rt△ADE．點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在BC上，且∠EFD=45°，若CE=5，求6．如圖，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一點(diǎn)，使得AE⊥DE；(1)求證：△ABE∽△ECD；(2)若AB=4，AE=BC=5，求CD的長(zhǎng)；(3)當(dāng)△AED∽△ECD時(shí)，請(qǐng)寫出線段AD、【A字形線簇模型】1．（1）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E、Q分別在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于點(diǎn)P，求證：DPBQ（2）如圖，△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四個(gè)頂點(diǎn)在△ABC的邊上，連結(jié)AG，AF分別交DE于M，N兩點(diǎn)．①如圖，若AB=AC=1，直接寫出MN的長(zhǎng)；②如圖，求證：MN2【8字形線簇模型】1．已知如圖，在梯形ABCD中，CD∥AB，AD、BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，AC、BD相交于點(diǎn)O，連結(jié)EO并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N．那么線段AM與BM是否相等？請(qǐng)說(shuō)明理由．【三角形內(nèi)接矩形】1．如圖，已知三角形鐵皮ABC的邊BC=acm，BC邊上的高AM=hcm，要剪出一個(gè)正方形鐵片DEFG，使D、E在BC上，G、F分別在AB、AC上，則正方形DEFG的邊長(zhǎng)=2．如圖，正方形EFGH內(nèi)接于△ABC，AD⊥BC于點(diǎn)D，交EH于點(diǎn)M，BC＝10cm，AD＝20cm．求正方形EFGH的邊長(zhǎng)．

3．如圖，已知在△ABC中，AD是BC上的高，且BC=6，AD=4，矩形EFGH的頂點(diǎn)F、G在邊BC上，頂點(diǎn)E、H分別在邊AB、AC上．

(1)設(shè)EF=x(0<x<4)，矩形EFGH的周長(zhǎng)為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)EFGH為正方形時(shí)，求EF的長(zhǎng)度．4．一塊直角三角形木板的面積為1.5m2，一條直角邊AB為【三平行模型】1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥CB，垂足為B，且BD=3，連接CD，與AB相交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥CB，垂足為N．若AC=2，則MN的長(zhǎng)為．2．圖，AB∥GH∥CD，點(diǎn)H在BC上，AC與BD交于點(diǎn)G，AB＝2，CD＝3．已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°（如圖）．以線段AB為邊向外作等邊三角形ABD，點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)交線段AD于點(diǎn)F．（1）求證：四邊形BCFD為平行四邊形；（2）連接CD，交AB于點(diǎn)M．①若AB=6，求BM的長(zhǎng)；②作MN⊥AC，垂足為N，求證：1BC【手拉手相似模型】1．在△ABC中，CA=CB，∠ACB=α，點(diǎn)P是平面內(nèi)不與點(diǎn)A，C重合的任意一點(diǎn)，連接AP，將線段AP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段DP，連接AD，BD，CP.(1)觀察猜想如圖①，當(dāng)α=60°時(shí)，BDCP的值是_______，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是________(2)類比探究如圖②，當(dāng)α=90°時(shí)，請(qǐng)寫出BDCP的值及直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)，并就圖②的情形說(shuō)明理由．2．

(1)【問(wèn)題呈現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．(2)【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請(qǐng)直接寫出BDCE(3)【拓展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且ABBC＝ADDE＝34．連接BD①求BDCE②延長(zhǎng)CE交BD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G．求sin∠BFC的值．3．【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在